[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-9436":193,"$fw-NzjK-GemtvsV3KuS4_aDXfz9aU4HwMEnxAPAV8FnQ":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},9436,1168,1171,1188,"نقاط مرزی: نقاط شبکه‌ای روی اضلاع چندضلعی",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZLv6ayyfJP00Ly7dOcO3_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"مقاله نقاط مرزی\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">نقاط مرزی: نقاط شبکه‌ای روی اضلاع چندضلعی\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">کشف رابطه‌ای شگفت‌انگیز بین هندسه و اعداد صحیح\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>خلاصه:\u003C\u002Fstrong> نقاط مرزی\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> یا نقاط شبکه‌ای روی اضلاع یک چندضلعی، مختصاتی با اعداد صحیح هستند که دقیقاً روی محیط شکل قرار می‌گیرند. این مفهوم که پیوندی جذاب بین \u003Cstrong>هندسه\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>اعداد صحیح\u003C\u002Fstrong> ایجاد می‌کند، کاربردهای مهمی در ریاضیات گسسته، گرافیک کامپیوتری و حتی طراحی بازی‌ها دارد. درک این نقاط کلید حل مسئله‌های پیچیده‌تر مانند محاسبهٔ دقیق مساحت با استفاده از \u003Cstrong>قضیه پیک\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> و شمارش نقاط درونی است. این مقاله به زبان ساده و با مثال‌های متعدد، این مفهوم را از پایه تا کاربردهای عملی بررسی می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چندضلعی‌ها و شبکه‌های نقطه‌ای: زمین بازی نقاط مرزی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای شروع، فرض کنید یک صفحهٔ شطرنجی بی‌نهایت بزرگ داریم. هر خانه از این صفحه یک مربع واحد است. هر نقطه‌ای از صفحه که روی گوشه‌های این مربع‌ها قرار بگیرد، یک \u003Cstrong>نقطهٔ شبکه‌ای\u003C\u002Fstrong> نامیده می‌شود. مختصات این نقاط، همواره شامل دو عدد صحیح \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(x, y)\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>حالا یک چندضلعی (مثل مربع، مستطیل یا مثلث) را روی این صفحه تصور کنید. اگر این چندضلعی طوری رسم شود که رأس‌های آن دقیقاً روی نقاط شبکه‌ای قرار گیرند، به آن یک \u003Cstrong>چندضلعی شبکه‌ای\u003C\u002Fstrong> می‌گوییم. حال سؤال اینجاست: چه تعداد از نقاط شبکه‌ای، دقیقاً روی \u003Cem>اضلاع\u003C\u002Fem> این چندضلعی می‌افتند؟ به این نقاط، \u003Cstrong>نقاط مرزی\u003C\u002Fstrong> می‌گوییم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>مثال عینی:\u003C\u002Fstrong> یک مستطیل را در نظر بگیرید که رأس‌های آن روی نقاط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,0)\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(4,0)\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(4,3)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,3)\u003C\u002Fspan> قرار دارد. تمام نقاطی که روی محیط این مستطیل هستند (از جمله خود رأس‌ها)، نقاط مرزی محسوب می‌شوند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چگونه نقاط مرزی را بشماریم؟ یک فرمول جادویی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>شمارش نقاط مرزی برای شکل‌های ساده مانند مستطیل‌های هم‌محور با محورها\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> آسان است. اما برای خط‌های مورب، نیاز به یک ابزار ریاضی داریم: \u003Cstrong>بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\gcd$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید پاره‌خطی داریم که دو نقطهٔ شبکه‌ای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">A(x_1, y_1)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">B(x_2, y_2)\u003C\u002Fspan> را به هم وصل می‌کند. تعداد نقاط شبکه‌ای روی این پاره‌خط (شامل دو نقطهٔ A و B) با این فرمول به دست می‌آید:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>فرمول شمارش نقاط روی یک پاره‌خط:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$b = \\gcd(|x_2 - x_1|, |y_2 - y_1|) + 1$\u003C\u002Fspan> که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$b$\u003C\u002Fspan> تعداد نقاط مرزی روی آن ضلع است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>چرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\gcd$\u003C\u002Fspan>؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\gcd$\u003C\u002Fspan> تفاوت‌های طول و عرض، به ما می‌گوید پاره‌خط بین دو نقطه را چند قسمت مساوی می‌توان تقسیم کرد تا هر قسمت‌شکننده\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> مختصات صحیح داشته باشد. با اضافه کردن عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan>، خود نقطهٔ شروع را نیز به شمارش اضافه می‌کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مثال‌هایی از شمارش نقاط مرزی روی پاره‌خط\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نقطهٔ شروع (A)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نقطهٔ پایان (B)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تفاوت مختصات (Δx, Δy)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">gcd(|Δx|,|Δy|)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعداد نقاط مرزی (b)\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,0)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(6,0)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(6,0)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">6\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">6+1=7\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #f8fafc; background: #f8fafc; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(1,1)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #f8fafc; background: #f8fafc; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(7,4)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #f8fafc; background: #f8fafc; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(6,3)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #f8fafc; background: #f8fafc; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #f8fafc; background: #f8fafc; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3+1=4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,0)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(5,12)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(5,12)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"background-color: #ffffff; background: #ffffff; border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1+1=2\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong style=\"background: #fee2e2; border-radius: 999px; color: #991b1b; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">فقط دو نقطه\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">از محیط به مساحت: نقاط مرزی در قضیهٔ پیک\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>حالا که می‌دانیم چگونه نقاط روی هر ضلع را بشماریم، می‌توانیم مجموع نقاط مرزی کل یک چندضلعی شبکه‌ای را محاسبه کنیم. این عدد که آن را با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B$\u003C\u002Fspan> نشان می‌دهیم، یکی از دو دادهٔ اصلی در یک فرمول معروف به نام \u003Cstrong>قضیه پیک\u003C\u002Fstrong> است. این قضیه یک راه ساده و زیبا برای محاسبهٔ مساحت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> یک چندضلعی شبکه‌ای ارائه می‌دهد:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>قضیه پیک:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A = I + \\frac{B}{2} - 1$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\nکه در آن:\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> = مساحت چندضلعی.\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$I$\u003C\u002Fspan> = تعداد نقاط شبکه‌ای \u003Cem>داخل\u003C\u002Fem> چندضلعی.\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B$\u003C\u002Fspan> = تعداد نقاط شبکه‌ای \u003Cem>روی محیط\u003C\u002Fem> (نقاط مرزی).\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال:\u003C\u002Fstrong> مستطیلی با رأس‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,0)\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(4,0)\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(4,3)\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,3)\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. ابتدا نقاط مرزی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B$\u003C\u002Fspan> را می‌شماریم. روی محیط این مستطیل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">14\u003C\u002Fspan> نقطهٔ شبکه‌ای وجود دارد. همچنین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">6\u003C\u002Fspan> نقطهٔ شبکه‌ای در داخل آن قرار دارد (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$I=6$\u003C\u002Fspan>). طبق قضیه پیک: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A = 6 + \\frac{14}{2} - 1 = 6 + 7 - 1 = 12$\u003C\u002Fspan>. و این با فرمول معمول مساحت مستطیل (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$4 \\times 3 = 12$\u003C\u002Fspan>) مطابقت دارد!\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد نقاط مرزی: از بازی‌های کامپیوتری تا هنر پیکسلی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>شاید فکر کنید این مفاهیم فقط در کتاب‌های ریاضی کاربرد دارند. اما نمونه‌های کاربردی آن را همه‌روزه می‌بینیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گرافیک کامپیوتری و بازی‌های ویدئویی:\u003C\u002Fstrong> زمانی که یک خط یا چندضلعی روی صفحهٔ پیکسلی (که خودش یک شبکهٔ بزرگ است) رسم می‌شود، الگوریتم‌هایی مانند \u003Cem>الگوریتم برزنهام\u003C\u002Fem> برای تعیین اینکه کدام پیکسل‌ها باید روشن شوند، از مفاهیم مشابه شمارش نقاط روی یک خط استفاده می‌کنند.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>هنر پیکسلی و طراحی:\u003C\u002Fstrong> هنرمندانی که آثار خود را با مربع‌های ریز (پیکسل) خلق می‌کنند، ناخودآگاه در حال کار با نقاط شبکه‌ای و مرزی هستند تا خطوط صاف یا مورب ایجاد کنند.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>نقشه‌برداری و GIS:\u003C\u002Fstrong> هنگام تقسیم یک منطقه به واحدهای کوچک مربعی (مثل نقشه‌های شطرنجی)، شمارش واحدهای مرزی برای محاسبهٔ طول مرزها یا تعیین حریم، اهمیت دارد.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>یک مثال ساده: فرض کنید در یک بازی استراتژی، قلمرو شما یک چندضلعی است و می‌خواهید دور آن دیوار بکشید. هزینهٔ ساخت دیوار به طول مرز بستگی دارد. اگر بازی روی شبکه باشد، محاسبهٔ تعداد واحدهای مرزی (نقاطی که دیوار روی آنها ساخته می‌شود) دقیقاً همان محاسبهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B$\u003C\u002Fspan> است!\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۱: آیا رأس‌های چندضلعی جزو نقاط مرزی محسوب می‌شوند؟\u003C\u002Fstrong>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin-bottom: 0; padding-top: 6px\">بله، کاملاً. در شمارش نقاط مرزی روی هر ضلع (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b = \\gcd(...)+1$\u003C\u002Fspan>)، نقطهٔ شروع و پایان هر ضلع (که همان رأس‌ها هستند) نیز شمرده می‌شوند. هنگام جمع‌بندی برای کل چندضلعی، باید مراقب باشیم که رأس‌ها را فقط یک بار بشماریم، نه به ازای هر دو ضلع مجاور.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۲: اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\gcd(\\Delta x, \\Delta y) = 1$\u003C\u002Fspan> شود، چه مفهومی دارد؟\u003C\u002Fstrong>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin-bottom: 0; padding-top: 6px\">این به این معنی است که روی آن پاره‌خط، هیچ نقطهٔ شبکه‌ای دیگری جز دو نقطهٔ ابتدا و انتها وجود ندارد. در واقع، این دو نقطه «هم‌اول»\u003Csup>6\u003C\u002Fsup> هستند و خط واصل آن‌ها از هیچ نقطهٔ شبکه‌ای دیگری نمی‌گذرد. این حالت برای رسم دقیق‌ترین خطوط مورب در گرافیک مهم است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۳: آیا قضیه پیک برای همهٔ چندضلعی‌ها کاربرد دارد؟\u003C\u002Fstrong>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin-bottom: 0; padding-top: 6px\">خیر. قضیه پیک فقط برای چندضلعی‌های \u003Cem>ساده\u003C\u002Fem> (بدونخود عبور\u003Csup>7\u003C\u002Fsup>) که رأس‌هایشان روی نقاط شبکه‌ای قرار دارد، صادق است. اگر چندضلعی حفره\u003Csup>8\u003C\u002Fsup> داشته باشد، فرمول باید تعدیل شود: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A = I + \\frac{B}{2} + H - 1$\u003C\u002Fspan> که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$H$\u003C\u002Fspan> تعداد حفره‌هاست.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> نقاط مرزی روی اضلاع یک چندضلعی شبکه‌ای، مفهوم ساده اما قدرتمندی است که دنیای هندسه را به حسابان اعداد صحیح پیوند می‌زند. با یادگیری فرمول شمارش آن‌ها (با استفاده از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\gcd$\u003C\u002Fspan>)، نه تنها می‌توانیم محیط شکل‌ها را دقیق‌تر تحلیل کنیم، بلکه کلید ورود به قضایای زیبایی مانند قضیه پیک را به دست می‌آوریم. این مفاهیم، پایه‌ای برای درک الگوریتم‌های پیشرفته در گرافیک و علوم کامپیوتر هستند و نشان می‌دهند که حتی ساده‌ترین ایده‌های ریاضی می‌توانند کاربردهای گسترده و ملموسی در دنیای اطراف ما داشته باشند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>نقاط مرزی (Boundary Points)\u003C\u002Fstrong>: نقاطی که روی محیط یک شکل هندسی قرار دارند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>قضیه پیک (Pick's Theorem)\u003C\u002Fstrong>: فرمولی برای محاسبه مساحت یک چندضلعی شبکه‌ای ساده بر اساس شمارش نقاط درونی و مرزی.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>هم‌محور با محورها (Axis-Aligned)\u003C\u002Fstrong>: اضلاع شکل موازی با محورهای مختصات x و y باشند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>4\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (Greatest Common Divisor - GCD)\u003C\u002Fstrong>: بزرگترین عددی که هر دو عدد بر آن بخش‌پذیر باشند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>5\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>قسمت‌شکننده (Segment)\u003C\u002Fstrong>: بخشی از یک خط.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>6\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>هم‌اول (Relatively Prime\u002FCoprime)\u003C\u002Fstrong>: دو عدد صحیح که بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک آن‌ها برابر با ۱ باشد.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>7\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>خود عبور (Self-Intersecting)\u003C\u002Fstrong>: حالتی که اضلاع یک چندضلعی یکدیگر را قطع کنند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>8\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>حفره (Hole)\u003C\u002Fstrong>: ناحیه‌ای خالی و محصور در داخل یک چندضلعی.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 20px\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">نقاط مرزی\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">چندضلعی شبکه‌ای\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">قضیه پیک\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">بزرگترین مقسوم علیه مشترک\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">هندسه گسسته\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"نقاط مرزی","هندسه دهم","پایه دهم",0,368,"2026-01-03 16:47:09","2026-08-06 10:39:38","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F10\u002F13","10:39 1405\u002F05\u002F15",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,241,249,257,265,273,281,289,297,305,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},9385,"مکان هندسی:  مجموعهٔ همهٔ نقاطی که یک ویژگی مشترک دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9q5PWe1JAktpIJNyE3JH_200.png","2026-08-07 14:54:49","مکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-مشترک-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9385\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-مشترک-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9385\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-مشترک-دارند","1405\u002F05\u002F16",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":240},9386,"فاصلهٔ یک نقطه از یک نقطه:  طول پاره‌خطی که دو نقطه را به هم وصل می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FdHN8tZdTfgaCYmkuGwMV_200.png","2026-08-06 13:44:43","فاصله-یک-نقطه-از-یک-نقطه-طول-پارهخطی-که-دو-نقطه-را-به-هم-وصل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9386\u002Fفاصله-یک-نقطه-از-یک-نقطه-طول-پارهخطی-که-دو-نقطه-را-به-هم-وصل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9386\u002Fفاصله-یک-نقطه-از-یک-نقطه-طول-پارهخطی-که-دو-نقطه-را-به-هم-وصل-میکند","1405\u002F05\u002F15",{"id":242,"title":243,"cat":199,"pic":244,"up_date":245,"title_url":246,"url":247,"legacy_url":248,"cat_title":212,"update_jalali":240},9387,"فاصلهٔ یک نقطه از یک خط:  کوتاه‌ترین فاصلهٔ نقطه تا خط که با عمود اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKOrJ1Gfwh1naO8Slbiq2_200.png","2026-08-06 13:41:26","فاصله-یک-نقطه-از-یک-خط-کوتاهترین-فاصله-نقطه-تا-خط-که-با-عمود-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9387\u002Fفاصله-یک-نقطه-از-یک-خط-کوتاهترین-فاصله-نقطه-تا-خط-که-با-عمود-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9387\u002Fفاصله-یک-نقطه-از-یک-خط-کوتاهترین-فاصله-نقطه-تا-خط-که-با-عمود-اندازهگیری-میشود",{"id":250,"title":251,"cat":199,"pic":252,"up_date":253,"title_url":254,"url":255,"legacy_url":256,"cat_title":212,"update_jalali":240},9388,"دایره: مکان هندسی نقاطی که فاصله‌شان از یک نقطهٔ ثابت برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FIOJjEA4f7P61CMMzkNbB_200.png","2026-08-06 13:37:51","دایره-مکان-هندسی-نقاطی-که-فاصلهشان-از-یک-نقطه-ثابت-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9388\u002Fدایره-مکان-هندسی-نقاطی-که-فاصلهشان-از-یک-نقطه-ثابت-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9388\u002Fدایره-مکان-هندسی-نقاطی-که-فاصلهشان-از-یک-نقطه-ثابت-برابر-است",{"id":258,"title":259,"cat":199,"pic":260,"up_date":261,"title_url":262,"url":263,"legacy_url":264,"cat_title":212,"update_jalali":240},9389,"وتر: پاره‌خطی که دو نقطه روی دایره را به هم وصل می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FQBB7GUvKA2BjyN62nXey_200.png","2026-08-06 13:32:37","وتر-پارهخطی-که-دو-نقطه-روی-دایره-را-به-هم-وصل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9389\u002Fوتر-پارهخطی-که-دو-نقطه-روی-دایره-را-به-هم-وصل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9389\u002Fوتر-پارهخطی-که-دو-نقطه-روی-دایره-را-به-هم-وصل-میکند",{"id":266,"title":267,"cat":199,"pic":268,"up_date":269,"title_url":270,"url":271,"legacy_url":272,"cat_title":212,"update_jalali":240},9390,"نیمساز زاویه: مکان هندسی نقاطی که از دو ضلع یک زاویه فاصلهٔ برابر دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FRIYiMqRALjH8O02x1eJA_200.png","2026-08-06 13:30:09","نیمساز-زاویه-مکان-هندسی-نقاطی-که-از-دو-ضلع-یک-زاویه-فاصله-برابر-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9390\u002Fنیمساز-زاویه-مکان-هندسی-نقاطی-که-از-دو-ضلع-یک-زاویه-فاصله-برابر-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9390\u002Fنیمساز-زاویه-مکان-هندسی-نقاطی-که-از-دو-ضلع-یک-زاویه-فاصله-برابر-دارند",{"id":274,"title":275,"cat":199,"pic":276,"up_date":277,"title_url":278,"url":279,"legacy_url":280,"cat_title":212,"update_jalali":240},9391,"خط عمود از نقطهٔ روی خط: خطی که از نقطه عبور کرده و بر خط عمود است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FwYTm2RWT4MdxCMifLcqK_200.png","2026-08-06 13:25:27","خط-عمود-از-نقطه-روی-خط-خطی-که-از-نقطه-عبور-کرده-و-بر-خط-عمود-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9391\u002Fخط-عمود-از-نقطه-روی-خط-خطی-که-از-نقطه-عبور-کرده-و-بر-خط-عمود-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9391\u002Fخط-عمود-از-نقطه-روی-خط-خطی-که-از-نقطه-عبور-کرده-و-بر-خط-عمود-است",{"id":282,"title":283,"cat":199,"pic":284,"up_date":285,"title_url":286,"url":287,"legacy_url":288,"cat_title":212,"update_jalali":240},9392,"خط عمود از نقطهٔ بیرون خط: خطی که از نقطه‌ای خارج خط گذشته و بر آن عمود است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWQ3fN8BcjsVldCmJ9LHC_200.png","2026-08-06 13:22:16","خط-عمود-از-نقطه-بیرون-خط-خطی-که-از-نقطهای-خارج-خط-گذشته-و-بر-آن-عمود-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9392\u002Fخط-عمود-از-نقطه-بیرون-خط-خطی-که-از-نقطهای-خارج-خط-گذشته-و-بر-آن-عمود-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9392\u002Fخط-عمود-از-نقطه-بیرون-خط-خطی-که-از-نقطهای-خارج-خط-گذشته-و-بر-آن-عمود-است",{"id":290,"title":291,"cat":199,"pic":292,"up_date":293,"title_url":294,"url":295,"legacy_url":296,"cat_title":212,"update_jalali":240},9393,"عمودمنصف پاره‌خط: مکان هندسی نقاطی که از دو سر پاره‌خط فاصلهٔ برابر دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F3zBnJnIodLMM08jrZsM3_200.png","2026-08-06 13:19:22","عمودمنصف-پارهخط-مکان-هندسی-نقاطی-که-از-دو-سر-پارهخط-فاصله-برابر-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9393\u002Fعمودمنصف-پارهخط-مکان-هندسی-نقاطی-که-از-دو-سر-پارهخط-فاصله-برابر-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9393\u002Fعمودمنصف-پارهخط-مکان-هندسی-نقاطی-که-از-دو-سر-پارهخط-فاصله-برابر-دارند",{"id":298,"title":299,"cat":199,"pic":300,"up_date":301,"title_url":302,"url":303,"legacy_url":304,"cat_title":212,"update_jalali":240},9394,"خط موازی: دو خطی که در یک صفحه‌اند و هرگز همدیگر را قطع نمی‌کنند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDvayyWQUxj6THsEC2pq1_200.png","2026-08-06 13:18:07","خط-موازی-دو-خطی-که-در-یک-صفحهاند-و-هرگز-همدیگر-را-قطع-نمیکنند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9394\u002Fخط-موازی-دو-خطی-که-در-یک-صفحهاند-و-هرگز-همدیگر-را-قطع-نمیکنند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9394\u002Fخط-موازی-دو-خطی-که-در-یک-صفحهاند-و-هرگز-همدیگر-را-قطع-نمیکنند",{"id":306,"title":307,"cat":199,"pic":308,"up_date":309,"title_url":310,"url":311,"legacy_url":312,"cat_title":212,"update_jalali":240},9395,"چهارضلعی محدب: چهارضلعی‌ای که همهٔ زاویه‌های داخلی آن کمتر از ۱۸۰ درجه است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F40kyJtSaaM76WeBYxNMO_200.png","2026-08-06 13:15:10","چهارضلعی-محدب-چهارضلعیای-که-همه-زاویههای-داخلی-آن-کمتر-از-۱۸۰-درجه-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9395\u002Fچهارضلعی-محدب-چهارضلعیای-که-همه-زاویههای-داخلی-آن-کمتر-از-۱۸۰-درجه-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9395\u002Fچهارضلعی-محدب-چهارضلعیای-که-همه-زاویههای-داخلی-آن-کمتر-از-۱۸۰-درجه-است",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":240},9396,"مجموع زاویه‌های داخلی چهارضلعی: برابر ۳۶۰ درجه است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FblazxcWxmbC7a1uyWQuO_200.png","2026-08-06 13:13:03","مجموع-زاویههای-داخلی-چهارضلعی-برابر-۳۶۰-درجه-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F9396\u002Fمجموع-زاویههای-داخلی-چهارضلعی-برابر-۳۶۰-درجه-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F9396\u002Fمجموع-زاویههای-داخلی-چهارضلعی-برابر-۳۶۰-درجه-است"]