[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-7702":193,"$fxJ2m6WH1wN-JVAXOB1FUMwUQp9WQ9Kk3hRiXrufGieI":213},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":47,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":196,"status":4,"views":205,"subdate":206,"up_date":207,"first_name":208,"last_name":209,"avatar":13,"cat_title":210,"subdate_jalali":211,"update_jalali":212},7702,5,0,280,"رابطهٔ حجم کره و استوانه محیط بر آن",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO1BrSaGr3oIIgsIUvQww_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"مقاله رابطه حجم کره و استوانه محیط بر آن\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">رابطهٔ شگفت‌انگیز کره و استوانه\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">کشفی از ارشمیدس که جهان ریاضیات را متحول کرد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>خلاصه:\u003C\u002Fstrong> آیا تا به حال به رابطه‌ای ثابت و زیبا بین شکل‌های هندسی فکر کرده‌اید؟ در این مقاله، با زبانی ساده، به بررسی رابطهٔ حجم یک \u003Cstrong>کره\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> و \u003Cstrong>استوانه‌ای\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> می‌پردازیم که دقیقاً آن کره را در بر می‌گیرد (محیط بر آن است). این رابطه، یک کشف تاریخی و یک فرمول ساده‌ریاضی است که کاربردهای جالبی در زندگی واقعی دارد. ما با استفاده از مثال‌های ملموس مثل توپ فوتبال و قوطی کنسرو، این ایده را بررسی کرده و در نهایت به کمک فرمول‌ها و یک جدول مقایسه‌ای، نشان می‌دهیم که حجم کره دقیقاً چقدر از حجم استوانه‌ای که آن را احاطه کرده، کمتر است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کشف ارشمیدس: رابطه‌ای که بر مقبره‌اش حک شد\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>ارشمیدس، دانشمند بزرگ یونانی، یکی از درخشان‌ترین کشفیات خود را بررسی رابطه‌ی بین کره و استوانه می‌دانست. او ثابت کرد که اگر یک \u003Cstrong>کره\u003C\u002Fstrong> را دقیقاً داخل یک \u003Cstrong>استوانه\u003C\u002Fstrong> قرار دهیم، به طوری که قطر کره با قطر و ارتفاع استوانه برابر باشد، یک رابطه‌ی حجمی بسیار زیبا و ثابت بین آن‌ها برقرار است. این کشف آن‌قدر برای او مهم بود که وصیت کرد نماد یک کره درون یک استوانه بر سنگ قبرش حک شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>اما این استوانهٔ خاص چه ویژگی‌هایی دارد؟ بیایید اول شکل‌ها را دقیق‌تر تعریف کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>کره\u003C\u002Fstrong>: یک جسم سه‌بعدی کاملاً گرد مانند یک توپ بی‌عیب و نقص. همهٔ نقاط روی سطح آن از مرکزش فاصله‌ی یکسانی دارند. به این فاصله، \u003Cem>شعاع\u003C\u002Fem> می‌گوییم.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>استوانهٔ محیط بر کره\u003C\u002Fstrong>: استوانه‌ای استوانه‌ای است که کره را دقیقاً لمس می‌کند. در این حالت \u003Cstrong>ارتفاع استوانه\u003C\u002Fstrong> دقیقاً برابر با \u003Cstrong>قطر کره\u003C\u002Fstrong> (دو برابر شعاع) است و \u003Cstrong>شعاع قاعدهٔ استوانه\u003C\u002Fstrong> نیز با \u003Cstrong>شعاع کره\u003C\u002Fstrong> برابر است. تصور کنید یک توپ پینگ‌پنگ را داخل یک استوانهٔ مقوایی بگذارید که ته و درش کاملاً بسته است و توپ به دیواره‌ها، کف و سقف استوانه چسبیده است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>فرمول کلیدی:\u003C\u002Fstrong> اگر شعاع کره (و شعاع قاعدهٔ استوانه) را \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ r $\u003C\u002Fspan> در نظر بگیریم، آنگاه:\u003Cbr>\r\nحجم کره = \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ V_{sphere} = \\frac{4}{3} \\pi r^{3} $\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\nحجم استوانه = \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ V_{cylinder} = \\pi r^{2} \\times height = \\pi r^{2} \\times (2r) = 2 \\pi r^{3} $\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\nبا مقایسه‌ی دو حجم به رابطهٔ ساده و زیبای زیر می‌رسیم:\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ V_{sphere} = \\frac{2}{3} V_{cylinder} $\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\nیا به عبارت دیگر: \u003Cstrong>حجم کره، دو سوم حجم استوانه‌ای است که آن را کاملاً در بر گرفته است.\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مقایسه‌ای بصری: اعداد و ارقام به کمک ما می‌آیند\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای درک بهتر این نسبت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{2}{3}$\u003C\u002Fspan> یا حدود \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">66.7%\u003C\u002Fspan>، فرض کنید یک استوانه داریم که می‌تواند دقیقاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">300\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر مکعب آب در خود جای دهد. اگر یک کره‌ی کاملاً هم‌اندازه با این استوانه (با شرایط گفته شده) داشته باشیم، این کره فقط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">200\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر مکعب ظرفیت دارد. جدول زیر این مقایسه را برای شعاع‌های مختلف به وضوح نشان می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول مقایسه حجم کره و استوانه محیط بر آن برای شعاع‌های مختلف\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شعاع (r)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">حجم کره\u003Cbr>\r\n   \u003Cspan style=\"font-size: 11px; font-weight: 400\">$\\frac{4}{3} \\pi r^{3}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">حجم استوانه محیط‌بر\u003Cbr>\r\n   \u003Cspan style=\"font-size: 11px; font-weight: 400\">$2 \\pi r^{3}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نسبت (کره به استوانه)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">توضیح (مثال ملموس)\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1 cm\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">حدود \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4.19 cm³\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">حدود \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">6.28 cm³\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u002F3 ≈ 0.667\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">حجم یک تیلهٔ کوچک در مقایسه با فضای استوانه‌ای که آن را محصور کرده.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">5 cm\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">حدود \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">523.6 cm³\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">حدود \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">785.4 cm³\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u002F3 ≈ 0.667\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">یک توپ پرتابی کوچک در داخل یک قوطی استوانه‌ای دقیقاً هم‌اندازه.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">10 cm\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">حدود \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4189 cm³\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">حدود \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">6283 cm³\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u002F3 ≈ 0.667\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">یک توپ والیبال در داخل یک مخزن استوانه‌ای مناسب. این نسبت \u003Cstrong>همیشه ثابت\u003C\u002Fstrong> است.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">از آزمایشگاه تا زندگی: کاربردهای عملی یک رابطهٔ ریاضی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>شاید بپرسید این رابطه به چه درد زندگی روزمره می‌خورد؟ این ایده در طراحی و محاسبات به ظاهر ساده اما مهم کاربرد دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال ۱: بسته‌بندی هوشمند\u003C\u002Fstrong> تصور کنید قرار است یک \u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">توپ پلاستیکی\u003C\u002Fspan> را در یک جعبهٔ استوانه‌ای بفروشید. اگر بدانید حجم توپ دو سوم حجم جعبه است، می‌توانید به راحتی مقدار مواد لازم برای تولید جعبه (مقوا یا پلاستیک) و همچنین فضای خالی داخل بسته را تخمین بزنید. این به بهینه‌سازی مصرف مواد و کاهش هزینه کمک می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال ۲: محاسبهٔ حجم مایع در مخازن\u003C\u002Fstrong> برخی مخازن نگهداری مایعات به شکل استوانه هستند. اگر یک سنسور کروی برای اندازه‌گیری داخل آن قرار دهید، با دانستن این رابطه و حجم کلی مخزن، می‌توان حجمی از مخزن را که توسط سنسور اشغال نشده (و برای مایع آزاد است) سریعتر محاسبه کرد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال ۳: درک بهتر فضا\u003C\u002Fstrong> این رابطه به ما کمک می‌کند تا به صورت شهودی حجم یک کره را تصور کنیم. وقتی می‌گوییم حجم یک توپ فوتبال دو سوم حجم استوانه‌ای است که دورتادور آن را گرفته، درک می‌کنیم که کره چقدر فشرده و بهینه است و فضای "خالی" کمتری در مقایسه با استوانه دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال ۱:\u003C\u002Fstrong> آیا این رابطه برای هر استوانه و کره‌ای برقرار است؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر. این رابطه تنها زمانی دقیقاً برقرار است که استوانه، \u003Cem>محیط بر\u003C\u002Fem> کره باشد؛ یعنی ارتفاع استوانه برابر قطر کره و شعاع قاعدهٔ آن برابر شعاع کره باشد. اگر اندازه‌ها متفاوت باشند، این نسبت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{2}{3}$\u003C\u002Fspan> نخواهد بود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال ۲:\u003C\u002Fstrong> آیا برای مساحت سطح\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> هم رابطه‌ی جالبی بین کره و این استوانه وجود دارد؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله! ارشمیدس کشف شگفت‌انگیز دیگری هم کرد: \u003Cstrong>مساحت سطح کره، دقیقاً برابر با مساحت سطح جانبی همان استوانهٔ محیط‌بر است.\u003C\u002Fstrong> یعنی اگر همان استوانه‌ای که کره را در بر گرفته، بدون درپوش باشد، مساحت کاغذی که دور آن می‌پیچد (مساحت جانبی) با مساحت پوست یک توپ کروی هم‌اندازه، برابر است. فرمول آن این است: مساحت کره = \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ 4\\pi r^{2} $\u003C\u002Fspan> و مساحت جانبی استوانه = \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ 2\\pi r \\times height = 2\\pi r \\times (2r) = 4\\pi r^{2} $\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال ۳:\u003C\u002Fstrong> چرا این نسبت مهم است؟ مگر عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{2}{3}$\u003C\u002Fspan> چه ویژگی خاصی دارد؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> اهمیت آن در \u003Cem>ثابت بودن\u003C\u002Fem> این نسبت است. بدون توجه به اینکه توپ شما به اندازهٔ یک گوی کوچک است یا به بزرگی یک سیاره، اگر آن را در استوانهٔ متناظر قرار دهید، \u003Cstrong>همیشه\u003C\u002Fstrong> حجم کره دو سوم حجم استوانه خواهد بود. این ثبات در ریاضیات بسیار ارزشمند است و نشان‌دهندهٔ یک حقیقت بنیادی دربارهٔ این دو شکل است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> رابطهٔ حجمی بین کره و استوانهٔ محیط بر آن، یک کشف تاریخی زیبا و کاربردی در هندسه است. ما یاد گرفتیم که \u003Cstrong>حجم یک کره دقیقاً برابر با دو سوم حجم استوانه‌ای است\u003C\u002Fstrong> که ارتفاع و قطر قاعده‌اش برابر با قطر همان کره باشد. این رابطه، فارغ از اندازه، همواره ثابت است. همچنین فهمیدیم که این ایده در طراحی بسته‌بندی و درک فضای اشغال شده توسط اجسام کروی می‌تواند مفید باشد. پس دفعهٔ بعد که یک توپ را در دست گرفتید یا یک قوطی استوانه‌ای دیدید، این رابطهٔ ریاضی شگفت‌انگیز را به یاد آورید!\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>کره (Sphere)\u003C\u002Fstrong>: یک جسم هندسی کاملاً گرد سه‌بعدی که تمام نقاط سطح آن از یک نقطهٔ داخلی به نام مرکز، فاصلهٔ یکسانی (شعاع) دارند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>استوانه (Cylinder)\u003C\u002Fstrong>: یک جسم هندسی سه‌بعدی با دو قاعدهٔ دایره‌ای هم‌اندازه و موازی و یک سطح جانبی منحنی.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong>مساحت سطح (Surface Area)\u003C\u002Fstrong>: مجموع مساحت تمام وجه‌ها یا سطوح خارجی یک جسم سه‌بعدی.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 20px\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">حجم کره\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">استوانه محیط بر کره\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">رابطه ارشمیدس\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">هندسه نهم\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">مثال حجم کره\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,198],"پایهٔ نهم","ریاضی نهم",234,"2025-12-06 11:48:03","2026-08-21 17:20:47","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1404\u002F09\u002F15","17:20 1405\u002F05\u002F30",{"tests":214,"papers":215,"files":216,"questions":217,"exams":218,"tutorials":219,"blogs":220},[],[],[],[],[],[],[221,230,239,247,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":222,"title":223,"cat":199,"pic":224,"up_date":225,"title_url":226,"url":227,"legacy_url":228,"cat_title":210,"update_jalali":229},7322,"فضای نمونه: مجموعه همه حالت‌های ممکن در یک آزمایش تصادفی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2B8Hd5R8FToEKFB3JcgF_200.png","2026-09-10 11:28:24","فضای-نمونه-مجموعه-همه-حالتهای-ممکن-در-یک-آزمایش-تصادفی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7322\u002Fفضای-نمونه-مجموعه-همه-حالتهای-ممکن-در-یک-آزمایش-تصادفی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7322\u002Fفضای-نمونه-مجموعه-همه-حالتهای-ممکن-در-یک-آزمایش-تصادفی","1405\u002F06\u002F19",{"id":231,"title":232,"cat":199,"pic":233,"up_date":234,"title_url":235,"url":236,"legacy_url":237,"cat_title":210,"update_jalali":238},7266,"مجموعه: دسته‌ای از اشیای مشخص و متمایز که عضویت هر شیء در آن کاملاً معین باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEp3Lj8jfs1Z8p7EozNIN_200.png","2026-08-21 23:28:21","مجموعه-دستهای-از-اشیای-مشخص-و-متمایز-که-عضویت-هر-شیء-در-آن-کاملا-معین-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7266\u002Fمجموعه-دستهای-از-اشیای-مشخص-و-متمایز-که-عضویت-هر-شیء-در-آن-کاملا-معین-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7266\u002Fمجموعه-دستهای-از-اشیای-مشخص-و-متمایز-که-عضویت-هر-شیء-در-آن-کاملا-معین-باشد","1405\u002F05\u002F30",{"id":240,"title":241,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":244,"url":245,"legacy_url":246,"cat_title":210,"update_jalali":238},7267,"عضو مجموعه: هر یک از اشیایی که در یک مجموعه قرار می‌گیرد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FdYIUvyp7g2lMoUEvtfwk_200.png","2026-08-21 23:26:57","عضو-مجموعه-هر-یک-از-اشیایی-که-در-یک-مجموعه-قرار-میگیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7267\u002Fعضو-مجموعه-هر-یک-از-اشیایی-که-در-یک-مجموعه-قرار-میگیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7267\u002Fعضو-مجموعه-هر-یک-از-اشیایی-که-در-یک-مجموعه-قرار-میگیرد",{"id":248,"title":249,"cat":199,"pic":250,"up_date":251,"title_url":252,"url":253,"legacy_url":254,"cat_title":210,"update_jalali":238},7268,"نمایش مجموعه با اعضا: نوشتن اعضای مجموعه داخل آکولاد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0xcBkwXqk4yB7qC2gno_200.png","2026-08-21 23:24:17","نمایش-مجموعه-با-اعضا-نوشتن-اعضای-مجموعه-داخل-آکولاد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7268\u002Fنمایش-مجموعه-با-اعضا-نوشتن-اعضای-مجموعه-داخل-آکولاد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7268\u002Fنمایش-مجموعه-با-اعضا-نوشتن-اعضای-مجموعه-داخل-آکولاد",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":210,"update_jalali":238},7269,"نمایش مجموعه با نماد ریاضی: تعریف مجموعه با استفاده از یک ویژگی مشترک اعضا","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FdKDKCDCj7UJKpEktKP8q_200.png","2026-08-21 23:22:40","نمایش-مجموعه-با-نماد-ریاضی-تعریف-مجموعه-با-استفاده-از-یک-ویژگی-مشترک-اعضا","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7269\u002Fنمایش-مجموعه-با-نماد-ریاضی-تعریف-مجموعه-با-استفاده-از-یک-ویژگی-مشترک-اعضا","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7269\u002Fنمایش-مجموعه-با-نماد-ریاضی-تعریف-مجموعه-با-استفاده-از-یک-ویژگی-مشترک-اعضا",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":210,"update_jalali":238},7270,"نمودار ون: نمایش مجموعه به کمک دایره یا منحنی‌های بسته","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fkbn1j3Otqz966xf66Ah4_200.png","2026-08-21 23:21:21","نمودار-ون-نمایش-مجموعه-به-کمک-دایره-یا-منحنیهای-بسته","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7270\u002Fنمودار-ون-نمایش-مجموعه-به-کمک-دایره-یا-منحنیهای-بسته","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7270\u002Fنمودار-ون-نمایش-مجموعه-به-کمک-دایره-یا-منحنیهای-بسته",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":210,"update_jalali":238},7271,"مجموعه تهی: مجموعه‌ای که هیچ عضوی ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FhWsOfdXrTheg2IIBVOu5_200.png","2026-08-21 23:19:14","مجموعه-تهی-مجموعهای-که-هیچ-عضوی-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7271\u002Fمجموعه-تهی-مجموعهای-که-هیچ-عضوی-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7271\u002Fمجموعه-تهی-مجموعهای-که-هیچ-عضوی-ندارد",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":210,"update_jalali":238},7308,"مجموعه‌های برابر: دو مجموعه که دقیقاً اعضای یکسانی داشته باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FmCy8w0tN167ZSmFwK5IF_200.png","2026-08-21 23:17:43","مجموعههای-برابر-دو-مجموعه-که-دقیقا-اعضای-یکسانی-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7308\u002Fمجموعههای-برابر-دو-مجموعه-که-دقیقا-اعضای-یکسانی-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7308\u002Fمجموعههای-برابر-دو-مجموعه-که-دقیقا-اعضای-یکسانی-داشته-باشند",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":210,"update_jalali":238},7310,"زیرمجموعه: مجموعه‌ای که همه اعضای آن در مجموعه دیگری قرار داشته باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FoNJ5AgCBAjTIok447Rp4_200.png","2026-08-21 23:14:49","زیرمجموعه-مجموعهای-که-همه-اعضای-آن-در-مجموعه-دیگری-قرار-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7310\u002Fزیرمجموعه-مجموعهای-که-همه-اعضای-آن-در-مجموعه-دیگری-قرار-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7310\u002Fزیرمجموعه-مجموعهای-که-همه-اعضای-آن-در-مجموعه-دیگری-قرار-داشته-باشد",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":210,"update_jalali":238},7312,"اجتماع دو مجموعه: مجموعه‌ای شامل همه اعضایی که حداقل در یکی از دو مجموعه وجود دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FfGcNw5rbUxGO7SkRknn9_200.png","2026-08-21 23:13:41","اجتماع-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-همه-اعضایی-که-حداقل-در-یکی-از-دو-مجموعه-وجود-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7312\u002Fاجتماع-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-همه-اعضایی-که-حداقل-در-یکی-از-دو-مجموعه-وجود-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7312\u002Fاجتماع-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-همه-اعضایی-که-حداقل-در-یکی-از-دو-مجموعه-وجود-دارند",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":210,"update_jalali":238},7315,"اشتراک دو مجموعه: مجموعه‌ای شامل اعضایی که هم در مجموعه اول و هم در مجموعه دوم وجود دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fh4EaCazYx6XLVLlMtWu8_200.png","2026-08-21 23:12:03","اشتراک-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-هم-در-مجموعه-اول-و-هم-در-مجموعه-دوم-وجود-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7315\u002Fاشتراک-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-هم-در-مجموعه-اول-و-هم-در-مجموعه-دوم-وجود-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7315\u002Fاشتراک-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-هم-در-مجموعه-اول-و-هم-در-مجموعه-دوم-وجود-دارند",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":210,"update_jalali":238},7317,"تفاضل دو مجموعه: مجموعه‌ای شامل اعضایی که در مجموعه اول هستند اما در مجموعه دوم نیستند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fg6VYuZOEMplNJQHOvsYJ_200.png","2026-08-21 23:10:08","تفاضل-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-در-مجموعه-اول-هستند-اما-در-مجموعه-دوم-نیستند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7317\u002Fتفاضل-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-در-مجموعه-اول-هستند-اما-در-مجموعه-دوم-نیستند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7317\u002Fتفاضل-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-در-مجموعه-اول-هستند-اما-در-مجموعه-دوم-نیستند"]