رسم نمودار به کمک تغییر مقیاس
اهمیت تغییر مقیاس در نمودار توابع
وقتی با تابع $y=f(x)$ آشنا هستید و نمودار آن را دارید، برای رسم تابعی مانند $y=2f(x)$ یا $y=f(3x)$ نیازی به نقطه‌یابی مجدد نیست. با استفاده از تغییر مقیاس، کافی است طول یا عرض همه نقاط نمودار اولیه را در عدد ثابتی ضرب کنید. این روش زمان رسم را کاهش داده و درک ارتباط بین توابع را عمیق‌تر می‌کند.
مثلاً فرض کنید نمودار تابع $y=\sqrt{x}$ را دارید. برای رسم $y=2\sqrt{x}$ فقط کافی است $y$ هر نقطه را در $2$ ضرب کنید (کشش عمودی). یا برای رسم $y=\sqrt{2x}$، طول هر نقطه را بر $2$ تقسیم می‌کنیم (فشردگی افقی).
دو نوع تغییر مقیاس: عمودی و افقی
تغییر مقیاس عمودی (ضرب عرض در عدد ثابت): اگر تابع جدید به صورت $y = c \cdot f(x)$ باشد که در آن $c \gt 0$، آنگاه برای رسم نمودار کافی است عرض (مقدار $y$) هر نقطه از نمودار $f(x)$ را در $c$ ضرب کنیم. اگر $c>1$، نمودار به صورت عمودی کشیده می‌شود و اگر $0 \lt c \lt 1$، نمودار به صورت عمودی فشرده می‌شود.
تغییر مقیاس افقی (ضرب طول در عدد ثابت): اگر تابع جدید به صورت $y = f(kx)$ باشد که در آن $k \gt 0$، برای رسم نمودار کافی است طول (مقدار $x$) هر نقطه از نمودار $f(x)$ را در $\frac{1}{k}$ ضرب کنیم. اگر $k>1$، نمودار به صورت افقی فشرده می‌شود و اگر $0 \lt k \lt 1$، نمودار افقی کشیده می‌شود. دقت کنید این رفتار معکوس است.
| نوع تغییر مقیاس | فرم تابع جدید | تأثیر عدد ثابت ($c$ یا $k$) >$1$ | تأثیر عدد ثابت $0 \lt c,k \lt 1$ |
|---|---|---|---|
| عمودی | $y=c\cdot f(x)$ | کشش عمودی (بلندتر شدن) | فشردگی عمودی (کوتاه‌تر شدن) |
| افقی | $y=f(kx)$ | فشردگی افقی (باریک‌تر شدن) | کشش افقی (پهناورتر شدن) |
رسم گام به گام با مثال عددی
نمودار تابع $f(x)=x^2$ (سهمی) را در نظر بگیرید. می‌خواهیم نمودار $g(x)=3f(x)=3x^2$ را رسم کنیم.
مرحله 1: چند نقطه کلیدی روی نمودار $f(x)$ شامل $(-2,4)$، $(-1,1)$، $(0,0)$، $(1,1)$ و $(2,4)$ انتخاب کنید.
مرحله 2: تغییر مقیاس عمودی با ضریب $c=3$ اعمال کنید. عرض هر نقطه را در $3$ ضرب کنید: $(-2,12)$، $(-1,3)$، $(0,0)$، $(1,3)$ و $(2,12)$.
مرحله 3: نقاط جدید را به هم متصل کنید. نمودار حاصل، همان سهمی است اما سه برابر کشیده‌تر در جهت عمودی.
کاربرد عملی: رسم نمودار یک تابع جدید از روی تابع مثلثاتی
فرض کنید نمودار $y=\cos(x)$ را بین $0$ تا $2\pi$ دارید. برای رسم $y=\cos(2x)$، از تغییر مقیاس افقی با $k=2$ استفاده می‌کنیم. دوره تناوب1 اصلی $\cos(x)$ برابر $2\pi$ است. پس از تغییر مقیاس، دوره تناوب جدید برابر $\frac{2\pi}{2} = \pi$ می‌شود. نقاط اصلی مانند $(0,1)$، $(\frac{\pi}{2},0)$، $(\pi,-1)$ به نقاط $(0,1)$، $(\frac{\pi}{4},0)$، $(\frac{\pi}{2},-1)$ تبدیل می‌شوند. مشاهده می‌کنید که نمودار جدید در بازه $[0,\pi]$ کامل می‌شود و فرکانس نوسان دو برابر می‌گردد.
چالش‌های مفهومی در تغییر مقیاس
پاسخ: چون برای رسیدن به یک عرض مشخص مانند $y_0$ در تابع جدید، باید $f(kx)=y_0$ را حل کنیم. این یعنی نقطه متناظر روی نمودار اصلی در $X=kx$ قرار دارد. با افزایش $k$، $x$ کوچک‌تر از $X$ می‌شود؛ بنابراین نقاط به سمت محور $y$ فشرده می‌شوند.
پاسخ: خیر، چون ضرب مختصات افقی و عمودی مستقل از هم هستند. شما می‌توانید ابتدا مقیاس افقی با ضریب $\frac{1}{3}$ روی طول‌ها و سپس مقیاس عمودی با ضریب $2$ روی عرض‌ها اعمال کنید یا برعکس؛ نتیجه نهایی یکسان است.
پاسخ: ضریب منفی باعث تغییر مقیاس همراه با انعکاس (قرینه شدن) نسبت به محورها می‌شود. در این مقاله فقط اعداد مثبت در نظر گرفته شد. برای اعداد منفی، ابتدا قدر مطلق برای تغییر مقیاس و سپس علامت منفی برای انعکاس به کار می‌رود. مثلاً $y=-2f(x)$ ابتدا کشش عمودی با ضریب $2$ و سپس قرینه شدن نسبت به محور $x$ است.
