[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13412":193,"$fQSCdvvDUIXZcv880r8CWYW46lMG8huPO4RzC4f-YGBM":214},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":205,"status":4,"views":206,"subdate":207,"up_date":208,"first_name":209,"last_name":210,"avatar":13,"cat_title":211,"subdate_jalali":212,"update_jalali":213},13412,1170,1171,4926,"رابطهٔ شعاع کره و استوانهٔ محاط",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FarqNtrUaBX74MlID475B_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"رابطهٔ شعاع کره و استوانهٔ محاط\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">رابطهٔ شعاع کره و استوانهٔ محاط\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">بررسی هندسی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r² + h²\u002F4 = R²\u003C\u002Fspan> و کاربرد آن در محاسبات حجم و سطح\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">اگر استوانه‌ای با شعاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r\u003C\u002Fspan> و ارتفاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">h\u003C\u002Fspan> درون کره‌ای به شعاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">R\u003C\u002Fspan> چنان محاط شود که محور استوانه از مرکز کره بگذرد، آنگاه رابطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r² + (h²)\u002F4 = R²\u003C\u002Fspan> برقرار است. این مقاله با زبانی ساده و گام‌به‌گام، اثبات این رابطه را برای دانش‌آموزان دبیرستان ارائه می‌دهد، سپس به کمک جدول و مثال‌های عددی، کاربرد آن را در محاسبهٔ حجم بیشینه و مساحت جانبی بررسی می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">بازنمایی هندسی و چیدمان اشکال\u003C\u002Fh3>\r\nبرای درک رابطهٔ شعاع کره و استوانهٔ محاط، ابتدا باید تصویر ذهنی درستی از آرایش این دو شکل در فضا بسازیم. فرض کنید یک کره به مرکز \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">O\u003C\u002Fspan> و شعاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">R\u003C\u002Fspan> داریم. یک استوانهٔ قائم با شعاع قاعدهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r\u003C\u002Fspan> و ارتفاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">h\u003C\u002Fspan> را چنان درون این کره قرار می‌دهیم که محور استوانه از مرکز کره عبور کند و دو قاعدهٔ استوانه بر سطح داخلی کره مماس شوند. در این حالت می‌گوییم استوانه در کره محاط شده است\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>. در مقطع طولی (گذرنده از محور استوانه)، کره به صورت یک دایره به شعاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">R\u003C\u002Fspan> و استوانه به صورت یک مستطیل به عرض \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2r\u003C\u002Fspan> و ارتفاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">h\u003C\u002Fspan> دیده می‌شود که اضلاع آن بر دایره مماس هستند. رأس‌های مستطیل روی محیط دایره قرار می‌گیرند. در این مقطع، فاصلهٔ مرکز کره تا هر یک از اضلاع افقی مستطیل (قاعده‌های استوانه) برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">h\u002F2\u003C\u002Fspan> است.\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">فرمول کلیدی: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ r^2 + \\left(\\frac{h}{2}\\right)^2 = R^2 $\u003C\u002Fspan> یا همان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ r^2 + \\frac{h^2}{4} = R^2 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\nحال اگر از مقطع عرضی (عمود بر محور استوانه) به شکل نگاه کنیم، یک دایره به شعاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">R\u003C\u002Fspan> (برش کره) و یک دایرهٔ هم‌مرکز به شعاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r\u003C\u002Fspan> (برش استوانه) می‌بینیم. این تصویر دو بعدی به ما کمک می‌کند تا با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> به رابطهٔ اصلی برسیم.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">اثبات گام‌به‌گام با قضیهٔ فیثاغورس در مقطع طولی\u003C\u002Fh3>\r\nبرای اثبات رابطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r² + h²\u002F۴ = R²\u003C\u002Fspan>، مراحل زیر را به ترتیب دنبال می‌کنیم: \u003Cstrong>گام اول: رسم مقطع طولی مناسب\u003C\u002Fstrong> فرض کنید محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x\u003C\u002Fspan> را بر امتداد محور استوانه و مبدأ را در مرکز کره قرار می‌دهیم. در این صورت، مرکز کره در نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0,0)\u003C\u002Fspan> و معادلهٔ دایره (برش کره) به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ x^2 + y^2 = R^2 $\u003C\u002Fspan> است. ضلع راست استوانه در فاصلهٔ افقی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">y = r\u003C\u002Fspan> از محور مرکزی قرار دارد. \u003Cstrong>گام دوم: تعیین مختصات نقطهٔ تماس\u003C\u002Fstrong> قاعدهٔ بالایی استوانه در ارتفاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x = h\u002F2\u003C\u002Fspan> نسبت به مرکز کره قرار می‌گیرد. نقطهٔ گوشهٔ استوانه (محل برخورد قاعده و بدنه) مختصات \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(h\u002F2 , r)\u003C\u002Fspan> دارد. این نقطه باید روی دایره (برش کره) قرار گیرد. \u003Cstrong>گام سوم: اعمال شرط قرارگیری روی دایره\u003C\u002Fstrong> مختصات این نقطه را در معادلهٔ دایره جایگذاری می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\left(\\frac{h}{2}\\right)^2 + (r)^2 = R^2 $\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong>گام چهارم: ساده‌سازی عبارت\u003C\u002Fstrong> با ساده‌سازی جملهٔ اول داریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\frac{h^2}{4} + r^2 = R^2 $\u003C\u002Fspan> که همان رابطهٔ مورد نظر است. اثبات کامل شد.\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>مثال عددی:\u003C\u002Fstrong> فرض کنید شعاع کره \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">R = 10\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر است. اگر ارتفاع استوانهٔ محاط را \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">h = 12\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر در نظر بگیریم، آنگاه رابطه به ما می‌گوید: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ r^2 = 10^2 - \\frac{12^2}{4} = 100 - 36 = 64 $\u003C\u002Fspan> از این رو \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r = 8\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر. یعنی فقط استوانه‌ای با شعاع قاعدهٔ ۸ سانتی‌متر در این کره محاط می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مقایسهٔ حالت‌های مختلف محاطی برای یک کره ثابت\u003C\u002Fh3>\r\nبرای یک کره با شعاع ثابت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">R\u003C\u002Fspan>، می‌توان استوانه‌های محاطی با نسبت‌های مختلف ارتفاع به شعاع داشت. جدول زیر سه حالت متفاوت را نشان می‌دهد (فرض \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">R = 5\u003C\u002Fspan>):\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه استوانه‌های محاط در کره\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ارتفاع (h)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شعاع قاعده (r)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">رابطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r² + h²\u002F۴ = R²\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">وضعیت\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">6\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">16 + 9 = 25\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">برقرار\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">8\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">9 + 16 = 25\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">برقرار\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">10\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">0\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">0 + 25 = 25\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #fee2e2; border-radius: 999px; color: #991b1b; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">انحطاط (قطر)\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\nهمان‌طور که مشاهده می‌شود، با افزایش ارتفاع، شعاع قاعده کاهش می‌یابد تا در حالت حدی که ارتفاع برابر قطر کره (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">h = 2R\u003C\u002Fspan>) می‌شود، شعاع قاعده به صفر می‌رسد و استوانه به یک پاره‌خط تبدیل می‌شود.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی: یافتن بیشترین حجم استوانهٔ محاطی\u003C\u002Fh3>\r\nیکی از جالب‌ترین کاربردهای رابطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r² + h²\u002F۴ = R²\u003C\u002Fspan>، یافتن ابعاد استوانه‌ای است که درون یک کرهٔ معین بیشترین حجم را داشته باشد. حجم استوانه از رابطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ V = \\pi r^2 h $\u003C\u002Fspan> به دست می‌آید. با استفاده از رابطهٔ محاطی می‌توانیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r²\u003C\u002Fspan> را بر حسب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">h\u003C\u002Fspan> بیان کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ r^2 = R^2 - \\frac{h^2}{4} $\u003C\u002Fspan> بنابراین حجم بر حسب ارتفاع به صورت زیر نوشته می‌شود: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ V(h) = \\pi \\left(R^2 - \\frac{h^2}{4}\\right) h = \\pi R^2 h - \\frac{\\pi}{4} h^3 $\u003C\u002Fspan> برای یافتن بیشینهٔ حجم، مشتق \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">V\u003C\u002Fspan> نسبت به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">h\u003C\u002Fspan> را صفر قرار می‌دهیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ V'(h) = \\pi R^2 - \\frac{3\\pi}{4} h^2 = 0 $\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\Rightarrow \\frac{3\\pi}{4} h^2 = \\pi R^2 \\Rightarrow h^2 = \\frac{4}{3} R^2 \\Rightarrow h = \\frac{2R}{\\sqrt{3}} $\u003C\u002Fspan> سپس شعاع قاعده در این حالت برابر است با: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ r^2 = R^2 - \\frac{1}{4} \\times \\frac{4}{3} R^2 = R^2 - \\frac{R^2}{3} = \\frac{2}{3} R^2 \\Rightarrow r = R \\sqrt{\\frac{2}{3}} $\u003C\u002Fspan> و بیشترین حجم ممکن برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ V_{\\max} = \\pi \\times \\frac{2}{3} R^2 \\times \\frac{2R}{\\sqrt{3}} = \\frac{4\\pi R^3}{3\\sqrt{3}} $\u003C\u002Fspan> خواهد بود.\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>مثال صنعتی:\u003C\u002Fstrong> فرض کنید یک شرکت قصد دارد توپ‌های فلزی با شعاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">R = 12\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر را تراش دهد تا درون آن‌ها استوانه‌هایی با بیشترین حجم ممکن برای جای‌گذاری قطعات الکترونیکی ایجاد کند. بر اساس محاسبات بالا، ارتفاع بهینهٔ استوانه برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">h = 24\u002F√3 ≈ 13.86\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر و شعاع آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r = 12√(2\u002F3) ≈ 9.80\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر خواهد بود. حجم قابل استفاده حدود \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(4π×1728)\u002F(3√3) ≈ 4189\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر مکعب می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۱) آیا استوانه همیشه می‌تواند در هر کره‌ای محاط شود؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: خیر. برای محاط شدن، ارتفاع استوانه باید از قطر کره یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2R\u003C\u002Fspan> بیشتر نباشد. همچنین شعاع قاعده \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r\u003C\u002Fspan> باید مقداری بین صفر و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">R\u003C\u002Fspan> داشته باشد که از رابطهٔ اصلی قابل محاسبه است. به ازای هر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">h\u003C\u002Fspan> در بازهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0, 2R)\u003C\u002Fspan> یک استوانهٔ محاطی یکتا وجود دارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۲) آیا رابطه برای استوانه‌هایی که محورشان از مرکز کره نمی‌گذرد نیز برقرار است؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: خیر. این رابطه فقط برای حالت متقارن و قرارگیری مرکزی استوانه درون کره صادق است. اگر محور استوانه از مرکز کره عبور نکند، دیگر نمی‌توان از قضیهٔ فیثاغورس به آن سادگی استفاده کرد و شکل کلی‌تری نیاز است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۳) اگر به جای استوانه، یک مکعب در کره محاط شود، رابطه چگونه تغییر می‌کند؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: برای مکعبی با ضلع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">a\u003C\u002Fspan> که در کره محاط شده است، قطر فضایی مکعب برابر قطر کره است: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ a\\sqrt{3} = 2R $\u003C\u002Fspan> در نتیجه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ a = \\frac{2R}{\\sqrt{3}} $\u003C\u002Fspan>. این رابطه متفاوت از رابطهٔ استوانه است، زیرا در استوانه فقط یک بعد (ارتفاع) در امتداد محور و بعد دیگر (شعاع) در صفحهٔ عمود بر آن تعریف می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">رابطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r² + h²\u002F۴ = R²\u003C\u002Fspan> یک ابزار کلیدی در هندسهٔ فضایی برای ارتباط دادن ابعاد استوانه و کرهٔ محیط بر آن است. این مقاله با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس در مقطع طولی، اثباتی ساده و گام‌به‌گام ارائه داد. سپس با جدول مقایسه‌ای و مثال‌های عددی، کاربرد آن در بهینه‌سازی حجم (یافتن بیشترین حجم ممکن) نشان داده شد. درک این رابطه به دانش‌آموزان کمک می‌کند تا مسائل پیچیده‌تر شامل محاطی اشکال سه بعدی را حل کنند و پایه‌های محاسباتی خود را در هندسه تحلیلی و حساب دیفرانسیل تقویت نمایند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> محاط (Inscribed): حالتی از قرارگیری یک شکل درون شکل دیگر که تمام رأس‌ها یا وجوه شکل داخلی بر سطح یا وجوه شکل خارجی مماس باشند. در استوانهٔ محاط در کره، دو قاعده و بدنهٔ استوانه همگی از داخل به سطح کره مماس می‌شوند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> قضیهٔ فیثاغورس (Pythagorean Theorem): در هر مثلث قائم‌الزاویه، مربع وتر برابر است با مجموع مربعات دو ضلع دیگر. این قضیه پایهٔ بیشتر روابط فاصله در هندسهٔ تحلیلی است.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> مشتق (Derivative): در حساب دیفرانسیل، مشتق یک تابع، نرخ تغییر لحظه‌ای آن تابع نسبت به متغیر ورودی را نشان می‌دهد. برای یافتن بیشینه یا کمینهٔ توابع پیوسته، مشتق را صفر قرار می‌دهیم.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,198],"پایهٔ دوازدهم","حسابان دوازدهم",0,275,"2026-05-12 22:53:58","2026-09-10 03:06:42","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F22","3:06 1405\u002F06\u002F19",{"tests":215,"papers":216,"files":217,"questions":218,"exams":219,"tutorials":220,"blogs":221},[],[],[],[],[],[],[222,231,239,247,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":223,"title":224,"cat":199,"pic":225,"up_date":226,"title_url":227,"url":228,"legacy_url":229,"cat_title":211,"update_jalali":230},13166,"انتقال عمودی به بالا: تبدیل y = f(x) + k در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به بالا منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FFoTANvbRj5FoG20XlJYp_200.png","2026-09-11 11:26:18","انتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","1405\u002F06\u002F20",{"id":232,"title":233,"cat":199,"pic":234,"up_date":235,"title_url":236,"url":237,"legacy_url":238,"cat_title":211,"update_jalali":230},13167,"انتقال عمودی به پایین: تبدیل y = f(x) + k در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FuJNjTbbgLXejstDk1c6Q_200.png","2026-09-11 11:21:22","انتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":240,"title":241,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":244,"url":245,"legacy_url":246,"cat_title":211,"update_jalali":230},13168,"انتقال افقی به چپ: تبدیل y = f(x + k) در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به چپ منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgAymHse2zFlSlbyvYR5x_200.png","2026-09-11 11:17:13","انتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند",{"id":248,"title":249,"cat":199,"pic":250,"up_date":251,"title_url":252,"url":253,"legacy_url":254,"cat_title":211,"update_jalali":230},13169,"انتقال افقی به راست: تبدیل y = f(x + k) در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKBCMRV5AnlnJ3QMSz8ot_200.png","2026-09-11 11:12:46","انتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":211,"update_jalali":230},13170,"دامنهٔ تابع: مجموعهٔ مقدارهای مجاز x که تابع برای آن‌ها تعریف شده است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FurqpgyzezpTtRLrSpPnc_200.png","2026-09-11 11:08:48","دامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":211,"update_jalali":230},13171,"برد تابع: مجموعهٔ مقدارهای y که از مقداردهی تابع به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWFCDPIxFmne7FoPCxc8A_200.png","2026-09-11 11:04:50","برد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":211,"update_jalali":230},13172,"انبساط عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با k > 1 ضرب می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8mt8XvUgPJLIDRhz2wBj_200.png","2026-09-11 11:00:36","انبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":211,"update_jalali":230},13173,"انقباض عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با ۰ ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fc995TR5YoUAEL5cFqmno_200.png","2026-09-11 10:57:45","انقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":211,"update_jalali":230},13174,"تبدیل y = kf(x): تبدیلی که در آن عرض هر نقطهٔ نمودار y = f(x) در k ضرب می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0OQzzsqJm0GliW9SN1C_200.png","2026-09-11 10:53:47","تبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":211,"update_jalali":230},13175,"قرینه نسبت به محور x: تبدیلی که هر نقطهٔ (x, y) را به (x, −y) تبدیل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8SwkJ0mNIeQwMFTCBzoV_200.png","2026-09-11 10:50:13","قرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":211,"update_jalali":230},13186,"تابع نمایی: تابعی که متغیر در توان قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fdz0qJafki1DGSEI8ZyLY_200.png","2026-09-11 09:39:13","تابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":211,"update_jalali":230},13187,"تابع لگاریتمی: تابع وارون تابع نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F18apfTe0MBCAQ0g4vH8z_200.png","2026-09-11 09:31:51","تابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی"]