[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-7959":193,"$fE0QwWNqTjuGZdQ6ZooWNikAGBNXVOHk3HxP8eiNV7Mw":216},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":207,"status":4,"views":208,"subdate":209,"up_date":210,"first_name":211,"last_name":212,"avatar":13,"cat_title":213,"subdate_jalali":214,"update_jalali":215},7959,1170,1171,4924,"عدد هماهنگ: شماره مشخصه حالت نوسانی",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJqXMlh3dskSWCT7Ncap2_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"مقاله: عدد هماهنگ (Harmonic number)\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">عدد هماهنگ\u003Csup>[1]\u003C\u002Fsup>: کلید رمزگشایی از نوسان و ریتم در ریاضیات و طبیعت\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">از موسیقی تا پل‌های معلق: چگونه یک مفهوم ساده‌ی ریاضی، دنیای اطراف ما را توضیح می‌دهد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">عدد هماهنگ که به مجموع معکوس اعداد طبیعی شناخته می‌شود، یکی از مفاهیم بنیادی و زیبای ریاضیات است. این مقاله به زبان ساده، از تعریف اولیه و تاریخچه‌ی این اعداد شروع می‌کند و سپس \u003Cstrong>کاربردهای عملی\u003C\u002Fstrong> آن را در \u003Cstrong>فیزیک نوسان\u003C\u002Fstrong>، \u003Cstrong>موسیقی\u003C\u002Fstrong> و حتی \u003Cstrong>علوم کامپیوتر\u003C\u002Fstrong> بررسی می‌کند. با مطالعه‌ی این مقاله، دانش‌آموزان با مفهوم \u003Cstrong>سری\u003C\u002Fstrong>، \u003Cstrong>هماهنگی\u003C\u002Fstrong> در طبیعت و ارتباط ریاضی با دنیای واقعی آشنا خواهند شد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">عدد هماهنگ چیست و چگونه محاسبه می‌شود؟\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در ریاضیات، \u003Cstrong>عدد هماهنگ\u003C\u002Fstrong> به عددی گفته می‌شود که از جمع معکوس چند عدد طبیعی متوالی (از 1 شروع می‌شود) به دست می‌آید. به زبان ساده، اگر عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">n\u003C\u002Fspan> را انتخاب کنیم، عدد هماهنگ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">H\u003Csub>n\u003C\u002Fsub>\u003C\u002Fspan> برابر است با:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ H_n = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{4} + ... + \\frac{1}{n} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>برای مثال، اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">n = 3\u003C\u002Fspan> باشد، عدد هماهنگ سوم به این صورت محاسبه می‌شود:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ H_3 = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} = 1 + 0.5 + 0.333... = 1.8333... $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>این مفهوم، قرن‌هاست که ریاضیدانان را مجذوب خود کرده است. نام «هماهنگ» به دلیل ارتباط عمیق آن با مفهوم \u003Cstrong>هماهنگی\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>[2]\u003C\u002Fsup> در موسیقی و فیزیک روی آن گذاشته شده است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقادیر اولیه اعداد هماهنگ\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">عدد طبیعی (n)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">عدد هماهنگ (H\u003Csub>n\u003C\u002Fsub>)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مقدار تقریبی (اعشاری)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">یادداشت\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ 1 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1.0000\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">پایه و اساس\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ 1 + \\frac{1}{2} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1.5000\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">معرفی کسر\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1.8333\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مثال عملی بالا\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">5\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ H_5 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">≈2.2833\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">رشد آهسته\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">10\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ H_{10} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">≈2.9290\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">هنوز کمتر از 3\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">ریشه‌های تاریخی: از ریاضیدانان یونان باستان تا قرون وسطی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>مطالعه‌ی اعداد هماهنگ به دوران باستان بازمی‌گردد. \u003Cstrong>فیثاغورث\u003Csup>[3]\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fstrong> و شاگردانش کشف کردند که نسبت طول سیم‌های مرتعش با نسبت‌های اعداد صحیح ساده (مثل 2:1، 3:2) اصوات خوشایند یا «هماهنگ» تولید می‌کند. این کشف، پایه‌ی فیزیک صوت و تئوری موسیقی شد. بعدها، ریاضیدان قرون وسطایی، \u003Cstrong>نیکل اورسم\u003Csup>[4]\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fstrong>، در قرن چهاردهم میلادی، مفهوم سری‌های هم‌ارز با اعداد هماهنگ را بررسی و حتی آزمونی برای واگرایی\u003Csup>[5]\u003C\u002Fsup> آن ارائه کرد که نشان می‌داد اگر این اعداد را به اندازه‌ی کافی ادامه دهیم، می‌تواند از هر عددی بزرگ‌تر شود، اگرچه بسیار آهسته.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>یک آزمایش ذهنی جالب: فرض کنید می‌خواهید با آجرهای یکسان یک طاقچه بسازید. بزرگترین \u003Cem>پیش‌آمدگی\u003C\u002Fem> چقدر می‌تواند باشد که کل سازه نیفتد؟ جواب شگفت‌انگیز است: اگر تعداد آجرها نامحدود باشد، در تئوری می‌توانید طاقچه‌ای بسازید که تا بی‌نهایت جلو بیاید! زیرا طول کل پیش‌آمدگی متناسب با نصف عدد هماهنگ است که با افزایش تعداد آجرها، بی‌نهایت می‌شود. این مسئله‌ی معروف «پشته‌ی کارت‌های در معرض سقوط»\u003Csup>[6]\u003C\u002Fsup> را مدل می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">نقش عدد هماهنگ در فیزیک و مهندسی: داستان نوسان و ریزش\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">کاربرد عملی\u003C\u002Fspan> این اعداد فراتر از ریاضیات محض است. در فیزیک، به ویژه در مطالعه‌ی \u003Cstrong>حرکت نوسانی\u003Csup>[7]\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>امواج ایستاده\u003Csup>[8]\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fstrong>، اعداد هماهنگ ظاهر می‌شوند. فرکانس‌های طبیعی\u003Csup>[9]\u003C\u002Fsup> یک سیم مرتعش (مثل سیم گیتار) یا یک ستون هوای درون ساز بادی، به صورت مضارب صحیحی از یک فرکانس پایه هستند. اگر فرکانس پایه را \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ f $\u003C\u002Fspan> در نظر بگیریم، فرکانس‌های بعدی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2f\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3f\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4f\u003C\u002Fspan> و ... خواهند بود. این مضارب، دقیقاً معکوس همان نسبت‌های فیثاغورثی هستند و عدد هماهنگ به نوعی «خلاصه» یا ویژگی جمعی این سیستم‌های نوسانی را توصیف می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>مثال دیگر در مهندسی عمران و تحلیل پایداری است. همان مسئله‌ی طاقچه‌ی آجری یا انباشتن کارت، مدل ساده‌ای از تحلیل \u003Cstrong>ریزش\u003Csup>[10]\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fstrong> و توزیع نیروها ارائه می‌دهد که در آن مجموع یک سری (شبیه عدد هماهنگ) حد پایداری را تعیین می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">عدد هماهنگ در علوم کامپیوتر: تحلیل سرعت الگوریتم‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در دنیای دیجیتال و علوم کامپیوتر، اعداد هماهنگ برای تحلیل \u003Cstrong>کارایی\u003Csup>[11]\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fstrong> الگوریتم‌ها ظاهر می‌شوند. یک مثال کلاسیک، تحلیل میانگین زمان جست‌وجو در یک ساختار داده‌ی خاص به نام «درهم‌سازی\u003Csup>[12]\u003C\u002Fsup> با زنجیره‌سازی» است. در شرایط ایده‌آل، میانگین تعداد مراحل مورد نیاز برای یافتن یک داده، تقریباً برابر با عدد هماهنگ می‌شود که خود نشان‌دهنده‌ی عملکرد بسیار خوب این روش است. همچنین در تحلیل برخی از روش‌های تصادفی\u003Csup>[13]\u003C\u002Fsup> یا مسائل مربوط به «کوپن کالکتر\u003Csup>[14]\u003C\u002Fsup>» (مثلاً برای جمع‌آوری تمام کارت‌های یک مجموعه)، از رشد لگاریتمی اعداد هماهنگ استفاده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>رابطه‌ی تقریبی مهم:\u003C\u002Fstrong> برای مقادیر بزرگ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">n\u003C\u002Fspan>، عدد هماهنگ را می‌توان با این فرمول ساده‌شده تخمین زد:\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 8px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ H_n \\approx \\ln(n) + \\gamma $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\nکه در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\ln(n) $\u003C\u002Fspan> لگاریتم طبیعی\u003Csup>[15]\u003C\u002Fsup> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\gamma $\u003C\u002Fspan> (گاما) عددی ثابت به نام «ثابت اویلر-ماسکرونی»\u003Csup>[16]\u003C\u002Fsup> و تقریباً برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">0.5772\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">آزمایش‌های ساده برای درک بهتر در خانه یا کلاس\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>شما می‌توانید مفهوم عدد هماهنگ را با آزمایش‌های عملی ساده‌ای درک کنید. \u003Cstrong>آزمایش صوتی:\u003C\u002Fstrong> یک اپلیکیشن تولید کننده‌ی تن خالص\u003Csup>[17]\u003C\u002Fsup> روی تلفن همراه خود دانلود کنید. فرکانس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">440 Hz\u003C\u002Fspan> (نت لا) را پخش کنید. سپس فرکانس‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">880 Hz\u003C\u002Fspan> (دو برابر) و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">660 Hz\u003C\u002Fspan> (یک و نیم برابر) را بشنوید. این صداها به ترتیب با نت اصلی «هماهنگ» هستند و گوش انسان آن‌ها را خوشایند می‌یابد. این مضارب، ارتباط مستقیم با مفهوم سری‌های هماهنگ دارند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>آزمایش مکانیکی:\u003C\u002Fstrong> تعدادی کارت بازی یا کتاب یکسان را بردارید و سعی کنید با جلو آوردن تدریجی هر کدام از لبه، یک برج یا پشته با حداکثر پیش‌آمدگی بسازید. خواهید دید که با رعایت قاعده‌ی خاصی (پیش‌آمدگی کارت nام به اندازه‌ی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u002F(2n)\u003C\u002Fspan> طول کارت)، می‌توانید برجی شگفت‌انگیز و ناپایدار به نظر برسید! کل پیش‌آمدگی برابر نصف عدد هماهنگ خواهد بود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال 1:\u003C\u002Fstrong> آیا عدد هماهنگ همیشه یک عدد کسری (گویا) است؟ آیا می‌تواند یک عدد صحیح شود؟\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 8px; padding-bottom: 12px\">\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">n=1\u003C\u002Fspan>، پاسخ صحیح (1) است. اما برای هر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">n > 1\u003C\u002Fspan>، عدد هماهنگ \u003Cstrong>هرگز\u003C\u002Fstrong> یک عدد صحیح نیست و همیشه یک کسر است. حتی یک قضیه‌ی معروف در ریاضیات این را اثبات می‌کند. همچنین جالب است بدانید که برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">n > 1\u003C\u002Fspan>، این عدد حتی یک عدد اعشاری مختوم (تمام‌شونده) نیز نیست.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال 2:\u003C\u002Fstrong> رشد اعداد هماهنگ چقدر سریع است؟ آیا اگر n خیلی بزرگ شود، H\u003Csub>n\u003C\u002Fsub> هم خیلی بزرگ می‌شود؟\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 8px; padding-bottom: 12px\">\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> رشد اعداد هماهنگ \u003Cem>بسیار آهسته\u003C\u002Fem> است، به‌طوری که به آن «رشد لگاریتمی» می‌گویند. برای درک این موضوع، به جدول بالا نگاه کنید: H\u003Csub>10\u003C\u002Fsub> ≈ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2.93\u003C\u002Fspan> و H\u003Csub>100\u003C\u002Fsub> ≈ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">5.19\u003C\u002Fspan> است. برای اینکه H\u003Csub>n\u003C\u002Fsub> به عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">10\u003C\u002Fspan> برسد، نیاز به n در حدود \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">12,000\u003C\u002Fspan> داریم! اما قضیه‌ی جالب اینجاست: اگر n به سمت بی‌نهایت برود، H\u003Csub>n\u003C\u002Fsub> نیز به سمت بی‌نهایت می‌رود (واگرا می‌شود). یعنی هیچ سقف و حد بالایی برای آن وجود ندارد، فقط با سرعت بسیار کمی بزرگ می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال 3:\u003C\u002Fstrong> تفاوت عدد هماهنگ با میانگین هماهنگ\u003Csup>[18]\u003C\u002Fsup> چیست؟ اشتباه نگیریم!\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 8px\">\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> این دو مفهوم کاملاً متفاوت هستند ولی نام‌های مشابهی دارند.\r\n\r\n\u003Cul style=\"margin-top: 8px; padding-right: 20px\">\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>عدد هماهنگ (H\u003Csub>n\u003C\u002Fsub>):\u003C\u002Fstrong> یک \u003Cem>جمع\u003C\u002Fem> از معکوس اعداد است. نتیجه یک عدد منفرد است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>میانگین هماهنگ:\u003C\u002Fstrong> یک نوع \u003Cem>میانگین\u003C\u002Fem> (مثل میانگین حسابی) بین چند عدد است. برای دو عدد a و b، میانگین هماهنگ برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\frac{2}{\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b}} $\u003C\u002Fspan>. از این میانگین در محاسبه‌ی چیزهایی مانند سرعت متوسط در مسافت‌های یکسان استفاده می‌شود.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> عدد هماهنگ (H\u003Csub>n\u003C\u002Fsub>) یک مفهوم ریاضی ظریف و پرکاربرد است که از جمع معکوس اعداد طبیعی به دست می‌آید. ریشه در مطالعات کهن فیثاغورثی بر هماهنگی اصوات دارد و امروز پلی است بین ریاضیات محض، فیزیک (نوسان و صوت)، مهندسی (پایداری) و علوم کامپیوتر (تحلیل الگوریتم). درک این مفهوم به ما نشان می‌دهد که چگونه یک ایده‌ی ساده‌ی ریاضی می‌تواند ریتم و ساختار پنهان در پدیده‌های متنوع جهان، از موسیقی یک گیتار تا سرعت یک برنامه‌ی کامپیوتری را توضیح دهد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp style=\"color: #5d6d7e; font-size: 14px\">[1] Harmonic Number (عدد هماهنگ)\u003Cbr>\r\n[2] Harmony (هماهنگی)\u003Cbr>\r\n[3] Pythagoras (فیثاغورث)\u003Cbr>\r\n[4] Nicole Oresme (نیکل اورسم)\u003Cbr>\r\n[5] Divergence (واگرایی) - به این معنی که مجموع جملات سری به عددی محدود میل نمی‌کند و می‌تواند بی‌نهایت بزرگ شود.\u003Cbr>\r\n[6] The Leaning Tower of Lire یا Book Stacking Problem (مسئله‌ی انباشتن کتاب\u002Fکارت)\u003Cbr>\r\n[7] Oscillatory Motion (حرکت نوسانی)\u003Cbr>\r\n[8] Standing Waves (امواج ایستاده)\u003Cbr>\r\n[9] Natural Frequencies (فرکانس‌های طبیعی)\u003Cbr>\r\n[10] Toppling (ریزش، واژگونی)\u003Cbr>\r\n[11] Efficiency (کارایی، بازده)\u003Cbr>\r\n[12] Hashing with Chaining (درهم‌سازی با زنجیره‌سازی)\u003Cbr>\r\n[13] Randomized Algorithms (الگوریتم‌های تصادفی)\u003Cbr>\r\n[14] Coupon Collector Problem (مسئله‌ی جمع‌آوری کوپن)\u003Cbr>\r\n[15] Natural Logarithm (لگاریتم طبیعی)\u003Cbr>\r\n[16] Euler–Mascheroni Constant (ثابت اویلر-ماسکرونی)\u003Cbr>\r\n[17] Pure Tone (تن خالص، موج سینوسی)\u003Cbr>\r\n[18] Harmonic Mean (میانگین هماهنگ)\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 20px\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">سری‌های ریاضی\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; margin-right: 8px; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">فیزیک نوسان\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; margin-right: 8px; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">تئوری موسیقی\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; margin-right: 8px; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">تحلیل الگوریتم\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; margin-right: 8px; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">رشد لگاریتمی\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205,206],"عدد هماهنگ","Harmonic number","فیزیک دوازدهم","پایه دوازدهم",0,160,"2025-12-10 14:40:44","2026-08-19 19:03:44","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1404\u002F09\u002F19","19:03 1405\u002F05\u002F28",{"tests":217,"papers":218,"files":219,"questions":220,"exams":221,"tutorials":222,"blogs":223},[],[],[],[],[],[],[224,233,241,249,257,265,273,281,289,297,305,313],{"id":225,"title":226,"cat":199,"pic":227,"up_date":228,"title_url":229,"url":230,"legacy_url":231,"cat_title":213,"update_jalali":232},7701,"آستانهٔ دردناکى: حداقل شدت صوت ایجادکننده درد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlVFoIsv5riLsMk2Gt8WA_200.png","2026-08-20 02:25:42","آستانه-دردناکى-حداقل-شدت-صوت-ایجادکننده-درد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7701\u002Fآستانه-دردناکى-حداقل-شدت-صوت-ایجادکننده-درد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7701\u002Fآستانه-دردناکى-حداقل-شدت-صوت-ایجادکننده-درد","1405\u002F05\u002F29",{"id":234,"title":235,"cat":199,"pic":236,"up_date":237,"title_url":238,"url":239,"legacy_url":240,"cat_title":213,"update_jalali":232},7703,"آستانهٔ شنواىى: حداقل شدت صوت قابل شنیدن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlFfkFnVTBLiFxViurMjJ_200.png","2026-08-20 02:23:42","آستانه-شنواىى-حداقل-شدت-صوت-قابل-شنیدن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7703\u002Fآستانه-شنواىى-حداقل-شدت-صوت-قابل-شنیدن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7703\u002Fآستانه-شنواىى-حداقل-شدت-صوت-قابل-شنیدن",{"id":242,"title":243,"cat":199,"pic":244,"up_date":245,"title_url":246,"url":247,"legacy_url":248,"cat_title":213,"update_jalali":232},7705,"آشفتگى: تغییر موضعی در محیط برای ایجاد موج","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1ynzQB0jSQoYL4lqCuF1_200.png","2026-08-20 02:19:22","آشفتگى-تغییر-موضعی-در-محیط-برای-ایجاد-موج","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7705\u002Fآشفتگى-تغییر-موضعی-در-محیط-برای-ایجاد-موج","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7705\u002Fآشفتگى-تغییر-موضعی-در-محیط-برای-ایجاد-موج",{"id":250,"title":251,"cat":199,"pic":252,"up_date":253,"title_url":254,"url":255,"legacy_url":256,"cat_title":213,"update_jalali":232},7707,"آشکارسازى: شناسایی وجود پدیده فیزیکی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FvKow1UCtZR5ZZsfnkMG4_200.png","2026-08-20 02:16:56","آشکارسازى-شناسایی-وجود-پدیده-فیزیکی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7707\u002Fآشکارسازى-شناسایی-وجود-پدیده-فیزیکی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7707\u002Fآشکارسازى-شناسایی-وجود-پدیده-فیزیکی",{"id":258,"title":259,"cat":199,"pic":260,"up_date":261,"title_url":262,"url":263,"legacy_url":264,"cat_title":213,"update_jalali":232},7709,"آونگ: جرم معلق از نقطه ثابت برای نوسان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FdwFUUwrikLwk8B3Yrqi7_200.png","2026-08-20 02:15:00","آونگ-جرم-معلق-از-نقطه-ثابت-برای-نوسان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7709\u002Fآونگ-جرم-معلق-از-نقطه-ثابت-برای-نوسان","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7709\u002Fآونگ-جرم-معلق-از-نقطه-ثابت-برای-نوسان",{"id":266,"title":267,"cat":199,"pic":268,"up_date":269,"title_url":270,"url":271,"legacy_url":272,"cat_title":213,"update_jalali":232},7710,"آونگ ساده: نقطه‌جرم معلق از رشته بدون جرم","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F3smIxMgsrrgH1QppnUBQ_200.png","2026-08-20 02:13:38","آونگ-ساده-نقطهجرم-معلق-از-رشته-بدون-جرم","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7710\u002Fآونگ-ساده-نقطهجرم-معلق-از-رشته-بدون-جرم","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7710\u002Fآونگ-ساده-نقطهجرم-معلق-از-رشته-بدون-جرم",{"id":274,"title":275,"cat":199,"pic":276,"up_date":277,"title_url":278,"url":279,"legacy_url":280,"cat_title":213,"update_jalali":232},7712,"آىنهٔ تخت: سطح صیقلی بازتاب‌دهنده نور","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FRD3Z3rUNIxQiTyvySnYv_200.png","2026-08-20 02:11:58","آىنه-تخت-سطح-صیقلی-بازتابدهنده-نور","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7712\u002Fآىنه-تخت-سطح-صیقلی-بازتابدهنده-نور","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7712\u002Fآىنه-تخت-سطح-صیقلی-بازتابدهنده-نور",{"id":282,"title":283,"cat":199,"pic":284,"up_date":285,"title_url":286,"url":287,"legacy_url":288,"cat_title":213,"update_jalali":232},7714,"اثر دوپلر: تغییر بسامد موج به دلیل حرکت منبع یا ناظر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FAEewHxZY2hNhim1RJ2JW_200.png","2026-08-20 02:10:22","اثر-دوپلر-تغییر-بسامد-موج-به-دلیل-حرکت-منبع-یا-ناظر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7714\u002Fاثر-دوپلر-تغییر-بسامد-موج-به-دلیل-حرکت-منبع-یا-ناظر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7714\u002Fاثر-دوپلر-تغییر-بسامد-موج-به-دلیل-حرکت-منبع-یا-ناظر",{"id":290,"title":291,"cat":199,"pic":292,"up_date":293,"title_url":294,"url":295,"legacy_url":296,"cat_title":213,"update_jalali":232},7716,"اثر فوتوالکترىک: انتشار الکترون از سطح به دلیل تابش نور","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FL4FoOUjgmBlfDfbqAWgs_200.png","2026-08-20 02:08:25","اثر-فوتوالکترىک-انتشار-الکترون-از-سطح-به-دلیل-تابش-نور","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7716\u002Fاثر-فوتوالکترىک-انتشار-الکترون-از-سطح-به-دلیل-تابش-نور","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7716\u002Fاثر-فوتوالکترىک-انتشار-الکترون-از-سطح-به-دلیل-تابش-نور",{"id":298,"title":299,"cat":199,"pic":300,"up_date":301,"title_url":302,"url":303,"legacy_url":304,"cat_title":213,"update_jalali":232},7718,"اجاق میکروموج: دستگاه پخت‌وپز با امواج میکرو","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ8OGb9afvV5f0QFpvD6M_200.png","2026-08-20 02:07:04","اجاق-میکروموج-دستگاه-پختوپز-با-امواج-میکرو","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7718\u002Fاجاق-میکروموج-دستگاه-پختوپز-با-امواج-میکرو","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7718\u002Fاجاق-میکروموج-دستگاه-پختوپز-با-امواج-میکرو",{"id":306,"title":307,"cat":199,"pic":308,"up_date":309,"title_url":310,"url":311,"legacy_url":312,"cat_title":213,"update_jalali":232},7719,"ارتعاش: حرکت دوره‌ای حول نقطه تعادل","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9mJCLJjtiFNQtfPacs8l_200.png","2026-08-20 01:59:53","ارتعاش-حرکت-دورهای-حول-نقطه-تعادل","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7719\u002Fارتعاش-حرکت-دورهای-حول-نقطه-تعادل","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7719\u002Fارتعاش-حرکت-دورهای-حول-نقطه-تعادل",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":213,"update_jalali":232},7721,"ارتفاع صوت: حس شنوایی مرتبط با بسامد صوت","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FNYtyPvbgpXRNA8sSYeUs_200.png","2026-08-20 01:58:12","ارتفاع-صوت-حس-شنوایی-مرتبط-با-بسامد-صوت","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7721\u002Fارتفاع-صوت-حس-شنوایی-مرتبط-با-بسامد-صوت","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7721\u002Fارتفاع-صوت-حس-شنوایی-مرتبط-با-بسامد-صوت"]