[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"blogPost-9606":3,"categoryMenus":28,"$fiZ1lWEkUcdAavrbef6p_Tuv2VBASu1HstCY0tq8RCVI":215},{"id":4,"section":5,"base":6,"course":7,"lesson":8,"title":9,"cat":10,"pic":11,"info_graphic":12,"podcast":12,"body":13,"tags":14,"metadata":12,"featured":18,"status":19,"views":20,"subdate":21,"up_date":22,"first_name":23,"last_name":24,"avatar":12,"cat_title":25,"subdate_jalali":26,"update_jalali":27},9606,67,1169,1171,3859,"برابری وترها و کمان‌ها: وترهای برابر کمان‌های برابر دارند.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F72n0rRKeIdJKBZ5FV17h_800.png",null,"\u003Cdiv aria-label=\"برابری وترها و کمان‌ها\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch1 style=\"color: #24292f; font-size: 28px; font-weight: 900; text-align: center\">برابری وترها و کمان‌ها در دایره\u003C\u002Fh1>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95; text-align: center\">یک رابطه‌ی هندسی زیبا: وترهای مساوی، کمان‌های مساوی دارند و بالعکس.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>خلاصه:\u003C\u002Fstrong> در این مقاله، به بررسی رابطه‌ی اساسی بین \u003Cstrong>وتر\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>۱\u003C\u002Fsup> و \u003Cstrong>کمان\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>۲\u003C\u002Fsup> در دایره می‌پردازیم. قضیه‌ی اصلی بیان می‌کند که اگر دو وتر در یک دایره با هم برابر باشند، کمان‌های روبروی آن‌ها نیز برابرند و برعکس. این مفهوم که پایه‌ای برای درک بسیاری از مفاهیم پیشرفته‌تر هندسه و مثلثات است، با مثال‌هایی از دنیای اطراف مانند چرخ‌های دوچرخه و تقسیم‌بندی کیک، به سادگی توضیح داده خواهد شد. همچنین با بررسی حالت‌های خاص، اشتباهات رایج و \u003Cstrong>روابط مثلثاتی\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>۳\u003C\u002Fsup> مرتبط، این مبحث را به طور کامل برای دانش‌آموزان پایه یازدهم تشریح می‌کنیم.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px\">آشنایی با مفاهیم پایه: وتر، کمان و دایره\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cp>قبل از پرداختن به رابطه‌ی اصلی، لازم است با تعریف دقیق اجزای کلیدی آشنا شویم. این تعاریف را می‌توان در جدول زیر خلاصه کرد:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول مفاهیم پایه دایره\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">عنصر هندسی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعریف\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نماد در شکل\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال ملموس\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong>وتر\u003C\u002Fstrong> (Chord)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">پاره‌خطی که دو نقطه روی محیط دایره را به هم وصل می‌کند.\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">قطعه‌ی AB\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">یک تکه نخ مستقیم که دو نقطه روی لبه‌ی یک بشقاب گرد را به هم وصل کرده.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong>کمان\u003C\u002Fstrong> (Arc)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">بخشی از محیط دایره که بین دو نقطه قرار دارد.\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">کمان AB (گاهی $\\widehat{AB}$)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">لبه‌ی خمیده‌ی یک تکه کیک که بین دو برش قرار گرفته.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong>دایره\u003C\u002Fstrong> (Circle)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مکان هندسی نقاطی در صفحه که فاصله‌ی ثابتی از یک نقطه (مرکز) دارند.\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">دایره‌ی O\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">چرخ دوچرخه، بشقاب گرد، حلقه‌ی بازی.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong>زاویه مرکزی\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>۴\u003C\u002Fsup> (Central Angle)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">زاویه‌ای که رأس آن در مرکز دایره و ضلع‌هایش شعاع‌هایی به نقاط انتهایی کمان هستند.\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">$\\angle AOB$\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">زاویه‌ای که اگر از مرکز چرخ به دو پره نگاه کنید، بین آن‌ها ایجاد می‌شود.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>نکته‌ی مهم اینجاست که هر وتر، دو کمان را مشخص می‌کند: یک کمان کوچک (کوچکتر از نیم‌دایره) و یک کمان بزرگ (بزرگتر از نیم‌دایره). مگر در حالت خاص که وتر، \u003Cstrong>قطر\u003C\u002Fstrong> باشد که در این صورت هر دو کمان برابر و نیم‌دایره هستند. معمولاً منظور از «کمان روبروی یک وتر»، کمان کوچک است، مگر اینکه خلاف آن ذکر شده باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکته طلایی:\u003C\u002Fstrong> اندازه‌ی هر کمان با اندازه‌ی \u003Cstrong>زاویه مرکزی\u003C\u002Fstrong> نظیر آن سنجیده می‌شود. اگر زاویه مرکزی $ \\theta $ درجه باشد، اندازه‌ی کمان مقابل آن نیز $ \\theta $ درجه است. این ارتباط مستقیم، کلید درک رابطه بین وتر و کمان است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">قضیه اصلی: بیان ریاضی و اثبات گام‌به‌گام\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>قضیه:\u003C\u002Fstrong> در یک دایره یا در دو دایره‌ی هم‌شعاع، وترهای برابر، کمان‌های برابر (از نظر اندازه‌ی زاویه‌ای) دارند و بالعکس. یعنی اگر $AB$ و $CD$ دو وتر در دایره‌ی $O$ باشند، داریم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp style=\"text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ AB = CD \\quad \\Leftrightarrow \\quad \\widehat{AB} = \\widehat{CD} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>منظور از $\\widehat{AB} = \\widehat{CD}$، برابر بودن اندازه‌ی زاویه‌ای این کمان‌ها است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>اثبات (با استفاده از مثلث‌های متقارن):\u003C\u002Fstrong> فرض کنید در دایره‌ی $O$، دو وتر $AB$ و $CD$ با هم برابر باشند. نقاط $A$، $B$، $C$ و $D$ روی دایره قرار دارند. مرکز دایره $O$ را به این چهار نقطه وصل می‌کنیم. بنابراین چهار شعاع $OA$، $OB$، $OC$ و $OD$ را داریم که همه با هم برابرند (چرا؟ چون شعاع یک دایره هستند!).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>حال دو مثلث $ \\triangle AOB $ و $ \\triangle COD $ را در نظر بگیرید:\u003Cbr>\r\n- ضلع $OA = OC$ (هر دو شعاع).\u003Cbr>\r\n- ضلع $OB = OD$ (هر دو شعاع).\u003Cbr>\r\n- و طبق فرض، $AB = CD$.\u003Cbr>\r\nپس این دو مثلث بر اساس حالت \u003Cstrong>ضلع-ضلع-ضلع\u003C\u002Fstrong> (SSS)\u003Csup>۵\u003C\u002Fsup> با هم برابرند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>اگر دو مثلث برابر باشند، تمام اجزای متناظرشان برابر است. بنابراین زاویه‌ی $\\angle AOB$ که زاویه مرکزی روبروی کمان $AB$ است، با زاویه‌ی $\\angle COD$ که زاویه مرکزی روبروی کمان $CD$ است، برابر می‌شود: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\angle AOB = \\angle COD$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>از آنجایی که اندازه‌ی هر کمان با اندازه‌ی زاویه مرکزی نظیرش یکسان است، نتیجه می‌گیریم که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\widehat{AB} = \\widehat{CD}$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برعکس، اگر دو کمان برابر باشند، زاویه‌های مرکزی نظیر آن‌ها برابرند. با همان استدلال و استفاده از حالت \u003Cstrong>ضلع-زاویه-ضلع\u003C\u002Fstrong> (SAS)\u003Csup>۶\u003C\u002Fsup> (چون دو ضلع شعاع و زاویه بین آن‌ها معلوم است)، می‌توان نشان داد که وترهای مقابل آن کمان‌ها نیز برابر هستند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مثال‌های کاربردی از چرخ تا آشپزخانه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>این رابطه‌ی به ظاهر انتزاعی، در زندگی روزمره ما حضور پررنگی دارد. بیایید چند مثال را با هم بررسی کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال ۱: چرخ دوچرخه و پره‌ها\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nیک چرخ دوچرخه را در نظر بگیرید. همه‌ی پره‌ها (از مرکز چرخ تا لبه) طول یکسانی دارند (شعاع). اما اگر دو پره‌ی \u003Cem>غیر مجاور\u003C\u002Fem> را با یک میله به هم وصل کنیم، یک وتر ایجاد کرده‌ایم. حال اگر دو وتر مختلف در این چرخ داشته باشیم که طول یکسان دارند (مثلاً دو میله‌ی تقویت کننده با اندازه یکسان)، مطمئن هستیم که فاصله‌ی بین پایه‌های هر میله روی لبه چرخ (که همان کمان است) نیز به یک اندازه خواهد بود. این اصل در طراحی چرخ‌های محکم و متقارن استفاده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال ۲: تقسیم کیک به قطعات مساوی\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nفرض کنید می‌خواهید یک کیک گرد را بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">8\u003C\u002Fspan> نفر به طور کاملاً عادلانه تقسیم کنید. اگر از مرکز کیک برش بزنید، در واقع شعاع رسم می‌کنید. برای داشتن قطعات کاملاً مساوی، باید زاویه مرکزی بین هر دو برش متوالی برابر باشد (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{360}{8}=45$\u003C\u002Fspan> درجه). وقتی زاویه‌های مرکزی برابر باشند، کمان‌های لبه کیک برابر می‌شوند. حال سؤال: اگر به جای اندازه‌گیری زاویه، فقط طول خط مستقیم لبه‌ی بیرونی هر تکه کیک (که یک وتر است!) را اندازه بگیریم، آیا این طول‌ها باهم برابرند؟ پاسخ مثبت است! زیرا کمان‌های مساوی، وترهای مساوی به وجود می‌آورند. پس می‌توان با اطمینان گفت اگر طول خط راست لبه همه‌ی تکه‌ها یکی باشد، سهم همه از کیک مساوی است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>فرمول محاسبه طول وتر:\u003C\u002Fstrong> اگر اندازه زاویه مرکزی روبروی وتر $ \\theta $ (بر حسب درجه) و شعاع دایره $ r $ باشد، طول وتر $ c $ از رابطه زیر به دست می‌آید:\r\n\r\n\u003Cp style=\"text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ c = 2r \\times \\sin\\left(\\frac{\\theta}{2}\\right) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\nاین فرمول رابطه مستقیم بین اندازه کمان (از طریق $\\theta$) و طول وتر را به زیبایی نشان می‌دهد. اگر $\\theta$ برابر باشد، $c$ نیز برابر خواهد بود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مروری بر حالت‌های خاص و نکات مهم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>درک چند حالت خاص به تسلط بر موضوع کمک می‌کند:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول حالت های خاص وتر و کمان\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شرح حالت\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نتیجه برای وتر\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نتیجه برای کمان\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">توضیح\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">وتر، \u003Cstrong>قطر\u003C\u002Fstrong> دایره باشد.\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">بزرگترین وتر ممکن ($c=2r$)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">کمان‌های نظیر هر دو نیم‌دایره ($180^\\circ$)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">این حالت خاص، نمونه‌ای از رابطه کلی است: همه‌ی قطرها با هم برابرند و همه‌ی نیم‌دایره‌ها نیز با هم برابرند.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">دو وتر در \u003Cstrong>دو دایره متفاوت\u003C\u002Fstrong> مساوی باشند.\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">$AB = CD$\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">کمان‌ها لزوماً مساوی \u003Cstrong>نیستند\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #fee2e2; border-radius: 999px; color: #991b1b; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">هشدار\u003C\u002Fstrong> قضیه فقط وقتی دو وتر در یک دایره یا دو دایره هم‌شعاع باشند، برقرار است. یک وتر کوتاه در دایره‌ای بزرگ، می‌تواند با یک وتر کوتاه در دایره‌ای کوچک مساوی باشد، اما کمان مقابل آن‌ها متفاوت است.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">فاصله وتر از مرکز دایره مساوی باشد.\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">وترها مساویند.\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">کمان‌ها مساویند.\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">این یک قضیه‌ی مرتبط دیگر است: وترهای هم‌فاصله از مرکز دایره، با هم برابرند. پس کمان مقابل آن‌ها نیز برابر خواهد بود.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سؤال ۱:\u003C\u002Fstrong> آیا می‌توان گفت «هرچه وتر بلندتر باشد، کمان مقابل آن نیز بزرگتر است»؟ این جمله همیشه درست است؟\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 8px; padding-bottom: 12px\">\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله، در یک دایره‌ی مشخص این جمله درست است. چون اگر وتری بلندتر باشد، زاویه مرکزی مقابل آن بزرگتر است (از فرمول سینوس هم می‌توان فهمید) و در نتیجه کمان (اندازه زاویه‌ای) بزرگتری دارد. اما مقایسه بین دو دایره‌ی ناهمسان بی‌معنی است. یک وتر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">10\u003C\u002Fspan> سانتی‌متری در دایره‌ای غول‌آسا، کمان بسیار کوچکی دارد، در حالی که همان وتر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">10\u003C\u002Fspan> سانتی‌متری در دایره‌ای کوچک، کمان بسیار بزرگی را مشخص می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سؤال ۲:\u003C\u002Fstrong> گاهی اوقات دو وتر مساوی در یک دایره، در نگاه اول کمان‌هایی با طول ظاهری متفاوت ایجاد می‌کنند. چرا؟\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 8px; padding-bottom: 12px\">\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> آنچه ما به عنوان «طول» کمان می‌بینیم، در واقع \u003Cstrong>طول منحنی\u003C\u002Fstrong> است که با فرمول $ L = \\frac{\\theta}{360} \\times 2\\pi r $ محاسبه می‌شود. در حالی که در این قضیه، منظور از برابری کمان‌ها، برابری \u003Cem>اندازه‌ی زاویه‌ای\u003C\u002Fem> ($\\theta$) آن‌هاست. دو کمان با زاویه مرکزی مساوی (مثلاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">60\u003C\u002Fspan> درجه)، در هر جای دایره که باشند، طول منحنی یکسانی دارند \u003Cem>فقط اگر شعاع یکسان باشد\u003C\u002Fem>. پس در یک دایره، وترهای مساوی → زوایای مرکزی مساوی → طول منحنی کمان‌های مساوی.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سؤال ۳:\u003C\u002Fstrong> آیا می‌توان از این قضیه برای محاسبه‌ی طول وتر یا زاویه‌ی مجهول استفاده کرد؟\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 8px; padding-bottom: 12px\">\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> قطعاً. این قضیه یک ابزار قدرتمند برای حل مسائل هندسی است. مثلاً اگر در مسئله‌ای بدانیم دو وتر برابرند، بلافاصله می‌توانیم نتیجه بگیریم که زوایای مرکزی و کمان‌های مقابل آن‌ها برابر است. این برابری می‌تواند به ما در پیدا کردن زوایا یا اضلاع مجهول در مثلث‌های متشکل از شعاع‌ها و وترها کمک کند. همچنین با استفاده از فرمول طول وتر ($c = 2r \\sin(\\theta\u002F2)$)، اگر دو تا از سه مقدار $c$، $r$، $\\theta$ را داشته باشیم، سومی را می‌توان پیدا کرد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> در این مقاله آموختیم که در دنیای منظم دایره، یک هماهنگی زیبا بین بخش‌های مستقیم (وترها) و بخش‌های خمیده (کمان‌ها) وجود دارد. قضیه‌ی اصلی به ما می‌گوید \u003Cstrong>برابری وترها مستلزم برابری کمان‌ها و بالعکس است\u003C\u002Fstrong>. این رابطه از طریق برابری مثلث‌های متساوی‌الساقین تشکیل شده توسط شعاع‌ها قابل اثبات است. با درک این مفهوم و توجه به محدوده‌ی کاربرد آن (فقط در یک دایره یا دایره‌های هم‌شعاع)، می‌توانیم هم در حل مسائل هندسی موفق باشیم و هم پدیده‌های اطراف خود، از چرخ ماشین تا برش پیتزا، را بهتر تحلیل کنیم. این مبحث سکوی پرشی برای ورود به مباحث پیشرفته‌تری مثل روابط مثلثاتی در دایره و قضیه‌ی کسینوس‌ها است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 20px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 20px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>۱\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>وتر\u003C\u002Fstrong> (Chord): پاره‌خطی که دو نقطه روی محیط یک منحنی (معمولاً دایره) را به هم وصل کند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>۲\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>کمان\u003C\u002Fstrong> (Arc): بخشی از محیط یک منحنی بسته، مانند دایره.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>۳\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>روابط مثلثاتی\u003C\u002Fstrong> (Trigonometric Relations): روابط بین زوایا و اضلاع مثلث، که اغلب با توابع سینوس، کسینوس و تانژانت بیان می‌شوند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>۴\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>زاویه مرکزی\u003C\u002Fstrong> (Central Angle): زاویه‌ای که رأس آن در مرکز دایره قرار دارد.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>۵\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>حالت ضلع-ضلع-ضلع\u003C\u002Fstrong> (SSS): یکی از حالات تساوی دو مثلث؛ اگر سه ضلع یک مثلث با سه ضلع مثلث دیگر برابر باشد، آن دو مثلث برابرند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>۶\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>حالت ضلع-زاویه-ضلع\u003C\u002Fstrong> (SAS): یکی از حالات تساوی دو مثلث؛ اگر دو ضلع و زاویه بین آن‌ها در یک مثلث، با دو ضلع و زاویه بین آن‌ها در مثلث دیگر برابر باشد، آن دو مثلث برابرند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 20px\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">هندسه دایره\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">وتر و کمان\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">قضایای دایره\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">مثلثات پایه\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">زاویه مرکزی\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[15,16,17],"پایهٔ یازدهم","هندسه یازدهم","برابری وترها و کمان‌ها",0,1,260,"2026-01-04 17:19:39","2026-08-30 13:22:36","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1404\u002F10\u002F14","13:22 1405\u002F06\u002F8",{"status":19,"data":29},[30,69,129,147,167],{"id":19,"title":31,"list_order":19,"items":32},"آشنایی",[33,38,42,46,53,57,61,65],{"id":34,"link":35,"type":36,"slug":12,"title":37},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content","قوانین و مقررات",{"id":39,"link":40,"type":36,"slug":12,"title":41},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":43,"link":44,"type":36,"slug":12,"title":45},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":47,"link":48,"type":49,"slug":50,"handler":51,"title":52},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":54,"link":55,"type":36,"slug":12,"title":56},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":58,"link":59,"type":36,"slug":12,"title":60},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":62,"link":63,"type":36,"slug":12,"title":64},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":66,"link":67,"type":36,"slug":12,"title":68},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":70,"title":71,"list_order":19,"items":72},2,"المپیادها",[73,77,81,85,89,93,97,101,105,109,113,117,121,125],{"id":74,"link":75,"type":36,"slug":12,"title":76},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":78,"link":79,"type":36,"slug":12,"title":80},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":82,"link":83,"type":36,"slug":12,"title":84},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":86,"link":87,"type":36,"slug":12,"title":88},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":90,"link":91,"type":36,"slug":12,"title":92},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":94,"link":95,"type":36,"slug":12,"title":96},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":98,"link":99,"type":36,"slug":12,"title":100},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":102,"link":103,"type":36,"slug":12,"title":104},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":106,"link":107,"type":36,"slug":12,"title":108},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":110,"link":111,"type":36,"slug":12,"title":112},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":114,"link":115,"type":36,"slug":12,"title":116},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":118,"link":119,"type":36,"slug":12,"title":120},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":122,"link":123,"type":36,"slug":12,"title":124},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":126,"link":127,"type":36,"slug":12,"title":128},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":130,"title":131,"list_order":19,"items":132},3,"نمونه و تیزهوشان",[133,137,142],{"id":134,"link":135,"type":36,"slug":12,"title":136},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":138,"link":139,"type":49,"slug":140,"handler":140,"title":141},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":143,"link":144,"type":49,"slug":145,"handler":145,"title":146},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":148,"title":149,"list_order":19,"items":150},7,"کتابهای درسی",[151,155,159,163],{"id":152,"link":153,"type":36,"slug":12,"title":154},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":156,"link":157,"type":36,"slug":12,"title":158},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":160,"link":161,"type":36,"slug":12,"title":162},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":164,"link":165,"type":36,"slug":12,"title":166},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":34,"title":168,"list_order":34,"items":169},"پیشنهاد ویژه",[170,175,180,185,190,195,200,203,207,211],{"id":171,"link":172,"type":49,"slug":173,"handler":173,"title":174},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":176,"link":177,"type":49,"slug":178,"handler":178,"title":179},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":181,"link":182,"type":49,"slug":183,"handler":183,"title":184},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":186,"link":187,"type":49,"slug":188,"handler":188,"title":189},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":191,"link":192,"type":49,"slug":193,"handler":193,"title":194},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":196,"link":197,"type":36,"slug":198,"title":199},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":5,"link":201,"type":36,"slug":12,"title":202},"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":204,"link":205,"type":36,"slug":12,"title":206},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":208,"link":209,"type":36,"slug":12,"title":210},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":212,"link":213,"type":36,"slug":12,"title":214},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,281,289,297,305,313],{"id":224,"title":225,"cat":10,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":25,"update_jalali":231},9564,"وتر دایره: پاره‌خطی که دو سر آن روی دایره قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZd3oBAQGaunded8TBN6u_200.png","2026-09-01 13:21:01","وتر-دایره-پارهخطی-که-دو-سر-آن-روی-دایره-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9564\u002Fوتر-دایره-پارهخطی-که-دو-سر-آن-روی-دایره-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9564\u002Fوتر-دایره-پارهخطی-که-دو-سر-آن-روی-دایره-قرار-دارد","1405\u002F06\u002F10",{"id":233,"title":234,"cat":10,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":25,"update_jalali":231},9566,"اوضاع نسبی خط و دایره: حالت‌های ممکنِ اشتراک خط و دایره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7XuCcNUoUaoFl3mBzCaf_200.png","2026-09-01 13:20:03","اوضاع-نسبی-خط-و-دایره-حالتهای-ممکن-اشتراک-خط-و-دایره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9566\u002Fاوضاع-نسبی-خط-و-دایره-حالتهای-ممکن-اشتراک-خط-و-دایره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9566\u002Fاوضاع-نسبی-خط-و-دایره-حالتهای-ممکن-اشتراک-خط-و-دایره",{"id":241,"title":242,"cat":10,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":25,"update_jalali":231},9568,"خط مماس بر دایره: خطی که فقط در یک نقطه با دایره مشترک است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fq1qaJ33JnDEtUVaJD2B2_200.png","2026-09-01 13:16:32","خط-مماس-بر-دایره-خطی-که-فقط-در-یک-نقطه-با-دایره-مشترک-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9568\u002Fخط-مماس-بر-دایره-خطی-که-فقط-در-یک-نقطه-با-دایره-مشترک-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9568\u002Fخط-مماس-بر-دایره-خطی-که-فقط-در-یک-نقطه-با-دایره-مشترک-است",{"id":249,"title":250,"cat":10,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":25,"update_jalali":231},9570,"نقطهٔ تماس: نقطه‌ای که خط مماس دایره را لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F82EAq0IUwqmF7rGzDAq9_200.png","2026-09-01 13:14:33","نقطه-تماس-نقطهای-که-خط-مماس-دایره-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9570\u002Fنقطه-تماس-نقطهای-که-خط-مماس-دایره-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9570\u002Fنقطه-تماس-نقطهای-که-خط-مماس-دایره-را-لمس-میکند",{"id":257,"title":258,"cat":10,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":25,"update_jalali":231},9572,"خط قاطع دایره: خطی که دایره را در دو نقطه قطع می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJJOEWlIoVv5sbHk0mVHC_200.png","2026-09-01 13:12:23","خط-قاطع-دایره-خطی-که-دایره-را-در-دو-نقطه-قطع-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9572\u002Fخط-قاطع-دایره-خطی-که-دایره-را-در-دو-نقطه-قطع-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9572\u002Fخط-قاطع-دایره-خطی-که-دایره-را-در-دو-نقطه-قطع-میکند",{"id":265,"title":266,"cat":10,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":25,"update_jalali":231},9574,"قضیهٔ مماس و شعاع: خط مماس در نقطهٔ تماس بر شعاع عمود است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMAwzylrobi3hvtwbkgAR_200.png","2026-09-01 13:10:13","قضیه-مماس-و-شعاع-خط-مماس-در-نقطه-تماس-بر-شعاع-عمود-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9574\u002Fقضیه-مماس-و-شعاع-خط-مماس-در-نقطه-تماس-بر-شعاع-عمود-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9574\u002Fقضیه-مماس-و-شعاع-خط-مماس-در-نقطه-تماس-بر-شعاع-عمود-است",{"id":273,"title":274,"cat":10,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":25,"update_jalali":280},9576,"رسم مماس از نقطهٔ خارج دایره: روش رسم مماس با استفاده از دایرهٔ کمکی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FhAu7EwTIGhHFX5hB1m2A_200.png","2026-08-30 13:58:59","رسم-مماس-از-نقطه-خارج-دایره-روش-رسم-مماس-با-استفاده-از-دایره-کمکی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9576\u002Fرسم-مماس-از-نقطه-خارج-دایره-روش-رسم-مماس-با-استفاده-از-دایره-کمکی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9576\u002Fرسم-مماس-از-نقطه-خارج-دایره-روش-رسم-مماس-با-استفاده-از-دایره-کمکی","1405\u002F06\u002F8",{"id":282,"title":283,"cat":10,"pic":284,"up_date":285,"title_url":286,"url":287,"legacy_url":288,"cat_title":25,"update_jalali":280},9578,"اندازهٔ کمان: برابر اندازهٔ زاویهٔ مرکزی مقابل آن کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FW21URDjxf3ms60wh0kQG_200.png","2026-08-30 13:57:30","اندازه-کمان-برابر-اندازه-زاویه-مرکزی-مقابل-آن-کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9578\u002Fاندازه-کمان-برابر-اندازه-زاویه-مرکزی-مقابل-آن-کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9578\u002Fاندازه-کمان-برابر-اندازه-زاویه-مرکزی-مقابل-آن-کمان",{"id":290,"title":291,"cat":10,"pic":292,"up_date":293,"title_url":294,"url":295,"legacy_url":296,"cat_title":25,"update_jalali":280},9580,"طول کمان: کسری از محیط دایره متناسب با اندازهٔ کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F3nhAR39YfswOAzsyWYVI_200.png","2026-08-30 13:55:45","طول-کمان-کسری-از-محیط-دایره-متناسب-با-اندازه-کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9580\u002Fطول-کمان-کسری-از-محیط-دایره-متناسب-با-اندازه-کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9580\u002Fطول-کمان-کسری-از-محیط-دایره-متناسب-با-اندازه-کمان",{"id":298,"title":299,"cat":10,"pic":300,"up_date":301,"title_url":302,"url":303,"legacy_url":304,"cat_title":25,"update_jalali":280},9581,"قضیهٔ زاویهٔ محاطی: زاویهٔ محاطی نصف کمان مقابل است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgMVDCh5DYAl96HFOa21J_200.png","2026-08-30 13:52:33","قضیه-زاویه-محاطی-زاویه-محاطی-نصف-کمان-مقابل-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9581\u002Fقضیه-زاویه-محاطی-زاویه-محاطی-نصف-کمان-مقابل-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9581\u002Fقضیه-زاویه-محاطی-زاویه-محاطی-نصف-کمان-مقابل-است",{"id":306,"title":307,"cat":10,"pic":308,"up_date":309,"title_url":310,"url":311,"legacy_url":312,"cat_title":25,"update_jalali":280},9612,"زاویه با رأس بیرون دایره: نصف تفاضل کمان‌ها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FBPJfAmCPGC8WzUDeooJD_200.png","2026-08-30 13:47:38","زاویه-با-رأس-بیرون-دایره-نصف-تفاضل-کمانها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9612\u002Fزاویه-با-رأس-بیرون-دایره-نصف-تفاضل-کمانها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9612\u002Fزاویه-با-رأس-بیرون-دایره-نصف-تفاضل-کمانها",{"id":314,"title":315,"cat":10,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":25,"update_jalali":280},9614,"زاویه با رأس درون دایره: نصف مجموع کمان‌ها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FoYDmtpbhKPkAnxj8Ep0Q_200.png","2026-08-30 13:45:39","زاویه-با-رأس-درون-دایره-نصف-مجموع-کمانها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9614\u002Fزاویه-با-رأس-درون-دایره-نصف-مجموع-کمانها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9614\u002Fزاویه-با-رأس-درون-دایره-نصف-مجموع-کمانها"]