[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-9574":193,"$fZPL9lyWzIeKmgi4jBQjJcoZ0lVQUQGzHacAWkObk6WQ":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},9574,1169,1171,3859,"قضیهٔ مماس و شعاع: خط مماس در نقطهٔ تماس بر شعاع عمود است.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMAwzylrobi3hvtwbkgAR_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"مقاله قضیه مماس و شعاع\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">قضیهٔ مماس و شعاع: درک رابطهٔ کلیدی هندسه\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">چگونه یک خط فقط در یک نقطه به دایره می‌رسد و چرا این موضوع مهم است؟\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">این مقاله به زبان ساده و با مثال‌های ملموس از محیط اطراف، قضیهٔ مهم «عمود بودن شعاع بر خط مماس در نقطهٔ تماس» را توضیح می‌دهد. شما با خواندن این مطلب، با \u003Cstrong>تعریف خط مماس\u003Csup>۱\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fstrong>، \u003Cstrong>اثبات این قضیه\u003C\u002Fstrong>، \u003Cstrong>کاربرد آن در حل مسائل\u003C\u002Fstrong> و ارتباط آن با قضیه‌هایی مثل \u003Cstrong>فیثاغورس\u003C\u002Fstrong> آشنا می‌شوید و خواهید دید که این مفهوم انتزاعی چگونه در دنیای واقعی خودنمایی می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">خط مماس چیست و چه ویژگی‌ای دارد؟\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در هندسه، خطی که یک دایره را \u003Cstrong>دقیقاً و فقط در یک نقطه\u003C\u002Fstrong> قطع کند، خط مماس بر آن دایره نامیده می‌شود. به آن نقطهٔ واحد، \u003Cstrong>«نقطهٔ تماس»\u003Csup>۲\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fstrong> می‌گویند. در مقابل، خطی که دایره را در دو نقطه قطع کند، \u003Cstrong>«قاطع»\u003Csup>۳\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fstrong> نام دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>مماس فقط در یک نقطه با دایره تماس دارد و از درون آن نمی‌گذرد. این تعریف، پایه‌ای برای مهم‌ترین ویژگی خط مماس است: \u003Cstrong>شعاع دایره (پاره‌خطی که مرکز دایره را به نقطهٔ تماس وصل می‌کند) بر خط مماس عمود است\u003C\u002Fstrong>. این گزاره، محور اصلی این مقاله است و به آن «قضیهٔ مماس و شعاع» می‌گوییم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چرا شعاع بر مماس عمود است؟ (یک استدلال ساده)\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید یک دایره با مرکز \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">O\u003C\u002Fspan> و یک خط مثل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">d\u003C\u002Fspan> داریم که در نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">A\u003C\u002Fspan> بر دایره مماس است. می‌خواهیم ثابت کنیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">OA\u003C\u002Fspan> بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">d\u003C\u002Fspan> عمود است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>اثبات به روش برهان خلف:\u003C\u002Fstrong> می‌گوییم فرض کنیم این‌طور نیست و شعاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">OA\u003C\u002Fspan> بر خط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">d\u003C\u002Fspan> عمود \u003Cstrong>نیست\u003C\u002Fstrong>. در این صورت، از نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">O\u003C\u002Fspan> می‌توانیم یک خط عمود بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">d\u003C\u002Fspan> رسم کنیم که پای عمود آن را \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">H\u003C\u002Fspan> می‌نامیم. در یک مثلث قائم‌الزاویه، وتر از هر ساقی بلندتر است. پس در مثلث فرضی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">OHA\u003C\u002Fspan> (اگر زاویهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">H\u003C\u002Fspan> قائمه باشد)، داریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$OH . اما \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">OA\u003C\u002Fspan> شعاع است. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">OH\u003C\u002Fspan> از شعاع کوچک‌تر باشد، یعنی فاصلهٔ مرکز از خط کمتر از شعاع است و طبق تعریف، در این حالت خط باید دایره را در \u003Cstrong>دو نقطه\u003C\u002Fstrong> قطع کند (یعنی یک خط قاطع باشد). این با فرض اولیهٔ ما که خط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">d\u003C\u002Fspan> یک \u003Cstrong>مماس\u003C\u002Fstrong> (و فقط با یک نقطه مشترک) بود در تناقض است. بنابراین، فرض خلف باطل است و نتیجه می‌گیریم که نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">H\u003C\u002Fspan> حتماً باید بر نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">A\u003C\u002Fspan> (نقطهٔ تماس) منطبق باشد. پس شعاع در نقطهٔ تماس بر خط مماس عمود است. \u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>این استدلال نشان می‌دهد که عمود بودن، تنها حالتی است که در آن خط دقیقاً یک و فقط یک نقطه با دایره مشترک دارد و از درون آن عبور نمی‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد قضیه در حل مسئله: مثلث قائم‌الزاویه همیشه حاضر!\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>مهم‌ترین نتیجهٔ عملی این قضیه این است: هرگاه یک شعاع را به نقطهٔ تماس یک مماس وصل کنید و یک خط از مرکز به نقطه‌ای روی مماس بکشید، یک \u003Cstrong>مثلث قائم‌الزاویه\u003C\u002Fstrong> تشکیل می‌شود. به این ترتیب، می‌توان از \u003Cstrong>قضیهٔ فیثاغورس\u003C\u002Fstrong> برای حل بسیاری از مسائل استفاده کرد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه حالت های مختلف رابطه خط و دایره\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">وضعیت خط نسبت به دایره\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعداد نقاط مشترک\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">رابطه فاصله مرکز تا خط (d) و شعاع (r)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نکته کلیدی\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong>مماس\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$d = r$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">شعاع بر خط مماس عمود است. پایهٔ اصلی این مقاله.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #f8fafc; background: #f8fafc; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong>قاطع\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #f8fafc; background: #f8fafc; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #f8fafc; background: #f8fafc; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$d \u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #f8fafc; background: #f8fafc; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">خط از درون دایره می‌گذرد.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong>بدون اشتراک\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">0\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$d > r$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">خط از دایره فاصله دارد.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال عددی:\u003C\u002Fstrong> فرض کنید از نقطه‌ای در خارج دایره، مماسی بر دایره‌ای به شعاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">5\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر رسم کرده‌ایم. اگر فاصلهٔ این نقطه تا مرکز دایره \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">13\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر باشد، طول مماس چقدر است؟\u003Cbr>\r\nحل: مطابق قضیه، شعاع (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">5\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر) در نقطهٔ تماس بر مماس عمود است. بنابراین مثلثی با اضلاع شعاع، مماس و فاصلهٔ نقطه تا مرکز، قائم‌الزاویه است. با قضیه فیثاغورس: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$(\\text{طول مماس})^2 + 5^2 = 13^2$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\nپس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$(\\text{طول مماس})^2 = 169 - 25 = 144$\u003C\u002Fspan> و در نتیجه طول مماس برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">12\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مماس در دنیای اطراف ما: از چرخ دوچرخه تا پرتاب توپ\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>شاید فکر کنید این مفهوم فقط در کتاب‌های درسی کاربرد دارد، اما مثال‌های ملموس زیادی وجود دارد:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>چرخ و زمین:\u003C\u002Fstrong> نقطه‌ای از تایر دوچرخه یا ماشین که در هر لحظه با زمین تماس دارد، یک نقطهٔ تماس است. خط زمین (که می‌تواند مماس فرض شود) بر شعاع چرخ در آن نقطه عمود است. این رابطه در طراحی و مهندسی وسایل نقلیه بسیار مهم است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>حرکت پرتابی:\u003C\u002Fstrong> اگر مسیر پرتاب یک توپ را به صورت یک قوس دایره‌ای ساده در نظر بگیریم، در هر لحظه از مسیر، جهت حرکت توپ (که بر خط مسیر مماس است) بر شعاع انحنای مسیر عمود است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>طراحی مسیرهای پیچ جاده:\u003C\u002Fstrong> مهندسان در طراحی پیچ‌های جاده، از مفهوم انحنا و خطوط مماس برای اطمینان از ایمنی و روان بودن حرکت استفاده می‌کنند.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>بازی‌های کامپیوتری و انیمیشن:\u003C\u002Fstrong> در ساخت انیمیشن یا بازی‌هایی که در آن اشیا روی سطوح منحنی حرکت می‌کنند، محاسبهٔ جهت حرکت (مماس) و برخورد (عمود) برای واقعی‌ به نظر رسیدن حرکت حیاتی است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال ۱:\u003C\u002Fstrong> آیا هر خطی که دایره را در یک نقطه قطع کند، حتماً مماس است؟ مثلاً اگر خطی دایره را فقط در یک نقطه «قطع» کند اما از درون آن هم بگذرد چه؟\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 8px; padding-bottom: 12px\">\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر. تعریف دقیق مماس این است: خطی که دایره را \u003Cstrong>فقط در یک نقطه\u003C\u002Fstrong> قطع کند و \u003Cstrong>هیچ نقطهٔ مشترک دیگری\u003C\u002Fstrong> نداشته باشد (یعنی از فضای داخلی دایره نگذرد). اگر خطی از مرکز دایره بگذرد، آن را در دو نقطه قطع می‌کند (یک قطر است). اگر خطی به طور مماس برخورد کند، در واقع در آن نقطه دقیقاً دایره را «لمس» می‌کند بدون اینکه وارد آن شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال ۲:\u003C\u002Fstrong> اگر از یک نقطه در خارج دایره دو مماس رسم کنیم، این دو مماس چه ویژگی‌ای دارند؟\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 8px; padding-bottom: 12px\">\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> این یک قضیهٔ مهم دیگر است: \u003Cstrong>دو مماس رسم شده از یک نقطهٔ خارجی به یک دایره، با هم برابرند\u003C\u002Fstrong>. یعنی طول پاره‌خط از نقطهٔ خارجی تا نقطهٔ تماس برای هر دو مماس یکسان است. همچنین، پاره‌خطی که مرکز دایره را به آن نقطهٔ خارجی وصل می‌کند، نیمساز زاویهٔ بین دو مماس است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال ۳:\u003C\u002Fstrong> آیا عکس این قضیه هم درست است؟ یعنی اگر خطی بر شعاع دایره در نقطه‌ای روی محیط عمود باشد، آیا حتماً بر دایره مماس است؟\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 8px\">\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله، دقیقاً. عکس این قضیه نیز برقرار است. این یک رابطه «اگر و تنها اگر»\u003Csup>۴\u003C\u002Fsup> است: یک خط بر دایره مماس است \u003Cstrong>اگر و تنها اگر\u003C\u002Fstrong> بر شعاع انتهایی آن (شعاعی که به نقطهٔ تماس می‌رسد) عمود باشد. این خاصیت برای رسم یک مماس دقیق بر روی دایره بسیار کاربردی است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> قضیهٔ «عمود بودن شعاع بر خط مماس در نقطهٔ تماس» یکی از قضایای پایه‌ای و زیبای هندسه دایره است. این قضیه نه تنها یک گزارهٔ نظری است، بلکه با ایجاد یک مثلث قائم‌الزاویه، \u003Cstrong>پلی مستقیم\u003C\u002Fstrong> به استفاده از قضیهٔ فیثاغورس و حل مسائل عملی می‌زند. درک این رابطه، کلید فهم بسیاری از مفاهیم پیشرفته‌تر هندسی و همچنین درک بهتر پدیده‌های فیزیکی و مهندسی در دنیای اطراف ماست.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>۱\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>خط مماس (Tangent Line)\u003C\u002Fstrong>: خطی که یک منحنی (مانند دایره) را در یک و فقط یک نقطه قطع می‌کند، بدون آنکه از آن بگذرد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>۲\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>نقطهٔ تماس (Point of Tangency)\u003C\u002Fstrong>: نقطهٔ واحدی که در آن خط مماس و منحنی (دایره) با هم برخورد می‌کنند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>۳\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>خط قاطع (Secant Line)\u003C\u002Fstrong>: خطی که یک منحنی (مانند دایره) را در دو نقطه قطع می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>۴\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>اگر و تنها اگر (If and Only If - IFF)\u003C\u002Fstrong>: یک عبارت منطقی که نشان می‌دهد دو گزاره دقیقاً هم‌ارز هستند؛ هرگاه یکی درست باشد، دیگری نیز حتماً درست است و برعکس.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 20px\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">خط مماس بر دایره\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">قضیه مماس و شعاع\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">هندسه دایره\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">قضیه فیثاغورس\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">مثلث قائم الزاویه\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ یازدهم","هندسه یازدهم","قضیهٔ مماس و شعاع",0,378,"2026-01-04 14:18:49","2026-09-01 13:10:13","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1404\u002F10\u002F14","13:10 1405\u002F06\u002F10",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,273,281,289,297,305,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},9564,"وتر دایره: پاره‌خطی که دو سر آن روی دایره قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZd3oBAQGaunded8TBN6u_200.png","2026-09-01 13:21:01","وتر-دایره-پارهخطی-که-دو-سر-آن-روی-دایره-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9564\u002Fوتر-دایره-پارهخطی-که-دو-سر-آن-روی-دایره-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9564\u002Fوتر-دایره-پارهخطی-که-دو-سر-آن-روی-دایره-قرار-دارد","1405\u002F06\u002F10",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},9566,"اوضاع نسبی خط و دایره: حالت‌های ممکنِ اشتراک خط و دایره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7XuCcNUoUaoFl3mBzCaf_200.png","2026-09-01 13:20:03","اوضاع-نسبی-خط-و-دایره-حالتهای-ممکن-اشتراک-خط-و-دایره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9566\u002Fاوضاع-نسبی-خط-و-دایره-حالتهای-ممکن-اشتراک-خط-و-دایره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9566\u002Fاوضاع-نسبی-خط-و-دایره-حالتهای-ممکن-اشتراک-خط-و-دایره",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},9568,"خط مماس بر دایره: خطی که فقط در یک نقطه با دایره مشترک است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fq1qaJ33JnDEtUVaJD2B2_200.png","2026-09-01 13:16:32","خط-مماس-بر-دایره-خطی-که-فقط-در-یک-نقطه-با-دایره-مشترک-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9568\u002Fخط-مماس-بر-دایره-خطی-که-فقط-در-یک-نقطه-با-دایره-مشترک-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9568\u002Fخط-مماس-بر-دایره-خطی-که-فقط-در-یک-نقطه-با-دایره-مشترک-است",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},9570,"نقطهٔ تماس: نقطه‌ای که خط مماس دایره را لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F82EAq0IUwqmF7rGzDAq9_200.png","2026-09-01 13:14:33","نقطه-تماس-نقطهای-که-خط-مماس-دایره-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9570\u002Fنقطه-تماس-نقطهای-که-خط-مماس-دایره-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9570\u002Fنقطه-تماس-نقطهای-که-خط-مماس-دایره-را-لمس-میکند",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},9572,"خط قاطع دایره: خطی که دایره را در دو نقطه قطع می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJJOEWlIoVv5sbHk0mVHC_200.png","2026-09-01 13:12:23","خط-قاطع-دایره-خطی-که-دایره-را-در-دو-نقطه-قطع-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9572\u002Fخط-قاطع-دایره-خطی-که-دایره-را-در-دو-نقطه-قطع-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9572\u002Fخط-قاطع-دایره-خطی-که-دایره-را-در-دو-نقطه-قطع-میکند",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":272},9576,"رسم مماس از نقطهٔ خارج دایره: روش رسم مماس با استفاده از دایرهٔ کمکی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FhAu7EwTIGhHFX5hB1m2A_200.png","2026-08-30 13:58:59","رسم-مماس-از-نقطه-خارج-دایره-روش-رسم-مماس-با-استفاده-از-دایره-کمکی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9576\u002Fرسم-مماس-از-نقطه-خارج-دایره-روش-رسم-مماس-با-استفاده-از-دایره-کمکی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9576\u002Fرسم-مماس-از-نقطه-خارج-دایره-روش-رسم-مماس-با-استفاده-از-دایره-کمکی","1405\u002F06\u002F8",{"id":274,"title":275,"cat":199,"pic":276,"up_date":277,"title_url":278,"url":279,"legacy_url":280,"cat_title":212,"update_jalali":272},9578,"اندازهٔ کمان: برابر اندازهٔ زاویهٔ مرکزی مقابل آن کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FW21URDjxf3ms60wh0kQG_200.png","2026-08-30 13:57:30","اندازه-کمان-برابر-اندازه-زاویه-مرکزی-مقابل-آن-کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9578\u002Fاندازه-کمان-برابر-اندازه-زاویه-مرکزی-مقابل-آن-کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9578\u002Fاندازه-کمان-برابر-اندازه-زاویه-مرکزی-مقابل-آن-کمان",{"id":282,"title":283,"cat":199,"pic":284,"up_date":285,"title_url":286,"url":287,"legacy_url":288,"cat_title":212,"update_jalali":272},9580,"طول کمان: کسری از محیط دایره متناسب با اندازهٔ کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F3nhAR39YfswOAzsyWYVI_200.png","2026-08-30 13:55:45","طول-کمان-کسری-از-محیط-دایره-متناسب-با-اندازه-کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9580\u002Fطول-کمان-کسری-از-محیط-دایره-متناسب-با-اندازه-کمان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9580\u002Fطول-کمان-کسری-از-محیط-دایره-متناسب-با-اندازه-کمان",{"id":290,"title":291,"cat":199,"pic":292,"up_date":293,"title_url":294,"url":295,"legacy_url":296,"cat_title":212,"update_jalali":272},9581,"قضیهٔ زاویهٔ محاطی: زاویهٔ محاطی نصف کمان مقابل است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgMVDCh5DYAl96HFOa21J_200.png","2026-08-30 13:52:33","قضیه-زاویه-محاطی-زاویه-محاطی-نصف-کمان-مقابل-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9581\u002Fقضیه-زاویه-محاطی-زاویه-محاطی-نصف-کمان-مقابل-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9581\u002Fقضیه-زاویه-محاطی-زاویه-محاطی-نصف-کمان-مقابل-است",{"id":298,"title":299,"cat":199,"pic":300,"up_date":301,"title_url":302,"url":303,"legacy_url":304,"cat_title":212,"update_jalali":272},9612,"زاویه با رأس بیرون دایره: نصف تفاضل کمان‌ها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FBPJfAmCPGC8WzUDeooJD_200.png","2026-08-30 13:47:38","زاویه-با-رأس-بیرون-دایره-نصف-تفاضل-کمانها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9612\u002Fزاویه-با-رأس-بیرون-دایره-نصف-تفاضل-کمانها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9612\u002Fزاویه-با-رأس-بیرون-دایره-نصف-تفاضل-کمانها",{"id":306,"title":307,"cat":199,"pic":308,"up_date":309,"title_url":310,"url":311,"legacy_url":312,"cat_title":212,"update_jalali":272},9614,"زاویه با رأس درون دایره: نصف مجموع کمان‌ها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FoYDmtpbhKPkAnxj8Ep0Q_200.png","2026-08-30 13:45:39","زاویه-با-رأس-درون-دایره-نصف-مجموع-کمانها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9614\u002Fزاویه-با-رأس-درون-دایره-نصف-مجموع-کمانها","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9614\u002Fزاویه-با-رأس-درون-دایره-نصف-مجموع-کمانها",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":272},9616,"قضیهٔ وترهای متقاطع: حاصل‌ضرب قطعات دو وتر برابر است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlslWWmuZFKcoYKi8hXd8_200.png","2026-08-30 13:43:44","قضیه-وترهای-متقاطع-حاصلضرب-قطعات-دو-وتر-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9616\u002Fقضیه-وترهای-متقاطع-حاصلضرب-قطعات-دو-وتر-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9616\u002Fقضیه-وترهای-متقاطع-حاصلضرب-قطعات-دو-وتر-برابر-است"]