[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13454":193,"$fPyGen_i96JZyVc6SIK4YCh8TQAsbTr5IpZ-aPlgrblY":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13454,1170,1171,4926,"رسم نمودار با مشتق دوم: با تعیین علامت ″f، جهت تقعر و نقاط عطف احتمالی تابع مشخص می‌شوند.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F4PWmOMlOgVP6rkO01AEB_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"نقش مشتق دوم در تعیین جهت تقعر و نقاط عطف توابع\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">رسم نمودار با مشتق دوم: چگونه علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan> جهت تقعر و نقاط عطف را مشخص می‌کند؟\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">راهنمای گام‌به‌گام برای تحلیل تقعر رو به بالا، تقعر رو به پایین و یافتن نقاط عطف توابع با استفاده از مشتق دوم\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله یاد می‌گیرید که چگونه با محاسبهٔ مشتق دوم یک تابع و تعیین علامت آن، نواحی تقعر رو به بالا (مقعر رو به بالا) و تقعر رو به پایین (مقعر رو به پایین) را شناسایی کنید. همچنین با مفهوم نقطهٔ عطف (نقطه‌ای که تابع در آن جهت تقعر خود را تغییر می‌دهد) آشنا می‌شوید. این روش در رسم دقیق نمودار توابع و درک رفتار آنها در دبیرستان بسیار کاربرد دارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۱. مفهوم مشتق دوم و ارتباط آن با تقعر\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>مشتق دوم یک تابع، که آن را با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{d^2y}{dx^2}$\u003C\u002Fspan> نشان می‌دهند، در واقع نرخ تغییر شیب تابع اصلی است. اگر مشتق اول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x)$\u003C\u002Fspan> نشان‌دهندهٔ شیب خط مماس بر نمودار باشد، مشتق دوم نشان می‌دهد که این شیب در حال افزایش است یا کاهش. با تعیین علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan> روی یک بازه می‌توان به راحتی تشخیص داد که نمودار تابع به چه سمتی خمیده است:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x) > 0$\u003C\u002Fspan> در یک بازه، تابع در آن بازه \u003Cstrong>مقعر رو به بالا\u003C\u002Fstrong> (یا تقعر مثبت) است. نمودار مانند یک کاسهٔ رو به بالا به نظر می‌رسد.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x) در یک بازه، تابع در آن بازه \u003Cstrong>مقعر رو به پایین\u003C\u002Fstrong> (یا تقعر منفی) است. نمودار مانند یک کلاه یا کاسهٔ رو به پایین است.\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x) = 0$\u003C\u002Fspan> در یک بازه (نه فقط در یک نقطه)، تابع در آن ناحیه خطی است (شیب ثابت).\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>مثال تصویری ذهنی:\u003C\u002Fstrong> تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. مشتق دوم آن برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)=2$\u003C\u002Fspan> است که همواره مثبت است. به همین دلیل نمودار سهمی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y=x^2$\u003C\u002Fspan> همیشه مقعر رو به بالا است (کاسهٔ باز به سمت بالا). در مقابل تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=-x^2$\u003C\u002Fspan> با مشتق دوم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)=-2$\u003C\u002Fspan> همیشه مقعر رو به پایین است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۲. نقاط عطف (نقاط تغییر تقعر)\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>نقطهٔ عطف\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> نقطه‌ای روی نمودار تابع است که در آن جهت تقعر تغییر می‌کند؛ یعنی تابع از حالت مقعر رو به بالا به مقعر رو به پایین یا برعکس تغییر وضعیت می‌دهد. در چنین نقطه‌ای، مشتق دوم یا صفر است یا وجود ندارد (البته باید تابع در آن نقطه پیوسته باشد). شرط لازم برای نقطهٔ عطف این است که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)=0$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan> تعریف‌نشده باشد، اما شرط کافی آن تغییر علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan> هنگام عبور از آن نقطه است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>روش گام‌به‌گام یافتن نقاط عطف:\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Col style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>مشتق دوم تابع را محاسبه کنید.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>معادلهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)=0$\u003C\u002Fspan> را حل کرده و نقاط بحرانی مشتق دوم را پیدا کنید. همچنین نقاطی که مشتق دوم در آن تعریف نشده است (اما خود تابع پیوسته باشد) را در نظر بگیرید.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>با استفاده از یک جدول یا خط اعداد، علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan> را در هر بازه مشخص کنید.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>هر نقطه‌ای که در آن علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan> تغییر کند، یک نقطهٔ عطف است. مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y$\u003C\u002Fspan> را با قرار دادن در تابع اصلی بدست آورید.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Fol>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۳. جدول تعیین علامت مشتق دوم و تحلیل تقعر\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای سازماندهی بهتر اطلاعات، معمولاً از جدولی استفاده می‌کنیم که در آن بازه‌های مختلف، علامت مشتق دوم و در نتیجه نوع تقعر نمایش داده می‌شود. جدول زیر یک نمونهٔ کامل برای تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=x^3-3x^2+4$\u003C\u002Fspan> را نشان می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول تحلیل تقعر تابع درجه سوم\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">بازه\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع تقعر\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(-\\infty, 1)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">منفی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"background: #fee2e2; border-radius: 999px; color: #991b1b; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">مقعر رو به پایین\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(1, +\\infty)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مثبت (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">مقعر رو به بالا\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>همانطور که می‌بینید، در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan> علامت مشتق دوم از منفی به مثبت تغییر کرده است؛ بنابراین نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(1, f(1)) = (1, 2)$\u003C\u002Fspan> یک نقطهٔ عطف برای این تابع است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۴. مثال عملی گام‌به‌گام: بررسی تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=x^4-4x^3$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در این بخش با یک مثال کامل و عددی، فرآیند تعیین تقعر و نقاط عطف را مرحله به مرحله پیش می‌رویم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مرحله ۱: محاسبه مشتق اول و دوم\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x)=4x^3-12x^2$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)=12x^2-24x = 12x(x-2)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مرحله ۲: یافتن نقاط بحرانی مشتق دوم\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nمعادلهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$12x(x-2)=0$\u003C\u002Fspan> را حل می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=2$\u003C\u002Fspan>. این نقاط کاندیدای نقطه عطف هستند. تابع در تمام اعداد حقیقی پیوسته و مشتق‌پذیر است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مرحله ۳: تعیین علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan> روی بازه‌ها\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nبازه‌ها عبارتند از: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(-\\infty, 0)$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(0, 2)$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(2, +\\infty)$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=-1$\u003C\u002Fspan>: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(-1)=12(-1)(-3)=36 > 0$\u003C\u002Fspan> → مثبت → تقعر رو به بالا.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan>: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(1)=12(1)(-1)=-12 → منفی → تقعر رو به پایین.\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=3$\u003C\u002Fspan>: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(3)=12(3)(1)=36 > 0$\u003C\u002Fspan> → مثبت → تقعر رو به بالا.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مرحله ۴: نقاط عطف\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nدر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan> علامت از (+) به (-) تغییر می‌کند ← نقطه عطف با مختصات \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(0, f(0))=(0,0)$\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\nدر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=2$\u003C\u002Fspan> علامت از (-) به (+) تغییر می‌کند ← نقطه عطف با مختصات \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(2, f(2))=(2, 16-32)=(2,-16)$\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\nدر نتیجه تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=x^4-4x^3$\u003C\u002Fspan> دو نقطهٔ عطف دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۵. کاربرد عملی در رسم دقیق نمودار\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>هنگامی که می‌خواهیم نمودار یک تابع را به‌طور کامل رسم کنیم، پس از یافتن نقاط بحرانی (ماکزیمم و مینیمم نسبی) با استفاده از مشتق اول، از مشتق دوم برای تعیین سرشاخه بودن یا نبودن آن نقاط و همچنین برای تشخیص نقاط عطف استفاده می‌کنیم. به این ترتیب نمودار با دقت بالاتری ترسیم می‌شود. برای مثال، اگر در یک نقطهٔ بحرانی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=c$\u003C\u002Fspan> داشته باشیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(c) > 0$\u003C\u002Fspan>، آن نقطه یک مینیمم نسبی (و مقعر رو به بالا) و اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(c) باشد، آن نقطه یک ماکزیمم نسبی (و مقعر رو به پایین) است. این روش به عنوان «آزمون مشتق دوم برای نقاط بحرانی» شناخته می‌شود.\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکته کاربردی:\u003C\u002Fstrong> در مسائل بهینه‌سازی که با توابع درجهٔ سوم یا بالاتر سروکار دارید، استفاده از علامت مشتق دوم به شما کمک می‌کند تا مطمئن شوید نقطهٔ بحرانی یافت شده، واقعاً ماکزیمم یا مینیمم مدنظر شماست، بدون نیاز به رسم جدول مشتق اول.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۶. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پرسش ۱: آیا هر نقطه‌ای که مشتق دوم در آن صفر شود، حتماً نقطهٔ عطف است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>خیر. شرط صفر بودن مشتق دوم لازم است اما کافی نیست. برای اطمینان از عطف بودن، باید علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan> هنگام عبور از آن نقطه تغییر کند. مثلاً تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=x^4$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید: مشتق دوم برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)=12x^2$\u003C\u002Fspan> است. در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan>، مشتق دوم صفر است اما علامت آن در دو طرف صفر مثبت است (چون همواره منفی نیست). بنابراین نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(0,0)$\u003C\u002Fspan> یک نقطهٔ عطف نیست، بلکه یک مینیمم مطلق است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پرسش ۲: اگر تابع در یک نقطه مشتق دوم نداشته باشد، آیا باز هم می‌تواند نقطهٔ عطف وجود داشته باشد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>بله. گاهی تابع در یک نقطه پیوسته است اما مشتق دوم آن نقطه وجود ندارد (مثلاً تابع قدر مطلق یا توابع ریشه‌دار). در این حالت اگر علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan> در دو طرف آن نقطه تغییر کند، آن نقطه به عنوان نقطه عطف در نظر گرفته می‌شود. مثال: تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=x^{1\u002F3}$\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan> پیوسته است اما مشتق دوم به سمت بی‌نهایت میل می‌کند و علامت تقعر تغییر می‌کند، بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan> یک نقطهٔ عطف است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پرسش ۳: چگونه می‌توانم بدون محاسبه مشتق دوم، جهت تقعر را حدس بزنم؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای توابع چندجمله‌ای ساده می‌توانید به درجهٔ جملهٔ غالب توجه کنید. اما روش مطمئن همان محاسبه مشتق دوم و تعیین علامت آن است. در نمودارهای واقعی و مسائل کاربردی، تقعر به ما می‌گوید که آیا نرخ رشد تابع در حال افزایش است (مقعر رو به بالا - رشد شتابان) یا در حال کاهش (مقعر رو به پایین - رشد با شتاب منفی). این تفسیر فیزیکی در مسائل حرکت شناسی بسیار مفید است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۷. مقایسهٔ رفتار مشتق اول و دوم در تحلیل نمودار\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول مقایسه نقش مشتق اول و مشتق دوم\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مفهوم\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">اطلاعاتی که می‌دهد\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شرط ماکزیمم نسبی\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مشتق اول (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x)$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">صعودی یا نزولی بودن تابع (نقاط بحرانی)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">تغییر علامت از مثبت به منفی\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مشتق دوم (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">جهت تقعر (کاسه یا کلاه) و نقاط عطف\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"background: #fee2e2; border-radius: 999px; color: #991b1b; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">منفی بودن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">مشتق دوم ابزاری نیرومند برای درک جزئیات دقیق‌تر نمودار توابع است. با تعیین علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan> می‌توان نواحی تقعر رو به بالا و رو به پایین را شناسایی کرد و نقاط عطف (نقاط تغییر تقعر) را یافت. ترکیب اطلاعات مشتق اول و مشتق دوم به شما امکان می‌دهد نموداری دقیق، کامل و قابل اعتماد از توابع مختلف رسم کنید. به یاد داشته باشید که صرفاً صفر شدن مشتق دوم برای عطف کافی نیست و حتماً باید تغییر علامت بررسی شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> نقطه عطف (Inflection Point): نقطه‌ای روی نمودار تابع پیوسته است که در آن جهت تقعر تغییر می‌کند. در این نقطه، مشتق دوم یا صفر است یا وجود ندارد و علامت آن بلافاصله قبل و بعد از نقطه متفاوت است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","حسابان دوازدهم","رسم نمودار با مشتق دوم",0,266,"2026-05-13 11:20:01","2026-09-10 01:53:35","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F23","1:53 1405\u002F06\u002F19",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,312],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13166,"انتقال عمودی به بالا: تبدیل y = f(x) + k در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به بالا منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FFoTANvbRj5FoG20XlJYp_200.png","2026-09-11 11:26:18","انتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","1405\u002F06\u002F20",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13167,"انتقال عمودی به پایین: تبدیل y = f(x) + k در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FuJNjTbbgLXejstDk1c6Q_200.png","2026-09-11 11:21:22","انتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13168,"انتقال افقی به چپ: تبدیل y = f(x + k) در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به چپ منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgAymHse2zFlSlbyvYR5x_200.png","2026-09-11 11:17:13","انتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13169,"انتقال افقی به راست: تبدیل y = f(x + k) در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKBCMRV5AnlnJ3QMSz8ot_200.png","2026-09-11 11:12:46","انتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13170,"دامنهٔ تابع: مجموعهٔ مقدارهای مجاز x که تابع برای آن‌ها تعریف شده است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FurqpgyzezpTtRLrSpPnc_200.png","2026-09-11 11:08:48","دامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13171,"برد تابع: مجموعهٔ مقدارهای y که از مقداردهی تابع به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWFCDPIxFmne7FoPCxc8A_200.png","2026-09-11 11:04:50","برد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13172,"انبساط عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با k > 1 ضرب می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8mt8XvUgPJLIDRhz2wBj_200.png","2026-09-11 11:00:36","انبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13173,"انقباض عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با ۰ ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fc995TR5YoUAEL5cFqmno_200.png","2026-09-11 10:57:45","انقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13174,"تبدیل y = kf(x): تبدیلی که در آن عرض هر نقطهٔ نمودار y = f(x) در k ضرب می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0OQzzsqJm0GliW9SN1C_200.png","2026-09-11 10:53:47","تبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13175,"قرینه نسبت به محور x: تبدیلی که هر نقطهٔ (x, y) را به (x, −y) تبدیل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8SwkJ0mNIeQwMFTCBzoV_200.png","2026-09-11 10:50:13","قرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":231},13186,"تابع نمایی: تابعی که متغیر در توان قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fdz0qJafki1DGSEI8ZyLY_200.png","2026-09-11 09:39:13","تابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد",{"id":313,"title":314,"cat":199,"pic":315,"up_date":316,"title_url":317,"url":318,"legacy_url":319,"cat_title":212,"update_jalali":231},13187,"تابع لگاریتمی: تابع وارون تابع نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F18apfTe0MBCAQ0g4vH8z_200.png","2026-09-11 09:31:51","تابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی"]