[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"blogPost-7469":3,"categoryMenus":27,"$fbEFAicaPmdvK--EOmHqqgD8Wl66u8QhQtc8BpDB7dbM":214},{"id":4,"section":5,"base":6,"course":7,"lesson":8,"title":9,"cat":10,"pic":11,"info_graphic":12,"podcast":12,"body":13,"tags":14,"metadata":12,"featured":7,"status":18,"views":19,"subdate":20,"up_date":21,"first_name":22,"last_name":23,"avatar":12,"cat_title":24,"subdate_jalali":25,"update_jalali":26},7469,2,5,0,280,"قانون کلی ساده‌سازی: یافتن بزرگ‌ترین مربع یا مکعب کامل در عدد",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FOQaClM1NBOJvEeoExfKK_800.png",null,"\u003Cdiv aria-label=\"مقاله قانون کلی ساده‌سازی: یافتن بزرگترین مربع یا مکعب کامل در عدد\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">قانون کلی ساده‌سازی: راز اعداد مربعی و مکعبی\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">چگونه از دل اعداد بزرگ، مربع یا مکعب کامل‌های زیبا را استخراج کنیم؟\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>خلاصه:\u003C\u002Fstrong> در این مقاله یاد می‌گیریم که چگونه هر عدد را ساده‌تر کنیم تا بخش کامل و مربعی \u003Csup>[1]\u003C\u002Fsup> یا مکعبی \u003Csup>[2]\u003C\u002Fsup> آن را بیرون بکشیم. این تکنیک ریاضی، که پایه‌ای برای مباحث پیشرفته‌تر است، به ما کمک می‌کند رادیکال‌ها را ساده کرده و محاسبات را آسان‌تر کنیم. با مثال‌های کاربردی از زندگی، مانند محاسبه مساحت زمین یا حجم جعبه‌ها، این مفهوم را به‌طور کامل درک خواهید کرد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مفهوم بنیادی: مربع کامل و مکعب کامل چیست؟\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>پیش از هر چیز، باید دو مفهوم کلیدی را بشناسیم. یک \u003Cstrong>مربع کامل\u003C\u002Fstrong> عددی است که حاصل ضرب یک عدد طبیعی در خودش باشد. مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\"> $1 (1^2), 4 (2^2), 9 (3^2), 16 (4^2), 25 (5^2)$ \u003C\u002Fspan> و الی آخر. یک \u003Cstrong>مکعب کامل\u003C\u002Fstrong> نیز عددی است که حاصل ضرب یک عدد طبیعی در خودش و دوباره در خودش باشد. مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\"> $1 (1^3), 8 (2^3), 27 (3^3), 64 (4^3)$ \u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>حالا فرض کنید عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">72\u003C\u002Fspan> را داریم. این عدد نه مربع کامل است و نه مکعب کامل. اما در دل خود، یک مربع کامل پنهان دارد! اینجاست که قانون ساده‌سازی به کمک ما می‌آید.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>قانون طلایی:\u003C\u002Fstrong> برای یافتن بزرگترین مربع کامل درون یک عدد، آن عدد را به \u003Cstrong>عامل‌های اول\u003C\u002Fstrong> تجزیه می‌کنیم. سپس، توان‌هایی که زوج هستند (مثلاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\"> $2^4, 3^2$ \u003C\u002Fspan>) تشکیل مربع کامل می‌دهند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">گام‌به‌گام: روش استخراج مربع کامل از درون اعداد\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>این روش را با یک مثال واقعی دنبال می‌کنیم. تصور کنید یک زمین کشاورزی به مساحت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">180\u003C\u002Fspan> متر مربع داریم و می‌خواهیم بفهمیم بزرگترین مربعی که می‌توان در آن ساخت، مساحتش چند متر است. در واقع می‌خواهیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\"> $\\sqrt{180}$ \u003C\u002Fspan> را ساده کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گام اول: تجزیه به عوامل اول\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nعدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">180\u003C\u002Fspan> را به عوامل اول تجزیه می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\"> $180 = 2 \\times 2 \\times 3 \\times 3 \\times 5 = 2^2 \\times 3^2 \\times 5^1$ \u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گام دوم: شناسایی زوج‌های توان\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nهر عامل که توانش زوج باشد، می‌تواند از زیر رادیکال خارج شود. \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\"> $2^2$ \u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\"> $3^2$ \u003C\u002Fspan> هر دو توان زوج دارند. پس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\"> $2^2 \\times 3^2 = 4 \\times 9 = 36$ \u003C\u002Fspan> بزرگترین مربع کامل درون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">180\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گام سوم: ساده‌سازی نهایی\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nبنابراین: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\"> $\\sqrt{180} = \\sqrt{36 \\times 5} = \\sqrt{36} \\times \\sqrt{5} = 6\\sqrt{5}$ \u003C\u002Fspan>. یعنی بزرگترین مربع کامل، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">36\u003C\u002Fspan> بود که به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">6\u003C\u002Fspan> از رادیکال خارج شد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"نمونه‌هایی از ساده‌سازی رادیکال با مربع کامل\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">عدد اصلی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تجزیه به عوامل اول\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">بزرگترین مربع کامل درون عدد\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شکل ساده‌شده رادیکال\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">72\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$2^3 \\times 3^2$ \u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">36 \u003Cstrong style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">$(2^2 \\times 3^2)$\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$6\\sqrt{2}$ \u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">98\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$2^1 \\times 7^2$ \u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">49 \u003Cstrong style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">$(7^2)$\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$7\\sqrt{2}$ \u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">45\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$3^2 \\times 5^1$ \u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">9 \u003Cstrong style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">$(3^2)$\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$3\\sqrt{5}$ \u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">سراغ مکعب کامل برویم: ساده‌سازی ریشه سوم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>داستان برای ریشه سوم و مکعب کامل‌ها بسیار مشابه است، با یک تفاوت کوچک! برای خروج از زیر رادیکال مکعب (ریشه سوم)، نیاز به \u003Cstrong>سه‌تایی‌های توان\u003C\u002Fstrong> داریم. یعنی توانی که مضرب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan> باشد (مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\"> $2^3, 3^3$ \u003C\u002Fspan>).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال از دنیای واقعی:\u003C\u002Fstrong> یک جعبه مکعبی شکل داریم که حجم آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">54\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر مکعب است. طول ضلع این جعبه چقدر است؟ یعنی باید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\"> $\\sqrt[3]{54}$ \u003C\u002Fspan> را محاسبه کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Col>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>تجزیه:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\"> $54 = 2 \\times 3 \\times 3 \\times 3 = 2^1 \\times 3^3$ \u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>شناسایی سه‌تایی توان:\u003C\u002Fstrong> فقط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\"> $3^3$ \u003C\u002Fspan> یک سه‌تایی کامل است. پس بزرگترین مکعب کامل درون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">54\u003C\u002Fspan>، عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">27 ($3^3$)\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>ساده‌سازی:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\"> $\\sqrt[3]{54} = \\sqrt[3]{27 \\times 2} = \\sqrt[3]{27} \\times \\sqrt[3]{2} = 3\\sqrt[3]{2}$ \u003C\u002Fspan>. پس طول ضلع جعبه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\"> $3\\sqrt[3]{2}$ \u003C\u002Fspan> سانتی‌متر است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Fol>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۱:\u003C\u002Fstrong> آیا همیشه بزرگترین مربع کامل را از عدد خارج می‌کنیم؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله، هدف از ساده‌سازی همین است. با خارج کردن بزرگترین بخش کامل، رادیکال تا حد ممکن کوچک و ساده می‌شود. خارج کردن مربع کامل کوچکتر (مثلاً ۴ به جای ۳۶ از ۱۸۰) نتیجه نهایی را ساده‌تر نمی‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۲:\u003C\u002Fstrong> اگر در تجزیه، همه توان‌ها فرد باشند چه؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> در این صورت، بزرگترین مربع کامل برابر با ۱ است. یعنی عدد مربع کامل قابل توجهی درون خود ندارد و رادیکال ساده نمی‌شود. مثال: عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">15\u003C\u002Fspan> که به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\"> $3^1 \\times 5^1$ \u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۳:\u003C\u002Fstrong> آیا این روش فقط برای اعداد صحیح کاربرد دارد؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر! می‌توانیم از این قانون برای ساده‌سازی عبارات متغیر نیز استفاده کنیم. مثلاً برای ساده کردن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\"> $\\sqrt{x^4 y^3}$ \u003C\u002Fspan> ، توان زوج \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\"> $x^4$ \u003C\u002Fspan> و بخش زوج از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\"> $y^2$ \u003C\u002Fspan> (از داخل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\"> $y^3$ \u003C\u002Fspan>) را خارج می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\"> $x^2 y \\sqrt{y}$ \u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> قانون یافتن بزرگترین مربع یا مکعب کامل در یک عدد، بر پایه‌ی \u003Cstrong>تجزیه به عوامل اول\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>شناسایی زوج‌ها یا سه‌تایی‌های توان\u003C\u002Fstrong> استوار است. این مهارت، کلید ساده‌سازی رادیکال‌ها و حل مسائل هندسی و محاسباتی در زندگی روزمره، مانند تعیین ابعاد زمین یا حجم ظرف‌ها، می‌باشد. با تمرین روی مثال‌های مختلف، به راحتی می‌توانید این قانون را در ذهن خود تثبیت کنید.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>[1]\u003C\u002Fsup> مربع کامل (Perfect Square): عددی که حاصل ضرب یک عدد طبیعی در خودش باشد.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>[2]\u003C\u002Fsup> مکعب کامل (Perfect Cube): عددی که حاصل ضرب یک عدد طبیعی در خودش و دوباره در خودش باشد.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>[3]\u003C\u002Fsup> عوامل اول (Prime Factors): اعداد اولی که از تجزیه یک عدد به دست می‌آیند، مانند ۲، ۳، ۵، ۷ و ...\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 20px\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">ساده‌سازی رادیکال\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">مربع کامل\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">مکعب کامل\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">عوامل اول\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">ریشه دوم و سوم\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[15,16,17],"پایهٔ نهم","ریاضی نهم","قانون کلی ساده‌سازی",1,678,"2025-12-03 13:02:13","2026-08-21 20:36:55","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1404\u002F09\u002F12","20:36 1405\u002F05\u002F30",{"status":18,"data":28},[29,68,127,145,165],{"id":18,"title":30,"list_order":18,"items":31},"آشنایی",[32,37,41,45,52,56,60,64],{"id":33,"link":34,"type":35,"slug":12,"title":36},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content","قوانین و مقررات",{"id":38,"link":39,"type":35,"slug":12,"title":40},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":42,"link":43,"type":35,"slug":12,"title":44},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":46,"link":47,"type":48,"slug":49,"handler":50,"title":51},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":53,"link":54,"type":35,"slug":12,"title":55},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":57,"link":58,"type":35,"slug":12,"title":59},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":61,"link":62,"type":35,"slug":12,"title":63},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":65,"link":66,"type":35,"slug":12,"title":67},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":5,"title":69,"list_order":18,"items":70},"المپیادها",[71,75,79,83,87,91,95,99,103,107,111,115,119,123],{"id":72,"link":73,"type":35,"slug":12,"title":74},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":76,"link":77,"type":35,"slug":12,"title":78},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":80,"link":81,"type":35,"slug":12,"title":82},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":84,"link":85,"type":35,"slug":12,"title":86},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":88,"link":89,"type":35,"slug":12,"title":90},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":92,"link":93,"type":35,"slug":12,"title":94},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":96,"link":97,"type":35,"slug":12,"title":98},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":100,"link":101,"type":35,"slug":12,"title":102},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":104,"link":105,"type":35,"slug":12,"title":106},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":108,"link":109,"type":35,"slug":12,"title":110},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":112,"link":113,"type":35,"slug":12,"title":114},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":116,"link":117,"type":35,"slug":12,"title":118},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":120,"link":121,"type":35,"slug":12,"title":122},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":124,"link":125,"type":35,"slug":12,"title":126},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":128,"title":129,"list_order":18,"items":130},3,"نمونه و تیزهوشان",[131,135,140],{"id":132,"link":133,"type":35,"slug":12,"title":134},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":136,"link":137,"type":48,"slug":138,"handler":138,"title":139},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":141,"link":142,"type":48,"slug":143,"handler":143,"title":144},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":146,"title":147,"list_order":18,"items":148},7,"کتابهای درسی",[149,153,157,161],{"id":150,"link":151,"type":35,"slug":12,"title":152},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":154,"link":155,"type":35,"slug":12,"title":156},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":158,"link":159,"type":35,"slug":12,"title":160},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":162,"link":163,"type":35,"slug":12,"title":164},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":33,"title":166,"list_order":33,"items":167},"پیشنهاد ویژه",[168,173,178,183,188,193,198,202,206,210],{"id":169,"link":170,"type":48,"slug":171,"handler":171,"title":172},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":174,"link":175,"type":48,"slug":176,"handler":176,"title":177},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":179,"link":180,"type":48,"slug":181,"handler":181,"title":182},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":184,"link":185,"type":48,"slug":186,"handler":186,"title":187},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":189,"link":190,"type":48,"slug":191,"handler":191,"title":192},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":194,"link":195,"type":35,"slug":196,"title":197},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":199,"link":200,"type":35,"slug":12,"title":201},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":203,"link":204,"type":35,"slug":12,"title":205},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":207,"link":208,"type":35,"slug":12,"title":209},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":211,"link":212,"type":35,"slug":12,"title":213},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"tests":215,"papers":216,"files":217,"questions":218,"exams":219,"tutorials":220,"blogs":221},[],[],[],[],[],[],[222,231,240,248,256,264,272,280,288,296,304,312],{"id":223,"title":224,"cat":10,"pic":225,"up_date":226,"title_url":227,"url":228,"legacy_url":229,"cat_title":24,"update_jalali":230},7322,"فضای نمونه: مجموعه همه حالت‌های ممکن در یک آزمایش تصادفی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2B8Hd5R8FToEKFB3JcgF_200.png","2026-09-10 11:28:24","فضای-نمونه-مجموعه-همه-حالتهای-ممکن-در-یک-آزمایش-تصادفی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7322\u002Fفضای-نمونه-مجموعه-همه-حالتهای-ممکن-در-یک-آزمایش-تصادفی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7322\u002Fفضای-نمونه-مجموعه-همه-حالتهای-ممکن-در-یک-آزمایش-تصادفی","1405\u002F06\u002F19",{"id":232,"title":233,"cat":10,"pic":234,"up_date":235,"title_url":236,"url":237,"legacy_url":238,"cat_title":24,"update_jalali":239},7266,"مجموعه: دسته‌ای از اشیای مشخص و متمایز که عضویت هر شیء در آن کاملاً معین باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEp3Lj8jfs1Z8p7EozNIN_200.png","2026-08-21 23:28:21","مجموعه-دستهای-از-اشیای-مشخص-و-متمایز-که-عضویت-هر-شیء-در-آن-کاملا-معین-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7266\u002Fمجموعه-دستهای-از-اشیای-مشخص-و-متمایز-که-عضویت-هر-شیء-در-آن-کاملا-معین-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7266\u002Fمجموعه-دستهای-از-اشیای-مشخص-و-متمایز-که-عضویت-هر-شیء-در-آن-کاملا-معین-باشد","1405\u002F05\u002F30",{"id":241,"title":242,"cat":10,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":24,"update_jalali":239},7267,"عضو مجموعه: هر یک از اشیایی که در یک مجموعه قرار می‌گیرد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FdYIUvyp7g2lMoUEvtfwk_200.png","2026-08-21 23:26:57","عضو-مجموعه-هر-یک-از-اشیایی-که-در-یک-مجموعه-قرار-میگیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7267\u002Fعضو-مجموعه-هر-یک-از-اشیایی-که-در-یک-مجموعه-قرار-میگیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7267\u002Fعضو-مجموعه-هر-یک-از-اشیایی-که-در-یک-مجموعه-قرار-میگیرد",{"id":249,"title":250,"cat":10,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":24,"update_jalali":239},7268,"نمایش مجموعه با اعضا: نوشتن اعضای مجموعه داخل آکولاد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0xcBkwXqk4yB7qC2gno_200.png","2026-08-21 23:24:17","نمایش-مجموعه-با-اعضا-نوشتن-اعضای-مجموعه-داخل-آکولاد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7268\u002Fنمایش-مجموعه-با-اعضا-نوشتن-اعضای-مجموعه-داخل-آکولاد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7268\u002Fنمایش-مجموعه-با-اعضا-نوشتن-اعضای-مجموعه-داخل-آکولاد",{"id":257,"title":258,"cat":10,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":24,"update_jalali":239},7269,"نمایش مجموعه با نماد ریاضی: تعریف مجموعه با استفاده از یک ویژگی مشترک اعضا","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FdKDKCDCj7UJKpEktKP8q_200.png","2026-08-21 23:22:40","نمایش-مجموعه-با-نماد-ریاضی-تعریف-مجموعه-با-استفاده-از-یک-ویژگی-مشترک-اعضا","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7269\u002Fنمایش-مجموعه-با-نماد-ریاضی-تعریف-مجموعه-با-استفاده-از-یک-ویژگی-مشترک-اعضا","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7269\u002Fنمایش-مجموعه-با-نماد-ریاضی-تعریف-مجموعه-با-استفاده-از-یک-ویژگی-مشترک-اعضا",{"id":265,"title":266,"cat":10,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":24,"update_jalali":239},7270,"نمودار ون: نمایش مجموعه به کمک دایره یا منحنی‌های بسته","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fkbn1j3Otqz966xf66Ah4_200.png","2026-08-21 23:21:21","نمودار-ون-نمایش-مجموعه-به-کمک-دایره-یا-منحنیهای-بسته","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7270\u002Fنمودار-ون-نمایش-مجموعه-به-کمک-دایره-یا-منحنیهای-بسته","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7270\u002Fنمودار-ون-نمایش-مجموعه-به-کمک-دایره-یا-منحنیهای-بسته",{"id":273,"title":274,"cat":10,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":24,"update_jalali":239},7271,"مجموعه تهی: مجموعه‌ای که هیچ عضوی ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FhWsOfdXrTheg2IIBVOu5_200.png","2026-08-21 23:19:14","مجموعه-تهی-مجموعهای-که-هیچ-عضوی-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7271\u002Fمجموعه-تهی-مجموعهای-که-هیچ-عضوی-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7271\u002Fمجموعه-تهی-مجموعهای-که-هیچ-عضوی-ندارد",{"id":281,"title":282,"cat":10,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":24,"update_jalali":239},7308,"مجموعه‌های برابر: دو مجموعه که دقیقاً اعضای یکسانی داشته باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FmCy8w0tN167ZSmFwK5IF_200.png","2026-08-21 23:17:43","مجموعههای-برابر-دو-مجموعه-که-دقیقا-اعضای-یکسانی-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7308\u002Fمجموعههای-برابر-دو-مجموعه-که-دقیقا-اعضای-یکسانی-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7308\u002Fمجموعههای-برابر-دو-مجموعه-که-دقیقا-اعضای-یکسانی-داشته-باشند",{"id":289,"title":290,"cat":10,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":24,"update_jalali":239},7310,"زیرمجموعه: مجموعه‌ای که همه اعضای آن در مجموعه دیگری قرار داشته باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FoNJ5AgCBAjTIok447Rp4_200.png","2026-08-21 23:14:49","زیرمجموعه-مجموعهای-که-همه-اعضای-آن-در-مجموعه-دیگری-قرار-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7310\u002Fزیرمجموعه-مجموعهای-که-همه-اعضای-آن-در-مجموعه-دیگری-قرار-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7310\u002Fزیرمجموعه-مجموعهای-که-همه-اعضای-آن-در-مجموعه-دیگری-قرار-داشته-باشد",{"id":297,"title":298,"cat":10,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":24,"update_jalali":239},7312,"اجتماع دو مجموعه: مجموعه‌ای شامل همه اعضایی که حداقل در یکی از دو مجموعه وجود دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FfGcNw5rbUxGO7SkRknn9_200.png","2026-08-21 23:13:41","اجتماع-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-همه-اعضایی-که-حداقل-در-یکی-از-دو-مجموعه-وجود-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7312\u002Fاجتماع-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-همه-اعضایی-که-حداقل-در-یکی-از-دو-مجموعه-وجود-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7312\u002Fاجتماع-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-همه-اعضایی-که-حداقل-در-یکی-از-دو-مجموعه-وجود-دارند",{"id":305,"title":306,"cat":10,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":24,"update_jalali":239},7315,"اشتراک دو مجموعه: مجموعه‌ای شامل اعضایی که هم در مجموعه اول و هم در مجموعه دوم وجود دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fh4EaCazYx6XLVLlMtWu8_200.png","2026-08-21 23:12:03","اشتراک-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-هم-در-مجموعه-اول-و-هم-در-مجموعه-دوم-وجود-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7315\u002Fاشتراک-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-هم-در-مجموعه-اول-و-هم-در-مجموعه-دوم-وجود-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7315\u002Fاشتراک-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-هم-در-مجموعه-اول-و-هم-در-مجموعه-دوم-وجود-دارند",{"id":313,"title":314,"cat":10,"pic":315,"up_date":316,"title_url":317,"url":318,"legacy_url":319,"cat_title":24,"update_jalali":239},7317,"تفاضل دو مجموعه: مجموعه‌ای شامل اعضایی که در مجموعه اول هستند اما در مجموعه دوم نیستند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fg6VYuZOEMplNJQHOvsYJ_200.png","2026-08-21 23:10:08","تفاضل-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-در-مجموعه-اول-هستند-اما-در-مجموعه-دوم-نیستند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F7317\u002Fتفاضل-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-در-مجموعه-اول-هستند-اما-در-مجموعه-دوم-نیستند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F7317\u002Fتفاضل-دو-مجموعه-مجموعهای-شامل-اعضایی-که-در-مجموعه-اول-هستند-اما-در-مجموعه-دوم-نیستند"]