[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13436":193,"$fcrQqLruj57N4GNo2Xu57X0wyw7qzKD-EHu1sOXQmG3Q":214},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":205,"status":4,"views":206,"subdate":207,"up_date":208,"first_name":209,"last_name":210,"avatar":13,"cat_title":211,"subdate_jalali":212,"update_jalali":213},13436,1170,1171,4926,"شرط لازم نقطهٔ عطف با مشتق دوم",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FN914whtCWhg8AvnN91je_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"شرط لازم نقطه عطف با مشتق دوم\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">شرط لازم نقطهٔ عطف با مشتق دوم\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">بررسی شرط لازم برای نقطه عطف: اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(c,f(c))\u003C\u002Fspan> نقطه عطف باشد، آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f″(c)\u003C\u002Fspan> یا صفر است یا وجود ندارد\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله به زبانی ساده و روان، شرط لازم برای نقطهٔ عطف توابع را بر اساس مشتق دوم بررسی می‌کنیم. با مثال‌های گوناگون یاد می‌گیرید که چرا در نقطهٔ عطف، مشتق دوم یا صفر است یا وجود ندارد. همچنین تفاوت نقطه عطف با نقاط بحرانی و اکسترمم‌ها را با جدول و فرمول‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">MathJax\u003C\u002Fspan> مرور خواهیم کرد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">نقطه عطف چیست و چگونه آن را تشخیص می‌دهیم؟\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>نقطه عطف\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> به نقطه‌ای از نمودار تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">y=f(x)\u003C\u002Fspan> گفته می‌شود که در آن جهت تقعر نمودار تغییر کند. به عبارت دیگر، اگر در سمت چپ نقطه، تابع رو به بالا تقعر داشته باشد (محدب\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>) و در سمت راست آن رو به پایین تقعر داشته باشد (مقعر\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>) یا برعکس، آن نقطه، نقطه عطف است. درک این مفهوم برای تحلیل رفتار توابع، به ویژه در رسم نمودار و بهینه‌سازی، بسیار مهم است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>به عنوان مثال، تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f(x)=x\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. مشتق اول آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f'(x)=3x\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fspan> و مشتق دوم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x)=6x\u003C\u002Fspan> است. در نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=0\u003C\u002Fspan> مقدار مشتق دوم برابر صفر می‌شود. بررسی علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x)\u003C\u002Fspan> در دو طرف نقطه نشان می‌دهد که برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x \\lt 0\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x) \\lt 0\u003C\u002Fspan> (تقعر رو به پایین) و برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x \\gt 0\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x) \\gt 0\u003C\u002Fspan> (تقعر رو به بالا) است. بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,0)\u003C\u002Fspan> یک نقطه عطف برای این تابع است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ f(x)=x^3 \\quad \\Rightarrow \\quad f''(x)=6x $\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\nعلامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan> از منفی به مثبت در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$x=0$\u003C\u002Fspan> تغییر می‌کند → نقطه عطف.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">بیان دقیق شرط لازم برای نقطه عطف\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>قضیهٔ شرط لازم می‌گوید: اگر تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f\u003C\u002Fspan> در نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=c\u003C\u002Fspan> دارای نقطه عطف باشد و مشتق دوم تابع در آن نقطه وجود داشته باشد، آنگاه حتماً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(c)=0\u003C\u002Fspan> است. اما عکس این قضیه درست نیست؛ یعنی صفر بودن مشتق دوم در یک نقطه، لزوماً به معنای عطف بودن آن نقطه نیست. همچنین اگر مشتق دوم در نقطه وجود نداشته باشد، باز هم ممکن است آن نقطه عطف باشد. به همین دلیل می‌گوییم «شرط لازم» نه «شرط کافی».\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"tr-caption\" style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>بیان شرط به زبان ریاضی:\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nاگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$(c, f(c))$\u003C\u002Fspan> نقطه عطف برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f$\u003C\u002Fspan> باشد، آنگاه یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f''(c)=0$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f''(c)$\u003C\u002Fspan> وجود ندارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مقایسه موارد مختلف: صفر بودن یا وجود نداشتن مشتق دوم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای درک بهتر، جدول زیر سه حالت متفاوت را نشان می‌دهد: موردی که مشتق دوم صفر است و نقطه عطف داریم، موردی که مشتق دوم صفر است ولی نقطه عطف نداریم، و موردی که مشتق دوم وجود ندارد اما نقطه عطف وجود دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول مقایسه نقاط عطف و مشتق دوم\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تابع نمونه\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نقطه مورد نظر\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(c)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">آیا نقطه عطف است؟\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f(x)=x\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=0\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">صفر\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">بله\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f(x)=x\u003Csup>4\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=0\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">صفر\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #fee2e2; border-radius: 999px; color: #991b1b; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">خیر (نقطه کمینه)\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f(x)=x\u003Csup>1\u002F3\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=0\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">وجود ندارد (مشتق دوم بینهایت)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">بله\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چرا صفر بودن مشتق دوم شرط کافی نیست؟\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f(x)=x\u003Csup>4\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. مشتق اول آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4x\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fspan> و مشتق دوم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">12x\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fspan> است. در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=0\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(0)=0\u003C\u002Fspan> است. اما علامت مشتق دوم برای هر دو طرف نقطه (چپ و راست) مثبت است (زیرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">12x\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> \\ge 0\u003C\u002Fspan>). بنابراین تغییری در جهت تقعر رخ نمی‌دهد و نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,0)\u003C\u002Fspan> یک نقطه عطف نیست، بلکه یک نقطه کمینه\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> محلی است. این مثال نشان می‌دهد که برای اطمینان از عطف بودن، باید تغییر علامت مشتق دوم در دو طرف نقطه بررسی شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ f(x)=x^4 \\quad \\Rightarrow \\quad f''(x)=12x^2 $\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ f''(x) \\ge 0 $\u003C\u002Fspan> برای همه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$x$\u003C\u002Fspan> و تغییر علامت ندارد → نقطه عطف نیست.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مثال عملی: نقطه عطف در توابع چندجمله‌ای و گویا\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f(x)=x\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> - 3x\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> + 2\u003C\u002Fspan> را بررسی کنید. مشتق دوم آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x)=6x - 6 = 6(x-1)\u003C\u002Fspan> است. معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x)=0\u003C\u002Fspan> جواب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=1\u003C\u002Fspan> می‌دهد. برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x \\lt 1\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x) \\lt 0\u003C\u002Fspan> (تقعر رو به پایین) و برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x \\gt 1\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x) \\gt 0\u003C\u002Fspan> (تقعر رو به بالا) است. بنابراین علامت تغییر می‌کند و نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(1, f(1)) = (1,0)\u003C\u002Fspan> یک نقطه عطف است. در این مثال، مشتق دوم در نقطه عطف به طور کامل صفر و پیوسته است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>به عنوان مثالی دیگر، تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f(x)=x^{1\u002F3}\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. مشتق اول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f'(x)=\\frac{1}{3}x^{-2\u002F3}\u003C\u002Fspan> و مشتق دوم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x)= -\\frac{2}{9}x^{-5\u002F3}\u003C\u002Fspan> است. در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=0\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(0)\u003C\u002Fspan> وجود ندارد (مخرج کسر صفر می‌شود). با این حال، برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x \\lt 0\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x) \\gt 0\u003C\u002Fspan> و برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x \\gt 0\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x) \\lt 0\u003C\u002Fspan> است. پس تقعر تغییر می‌کند و نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,0)\u003C\u002Fspan> یک نقطه عطف است، حتی اگر مشتق دوم در آن وجود نداشته باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۱. آیا هر نقطه‌ای که مشتق دوم آن صفر شود، حتماً نقطه عطف است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>خیر، همانطور که در مثال \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f(x)=x\u003Csup>4\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fspan> دیدیم، مشتق دوم در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=0\u003C\u002Fspan> صفر است اما تغییر تقعر رخ نمی‌دهد. شرط لازم است، نه کافی.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۲. اگر مشتق دوم در نقطه‌ای وجود نداشته باشد، آیا می‌تواند آن نقطه عطف باشد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>بله، مانند تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f(x)=x^{1\u002F3}\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=0\u003C\u002Fspan>. مشتق دوم وجود ندارد اما به دلیل تغییر علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x)\u003C\u002Fspan> در دو طرف نقطه، آن نقطه عطف محسوب می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۳. چگونه به طور عملی نقطه عطف را پیدا کنیم؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>ابتدا نقاطی را که مشتق دوم صفر می‌شود یا وجود ندارد، پیدا کنید. سپس در یک جدول، علامت مشتق دوم را در دو طرف هر نقطه بررسی کنید. اگر علامت در دو طرف متفاوت باشد، آن نقطه عطف است. همچنین می‌توان از مشتق سوم (اگر موجود باشد) استفاده کرد: اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(c)=0\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f'''(c) \\neq 0\u003C\u002Fspan>، آنگاه نقطه عطف داریم.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مرور سریع گام‌به‌گام برای تشخیص نقطه عطف\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Col style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>مشتق دوم تابع یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x)\u003C\u002Fspan> را محاسبه کنید.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x)=0\u003C\u002Fspan> را حل کنید و نقاطی که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x)\u003C\u002Fspan> وجود ندارد را بیابید.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>در یک جدول، علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x)\u003C\u002Fspan> را در هر بازه تعیین کنید.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>اگر علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f''(x)\u003C\u002Fspan> در دو طرف یک نقطه تغییر کند، آن نقطه عطف است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>مقدار تابع را در آن نقطه محاسبه کنید تا مختصات نقطه عطف به دست آید.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Fol>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nشرط لازم برای نقطه عطف آن است که مشتق دوم در آن نقطه یا صفر باشد یا وجود نداشته باشد. این شرط، نقطه‌های کاندید عطف را مشخص می‌کند، اما برای تایید نهایی باید تغییر علامت مشتق دوم در دو طرف نقطه بررسی شود. توابعی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x\u003Csup>1\u002F3\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fspan> به ترتیب نمونه‌هایی از صفر بودن و وجود نداشتن مشتق دوم در نقطه عطف هستند، در حالی که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x\u003Csup>4\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fspan> نشان می‌دهد صفر بودن مشتق دوم به تنهایی کافی نیست. درک این نکته برای تحلیل صحیح رفتار توابع در ریاضی و کاربردهای آن ضروری است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; line-height: 1.6\">\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> نقطه عطف (Inflection Point): نقطه‌ای روی نمودار تابع که در آن جهت تقعر تغییر می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> محدب (Convex): تابعی که نمودار آن رو به بالا خمیده است و مشتق دوم آن مثبت می‌باشد (در بازه‌ای).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> مقعر (Concave): تابعی که نمودار آن رو به پایین خمیده است و مشتق دوم آن منفی می‌باشد (در بازه‌ای).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> نقطه کمینه (Minimum Point): نقطه‌ای که مقدار تابع در آن از نقاط اطراف کمتر یا مساوی است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,198],"پایهٔ دوازدهم","حسابان دوازدهم",0,162,"2026-05-13 02:19:02","2026-09-10 02:21:05","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F23","2:21 1405\u002F06\u002F19",{"tests":215,"papers":216,"files":217,"questions":218,"exams":219,"tutorials":220,"blogs":221},[],[],[],[],[],[],[222,231,239,247,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":223,"title":224,"cat":199,"pic":225,"up_date":226,"title_url":227,"url":228,"legacy_url":229,"cat_title":211,"update_jalali":230},13166,"انتقال عمودی به بالا: تبدیل y = f(x) + k در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به بالا منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FFoTANvbRj5FoG20XlJYp_200.png","2026-09-11 11:26:18","انتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","1405\u002F06\u002F20",{"id":232,"title":233,"cat":199,"pic":234,"up_date":235,"title_url":236,"url":237,"legacy_url":238,"cat_title":211,"update_jalali":230},13167,"انتقال عمودی به پایین: تبدیل y = f(x) + k در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FuJNjTbbgLXejstDk1c6Q_200.png","2026-09-11 11:21:22","انتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":240,"title":241,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":244,"url":245,"legacy_url":246,"cat_title":211,"update_jalali":230},13168,"انتقال افقی به چپ: تبدیل y = f(x + k) در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به چپ منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgAymHse2zFlSlbyvYR5x_200.png","2026-09-11 11:17:13","انتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند",{"id":248,"title":249,"cat":199,"pic":250,"up_date":251,"title_url":252,"url":253,"legacy_url":254,"cat_title":211,"update_jalali":230},13169,"انتقال افقی به راست: تبدیل y = f(x + k) در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKBCMRV5AnlnJ3QMSz8ot_200.png","2026-09-11 11:12:46","انتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":211,"update_jalali":230},13170,"دامنهٔ تابع: مجموعهٔ مقدارهای مجاز x که تابع برای آن‌ها تعریف شده است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FurqpgyzezpTtRLrSpPnc_200.png","2026-09-11 11:08:48","دامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":211,"update_jalali":230},13171,"برد تابع: مجموعهٔ مقدارهای y که از مقداردهی تابع به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWFCDPIxFmne7FoPCxc8A_200.png","2026-09-11 11:04:50","برد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":211,"update_jalali":230},13172,"انبساط عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با k > 1 ضرب می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8mt8XvUgPJLIDRhz2wBj_200.png","2026-09-11 11:00:36","انبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":211,"update_jalali":230},13173,"انقباض عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با ۰ ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fc995TR5YoUAEL5cFqmno_200.png","2026-09-11 10:57:45","انقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":211,"update_jalali":230},13174,"تبدیل y = kf(x): تبدیلی که در آن عرض هر نقطهٔ نمودار y = f(x) در k ضرب می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0OQzzsqJm0GliW9SN1C_200.png","2026-09-11 10:53:47","تبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":211,"update_jalali":230},13175,"قرینه نسبت به محور x: تبدیلی که هر نقطهٔ (x, y) را به (x, −y) تبدیل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8SwkJ0mNIeQwMFTCBzoV_200.png","2026-09-11 10:50:13","قرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":211,"update_jalali":230},13186,"تابع نمایی: تابعی که متغیر در توان قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fdz0qJafki1DGSEI8ZyLY_200.png","2026-09-11 09:39:13","تابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":211,"update_jalali":230},13187,"تابع لگاریتمی: تابع وارون تابع نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F18apfTe0MBCAQ0g4vH8z_200.png","2026-09-11 09:31:51","تابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی"]