[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-9576":193,"$f60qH7DWVdiIjJfoz5z-7aeIu8tyIiWk0Oh94BrqoQNQ":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},9576,1169,1171,3859,"رسم مماس از نقطهٔ خارج دایره: روش رسم مماس با استفاده از دایرهٔ کمکی",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FhAu7EwTIGhHFX5hB1m2A_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"مقاله آموزشی رسم مماس از نقطه خارج دایره با دایره کمکی\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">رسم مماس از نقطه خارج دایره: به کمک دایره کمکی\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">یک روش هندسی ساده و کاربردی برای کشیدن خطی که تنها در یک نقطه به دایره می‌رسد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>خلاصه:\u003C\u002Fstrong> در این مقاله با یک روش دقیق هندسی برای کشیدن خطوط مماس\u003Cspan style=\"font-size: 0.75em; vertical-align: super\">[1]\u003C\u002Fspan> از یک نقطه‌ی خارج دایره آشنا می‌شویم. روش «دایره‌ی کمکی» بر اساس قضیه‌ی تالس کار می‌کند و مراحل گام‌به‌گام و ساده‌ای دارد. این روش نه‌تنها در حل مسائل ریاضی، بلکه در طراحی و دنیای اطراف ما مانند طراحی مسیر حرکت چرخ‌ها نیز کاربرد عملی دارد. در ادامه، اصول کلی، مراحل اجرا، مثال‌های ملموس و اشتباهات رایج بررسی خواهد شد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">اصول اولیه: مماس چیست و چرا به دایره کمکی نیاز داریم؟\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>یک خط مماس\u003Cspan style=\"font-size: 0.75em; vertical-align: super\">[1]\u003C\u002Fspan> بر یک دایره، خطی است که دقیقاً در یک نقطه به دایره برخورد می‌کند. اگر از مرکز دایره به آن نقطه‌ی تماس\u003Cspan style=\"font-size: 0.75em; vertical-align: super\">[2]\u003C\u002Fspan> خطی رسم کنیم، این خط عمود\u003Cspan style=\"font-size: 0.75em; vertical-align: super\">[3]\u003C\u002Fspan> بر خط مماس خواهد بود. این مهم‌ترین ویژگی خط مماس است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>حالا فرض کنید یک دایره داریم و یک نقطه‌ی \u003Cstrong>P\u003C\u002Fstrong> در بیرون آن. از این نقطه می‌توان دو خط مماس بر دایره رسم کرد. سؤال اصلی این است: این خط‌ها را چگونه و با چه ابزاری می‌توان یافت؟\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکته‌ی کلیدی:\u003C\u002Fstrong> نقطه‌ی تماس خط مماس با دایره، جایی است که شعاع\u003Cspan style=\"font-size: 0.75em; vertical-align: super\">[4]\u003C\u002Fspan> دایره بر خط مماس عمود است. یعنی اگر نقطه‌ی تماس را \u003Cstrong>T\u003C\u002Fstrong> و مرکز دایره را \u003Cstrong>O\u003C\u002Fstrong> بنامیم، همیشه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ OT \\perp PT $\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>اینجاست که \u003Cstrong>دایره‌ی کمکی\u003C\u002Fstrong> به کمک ما می‌آید. ایده این است: اگر پاره‌خط \u003Cstrong>OP\u003C\u002Fstrong> را به عنوان قطر یک دایره‌ی جدید در نظر بگیریم، هر نقطه از محیط این دایره‌ی جدید (مثل \u003Cstrong>T\u003C\u002Fstrong>) را به نقاط \u003Cstrong>O\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>P\u003C\u002Fstrong> وصل کنیم، زاویه‌ی \u003Cstrong>OTP\u003C\u002Fstrong> همیشه قائمه خواهد بود (طبق قضیه‌ی تالس\u003Cspan style=\"font-size: 0.75em; vertical-align: super\">[5]\u003C\u002Fspan>). حالا اگر نقطه‌ی \u003Cstrong>T\u003C\u002Fstrong> دقیقاً روی دایره اصلی ما هم باشد، آنوقت خط \u003Cstrong>PT\u003C\u002Fstrong> دقیقاً همان خط مماس مطلوب ماست! زیرا شرط عمود بودن شعاع بر خط را برقرار می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مراحل گام‌به‌گام رسم مماس با روش دایره کمکی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای درک بهتر، این مراحل را با دقت و به ترتیب انجام دهید. تنها ابزار مورد نیاز، پرگار و خط‌کش است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول مراحل رسم مماس\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">گام\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">عمل\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">توضیح و نکته\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">شناسایی دایره اصلی و نقطه خارجی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">دایره‌ای با مرکز \u003Cstrong>O\u003C\u002Fstrong> و نقطه‌ی خارج از آن به نام \u003Cstrong>P\u003C\u002Fstrong> را مشخص کنید.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">رسم پاره خط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\overline{OP} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مرکز دایره را به نقطه خارجی با خط‌کش وصل کنید.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">یافتن وسط پاره خط (نقطه \u003Cstrong>M\u003C\u002Fstrong>)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">با استفاده از روش نیم‌ساز عمود یا اندازه‌گیری، وسط \u003Cstrong>OP\u003C\u002Fstrong> را پیدا و آن را \u003Cstrong>M\u003C\u002Fstrong> نام‌گذاری کنید.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">رسم دایره کمکی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">پرگار را روی نقطه \u003Cstrong>M\u003C\u002Fstrong> قرار داده و به اندازه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\overline{MO} $\u003C\u002Fspan> (یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\overline{MP} $\u003C\u002Fspan>) شعاع دهید و دایره‌ای جدید بکشید. این دایره از \u003Cstrong>O\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>P\u003C\u002Fstrong> می‌گذرد و \u003Cstrong>OP\u003C\u002Fstrong> قطر آن است.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">5\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">تعیین نقاط تلاقی (نقاط تماس)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">دایره کمکی در دو نقطه، دایره اصلی را قطع می‌کند. این نقاط را \u003Cstrong>T\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>T\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fstrong> بنامید. این‌ها همان نقاط تماس مماس‌ها با دایره اصلی هستند.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">6\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">رسم خطوط مماس نهایی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">خط‌کش را روی نقطه \u003Cstrong>P\u003C\u002Fstrong> و نقطه \u003Cstrong>T\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fstrong> قرار دهید و خط بکشید. سپس همین کار را برای \u003Cstrong>P\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>T\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fstrong> تکرار کنید. خطوط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ PT_1 $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ PT_2 $\u003C\u002Fspan> دو مماس مطلوب هستند.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>به دلیل قضیه تالس، در دایره‌ای که \u003Cstrong>OP\u003C\u002Fstrong> قطر آن است، زاویه‌ی رأس \u003Cstrong>T\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fstrong> (یا \u003Cstrong>T\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fstrong>) که روبروی این قطر قرار گرفته، قائمه است. پس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ OT_1 \\perp PT_1 $\u003C\u002Fspan> برقرار است و شرط مماس بودن تأمین می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربردهای عملی در دنیای اطراف ما\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>شاید فکر کنید رسم مماس فقط یک تمرین هندسی است، اما کاربردهای آن را می‌توان در زندگی روزمره دید. برای مثال، یک دوچرخه‌سوار را در نظر بگیرید که می‌خواهد از یک مسیر مستقیم به یک مسیر دایره‌وار (مثل یک پیچ جاده یا یک میدان) وارد شود. بهترین و نرم‌ترین مسیر ورود، در امتداد یک خط \u003Cstrong>مماس\u003C\u002Fstrong> بر آن دایره است. این کار از ترمزگیری ناگهانی و تغییر جهت شدید جلوگیری می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>در طراحی مسیرهای ریلی یا اتوبان‌ها نیز برای اتصال یک خط مستقیم به یک قوس دایره‌ای، از منحنی‌هایی استفاده می‌شود که در نقطه‌ی اتصال، \u003Cstrong>مماس\u003C\u002Fstrong> بر هر دو بخش هستند تا وسیله‌ی نقلیه با کمترین ضربه و بیشترین ایمنی تغییر مسیر دهد. حتی در طراحی چرخ‌دنده‌ها، فرم دندانه‌ها طوری است که در نقطه‌ی تماس، بر دایره‌ی گام\u003Cspan style=\"font-size: 0.75em; vertical-align: super\">[6]\u003C\u002Fspan> یکدیگر مماس باشند تا انتقال نیرو به نرمی انجام شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>مثال ملموس:\u003C\u002Fstrong> فرض کنید با یک طناب (به عنوان شعاع) به یک دیرک در مرکز زمین بازی (دایره) بسته شده‌اید. اگر دوست شما در نقطه‌ای خارج این دایره بایستد و بخواهد طنابی را مستقیماً و در حالت کشیده به شما برساند، تنها دو حالت وجود دارد که طناب او دقیقاً لبه‌ی دایره‌ی محدودکننده‌ی شما را لمس کند. این دو حالت، همان خطوط مماس هستند. هر جهت دیگر یا از دایره عبور می‌کند (با شما برخورد می‌کند) یا به آن نمی‌رسد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال ۱:\u003C\u002Fstrong> آیا نقطه \u003Cstrong>P\u003C\u002Fstrong> حتماً باید خارج دایره باشد؟ اگر داخل یا روی دایره باشد چه؟\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله، شرط اصلی این روش \u003Cstrong>خارج\u003C\u002Fstrong> بودن نقطه \u003Cstrong>P\u003C\u002Fstrong> از دایره است. اگر نقطه روی دایره باشد، فقط یک مماس وجود دارد که رسم آن ساده‌تر است (شعاع را در آن نقطه عمود می‌کنیم). اگر نقطه داخل دایره باشد، هیچ خط مماسی از آن نقطه به دایره نمی‌توان رسم کرد. خطی که از یک نقطه داخل دایره بگذرد، حتماً دایره را در دو نقطه قطع می‌کند (وتر\u003Cspan style=\"font-size: 0.75em; vertical-align: super\">[7]\u003C\u002Fspan> است).\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال ۲:\u003C\u002Fstrong> اگر دایره کمکی، دایره اصلی را قطع نکرد چه اتفاقی می‌افتد؟\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> این اتفاق تنها در یک حالت می‌افتد: وقتی فاصله‌ی نقطه \u003Cstrong>P\u003C\u002Fstrong> از مرکز دایره \u003Cstrong>O\u003C\u002Fstrong> آنقدر زیاد باشد که دایره‌ی به قطر \u003Cstrong>OP\u003C\u002Fstrong> اصلاً با دایره اصلی برخوردی نداشته باشد. در این صورت از نقطه \u003Cstrong>P\u003C\u002Fstrong> بر دایره اصلی \u003Cstrong>مماس خارجی\u003C\u002Fstrong> وجود ندارد (هر خط از \u003Cstrong>P\u003C\u002Fstrong> دایره را در دو نقطه قطع می‌کند). در واقع، دایره کمکی باید دایره اصلی را قطع کند تا نقاط تماس \u003Cstrong>T\u003C\u002Fstrong> به دست آیند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال ۳:\u003C\u002Fstrong> چرا وسط پاره خط \u003Cstrong>OP\u003C\u002Fstrong> را به عنوان مرکز دایره کمکی در نظر می‌گیریم؟\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> زیرا در هندسه، مرکز هر دایره‌ای، وسط هر قطر آن است. ما می‌خواهیم دایره‌ای داشته باشیم که پاره خط \u003Cstrong>OP\u003C\u002Fstrong> قطر آن باشد. پس ناچاریم وسط این پاره خط را به عنوان مرکز دایره جدید انتخاب کنیم تا فاصله‌ی آن تا نقاط \u003Cstrong>O\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>P\u003C\u002Fstrong> برابر (شعاع) باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> روش رسم مماس با استفاده از دایره کمکی، یک روش مبتنی بر اصول هندسی محکم (قضیه تالس و تعریف مماس) است. این روش مراحل مشخص و قابل اجرایی دارد که با پرگار و خط‌کش قابل انجام است. درک این روش نه‌تنها توانایی شما در هندسه را افزایش می‌دهد، بلکه دریچه‌ای به روی دیدن کاربردهای ریاضیات در طراحی و مهندسی دنیای اطراف می‌گشاید. همیشه به یاد داشته باشید که شرط کلیدی برای موفقیت این روش، \u003Cstrong>خارجی بودن نقطه\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>قطع شدن دو دایره\u003C\u002Fstrong> است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>[1] مماس (Tangent):\u003C\u002Fstrong> خطی که در یک نقطه یک منحنی (مانند دایره) را لمس می‌کند، بدون آن که از آن بگذرد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>[2] نقطه تماس (Point of Tangency):\u003C\u002Fstrong> نقطه‌ای که خط مماس و منحنی (دایره) در آن با هم تماس دارند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>[3] عمود (Perpendicular):\u003C\u002Fstrong> دو خط که با هم زاویه ۹۰ درجه (قائمه) می‌سازند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>[4] شعاع (Radius):\u003C\u002Fstrong> پاره‌خطی که مرکز دایره را به یک نقطه روی محیط آن وصل می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>[5] قضیه تالس (Thales' Theorem):\u003C\u002Fstrong> در یک دایره، اگر یک ضلع مثلث، قطر دایره باشد، آنگاه زاویه مقابل آن ضلع، زاویه‌ی قائمه است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>[6] دایره گام (Pitch Circle):\u003C\u002Fstrong> در چرخ‌دنده، دایره‌ای فرضی که چرخ‌دنده‌ها گویی بر روی آن می‌غلتد و نقطه‌ی تماس دندانه‌ها روی آن است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>[7] وتر (Chord):\u003C\u002Fstrong> پاره‌خطی که دو نقطه روی محیط دایره را به هم وصل کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 20px\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">هندسه\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">خط مماس\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">دایره کمکی\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">قضیه تالس\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">ترسیم‌های هندسی\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ یازدهم","هندسه یازدهم","رسم مماس از نقطهٔ خارج دایره",0,540,"2026-01-04 14:25:21","2026-08-30 13:58:59","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1404\u002F10\u002F14","13:58 1405\u002F06\u002F8",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,281,289,297,305,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},9564,"وتر دایره: پاره‌خطی که دو سر آن روی دایره قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZd3oBAQGaunded8TBN6u_200.png","2026-09-01 13:21:01","وتر-دایره-پارهخطی-که-دو-سر-آن-روی-دایره-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9564\u002Fوتر-دایره-پارهخطی-که-دو-سر-آن-روی-دایره-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9564\u002Fوتر-دایره-پارهخطی-که-دو-سر-آن-روی-دایره-قرار-دارد","1405\u002F06\u002F10",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},9566,"اوضاع نسبی خط و دایره: حالت‌های ممکنِ اشتراک خط و دایره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7XuCcNUoUaoFl3mBzCaf_200.png","2026-09-01 13:20:03","اوضاع-نسبی-خط-و-دایره-حالتهای-ممکن-اشتراک-خط-و-دایره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9566\u002Fاوضاع-نسبی-خط-و-دایره-حالتهای-ممکن-اشتراک-خط-و-دایره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9566\u002Fاوضاع-نسبی-خط-و-دایره-حالتهای-ممکن-اشتراک-خط-و-دایره",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},9568,"خط مماس بر دایره: خطی که فقط در یک نقطه با دایره مشترک است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fq1qaJ33JnDEtUVaJD2B2_200.png","2026-09-01 13:16:32","خط-مماس-بر-دایره-خطی-که-فقط-در-یک-نقطه-با-دایره-مشترک-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9568\u002Fخط-مماس-بر-دایره-خطی-که-فقط-در-یک-نقطه-با-دایره-مشترک-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9568\u002Fخط-مماس-بر-دایره-خطی-که-فقط-در-یک-نقطه-با-دایره-مشترک-است",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},9570,"نقطهٔ تماس: نقطه‌ای که خط مماس دایره را لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F82EAq0IUwqmF7rGzDAq9_200.png","2026-09-01 13:14:33","نقطه-تماس-نقطهای-که-خط-مماس-دایره-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9570\u002Fنقطه-تماس-نقطهای-که-خط-مماس-دایره-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9570\u002Fنقطه-تماس-نقطهای-که-خط-مماس-دایره-را-لمس-میکند",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},9572,"خط قاطع دایره: خطی که دایره را در دو نقطه قطع می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJJOEWlIoVv5sbHk0mVHC_200.png","2026-09-01 13:12:23","خط-قاطع-دایره-خطی-که-دایره-را-در-دو-نقطه-قطع-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9572\u002Fخط-قاطع-دایره-خطی-که-دایره-را-در-دو-نقطه-قطع-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9572\u002Fخط-قاطع-دایره-خطی-که-دایره-را-در-دو-نقطه-قطع-میکند",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},9574,"قضیهٔ مماس و شعاع: خط مماس در نقطهٔ تماس بر شعاع عمود است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMAwzylrobi3hvtwbkgAR_200.png","2026-09-01 13:10:13","قضیه-مماس-و-شعاع-خط-مماس-در-نقطه-تماس-بر-شعاع-عمود-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9574\u002Fقضیه-مماس-و-شعاع-خط-مماس-در-نقطه-تماس-بر-شعاع-عمود-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9574\u002Fقضیه-مماس-و-شعاع-خط-مماس-در-نقطه-تماس-بر-شعاع-عمود-است",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":280},9578,"اندازهٔ کمان: برابر اندازهٔ زاویهٔ مرکزی مقابل آن کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FW21URDjxf3ms60wh0kQG_200.png","2026-08-30 13:57:30","اندازه-کمان-برابر-اندازه-زاویه-مرکزی-مقابل-آن-کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9578\u002Fاندازه-کمان-برابر-اندازه-زاویه-مرکزی-مقابل-آن-کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9578\u002Fاندازه-کمان-برابر-اندازه-زاویه-مرکزی-مقابل-آن-کمان","1405\u002F06\u002F8",{"id":282,"title":283,"cat":199,"pic":284,"up_date":285,"title_url":286,"url":287,"legacy_url":288,"cat_title":212,"update_jalali":280},9580,"طول کمان: کسری از محیط دایره متناسب با اندازهٔ کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F3nhAR39YfswOAzsyWYVI_200.png","2026-08-30 13:55:45","طول-کمان-کسری-از-محیط-دایره-متناسب-با-اندازه-کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9580\u002Fطول-کمان-کسری-از-محیط-دایره-متناسب-با-اندازه-کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9580\u002Fطول-کمان-کسری-از-محیط-دایره-متناسب-با-اندازه-کمان",{"id":290,"title":291,"cat":199,"pic":292,"up_date":293,"title_url":294,"url":295,"legacy_url":296,"cat_title":212,"update_jalali":280},9581,"قضیهٔ زاویهٔ محاطی: زاویهٔ محاطی نصف کمان مقابل است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgMVDCh5DYAl96HFOa21J_200.png","2026-08-30 13:52:33","قضیه-زاویه-محاطی-زاویه-محاطی-نصف-کمان-مقابل-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9581\u002Fقضیه-زاویه-محاطی-زاویه-محاطی-نصف-کمان-مقابل-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9581\u002Fقضیه-زاویه-محاطی-زاویه-محاطی-نصف-کمان-مقابل-است",{"id":298,"title":299,"cat":199,"pic":300,"up_date":301,"title_url":302,"url":303,"legacy_url":304,"cat_title":212,"update_jalali":280},9612,"زاویه با رأس بیرون دایره: نصف تفاضل کمان‌ها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FBPJfAmCPGC8WzUDeooJD_200.png","2026-08-30 13:47:38","زاویه-با-رأس-بیرون-دایره-نصف-تفاضل-کمانها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9612\u002Fزاویه-با-رأس-بیرون-دایره-نصف-تفاضل-کمانها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9612\u002Fزاویه-با-رأس-بیرون-دایره-نصف-تفاضل-کمانها",{"id":306,"title":307,"cat":199,"pic":308,"up_date":309,"title_url":310,"url":311,"legacy_url":312,"cat_title":212,"update_jalali":280},9614,"زاویه با رأس درون دایره: نصف مجموع کمان‌ها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FoYDmtpbhKPkAnxj8Ep0Q_200.png","2026-08-30 13:45:39","زاویه-با-رأس-درون-دایره-نصف-مجموع-کمانها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9614\u002Fزاویه-با-رأس-درون-دایره-نصف-مجموع-کمانها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9614\u002Fزاویه-با-رأس-درون-دایره-نصف-مجموع-کمانها",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":280},9616,"قضیهٔ وترهای متقاطع: حاصل‌ضرب قطعات دو وتر برابر است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlslWWmuZFKcoYKi8hXd8_200.png","2026-08-30 13:43:44","قضیه-وترهای-متقاطع-حاصلضرب-قطعات-دو-وتر-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9616\u002Fقضیه-وترهای-متقاطع-حاصلضرب-قطعات-دو-وتر-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9616\u002Fقضیه-وترهای-متقاطع-حاصلضرب-قطعات-دو-وتر-برابر-است"]