[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13438":193,"$fd7SjhLggFhR9_TEkC7ZdMqMTr0fk7Q4CoUra8k5YER8":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13438,1170,1171,4926,"مماس در نقطهٔ عطف: در نقطهٔ عطف، نمودار تابع خط مماس دارد و این خط معمولاً از نمودار عبور می‌کند.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHK2RfLzG8YKSV1VP6xYu_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"مماس در نقطهٔ عطف\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">رفتار خط مماس در نقطهٔ عطف: عبور از نمودار\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">بررسی مفهوم عبور مماس از منحنی در نقطهٔ عطف، همراه با مثال‌های گام‌به‌گام و جدول مقایسه\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در نقطهٔ عطف یک تابع مشتق‌پذیر، نمودار دارای خط مماس است. ویژگی اصلی این مماس این است که از نمودار عبور می‌کند (برخلاف اکثر نقاط دیگر که مماس فقط در یک سمت نمودار قرار می‌گیرد). در این مقاله با مفاهیم تحدب\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>، تقعر\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> و نقطهٔ عطف\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> آشنا می‌شویم و یاد می‌گیریم چگونه معادلهٔ خط مماس را در چنین نقطه‌ای بنویسیم و پدیدهٔ عبور از نمودار را تحلیل کنیم.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تحدب، تقعر و نقطهٔ عطف: مفاهیم پایه\u003C\u002Fh3>\r\nبرای درک رفتار مماس در نقطهٔ عطف، ابتدا باید سه مفهوم کلیدی را مرور کنیم. نمودار یک تابع در یک بازه می‌تواند به سمت بالا یا پایین خمیده باشد. اگر نمودار بالای خط مماس خود قرار گیرد، می‌گوییم تابع \u003Cstrong>تحدب به سمت بالا\u003C\u002Fstrong> (یا مقعر رو به بالا) دارد. اگر نمودار زیر خط مماس قرار گیرد، تابع \u003Cstrong>تحدب به سمت پایین\u003C\u002Fstrong> (یا مقعر رو به پایین) دارد.\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">نکته محاسباتی\u003C\u002Fspan> نقطه‌ای از نمودار که در آن جهت تحدب تغییر می‌کند (از بالا به پایین یا برعکس) \u003Cstrong>نقطهٔ عطف\u003C\u002Fstrong> نامیده می‌شود. در یک نقطهٔ عطف، مشتق دوم تابع یا صفر است یا وجود ندارد (به شرطی که مشتق اول وجود داشته باشد).\u003C\u002Fdiv>\r\nبرای تشخیص جهت تحدب از مشتق دوم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f''(x) $\u003C\u002Fspan> استفاده می‌کنیم:\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f''(x) \\gt 0 $\u003C\u002Fspan> در یک بازه، نمودار \u003Cstrong>تحدب به سمت بالا\u003C\u002Fstrong> (مقعر رو به بالا) است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f''(x) \\lt 0 $\u003C\u002Fspan> در یک بازه، نمودار \u003Cstrong>تحدب به سمت پایین\u003C\u002Fstrong> (مقعر رو به پایین) است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f''(x) = 0 $\u003C\u002Fspan> در یک نقطه و علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f'' $\u003C\u002Fspan> در دو طرف آن نقطه تغییر کند، آن نقطه، نقطهٔ عطف است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چرا مماس در نقطهٔ عطف از نمودار عبور می‌کند؟\u003C\u002Fh3>\r\nدر بیشتر نقاط یک منحنی، خط مماس کاملاً در یک سمت نمودار قرار دارد (جز در همان نقطهٔ تماس). اما در نقطهٔ عطف، وضعیت متفاوت است: \u003Cstrong>خط مماس از نمودار عبور می‌کند\u003C\u002Fstrong>. به عبارت دیگر، در یک همسایگی کوچک از نقطهٔ عطف، نمودار تابع در دو طرف خط مماس قرار می‌گیرد: یک طرف بالای مماس و طرف دیگر پایین مماس. دلیل این پدیده به تغییر جهت تحدب برمی‌گردد. فرض کنید نقطهٔ عطف در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x = c $\u003C\u002Fspan> باشد. برای مقادیر اندکی کوچک‌تر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ c $\u003C\u002Fspan>، نمودار ممکن است زیر خط مماس باشد (مثلاً تقعر رو به پایین) و برای مقادیر اندکی بزرگ‌تر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ c $\u003C\u002Fspan>، نمودار بالای خط مماس قرار گیرد (تحدب رو به بالا). بنابراین خط مماس مرز بین دو ناحیه است و از منحنی \u003Cstrong>عبور می‌کند\u003C\u002Fstrong> نه اینکه فقط مماس باشد.\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>مثال تصویری:\u003C\u002Fstrong> تابع سادهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f(x) = x^3 $\u003C\u002Fspan> را در نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x=0 $\u003C\u002Fspan> در نظر بگیرید. خط مماس در این نقطه، محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x $\u003C\u002Fspan>-ها (خط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ y=0 $\u003C\u002Fspan>) است. برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x \\lt 0 $\u003C\u002Fspan>، نمودار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x^3 $\u003C\u002Fspan> منفی (پایین خط مماس) و برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x \\gt 0 $\u003C\u002Fspan> مثبت (بالای خط مماس) است. بنابراین مماس از نمودار عبور می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مراحل یافتن معادلهٔ خط مماس در نقطهٔ عطف\u003C\u002Fh3>\r\nبرای نوشتن معادلهٔ خط مماس در یک نقطهٔ عطف معین، مراحل زیر را به ترتیب انجام می‌دهیم:\r\n\r\n\u003Col style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>یافتن نقطهٔ عطف:\u003C\u002Fstrong> مشتق دوم تابع را محاسبه کرده، معادلهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f''(x)=0 $\u003C\u002Fspan> را حل کرده و نقاط کاندید را بیابید. سپس با بررسی تغییر علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f'' $\u003C\u002Fspan> در دو طرف هر نقطه، وقوع عطف را تأیید کنید.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>محاسبهٔ مختصات نقطه:\u003C\u002Fstrong> مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x_0 $\u003C\u002Fspan> (نقطهٔ عطف) را در تابع اصلی قرار دهید تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ y_0 = f(x_0) $\u003C\u002Fspan> به دست آید.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>محاسبهٔ شیب مماس:\u003C\u002Fstrong> مشتق اول تابع را در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x_0 $\u003C\u002Fspan> محاسبه کنید: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ m = f'(x_0) $\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>نوشتن معادلهٔ خط:\u003C\u002Fstrong> از فرم نقطه-شیب استفاده کنید: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ y - y_0 = m (x - x_0) $\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Fol>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه رفتار مماس در نقاط مختلف\" class=\"table-wrapper\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع نقطه\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شرط مشتق دوم\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">رفتار خط مماس نسبت به نمودار\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نقطهٔ معمولی (تحدب ثابت)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f''(x) \\neq 0 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مماس در یک سمت نمودار قرار دارد (عبور نمی‌کند)\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نقطهٔ عطف\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f''(x) = 0 $\u003C\u002Fspan> و تغییر علامت\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #fee2e2; border-radius: 999px; color: #991b1b; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">عبور از نمودار\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نقطهٔ عطف با مماس افقی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f'(x)=0 $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f''(x)=0 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مماس افقی باز هم از نمودار عبور می‌کند (مثل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x^3 $\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مثال گام‌به‌گام: یافتن مماس در نقطهٔ عطف تابع درجه سوم\u003C\u002Fh3>\r\nتابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 $\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. مراحل را طی می‌کنیم: \u003Cstrong>گام ۱: محاسبه مشتقات\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 $\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f''(x) = 12x - 6 $\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong>گام ۲: یافتن نقاط کاندید عطف\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 12x - 6 = 0 \\Rightarrow x = 0.5 $\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong>گام ۳: بررسی تغییر علامت مشتق دوم\u003C\u002Fstrong> برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x = 0 $\u003C\u002Fspan> (چپ) داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f''(0) = -6 \\lt 0 $\u003C\u002Fspan> (تقعر رو به پایین) برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x = 1 $\u003C\u002Fspan> (راست) داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f''(1) = 6 \\gt 0 $\u003C\u002Fspan> (تحدب رو به بالا) علامت تغییر کرده، بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x=0.5 $\u003C\u002Fspan> نقطهٔ عطف است. \u003Cstrong>گام ۴: مختصات نقطهٔ عطف\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f(0.5) = 2(0.125) - 3(0.25) - 12(0.5) + 5 = 0.25 - 0.75 - 6 + 5 = -1.5 $\u003C\u002Fspan> نقطه: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (0.5, -1.5) $\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong>گام ۵: شیب خط مماس\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f'(0.5) = 6(0.25) - 6(0.5) - 12 = 1.5 - 3 - 12 = -13.5 $\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong>گام ۶: معادلهٔ مماس\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ y - (-1.5) = -13.5 (x - 0.5) $\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ y + 1.5 = -13.5x + 6.75 $\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ y = -13.5x + 5.25 $\u003C\u002Fspan> این خط مماس در نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (0.5, -1.5) $\u003C\u002Fspan> از نمودار عبور می‌کند، زیرا سمت چپ این نقطه نمودار زیر مماس و سمت راست آن بالای مماس قرار می‌گیرد.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی: تحلیل مسیر حرکت و تغییر شتاب\u003C\u002Fh3>\r\nدر فیزیک دبیرستان، وقتی نمودار مکان-زمان یک متحرک را رسم می‌کنیم، نقطهٔ عطف جایی است که شتاب (مشتق دوم مکان) تغییر علامت می‌دهد. خط مماس در آن نقطه، نشان‌دهندهٔ سرعت لحظه‌ای است. عبور مماس از نمودار به این معناست که متحرک در یک لحظه از حالت شتاب‌گرفتن به شتاب‌نگرفتن (یا برعکس) تغییر وضعیت می‌دهد و سرعت لحظه‌ای به عنوان مرز بین دو رفتار حرکتی عمل می‌کند. برای نمونه، فرض کنید معادلهٔ مکان ذره‌ای به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t $\u003C\u002Fspan> باشد. نقطهٔ عطف در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ t=2 $\u003C\u002Fspan> رخ می‌دهد (چرا که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ s''(t)=6t-12 $\u003C\u002Fspan>). خط مماس در این نقطه، سرعت لحظه‌ای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ v(2)=s'(2)=-3 $\u003C\u002Fspan> را نشان می‌دهد و چون مماس از نمودار عبور می‌کند، حرکت قبل و بعد از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ t=2 $\u003C\u002Fspan> نسبت به خط سرعت لحظه‌ای در دو سمت متفاوت قرار می‌گیرد.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 10px; margin-left: 12px; margin-right: 12px; margin-top: 10px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۱. آیا هر نقطه‌ای که مشتق دوم در آن صفر شود، حتماً نقطهٔ عطف است؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nخیر. شرط لازم برای نقطهٔ عطف، صفر شدن مشتق دوم (یا وجود نداشتن آن) است، اما شرط کافی \u003Cstrong>تغییر علامت\u003C\u002Fstrong> مشتق دوم در دو طرف آن نقطه است. مثلاً تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f(x)=x^4 $\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x=0 $\u003C\u002Fspan> دارای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f''(0)=0 $\u003C\u002Fspan> است اما علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f''(x)=12x^2 $\u003C\u002Fspan> در دو طرف صفر، همیشه غیرمنفی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\ge 0 $\u003C\u002Fspan>) است و تغییر نمی‌کند، بنابراین نقطهٔ عطف نیست.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۲. آیا line مماس در نقطهٔ عطف همیشه افقی است؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nنه. خط مماس در نقطهٔ عطف تنها زمانی افقی است که مشتق اول در آن نقطه صفر باشد. در بسیاری از نقاط عطف، شیب مماس غیرصفر است. مثال: تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f(x)=x^3 + x $\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x=0 $\u003C\u002Fspan> دارای نقطهٔ عطف است، اما \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f'(0)=1 $\u003C\u002Fspan>، بنابراین مماس مایل است و باز هم از نمودار عبور می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۳. آیا تابعی وجود دارد که در نقطهٔ عطف مماس نداشته باشد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nبله. اگر تابع در نقطهٔ عطف مشتق‌پذیر نباشد، ممکن است مماس عمودی یا هیچ مماسی وجود نداشته باشد. مثلاً تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f(x)=\\sqrt[3]{x} $\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x=0 $\u003C\u002Fspan> نقطهٔ عطف دارد (تغییر تحدب) اما مشتق آن در این نقطه بی‌نهایت است (مماس عمودی). در این موارد نیز خط مماس (اگر وجود داشته باشد) از نمودار عبور می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">در نقطهٔ عطف یک تابع مشتق‌پذیر، خط مماس همیشه از نمودار عبور می‌کند. این ویژگی ناشی از تغییر جهت تحدب (از تقعر به تحدب یا برعکس) است. برای یافتن معادلهٔ این مماس، کافی است نقطهٔ عطف را با استفاده از مشتق دوم تعیین کنیم، سپس شیب را از مشتق اول در آن نقطه محاسبه کرده و معادلهٔ خط را بنویسیم. درک این مفهوم به تحلیل عمیق‌تر توابع، رسم دقیق نمودارها و حل مسائل بهینه‌سازی و فیزیک کمک می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> تحدب (Convexity): ویژگی یک تابع که در آن پاره‌خط وصل‌کنندهٔ هر دو نقطه‌ی نمودار بالای نمودار یا روی آن قرار گیرد. در حالت محلی، با مثبت بودن مشتق دوم شناسایی می‌شود.\u003Cbr>\r\n\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> تقعر (Concavity): ویژگی یک تابع که در آن پاره‌خط وصل‌کنندهٔ هر دو نقطه‌ی نمودار زیر نمودار یا روی آن قرار گیرد. در حالت محلی، با منفی بودن مشتق دوم شناسایی می‌شود.\u003Cbr>\r\n\u003Cbr>\r\n\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> نقطهٔ عطف (Inflection point): نقطه‌ای روی نمودار تابع که در آن جهت تحدب (از بالا به پایین یا برعکس) تغییر می‌کند. در نقاط عطف مشتق‌پذیر، مشتق دوم صفر می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","حسابان دوازدهم","مماس در نقطهٔ عطف",0,119,"2026-05-13 02:32:56","2026-09-10 02:18:06","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F23","2:18 1405\u002F06\u002F19",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,312],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13166,"انتقال عمودی به بالا: تبدیل y = f(x) + k در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به بالا منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FFoTANvbRj5FoG20XlJYp_200.png","2026-09-11 11:26:18","انتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","1405\u002F06\u002F20",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13167,"انتقال عمودی به پایین: تبدیل y = f(x) + k در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FuJNjTbbgLXejstDk1c6Q_200.png","2026-09-11 11:21:22","انتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13168,"انتقال افقی به چپ: تبدیل y = f(x + k) در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به چپ منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgAymHse2zFlSlbyvYR5x_200.png","2026-09-11 11:17:13","انتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13169,"انتقال افقی به راست: تبدیل y = f(x + k) در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKBCMRV5AnlnJ3QMSz8ot_200.png","2026-09-11 11:12:46","انتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13170,"دامنهٔ تابع: مجموعهٔ مقدارهای مجاز x که تابع برای آن‌ها تعریف شده است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FurqpgyzezpTtRLrSpPnc_200.png","2026-09-11 11:08:48","دامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13171,"برد تابع: مجموعهٔ مقدارهای y که از مقداردهی تابع به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWFCDPIxFmne7FoPCxc8A_200.png","2026-09-11 11:04:50","برد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13172,"انبساط عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با k > 1 ضرب می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8mt8XvUgPJLIDRhz2wBj_200.png","2026-09-11 11:00:36","انبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13173,"انقباض عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با ۰ ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fc995TR5YoUAEL5cFqmno_200.png","2026-09-11 10:57:45","انقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13174,"تبدیل y = kf(x): تبدیلی که در آن عرض هر نقطهٔ نمودار y = f(x) در k ضرب می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0OQzzsqJm0GliW9SN1C_200.png","2026-09-11 10:53:47","تبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13175,"قرینه نسبت به محور x: تبدیلی که هر نقطهٔ (x, y) را به (x, −y) تبدیل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8SwkJ0mNIeQwMFTCBzoV_200.png","2026-09-11 10:50:13","قرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":231},13186,"تابع نمایی: تابعی که متغیر در توان قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fdz0qJafki1DGSEI8ZyLY_200.png","2026-09-11 09:39:13","تابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد",{"id":313,"title":314,"cat":199,"pic":315,"up_date":316,"title_url":317,"url":318,"legacy_url":319,"cat_title":212,"update_jalali":231},13187,"تابع لگاریتمی: تابع وارون تابع نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F18apfTe0MBCAQ0g4vH8z_200.png","2026-09-11 09:31:51","تابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی"]