[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13421":193,"$f0UapnHhJvXmvcb_UR8jqJueQxQEfufhGL0z585uM-lU":214},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":205,"status":4,"views":206,"subdate":207,"up_date":208,"first_name":209,"last_name":210,"avatar":13,"cat_title":211,"subdate_jalali":212,"update_jalali":213},13421,1170,1171,4926,"بالاترین و پایین‌ترین نقطهٔ نمودار",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FLzaf3HU0tinWl0pyqGSc_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"نقاط ماکزیمم و مینیمم مطلق در نمودار توابع\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">بالاترین و پایین‌ترین نقطهٔ نمودار: ماکزیمم و مینیمم مطلق\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">شناخت نقاط اوج و فرود در توابع ریاضی، کلید حل مسائل بهینه‌سازی در علوم پایه و کاربردی\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله با مفاهیم ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق در نمودار توابع آشنا می‌شوید. می‌آموزید که چگونه بالاترین و پایین‌ترین نقطهٔ یک نمودار را در یک بازه یا کل دامنه شناسایی کنید. همچنین با روش‌های تحلیلی و مشتق‌گیری برای یافتن این نقاط کلیدی، همراه با مثال‌های گام‌به‌گام و جدول مقایسه، آشنا خواهید شد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۱. تعریف ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">تعریف کلیدی\u003C\u002Fspan> نقطهٔ ماکزیمم مطلق\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>، بالاترین مقدار تابع در کل دامنه است. نقطهٔ مینیمم مطلق\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> نیز پایین‌ترین مقدار تابع در کل دامنه محسوب می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = f(x)$\u003C\u002Fspan> بر روی دامنهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$D_f$\u003C\u002Fspan> تعریف شده باشد. نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x = a$\u003C\u002Fspan> را یک ماکزیمم مطلق می‌نامیم اگر به ازای همهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x \\in D_f$\u003C\u002Fspan> داشته باشیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(a) \\ge f(x)$\u003C\u002Fspan>. به عبارت دیگر، مقدار تابع در نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan> از همهٔ مقادیر دیگر تابع بیشتر یا مساوی است. نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x = b$\u003C\u002Fspan> را مینیمم مطلق می‌نامیم اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(b) \\le f(x)$\u003C\u002Fspan> برای همهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan>ها در دامنه برقرار باشد. توجه کنید که یک تابع ممکن است ماکزیمم یا مینیمم مطلق نداشته باشد، مخصوصاً اگر دامنه آن نامحدود و تابع بدون کران باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای درک بهتر، به یک قلهٔ کوه فکر کنید. بالاترین نقطهٔ کل رشته کوه، ماکزیمم مطلق است. پایین‌ترین نقطهٔ دره در همان محدوده، مینیمم مطلق محسوب می‌شود. اگر تابع در یک بازهٔ بسته مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$[p, q]$\u003C\u002Fspan> تعریف شده باشد و پیوسته باشد، طبق قضیهٔ مقدار کرانی\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> حتماً دارای ماکزیمم و مینیمم مطلق است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۲. تفاوت ماکزیمم مطلق با ماکزیمم نسبی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول مقایسه نقاط مطلق و نسبی\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع نقطه\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">دامنه مقایسه\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شرط ریاضی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال در تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=x^3 - 3x$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ماکزیمم مطلق\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">کل دامنه تابع\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(a) \\ge f(x) \\quad \\forall x \\in D_f$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ندارد (دامنه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مینیمم مطلق\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">کل دامنه تابع\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(b) \\le f(x) \\quad \\forall x \\in D_f$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ندارد (دامنه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ماکزیمم نسبی (محلی)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">یک همسایگی کوچک\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(c) \\ge f(x)$\u003C\u002Fspan> برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$|x-c| \\lt \\delta$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=-1$\u003C\u002Fspan> با مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مینیمم نسبی (محلی)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">یک همسایگی کوچک\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(d) \\le f(x)$\u003C\u002Fspan> برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$|x-d| \\lt \\delta$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan> با مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>نکتهٔ مهم این است که هر ماکزیمم مطلق، حتماً یک ماکزیمم نسبی هم هست (اگر درون بازه باشد)، اما عکس این گزاره درست نیست. گاهی یک تابع می‌تواند چندین نقطهٔ ماکزیمم نسبی داشته باشد ولی فقط یکی از آنها (بزرگترین مقدار) به عنوان ماکزیمم مطلق شناخته می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۳. روش گام‌به‌گام یافتن ماکزیمم و مینیمم مطلق\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای یافتن نقاط ماکزیمم و مینیمم مطلق یک تابع پیوسته روی بازهٔ بسته \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$[a, b]$\u003C\u002Fspan>، می‌توان از روش زیر استفاده کرد:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام اول:\u003C\u002Fstrong> مشتق تابع را محاسبه کنید: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x)$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام دوم:\u003C\u002Fstrong> نقاط بحرانی (نقاطی که مشتق صفر می‌شود یا مشتق وجود ندارد) را در داخل بازهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(a, b)$\u003C\u002Fspan> پیدا کنید.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام سوم:\u003C\u002Fstrong> مقادیر تابع را در نقاط بحرانی و همچنین در دو بازه (یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x = a$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x = b$\u003C\u002Fspan>) محاسبه کنید.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام چهارم:\u003C\u002Fstrong> بزرگترین مقدار محاسبه‌شده، ماکزیمم مطلق و کوچکترین مقدار، مینیمم مطلق تابع در آن بازه خواهد بود.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$\u003C\u002Fspan> را روی بازهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$[0, 3]$\u003C\u002Fspan> در نظر بگیرید. مشتق: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$\u003C\u002Fspan>. معادلهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$6x^2 - 18x + 12 = 0 \\implies x^2 - 3x + 2 = 0 \\implies (x-1)(x-2)=0$\u003C\u002Fspan>. نقاط بحرانی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=2$\u003C\u002Fspan> در بازه هستند. مقادیر: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(0)=0$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(1)=5$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(2)=4$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(3)=9$\u003C\u002Fspan>. بنابراین ماکزیمم مطلق \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$9$\u003C\u002Fspan> در نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=3$\u003C\u002Fspan> و مینیمم مطلق \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$0$\u003C\u002Fspan> در نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۴. کاربرد عملی در بهینه‌سازی و اقتصاد\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>شناخت نقاط ماکزیمم و مینیمم مطلق در مسائل دنیای واقعی کاربرد گسترده دارد. یک شرکت تولیدی که می‌خواهد سود خود را بیشینه کند، باید تابع سود را به عنوان تابعی از مقدار تولید در نظر گرفته و نقطهٔ ماکزیمم مطلق آن را در بازهٔ ممکن تولید پیدا کند. همچنین برای کمینه کردن هزینهٔ تولید یا زمان سفر، از مینیمم مطلق استفاده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>به عنوان مثال، فرض کنید تابع هزینهٔ یک تولیدکننده به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$C(x)=0.1x^2 - 2x + 50$\u003C\u002Fspan> باشد که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> تعداد واحدهای تولیدی (بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$0$\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$20$\u003C\u002Fspan>) است. برای یافتن تولید بهینه که هزینه را مینیمم کند، رأس سهمی را محاسبه می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-2}{2(0.1)} = \\frac{2}{0.2} = 10$\u003C\u002Fspan>. مقدار هزینه در این نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$C(10)=0.1(100) - 20 + 50 = 10 - 20 + 50 = 40$\u003C\u002Fspan> است. با بررسی نقاط مرزی، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$C(0)=50$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$C(20)=0.1(400) - 40 + 50 = 40 - 40 + 50 = 50$\u003C\u002Fspan>، بنابراین مینیمم مطلق در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=10$\u003C\u002Fspan> و برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$40$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۵. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۱:\u003C\u002Fstrong> آیا تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x) = \\frac{1}{x}$\u003C\u002Fspan> روی بازهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(0, 1]$\u003C\u002Fspan> دارای ماکزیمم مطلق است؟ چرا؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر. زیرا وقتی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$0^+$\u003C\u002Fspan> نزدیک می‌شود، تابع به سمت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan> میل می‌کند و هیچ کران بالایی ندارد. بازه باز است و قضیه مقدار کرانی اعمال نمی‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۲:\u003C\u002Fstrong> اگر تابعی در یک نقطه، مشتق صفر داشته باشد، آیا آن نقطه حتماً ماکزیمم یا مینیمم مطلق است؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر، مشتق صفر شرط لازم برای نقاط بحرانی است، ولی نه کافی. نقطه ممکن است عطف باشد (مثل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=x^3$\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan>). برای مطلق بودن، باید مقدار تابع در آن نقطه با تمام نقاط دیگر دامنه مقایسه شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۳:\u003C\u002Fstrong> آیا یک تابع می‌تواند دو ماکزیمم مطلق متفاوت داشته باشد؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله، اگر تابع در دو نقطهٔ مجزا به یک مقدار بیشینه برسد. مانند تابع ثابت یا تابع سینوسی در بازه‌ای که قله‌های هم‌ارتفاع داشته باشد. در این حالت می‌گوییم ماکزیمم مطلق در چند نقطه رخ می‌دهد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">ماکزیمم مطلق، بالاترین نقطهٔ نمودار و مینیمم مطلق، پایین‌ترین نقطهٔ نمودار در کل دامنه تابع است. برای توابع پیوسته روی بازه‌های بسته، این نقاط همیشه وجود دارند و با مقایسهٔ مقادیر تابع در نقاط بحرانی و نقاط مرزی پیدا می‌شوند. درک این مفاهیم برای حل مسائل بهینه‌سازی در ریاضیات، اقتصاد، مهندسی و علوم پایه ضروری است. همچنین باید میان نقاط مطلق و نسبی تمایز قائل شد، زیرا نقطهٔ ماکزیمم نسبی لزوماً بالاترین نقطهٔ کل نمودار نیست.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv>\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> ماکزیمم مطلق (Absolute Maximum): بزرگترین مقداری که یک تابع در کل دامنهٔ خود اختیار می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> مینیمم مطلق (Absolute Minimum): کوچکترین مقداری که یک تابع در کل دامنهٔ خود اختیار می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> قضیه مقدار کرانی (Extreme Value Theorem): اگر تابعی روی یک بازهٔ بسته و کران‌دار پیوسته باشد، حتماً دارای ماکزیمم و مینیمم مطلق در آن بازه است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,198],"پایهٔ دوازدهم","حسابان دوازدهم",0,97,"2026-05-13 00:33:49","2026-09-10 02:49:49","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F23","2:49 1405\u002F06\u002F19",{"tests":215,"papers":216,"files":217,"questions":218,"exams":219,"tutorials":220,"blogs":221},[],[],[],[],[],[],[222,231,239,247,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":223,"title":224,"cat":199,"pic":225,"up_date":226,"title_url":227,"url":228,"legacy_url":229,"cat_title":211,"update_jalali":230},13166,"انتقال عمودی به بالا: تبدیل y = f(x) + k در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به بالا منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FFoTANvbRj5FoG20XlJYp_200.png","2026-09-11 11:26:18","انتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","1405\u002F06\u002F20",{"id":232,"title":233,"cat":199,"pic":234,"up_date":235,"title_url":236,"url":237,"legacy_url":238,"cat_title":211,"update_jalali":230},13167,"انتقال عمودی به پایین: تبدیل y = f(x) + k در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FuJNjTbbgLXejstDk1c6Q_200.png","2026-09-11 11:21:22","انتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":240,"title":241,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":244,"url":245,"legacy_url":246,"cat_title":211,"update_jalali":230},13168,"انتقال افقی به چپ: تبدیل y = f(x + k) در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به چپ منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgAymHse2zFlSlbyvYR5x_200.png","2026-09-11 11:17:13","انتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند",{"id":248,"title":249,"cat":199,"pic":250,"up_date":251,"title_url":252,"url":253,"legacy_url":254,"cat_title":211,"update_jalali":230},13169,"انتقال افقی به راست: تبدیل y = f(x + k) در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKBCMRV5AnlnJ3QMSz8ot_200.png","2026-09-11 11:12:46","انتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":211,"update_jalali":230},13170,"دامنهٔ تابع: مجموعهٔ مقدارهای مجاز x که تابع برای آن‌ها تعریف شده است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FurqpgyzezpTtRLrSpPnc_200.png","2026-09-11 11:08:48","دامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":211,"update_jalali":230},13171,"برد تابع: مجموعهٔ مقدارهای y که از مقداردهی تابع به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWFCDPIxFmne7FoPCxc8A_200.png","2026-09-11 11:04:50","برد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":211,"update_jalali":230},13172,"انبساط عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با k > 1 ضرب می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8mt8XvUgPJLIDRhz2wBj_200.png","2026-09-11 11:00:36","انبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":211,"update_jalali":230},13173,"انقباض عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با ۰ ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fc995TR5YoUAEL5cFqmno_200.png","2026-09-11 10:57:45","انقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":211,"update_jalali":230},13174,"تبدیل y = kf(x): تبدیلی که در آن عرض هر نقطهٔ نمودار y = f(x) در k ضرب می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0OQzzsqJm0GliW9SN1C_200.png","2026-09-11 10:53:47","تبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":211,"update_jalali":230},13175,"قرینه نسبت به محور x: تبدیلی که هر نقطهٔ (x, y) را به (x, −y) تبدیل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8SwkJ0mNIeQwMFTCBzoV_200.png","2026-09-11 10:50:13","قرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":211,"update_jalali":230},13186,"تابع نمایی: تابعی که متغیر در توان قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fdz0qJafki1DGSEI8ZyLY_200.png","2026-09-11 09:39:13","تابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":211,"update_jalali":230},13187,"تابع لگاریتمی: تابع وارون تابع نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F18apfTe0MBCAQ0g4vH8z_200.png","2026-09-11 09:31:51","تابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی"]