[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-7740":193,"$f3Tr3Xzom_XYzGr9W6mNH_AXYvVN1sVzykMEIMHFnQp0":214},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":47,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":196,"status":4,"views":206,"subdate":207,"up_date":208,"first_name":209,"last_name":210,"avatar":13,"cat_title":211,"subdate_jalali":212,"update_jalali":213},7740,5,0,280,"دوران مستطیل حول یک ضلع: ایجاد استوانه",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQArm69D7BRh5TE3NZGZ_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"مقاله: دوران مستطیل و ایجاد استوانه\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">دوران مستطیل و راز پیدایش استوانه\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">چگونه با چرخاندن یک شکل سادهٔ دوبعدی، یک حجم سه‌بعدی زیبا و کاربردی به دست می‌آوریم؟\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله، با یک آزمایش ذهنی جالب آشنا می‌شویم: اگر یک مستطیل را حول یکی از ضلع‌هایش بچرخانیم، چه شکلی ایجاد می‌شود؟ پاسخ، یک استوانه است. ما به زبان ساده و با مثال‌هایی از زندگی روزمره مانند قوطی نوشابه و لوله، به بررسی رابطهٔ بین این دو شکل، محاسبهٔ مساحت و حجم، و کاربردهای عملی آن می‌پردازیم. این مفاهیم پایه‌ای هندسه برای دانش‌آموزان پایهٔ نهم به شکلی گام‌به‌گام و قابل فهم ارائه شده‌اند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">از مستطیل مسطح تا استوانهٔ سه‌بعدی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>یک مستطیل را تصور کنید که روی میز قرار دارد. این شکل، فقط طول و عرض دارد؛ یعنی یک شکل \u003Cem>دوبعدی\u003C\u002Fem>\u003Csup>۱\u003C\u002Fsup> است. حالا فرض کنید این مستطیل، مانند یک پرهٔ پنکه، به دور یکی از ضلع‌های خود شروع به چرخش کند. این ضلع، محور دوران نامیده می‌شود. در حین چرخش سریع، شکل جدیدی در فضا شکل می‌گیرد که دارای طول، عرض و \u003Cstrong>ارتفاع\u003C\u002Fstrong> است؛ یعنی یک شکل \u003Cem>سه‌بعدی\u003C\u002Fem>\u003Csup>۲\u003C\u002Fsup>. به این شکل جدید، \u003Cstrong>استوانه\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>۳\u003C\u002Fsup> می‌گوییم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکتهٔ کلیدی:\u003C\u002Fstrong> در این تبدیل، ضلعی که محور دوران است، ارتفاع استوانه می‌شود و ضلع مقابل آن، محیط دایرهٔ پایه را تشکیل می‌دهد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">شناخت اجزای استوانه حاصل از دوران\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>وقتی مستطیل می‌چرخد، هر قسمت از آن به بخشی از استوانه تبدیل می‌شود. برای درک بهتر، اجزای اصلی استوانه را در جدول زیر می‌بینیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول ارتباط اجزای مستطیل و استوانه\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">جزء در مستطیل اولیه\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نقش در استوانهٔ نهایی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">توضیح و مثال\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ضلع محور دوران\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ارتفاع (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">h\u003C\u002Fspan>) استوانه\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مانند طول قوطی کنسرو. اگر ضلع مستطیل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">5\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر باشد، ارتفاع استوانه نیز \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">5\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر است.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ضلع مقابل محور\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">محیط دایرهٔ پایه (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">P = 2πr\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">این ضلع در حین چرخش، یک دایره کامل را ترسیم می‌کند. طول این ضلع برابر با محیط دایره می‌شود.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ضلع‌های مجاور محور (دو ضلع)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">شعاع (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r\u003C\u002Fspan>) دایرهٔ پایه\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">طول هر یک از این ضلع‌ها، برابر با شعاع دایره‌ای می‌شود که در پایهٔ استوانه تشکیل می‌شود.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">کل سطح مستطیل\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مساحت جانبی استوانه\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">اگر مستطیل را باز کنید، به نوار جانبی استوانه تبدیل می‌شود. مساحت این نوار از فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ A_{جانبی} = 2\\pi r h $\u003C\u002Fspan> به دست می‌آید.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">محاسبه‌ها: از ابعاد مستطیل به حجم استوانه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>اگر ابعاد مستطیل را بدانیم، می‌توانیم مشخصات استوانهٔ حاصل را محاسبه کنیم. فرض کنید یک مستطیل داریم که طول آن (ضلع محور) \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">8\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر و عرض آن (ضلع مجاور محور) \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>ارتفاع استوانه (h):\u003C\u002Fstrong> برابر با طول ضلع محور، یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">8 cm\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>شعاع پایه (r):\u003C\u002Fstrong> برابر با طول ضلع مجاور محور، یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3 cm\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>محیط پایه:\u003C\u002Fstrong> از رابطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ P = 2 \\pi r $\u003C\u002Fspan> محاسبه می‌شود. با تقریب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">π ≈ 3.14\u003C\u002Fspan>، می‌شود: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ 2 \\times 3.14 \\times 3 = 18.84 \\, cm $\u003C\u002Fspan>. جالب است که این عدد برابر با طول ضلع مقابل محور در مستطیل اولیه است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>فرمول حجم استوانه:\u003C\u002Fstrong> حجم استوانه از رابطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ V = \\pi r^{2} h $\u003C\u002Fspan> به دست می‌آید. در مثال ما: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ V = 3.14 \\times (3)^{2} \\times 8 = 3.14 \\times 9 \\times 8 = 226.08 \\, cm^{3} $\u003C\u002Fspan>. یعنی این استوانه حدود \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">226\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر مکعب گنجایش دارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">استوانه در زندگی: از آشپزخانه تا خیابان\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>استوانه‌ها همه‌جا هستند! این بار که یک قوطی نوشابه را برداشتید، به آن به چشم یک مستطیل چرخیده نگاه کنید. بدنهٔ قوطی همان نوار جانبی استوانه است. \u003Cstrong>لوله‌های آب\u003C\u002Fstrong> هم مثال بارزی هستند: اگر مقطع آن‌ها دایره باشد، در واقع از دوران یک مستطیل بسیار بلند و باریک حول طولش به وجود آمده‌اند. این شکل باعث می‌شود لوله‌ها در برابر فشار مقاومت خوبی داشته باشند و مایعات به راحتی در آن‌ها جریان یابد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>شمع‌های استوانه‌ای، غلتک‌های نقاشی، برخی از باتری‌ها و حتی ستون‌های گرد برخی ساختمان‌ها، همگی نمونه‌هایی از این حجم پرکاربرد هستند. دلیل این همه کاربرد، استحکام و سادگی ساخت این شکل است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سؤال:\u003C\u002Fstrong> آیا چرخاندن مستطیل حول هر ضلعی، یک استوانهٔ یکسان تولید می‌کند؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر. ارتفاع و شعاع استوانهٔ حاصل، وابسته به این است که حول کدام ضلع بچرخد. اگر حول ضلع کوتاه‌تر بچرخد، استوانه‌ای \u003Cem>کوتاه و پهن\u003C\u002Fem> و اگر حول ضلع بلندتر بچرخد، استوانه‌ای \u003Cem>بلند و نازک\u003C\u002Fem> ایجاد می‌شود. حجم این دو استوانه نیز با هم متفاوت خواهد بود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سؤال:\u003C\u002Fstrong> رابطهٔ بین مساحت مستطیل و مساحت جانبی استوانه چیست؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> مساحت جانبی استوانه دقیقاً برابر با مساحت مستطیل اولیه است. زیرا در عمل چرخش، مستطیل بدون هیچ فشرده یا کشیده‌شدنی، فقط خم شده و سطح جانبی استوانه را می‌سازد. اگر طول مستطیل را \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">L\u003C\u002Fspan> و عرض آن را \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">W\u003C\u002Fspan> در نظر بگیریم، داریم: مساحت مستطیل = \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">L × W\u003C\u002Fspan>. از طرفی در استوانه، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">L = h\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">W = محیط دایره = 2πr\u003C\u002Fspan>. پس مساحت جانبی استوانه می‌شود: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ h \\times (2\\pi r) = 2\\pi r h $\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سؤال:\u003C\u002Fstrong> آیا می‌توان با دوران یک مربع نیز استوانه درست کرد؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله، قطعاً. مربع یک مستطیل خاص است که همه‌ی ضلع‌هایش برابرند. وقتی یک مربع را حول یک ضلعش بچرخانیم، استوانه‌ای ایجاد می‌شود که ارتفاع و قطر قاعده‌ی آن با هم برابرند (چون ضلع‌های مجاور محور که شعاع را می‌سازند، با ضلع محور که ارتفاع را می‌سازد، برابر است).\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> در این مقاله دیدیم که چگونه یک مفهوم سادهٔ هندسی —چرخش یک شکل حول یک محور— می‌تواند رابطهٔ جالبی بین اشکال دو بعدی و سه بعدی ایجاد کند. دوران مستطیل حول یک ضلع، منجر به پیدایش استوانه می‌شود. با درک این رابطه، می‌توانیم اجزای مستطیل را به اجزای استوانه (شعاع، ارتفاع، محیط) ارتباط دهیم و حتی مساحت و حجم آن را محاسبه کنیم. این مفهوم انتزاعی، در بسیاری از اشیای اطراف ما تجسم یافته و درک آن، پایه‌ای برای یادگیری مفاهیم پیشرفته‌تر هندسه است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>۱\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>دوبعدی (2D):\u003C\u002Fstrong> به اشکالی گفته می‌شود که فقط دو بعد طول و عرض دارند و بر روی یک صفحه قرار می‌گیرند، مانند مربع، دایره یا مثلث. (مخفف انگلیسی: Two Dimensional)\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>۲\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>سه‌بعدی (3D):\u003C\u002Fstrong> به اشیایی گفته می‌شود که دارای سه بعد طول، عرض و ارتفاع (یا عمق) هستند و در فضا حجم اشغال می‌کنند، مانند مکعب، کره یا استوانه. (مخفف انگلیسی: Three Dimensional)\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>۳\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>استوانه (Cylinder):\u003C\u002Fstrong> یک حجم هندسی است که از دو پایهٔ دایره‌ای هم‌شکل و موازی و یک سطح جانبی منحنی که این دو پایه را به هم وصل می‌کند، تشکیل شده است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>۴\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>مساحت جانبی (Lateral Surface Area):\u003C\u002Fstrong> مساحت سطحی از یک حجم که پایه‌های آن را شامل نمی‌شود. برای استوانه، این سطح به شکل یک مستطیل خمیده است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 20px\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">دوران اشکال هندسی\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">حجم استوانه\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">مساحت جانبی\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">هندسه فضایی\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">کاربرد ریاضی در زندگی\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ نهم","ریاضی نهم","دوران مستطیل حول یک ضلع",1599,"2025-12-06 16:42:57","2026-08-21 16:49:50","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1404\u002F09\u002F15","16:49 1405\u002F05\u002F30",{"tests":215,"papers":216,"files":217,"questions":218,"exams":219,"tutorials":220,"blogs":221},[],[],[],[],[],[],[222,231,240,248,256,264,272,280,288,296,304,312],{"id":223,"title":224,"cat":199,"pic":225,"up_date":226,"title_url":227,"url":228,"legacy_url":229,"cat_title":211,"update_jalali":230},7322,"فضای نمونه: مجموعه همه حالت‌های ممکن در یک آزمایش تصادفی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2B8Hd5R8FToEKFB3JcgF_200.png","2026-09-10 11:28:24","فضای-نمونه-مجموعه-همه-حالتهای-ممکن-در-یک-آزمایش-تصادفی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7322\u002Fفضای-نمونه-مجموعه-همه-حالتهای-ممکن-در-یک-آزمایش-تصادفی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7322\u002Fفضای-نمونه-مجموعه-همه-حالتهای-ممکن-در-یک-آزمایش-تصادفی","1405\u002F06\u002F19",{"id":232,"title":233,"cat":199,"pic":234,"up_date":235,"title_url":236,"url":237,"legacy_url":238,"cat_title":211,"update_jalali":239},7266,"مجموعه: دسته‌ای از اشیای مشخص و متمایز که عضویت هر شیء در آن کاملاً معین باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEp3Lj8jfs1Z8p7EozNIN_200.png","2026-08-21 23:28:21","مجموعه-دستهای-از-اشیای-مشخص-و-متمایز-که-عضویت-هر-شیء-در-آن-کاملا-معین-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7266\u002Fمجموعه-دستهای-از-اشیای-مشخص-و-متمایز-که-عضویت-هر-شیء-در-آن-کاملا-معین-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7266\u002Fمجموعه-دستهای-از-اشیای-مشخص-و-متمایز-که-عضویت-هر-شیء-در-آن-کاملا-معین-باشد","1405\u002F05\u002F30",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":211,"update_jalali":239},7267,"عضو مجموعه: هر یک از اشیایی که در یک مجموعه قرار می‌گیرد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FdYIUvyp7g2lMoUEvtfwk_200.png","2026-08-21 23:26:57","عضو-مجموعه-هر-یک-از-اشیایی-که-در-یک-مجموعه-قرار-میگیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7267\u002Fعضو-مجموعه-هر-یک-از-اشیایی-که-در-یک-مجموعه-قرار-میگیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7267\u002Fعضو-مجموعه-هر-یک-از-اشیایی-که-در-یک-مجموعه-قرار-میگیرد",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":211,"update_jalali":239},7268,"نمایش مجموعه با اعضا: نوشتن اعضای مجموعه داخل آکولاد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0xcBkwXqk4yB7qC2gno_200.png","2026-08-21 23:24:17","نمایش-مجموعه-با-اعضا-نوشتن-اعضای-مجموعه-داخل-آکولاد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7268\u002Fنمایش-مجموعه-با-اعضا-نوشتن-اعضای-مجموعه-داخل-آکولاد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7268\u002Fنمایش-مجموعه-با-اعضا-نوشتن-اعضای-مجموعه-داخل-آکولاد",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":211,"update_jalali":239},7269,"نمایش مجموعه با نماد ریاضی: تعریف مجموعه با استفاده از یک ویژگی مشترک اعضا","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FdKDKCDCj7UJKpEktKP8q_200.png","2026-08-21 23:22:40","نمایش-مجموعه-با-نماد-ریاضی-تعریف-مجموعه-با-استفاده-از-یک-ویژگی-مشترک-اعضا","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7269\u002Fنمایش-مجموعه-با-نماد-ریاضی-تعریف-مجموعه-با-استفاده-از-یک-ویژگی-مشترک-اعضا","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7269\u002Fنمایش-مجموعه-با-نماد-ریاضی-تعریف-مجموعه-با-استفاده-از-یک-ویژگی-مشترک-اعضا",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":211,"update_jalali":239},7270,"نمودار ون: نمایش مجموعه به کمک دایره یا منحنی‌های بسته","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fkbn1j3Otqz966xf66Ah4_200.png","2026-08-21 23:21:21","نمودار-ون-نمایش-مجموعه-به-کمک-دایره-یا-منحنیهای-بسته","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7270\u002Fنمودار-ون-نمایش-مجموعه-به-کمک-دایره-یا-منحنیهای-بسته","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7270\u002Fنمودار-ون-نمایش-مجموعه-به-کمک-دایره-یا-منحنیهای-بسته",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":211,"update_jalali":239},7271,"مجموعه تهی: مجموعه‌ای که هیچ عضوی ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FhWsOfdXrTheg2IIBVOu5_200.png","2026-08-21 23:19:14","مجموعه-تهی-مجموعهای-که-هیچ-عضوی-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7271\u002Fمجموعه-تهی-مجموعهای-که-هیچ-عضوی-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7271\u002Fمجموعه-تهی-مجموعهای-که-هیچ-عضوی-ندارد",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":211,"update_jalali":239},7308,"مجموعه‌های برابر: دو مجموعه که دقیقاً اعضای یکسانی داشته باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FmCy8w0tN167ZSmFwK5IF_200.png","2026-08-21 23:17:43","مجموعههای-برابر-دو-مجموعه-که-دقیقا-اعضای-یکسانی-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7308\u002Fمجموعههای-برابر-دو-مجموعه-که-دقیقا-اعضای-یکسانی-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7308\u002Fمجموعههای-برابر-دو-مجموعه-که-دقیقا-اعضای-یکسانی-داشته-باشند",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":211,"update_jalali":239},7310,"زیرمجموعه: مجموعه‌ای که همه اعضای آن در مجموعه دیگری قرار داشته باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FoNJ5AgCBAjTIok447Rp4_200.png","2026-08-21 23:14:49","زیرمجموعه-مجموعهای-که-همه-اعضای-آن-در-مجموعه-دیگری-قرار-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7310\u002Fزیرمجموعه-مجموعهای-که-همه-اعضای-آن-در-مجموعه-دیگری-قرار-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7310\u002Fزیرمجموعه-مجموعهای-که-همه-اعضای-آن-در-مجموعه-دیگری-قرار-داشته-باشد",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":211,"update_jalali":239},7312,"اجتماع دو مجموعه: مجموعه‌ای شامل همه اعضایی که حداقل در یکی از دو مجموعه وجود دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FfGcNw5rbUxGO7SkRknn9_200.png","2026-08-21 23:13:41","اجتماع-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-همه-اعضایی-که-حداقل-در-یکی-از-دو-مجموعه-وجود-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7312\u002Fاجتماع-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-همه-اعضایی-که-حداقل-در-یکی-از-دو-مجموعه-وجود-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7312\u002Fاجتماع-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-همه-اعضایی-که-حداقل-در-یکی-از-دو-مجموعه-وجود-دارند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":211,"update_jalali":239},7315,"اشتراک دو مجموعه: مجموعه‌ای شامل اعضایی که هم در مجموعه اول و هم در مجموعه دوم وجود دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fh4EaCazYx6XLVLlMtWu8_200.png","2026-08-21 23:12:03","اشتراک-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-هم-در-مجموعه-اول-و-هم-در-مجموعه-دوم-وجود-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7315\u002Fاشتراک-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-هم-در-مجموعه-اول-و-هم-در-مجموعه-دوم-وجود-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7315\u002Fاشتراک-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-هم-در-مجموعه-اول-و-هم-در-مجموعه-دوم-وجود-دارند",{"id":313,"title":314,"cat":199,"pic":315,"up_date":316,"title_url":317,"url":318,"legacy_url":319,"cat_title":211,"update_jalali":239},7317,"تفاضل دو مجموعه: مجموعه‌ای شامل اعضایی که در مجموعه اول هستند اما در مجموعه دوم نیستند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fg6VYuZOEMplNJQHOvsYJ_200.png","2026-08-21 23:10:08","تفاضل-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-در-مجموعه-اول-هستند-اما-در-مجموعه-دوم-نیستند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7317\u002Fتفاضل-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-در-مجموعه-اول-هستند-اما-در-مجموعه-دوم-نیستند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7317\u002Fتفاضل-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-در-مجموعه-اول-هستند-اما-در-مجموعه-دوم-نیستند"]