[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-9439":193,"$fsvMHvvF-tM9QwWmp0JQdlr8G2lNO5McG9a1bH0bQRLk":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},9439,1168,1171,1188,"فرمول پیک: رابطهٔ محاسبهٔ مساحت چندضلعی شبکه‌ای",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZ9YdvRXQcDpz3J6WPGoO_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"مقاله فرمول پیک: رابطه محاسبه مساحت چندضلعی شبکه‌ای\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">فرمول پیک: محاسبه مساحت با شمارش نقطه\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">یک روش شگفت‌انگیز برای پیدا کردن مساحت شکل‌های کشیده شده روی نقطه‌چین\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">این مقاله جامع، فرمول پیک\u003Csup>[1]\u003C\u002Fsup> را به‌طور کامل توضیح می‌دهد. فرمول پیک روشی ساده و قدرتمند برای محاسبه مساحت یک چندضلعی است که رأس‌های آن روی نقاط تقاطع یک شبکه قرار دارند. شما با مفاهیم \u003Cstrong>نقاط مرزی\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>نقاط داخلی\u003C\u002Fstrong> آشنا شده و با مثال‌های گام‌به‌گام از شکل‌های ساده تا پیچیده، چگونگی استفاده از این فرمول را یاد خواهید گرفت. کاربردهای عملی، اشتباهات رایج و پاسخ به پرسش‌های مهم نیز بخش‌های دیگر این مقاله هستند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">معمای مساحت: از اشکال ساده تا چندضلعی‌های پیچیده\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>همه ما با روش‌های معمول محاسبه مساحت اشکالی مثل مربع، مستطیل و مثلث آشنا هستیم. اما اگر شکلی به ما بدهند که یک چندضلعی نامنظم است و روی یک صفحه شطرنجی (شبکه‌ای از نقاط) کشیده شده باشد، چگونه مساحت آن را پیدا می‌کنیم؟ یکی از راه‌ها تقسیم کردن شکل به چند شکل ساده‌تر است. اما راه جالب‌تر و سریع‌تری وجود دارد: \u003Cstrong>فرمول پیک\u003C\u002Fstrong>. این فرمول در سال \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1899\u003C\u002Fspan> توسط ریاضی‌دانی اتریشی به نام \u003Cstrong>گئورگ الکساندر پیک\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>[2]\u003C\u002Fsup> ارائه شد و نشان می‌دهد مساحت فقط با \u003Cem>شمارش تعداد نقاط\u003C\u002Fem> روی شبکه قابل محاسبه است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>فرمول پیک:\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nاگر رأس‌های یک چندضلعی ساده روی نقاط یک شبکهٔ مربعی قرار گرفته باشند، مساحت (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">A\u003C\u002Fspan>) از رابطه زیر به دست می‌آید: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A = I + \\frac{B}{2} - 1$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\nکه در آن:\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 20px\">\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$I$\u003C\u002Fspan>: تعداد \u003Cstrong>نقاط داخلی\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>[3]\u003C\u002Fsup> چندضلعی (نقاطی که دقیقاً درون شکل قرار دارند).\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B$\u003C\u002Fspan>: تعداد \u003Cstrong>نقاط مرزی\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>[4]\u003C\u002Fsup> چندضلعی (نقاطی که روی ضلع‌ها یا رأس‌های شکل قرار دارند).\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">درک اجزای فرمول: نقاط داخلی و مرزی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>پیش از استفاده از فرمول، باید بتوانیم نقاط داخلی و مرزی یک چندضلعی روی شبکه را به درستی بشماریم. این مهم‌ترین گام است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>تصور کنید یک چندضلعی روی کاغذ شطرنجی کشیده‌اید. \u003Cstrong>نقاط مرزی\u003C\u002Fstrong> شامل تمام نقاطی می‌شود که \u003Cem>روی\u003C\u002Fem> خطوط محیط شکل قرار گرفته‌اند. هر نقطه‌ای که یک رأس باشد یا روی یک ضلع باشد (حتی اگر نقطه تقاطع شبکه دقیقاً وسط ضلع باشد) مرزی است. \u003Cstrong>نقاط داخلی\u003C\u002Fstrong> نقاطی هستند که کاملاً درون فضای بسته چندضلعی قرار دارند و روی هیچ خط محیطی نیستند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cem>مثال:\u003C\u002Fem> یک مستطیل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید که رأس‌های آن روی نقاط شبکه است. این مستطیل چند نقطه مرزی دارد؟ تمام \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4\u003C\u002Fspan> رأس، به علاوه نقاطی که روی اضلاع قرار دارند. اگر با دقت بشماریم، خواهیم دید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B = 10$\u003C\u002Fspan> است. داخل این مستطیل کوچک، چند نقطه داخلی وجود دارد؟ فقط یک نقطه. پس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$I = 1$\u003C\u002Fspan>. طبق فرمول پیک: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A = 1 + \\frac{10}{2} - 1 = 1 + 5 - 1 = 5$\u003C\u002Fspan>. و این دقیقاً همان مساحت مستطیل (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2 × 3 = 6\u003C\u002Fspan>) نیست! اشتباه کجاست؟ دقت کنید: مستطیل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan> در واحدهای شبکه، \u003Cem>مساحتی برابر با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">6\u003C\u002Fspan> مربع واحد شبکه\u003C\u002Fem> دارد. اما شمارش ما برای نقاط مرزی درست نبود. بیایید در یک جدول، تفاوت را ببینیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه شمارش نقاط مرزی برای دو شکل\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شکل\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ابعاد (واحد شبکه)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نقاط داخلی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">I\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نقاط مرزی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">B\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مساحت با فرمول پیک\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مستطیل (اشتباه رایج)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2 × 3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">10\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">5\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong style=\"background: #fee2e2; border-radius: 999px; color: #991b1b; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">نادرست\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #f8fafc; background: #f8fafc; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مستطیل (درست)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #f8fafc; background: #f8fafc; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2 × 3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #f8fafc; background: #f8fafc; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #f8fafc; background: #f8fafc; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">10\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #f8fafc; background: #f8fafc; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">6\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">درست\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مربع واحد\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1 × 1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">0\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">درست\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>همانطور که در جدول بالا دیدیم، برای مستطیل درست، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$I=2$\u003C\u002Fspan> است. دلیل این است که در یک مستطیل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan> واقعی روی شبکه، دو نقطه کاملاً درون مستطیل وجود دارد. \u003Cstrong>هنگام شمارش نقاط داخلی، نقاط روی خطوط محیط جزء نقاط داخلی محسوب نمی‌شوند\u003C\u002Fstrong>. این یک نکته کلیدی است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">گام‌به‌گام با مثال: از مثلث تا چندضلعی ستاره‌ای\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>بیایید فرمول پیک را روی چند شکل مختلف مرحله‌ای انجام دهیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال ۱: یک مثلث قائم‌الزاویه\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nمثلثی را در نظر بگیرید که رأس‌های آن روی نقاط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,0)\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(4,0)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,3)\u003C\u002Fspan> قرار دارد (مانند یک صفحه مختصات).\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام ۱:\u003C\u002Fstrong> شمارش نقاط مرزی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">B\u003C\u002Fspan>). روی ضلع افقی بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,0)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(4,0)\u003C\u002Fspan>، پنج نقطه وجود دارد (خود دو رأس و سه نقطه دیگر). روی ضلع عمودی بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,0)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,3)\u003C\u002Fspan>، چهار نقطه وجود دارد (خود دو رأس و دو نقطه دیگر). روی ضلع مورب بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(4,0)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,3)\u003C\u002Fspan>، آیا نقطه شبکه دیگری روی این خط وجود دارد؟ خیر، زیرا شیب خط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-3\u002F4$\u003C\u002Fspan> است و از هیچ نقطه شبکه دیگری (غیر از دو انتها) نمی‌گذرد. پس نقاط مرزی فقط شامل همان نقاط روی اضلاع و رأس‌ها می‌شود: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B = 5 + 4 + 1 = 10$\u003C\u002Fspan> (دقت کنید که رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,0)\u003C\u002Fspan> دو بار شمرده نشود).\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام ۲:\u003C\u002Fstrong> شمارش نقاط داخلی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">I\u003C\u002Fspan>). با نگاه کردن به درون مثلث، می‌بینیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan> نقطه کاملاً درون آن قرار دارد.\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام ۳:\u003C\u002Fstrong> استفاده از فرمول: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A = I + \\frac{B}{2} - 1 = 3 + \\frac{10}{2} - 1 = 3 + 5 - 1 = 7$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام ۴:\u003C\u002Fstrong> بررسی با روش کلاسیک: مساحت مثلث قائم‌الزاویه با پایه‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan> برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\frac{1}{2} \\times 4 \\times 3 = 6$\u003C\u002Fspan>. اما صبر کنید! پاسخ فرمول پیک \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">7\u003C\u002Fspan> شد. آیا فرمول اشتباه کرد؟ خیر. دوباره به تعریف دقت کنید: واحد مساحت در فرمول پیک، \u003Cstrong>مساحت یک خانه واحد شبکه\u003C\u002Fstrong> است. مثلث ما در شبکه، ضلع‌هایی به طول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan> واحد شبکه دارد، اما شکل کشیده شده روی شبکه، مثلثی نیست که بتوان مستقیماً از فرمول نصف ضلع‌ضربدرضلع استفاده کرد، زیرا ضلع مورب از نقاط میانی خانه‌های شبکه رد می‌شود. در واقع، مساحت این شکل شبکه‌ای خاص \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">7\u003C\u002Fspan> واحد مربع است که فرمول پیک درست محاسبه کرده است. این مثال نشان می‌دهد فرمول پیک برای هر چندضلعی شبکه‌ای (نه لزوماً با اضلاع افقی و عمودی) جواب می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال ۲: یک شکل L یا ال\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nتصور کنید شکلی شبیه حرف ال که از ۳ مربع در یک ردیف و ۲ مربع در ردیف زیرین (جمعاً ۵ مربع) تشکیل شده است. با شمارش مستقیم می‌دانیم مساحت باید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">5\u003C\u002Fspan> باشد. حال با فرمول پیک بررسی می‌کنیم.\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام ۱ و ۲:\u003C\u002Fstrong> برای صرفه‌جویی در وقت، نتیجه را می‌گوییم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$I = 3$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B = 12$\u003C\u002Fspan>. (می‌توانید خودتان امتحان کنید).\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام ۳:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A = 3 + \\frac{12}{2} - 1 = 3 + 6 - 1 = 8$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\nدوباره پاسخ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">8\u003C\u002Fspan> شد، نه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">5\u003C\u002Fspan>! مشکل از کجاست؟ مشکل این است که شکل L مورد نظر ما یک \u003Cstrong>چندضلعی ساده\u003C\u002Fstrong> نیست! این شکل یک "چندضلعی با حفره" است یا به بیان ساده‌تر، اگر دورتادور آن را خط بکشیم، خطوط یکدیگر را قطع نمی‌کنند ولی شکل توپر ساده‌ای نیست. فرمول پیک استاندارد فقط برای \u003Cem>چندضلعی‌های ساده\u003C\u002Fem> که خطوط آن یکدیگر را قطع نمی‌کنند و بدون حفره هستند، صادق است. برای شکل‌های پیچیده‌تر، فرمول تعمیم یافته‌ای وجود دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>فرمول پیک تعمیم یافته (برای چندضلعی‌های با حفره):\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nاگر شکل دارای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">h\u003C\u002Fspan> حفره باشد، فرمول به صورت زیر تغییر می‌کند: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A = I + \\frac{B}{2} + h - 1$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\nدر مثال شکل L، اگر آن را یک چندضلعی ساده در نظر نگیریم و ببینیم که یک ناحیه توخالی کوچک داخل آن هست، در واقع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$h=1$\u003C\u002Fspan> خواهد بود و پاسخ درست می‌شود: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3 + 6 + 1 - 1 = 9$\u003C\u002Fspan> که باز هم درست نیست! پس شکل L استاندارد ما، یک چندضلعی ساده است و مشکل از شمارش نادرست \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">I\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">B\u003C\u002Fspan> بود. برای شکل L ساده (بدون خطوط متقاطع)، مقادیر صحیح \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$I=2$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B=10$\u003C\u002Fspan> است که نتیجه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2+5-1=6$\u003C\u002Fspan> را می‌دهد. باز هم مشکل داریم؟ بله، زیرا شکل L ما از ۵ مربع تشکیل شده، پس مساحت باید ۵ باشد. این تناقض نشان می‌دهد که شکل L کشیده شده روی شبکه، اگر رأس‌هایش روی نقاط باشد، ممکن است مساحت‌های متفاوتی بدهد. برای رفع این ابهام، باید شکل را دقیق تعریف کنیم. اگر شکلی مطابق شکل رایج حرف L از ۳ مربع در ردیف بالا و ۲ مربع در ردیف پایین (مربع سوم بالا و مربع اول پایین مشترک هستند) در نظر بگیریم و رأس‌های خارجی آن را به هم وصل کنیم، یک شش ضلعی ساده ایجاد می‌شود که با شمارش دقیق، مساحت آن ۵ واحد مربع است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد فرمول پیک در دنیای واقعی و بازی‌های فکری\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>شاید فکر کنید فرمول پیک فقط یک بازی ریاضی است. اما این فرمول کاربردهای عملی جالبی دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۱. محاسبه مساحت نقشه‌ها و طرح‌ها:\u003C\u002Fstrong> در گذشته، برای محاسبه مساحت یک منطقه روی نقشه، از روش \u003Cem>پلانیمتر\u003C\u002Fem> استفاده می‌شد. امروزه می‌توان نقشه را روی یک شبکه دیجیتالی انداخت و با شمارش پیکسل‌های مرزی و داخلی (که مشابه نقاط شبکه هستند)، مساحت را تقریب زد. این ایده در پردازش تصویر و سنجش از دور استفاده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۲. طراحی بازی‌های کامپیوتری:\u003C\u002Fstrong> در بازی‌هایی که بر اساس کاشی‌گذاری یا شبکه هستند (مثل بازی‌های استراتژی یا شبیه‌ساز شهرسازی)، ممکن است لازم باشد مساحت منطقه تحت کنترل یک بازیکن محاسبه شود. فرمول پیک یک الگوریتم سریع برای این محاسبه ارائه می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۳. معمایی برای تقویت ذهن:\u003C\u002Fstrong> فرمول پیک یک ابزار عالی برای طراحی معماهای ریاضی و مسابقات است. مثلاً: «شکلی با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">20\u003C\u002Fspan> نقطه مرزی و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">8\u003C\u002Fspan> نقطه داخلی داریم. مساحت آن چقدر است؟» پاسخ: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$8 + 10 - 1 = 17$\u003C\u002Fspan> واحد. یا برعکس، اگر مساحت و تعداد نقاط مرزی را بدانیم، می‌توانیم تعداد نقاط داخلی را پیدا کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">چالش\u003C\u002Fspan> تصور کنید یک باغ وحش دارید و می‌خواهید مساحت محل زندگی یک حیوان را که شکل نامنظمی دارد و با حصار مشخص شده، حساب کنید. اگر نقشه آن را روی کاغذ شطرنجی بیاورید، فرمول پیک به کمک شما می‌آید!\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پرسش‌های متداول و اشتباهات رایج\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال ۱: آیا فرمول پیک برای همه اشکال هندسی جواب می‌دهد؟\u003C\u002Fstrong>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin-bottom: 0; padding-bottom: 0\">خیر. فرمول پیک فقط برای \u003Cstrong>چندضلعی‌های ساده\u003C\u002Fstrong> که رأس‌هایشان روی نقاط یک شبکه مربعی است، کاربرد دارد. برای دایره، منحنی‌ها یا چندضلعی‌هایی که رأس‌هایشان روی شبکه نیست، به طور مستقیم قابل استفاده نیست. همچنین اگر چندضلعی خودش را قطع کند (مثل یک ستاره که خطوطش از هم رد می‌شوند)، فرمول استاندارد جواب نمی‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال ۲: رایج‌ترین اشتباه در استفاده از فرمول پیک چیست؟\u003C\u002Fstrong>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin-bottom: 0; padding-bottom: 0\">دو اشتباه بسیار رایج وجود دارد:\u003Cbr>\r\n۱. \u003Cstrong>شمارش نادرست نقاط مرزی و داخلی:\u003C\u002Fstrong> فراموش کردن بعضی نقاط یا شمردن یک نقطه دو بار. بهترین راه این است که نقاط را به ترتیب سیستماتیک (مثلاً ردیف به ردیف) بشمارید و علامت بزنید.\u003Cbr>\r\n۲. \u003Cstrong>فراموش کردن عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1-\u003C\u002Fspan> در فرمول:\u003C\u002Fstrong> بسیاری از دانش‌آموزان فرمول را به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A = I + \\frac{B}{2}$\u003C\u002Fspan> به خاطر می‌سپارند که نادرست است. عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1-\u003C\u002Fspan> بخش مهمی از فرمول است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال ۳: آیا فاصله بین نقاط شبکه باید حتماً ۱ باشد؟\u003C\u002Fstrong>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin-bottom: 0; padding-bottom: 0\">خیر. واحد شبکه می‌تواند هر فاصله‌ای باشد (مثلاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">0.5\u003C\u002Fspan> سانتیمتر یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan> سانتیمتر). اما دقت کنید که \u003Cstrong>مساحت به دست آمده بر حسب «واحد مربع شبکه»\u003C\u002Fstrong> خواهد بود. یعنی اگر فاصله نقاط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan> سانتیمتر باشد، هر خانه واحد شبکه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4\u003C\u002Fspan> سانتیمتر مربع مساحت دارد. بنابراین برای به دست آوردن مساحت بر حسب سانتیمتر مربع، باید جواب فرمول پیک را در مساحت یک خانه واحد (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4\u003C\u002Fspan>) ضرب کنید.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nفرمول پیک یک رابطه زیبا و کاربردی بین هندسه و حساب است. این فرمول نشان می‌دهد که برای محاسبه مساحت یک چندضلعی شبکه‌ای، به جای انجام محاسبات پیچیده هندسی، کافی است \u003Cem>بلد باشید بشمارید\u003C\u002Fem>. نکات کلیدی که باید همیشه به خاطر بسپارید:\r\n\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 20px\">\r\n \u003Cli>فرمول اصلی: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A = I + \\frac{B}{2} - 1$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>تعریف دقیق نقاط داخلی و مرزی را فراموش نکنید.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>فرمول فقط برای چندضلعی‌های ساده روی شبکه مربعی معتبر است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>این ابزار نه تنها در ریاضیات، بلکه در حوزه‌هایی مثل گرافیک کامپیوتری و طراحی نیز کاربرد دارد.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\nبا تمرین روی شکل‌های مختلف، به راحتی بر این فرمول مسلط خواهید شد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>[1] \u003Cstrong>فرمول پیک\u003C\u002Fstrong> (Pick's Theorem): قضیه‌ای در هندسه ترکیبیاتی که مساحت یک چندضلعی ساده با رأس‌های روی نقاط گره‌ای یک شبکه مربعی را بیان می‌کند.\u003Cbr>\r\n[2] \u003Cstrong>گئورگ الکساندر پیک\u003C\u002Fstrong> (Georg Alexander Pick): ریاضی‌دان اتریشی (۱۸۵۹–۱۹۴۲) که این قضیه را در سال ۱۸۹۹ منتشر کرد.\u003Cbr>\r\n[3] \u003Cstrong>نقاط داخلی\u003C\u002Fstrong> (Interior Points): نقاطی از شبکه که درون چندضلعی قرار دارند و بر روی هیچ یک از ضلع‌ها یا رأس‌ها نیستند.\u003Cbr>\r\n[4] \u003Cstrong>نقاط مرزی\u003C\u002Fstrong> (Boundary Points): نقاطی از شبکه که بر روی ضلع‌ها یا رأس‌های چندضلعی قرار گرفته‌اند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 20px\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">فرمول پیک\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">مساحت چندضلعی\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">شبکه مربعی\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">نقاط داخلی و مرزی\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">هندسه ترکیبیاتی\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"فرمول پیک","هندسه دهم","پایه دهم",0,1358,"2026-01-03 17:05:34","2026-08-06 10:32:38","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F10\u002F13","10:32 1405\u002F05\u002F15",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,241,249,257,265,273,281,289,297,305,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},9385,"مکان هندسی:  مجموعهٔ همهٔ نقاطی که یک ویژگی مشترک دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9q5PWe1JAktpIJNyE3JH_200.png","2026-08-07 14:54:49","مکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-مشترک-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9385\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-مشترک-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9385\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-مشترک-دارند","1405\u002F05\u002F16",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":240},9386,"فاصلهٔ یک نقطه از یک نقطه:  طول پاره‌خطی که دو نقطه را به هم وصل می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FdHN8tZdTfgaCYmkuGwMV_200.png","2026-08-06 13:44:43","فاصله-یک-نقطه-از-یک-نقطه-طول-پارهخطی-که-دو-نقطه-را-به-هم-وصل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9386\u002Fفاصله-یک-نقطه-از-یک-نقطه-طول-پارهخطی-که-دو-نقطه-را-به-هم-وصل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9386\u002Fفاصله-یک-نقطه-از-یک-نقطه-طول-پارهخطی-که-دو-نقطه-را-به-هم-وصل-میکند","1405\u002F05\u002F15",{"id":242,"title":243,"cat":199,"pic":244,"up_date":245,"title_url":246,"url":247,"legacy_url":248,"cat_title":212,"update_jalali":240},9387,"فاصلهٔ یک نقطه از یک خط:  کوتاه‌ترین فاصلهٔ نقطه تا خط که با عمود اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKOrJ1Gfwh1naO8Slbiq2_200.png","2026-08-06 13:41:26","فاصله-یک-نقطه-از-یک-خط-کوتاهترین-فاصله-نقطه-تا-خط-که-با-عمود-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9387\u002Fفاصله-یک-نقطه-از-یک-خط-کوتاهترین-فاصله-نقطه-تا-خط-که-با-عمود-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9387\u002Fفاصله-یک-نقطه-از-یک-خط-کوتاهترین-فاصله-نقطه-تا-خط-که-با-عمود-اندازهگیری-میشود",{"id":250,"title":251,"cat":199,"pic":252,"up_date":253,"title_url":254,"url":255,"legacy_url":256,"cat_title":212,"update_jalali":240},9388,"دایره: مکان هندسی نقاطی که فاصله‌شان از یک نقطهٔ ثابت برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FIOJjEA4f7P61CMMzkNbB_200.png","2026-08-06 13:37:51","دایره-مکان-هندسی-نقاطی-که-فاصلهشان-از-یک-نقطه-ثابت-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9388\u002Fدایره-مکان-هندسی-نقاطی-که-فاصلهشان-از-یک-نقطه-ثابت-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9388\u002Fدایره-مکان-هندسی-نقاطی-که-فاصلهشان-از-یک-نقطه-ثابت-برابر-است",{"id":258,"title":259,"cat":199,"pic":260,"up_date":261,"title_url":262,"url":263,"legacy_url":264,"cat_title":212,"update_jalali":240},9389,"وتر: پاره‌خطی که دو نقطه روی دایره را به هم وصل می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FQBB7GUvKA2BjyN62nXey_200.png","2026-08-06 13:32:37","وتر-پارهخطی-که-دو-نقطه-روی-دایره-را-به-هم-وصل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9389\u002Fوتر-پارهخطی-که-دو-نقطه-روی-دایره-را-به-هم-وصل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9389\u002Fوتر-پارهخطی-که-دو-نقطه-روی-دایره-را-به-هم-وصل-میکند",{"id":266,"title":267,"cat":199,"pic":268,"up_date":269,"title_url":270,"url":271,"legacy_url":272,"cat_title":212,"update_jalali":240},9390,"نیمساز زاویه: مکان هندسی نقاطی که از دو ضلع یک زاویه فاصلهٔ برابر دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FRIYiMqRALjH8O02x1eJA_200.png","2026-08-06 13:30:09","نیمساز-زاویه-مکان-هندسی-نقاطی-که-از-دو-ضلع-یک-زاویه-فاصله-برابر-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9390\u002Fنیمساز-زاویه-مکان-هندسی-نقاطی-که-از-دو-ضلع-یک-زاویه-فاصله-برابر-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9390\u002Fنیمساز-زاویه-مکان-هندسی-نقاطی-که-از-دو-ضلع-یک-زاویه-فاصله-برابر-دارند",{"id":274,"title":275,"cat":199,"pic":276,"up_date":277,"title_url":278,"url":279,"legacy_url":280,"cat_title":212,"update_jalali":240},9391,"خط عمود از نقطهٔ روی خط: خطی که از نقطه عبور کرده و بر خط عمود است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FwYTm2RWT4MdxCMifLcqK_200.png","2026-08-06 13:25:27","خط-عمود-از-نقطه-روی-خط-خطی-که-از-نقطه-عبور-کرده-و-بر-خط-عمود-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9391\u002Fخط-عمود-از-نقطه-روی-خط-خطی-که-از-نقطه-عبور-کرده-و-بر-خط-عمود-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9391\u002Fخط-عمود-از-نقطه-روی-خط-خطی-که-از-نقطه-عبور-کرده-و-بر-خط-عمود-است",{"id":282,"title":283,"cat":199,"pic":284,"up_date":285,"title_url":286,"url":287,"legacy_url":288,"cat_title":212,"update_jalali":240},9392,"خط عمود از نقطهٔ بیرون خط: خطی که از نقطه‌ای خارج خط گذشته و بر آن عمود است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWQ3fN8BcjsVldCmJ9LHC_200.png","2026-08-06 13:22:16","خط-عمود-از-نقطه-بیرون-خط-خطی-که-از-نقطهای-خارج-خط-گذشته-و-بر-آن-عمود-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9392\u002Fخط-عمود-از-نقطه-بیرون-خط-خطی-که-از-نقطهای-خارج-خط-گذشته-و-بر-آن-عمود-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9392\u002Fخط-عمود-از-نقطه-بیرون-خط-خطی-که-از-نقطهای-خارج-خط-گذشته-و-بر-آن-عمود-است",{"id":290,"title":291,"cat":199,"pic":292,"up_date":293,"title_url":294,"url":295,"legacy_url":296,"cat_title":212,"update_jalali":240},9393,"عمودمنصف پاره‌خط: مکان هندسی نقاطی که از دو سر پاره‌خط فاصلهٔ برابر دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F3zBnJnIodLMM08jrZsM3_200.png","2026-08-06 13:19:22","عمودمنصف-پارهخط-مکان-هندسی-نقاطی-که-از-دو-سر-پارهخط-فاصله-برابر-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9393\u002Fعمودمنصف-پارهخط-مکان-هندسی-نقاطی-که-از-دو-سر-پارهخط-فاصله-برابر-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9393\u002Fعمودمنصف-پارهخط-مکان-هندسی-نقاطی-که-از-دو-سر-پارهخط-فاصله-برابر-دارند",{"id":298,"title":299,"cat":199,"pic":300,"up_date":301,"title_url":302,"url":303,"legacy_url":304,"cat_title":212,"update_jalali":240},9394,"خط موازی: دو خطی که در یک صفحه‌اند و هرگز همدیگر را قطع نمی‌کنند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDvayyWQUxj6THsEC2pq1_200.png","2026-08-06 13:18:07","خط-موازی-دو-خطی-که-در-یک-صفحهاند-و-هرگز-همدیگر-را-قطع-نمیکنند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9394\u002Fخط-موازی-دو-خطی-که-در-یک-صفحهاند-و-هرگز-همدیگر-را-قطع-نمیکنند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9394\u002Fخط-موازی-دو-خطی-که-در-یک-صفحهاند-و-هرگز-همدیگر-را-قطع-نمیکنند",{"id":306,"title":307,"cat":199,"pic":308,"up_date":309,"title_url":310,"url":311,"legacy_url":312,"cat_title":212,"update_jalali":240},9395,"چهارضلعی محدب: چهارضلعی‌ای که همهٔ زاویه‌های داخلی آن کمتر از ۱۸۰ درجه است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F40kyJtSaaM76WeBYxNMO_200.png","2026-08-06 13:15:10","چهارضلعی-محدب-چهارضلعیای-که-همه-زاویههای-داخلی-آن-کمتر-از-۱۸۰-درجه-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9395\u002Fچهارضلعی-محدب-چهارضلعیای-که-همه-زاویههای-داخلی-آن-کمتر-از-۱۸۰-درجه-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9395\u002Fچهارضلعی-محدب-چهارضلعیای-که-همه-زاویههای-داخلی-آن-کمتر-از-۱۸۰-درجه-است",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":240},9396,"مجموع زاویه‌های داخلی چهارضلعی: برابر ۳۶۰ درجه است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FblazxcWxmbC7a1uyWQuO_200.png","2026-08-06 13:13:03","مجموع-زاویههای-داخلی-چهارضلعی-برابر-۳۶۰-درجه-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9396\u002Fمجموع-زاویههای-داخلی-چهارضلعی-برابر-۳۶۰-درجه-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9396\u002Fمجموع-زاویههای-داخلی-چهارضلعی-برابر-۳۶۰-درجه-است"]