[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13407":193,"$fSuzaVQzC-I-smvZtGcj_aoX3YgMSt-T3O8NyR0MgAUE":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13407,1170,1171,4926,"نقطهٔ بحرانی تابع: اگر c ∈ D_f و f′(c) = ۰ یا f′(c) موجود نباشد، نقطهٔ به طول c نقطهٔ بحرانی تابع f است.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FkXgYlRbvByEj0FFkf8r1_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"نقطه بحرانی تابع: تعاریف، مفاهیم و کاربردها\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">نقطهٔ بحرانی تابع: جایی که مشتق صفر می‌شود یا وجود ندارد\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">بررسی دقیق نقطه‌های بحرانی، شرط لازم برای وجود اکسترمم، و نقش آن‌ها در تحلیل توابع\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">خلاصهٔ سئوپسند:\u003C\u002Fstrong> نقطهٔ بحرانی تابع، نقطه‌ای از دامنه است که در آن مشتق صفر می‌شود یا مشتق وجود ندارد. این مفهوم پایه‌ای در حساب دیفرانسیل، برای یافتن بیشینه و کمینهٔ موضعی توابع و تحلیل رفتار آن‌ها ضروری است. در این مقاله با زبانی ساده، به تعریف دقیق، روش یافتن، مثال‌های گوناگون، و کاربردهای عملی نقطه‌های بحرانی در مسائل بهینه‌سازی می‌پردازیم.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۱. تعریف رسمی و شرط لازم برای نقطهٔ بحرانی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f$\u003C\u002Fspan> تابعی حقیقی‑مقدار و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$c$\u003C\u002Fspan> عضوی از دامنهٔ آن باشد. نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(c, f(c))$\u003C\u002Fspan> را یک \u003Cstrong style=\"color: #24292f\">نقطهٔ بحرانی\u003C\u002Fstrong> گوییم هرگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(c) = 0$\u003C\u002Fspan> یا مشتق تابع در نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$c$\u003C\u002Fspan> موجود نباشد. به عبارت دیگر، نقاط بحرانی شامل دو دسته‌اند:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">نکته کلیدی\u003C\u002Fspan> شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(c)=0$\u003C\u002Fspan> فقط یک \u003Cstrong>شرط لازم\u003C\u002Fstrong> برای وجود اکسترمم موضعی است، نه کافی. ممکن است در نقطه‌ای مشتق صفر باشد اما آن نقطه نه بیشینه باشد و نه کمینه (مثل نقطهٔ عطف افقی).\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>برای درک بهتر، رفتار تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan> را در نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan> بررسی می‌کنیم. مشتق این تابع برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x)=2x$\u003C\u002Fspan>. با مساوی قرار دادن مشتق با صفر داریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2x=0 \\Rightarrow x=0$\u003C\u002Fspan>. همچنین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(0)=0$\u003C\u002Fspan>، بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(0,0)$\u003C\u002Fspan> یک نقطهٔ بحرانی است. می‌دانیم که این نقطه، کمینهٔ مطلق تابع نیز می‌باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>یک مثال از حالت دوم (مشتق موجود نباشد) تابع قدرمطلق \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=|x|$\u003C\u002Fspan> در نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan> است. در این نقطه، مشتق چپ برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-1$\u003C\u002Fspan> و مشتق راست برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+1$\u003C\u002Fspan> است؛ بنابراین مشتق دوطرفه وجود ندارد، اما نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(0,0)$\u003C\u002Fspan> یک نقطهٔ بحرانی (و همچنین کمینهٔ مطلق) محسوب می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۲. مقایسه انواع نقاط بحرانی از نظر رفتار مشتق\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه نقاط بحرانی\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع نقطهٔ بحرانی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شرط روی مشتق\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال تابعی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">رفتار در اطراف نقطه\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نقطهٔ ایستایی (ساکن)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(c)=0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=x^3$\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مماس افقی؛ می‌تواند اکسترمم یا عطف باشد\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نقطهٔ گوشه یا نوک تیز\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مشتق چپ ≠ مشتق راست (مشتق وجود ندارد)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=|x|$\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">تغییر ناگهانی جهت؛ اغلب اکسترمم موضعی\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نقطهٔ مماس قائم\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مشتق بی‌نهایت (مشتق وجود ندارد)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=\\sqrt[3]{x}$\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">خط مماس عمودی؛ ممکن است عطف یا اکسترمم نباشد\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۳. گام‌های عملی برای یافتن نقاط بحرانی یک تابع\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای یافتن تمام نقاط بحرانی یک تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f$\u003C\u002Fspan>، می‌توانیم مراحل زیر را به ترتیب طی کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">گام اول:\u003C\u002Fstrong> دامنهٔ تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$D_f$\u003C\u002Fspan> را مشخص کنید. نقاط بحرانی فقط در درون دامنه معنا دارند.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">گام دوم:\u003C\u002Fstrong> مشتق تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x)$\u003C\u002Fspan> را محاسبه کنید.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">گام سوم:\u003C\u002Fstrong> معادلهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x)=0$\u003C\u002Fspan> را حل کنید. هر جوابی درون دامنه، یک نقطهٔ بحرانی از نوع ایستایی است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">گام چهارم:\u003C\u002Fstrong> نقاطی از دامنه را بیابید که مشتق در آن‌ها موجود نیست (تکینگی‌های مشتق، مثل مخرج صفر در مشتق توابع گویا، یا نقاط گوشه‌دار).\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">گام پنجم:\u003C\u002Fstrong> مقادیر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(c)$\u003C\u002Fspan> را در نقاط یافت شده محاسبه کنید تا مختصات کامل نقاط بحرانی به دست آید.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">مثال گام‌به‌گام\u003C\u002Fspan> تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=\\frac{x^2-4}{x-1}$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. \u003Cstrong style=\"color: #24292f\">دامنه:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x \\neq 1$\u003C\u002Fspan>. \u003Cstrong style=\"color: #24292f\">مشتق:\u003C\u002Fstrong> با استفاده از قانون خارج‌قسمت: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x)=\\frac{(2x)(x-1) - (x^2-4)(1)}{(x-1)^2} = \\frac{x^2 - 2x +4}{(x-1)^2}$\u003C\u002Fspan>. عددگذار هرگز صفر نمی‌شود (تشخیص دلتا منفی)، بنابراین معادلهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x)=0$\u003C\u002Fspan> جواب حقیقی ندارد. نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan> در دامنه نیست، ولی باید بررسی کنیم: در این نقطه مشتق به دلیل تقسیم بر صفر موجود نیست. اما \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan> در دامنهٔ تابع نیست، بنابراین \u003Cstrong>نقطهٔ بحرانی محسوب نمی‌شود\u003C\u002Fstrong>. نتیجه: این تابع هیچ نقطهٔ بحرانی ندارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۴. کاربرد عملی: بهینه‌سازی در طراحی یک جعبه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید می‌خواهیم یک جعبهٔ بدون درب با حجم مشخص از یک ورق مربعی به ضلع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$L$\u003C\u002Fspan> (مثلاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$L=24$\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر) با برش مربع‌هایی به ضلع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> از چهار گوشه و تا کردن لبه‌ها درست کنیم تا حجم جعبه بیشینه شود. حجم جعبه برابر است با:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: table; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$V(x)=x(L-2x)^2$\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$0 \\lt x \\lt \\frac{L}{2}$\u003C\u002Fspan> (دامنهٔ مسئله). برای یافتن بیشینه، ابتدا مشتق را محاسبه می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: table; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$V'(x) = (L-2x)^2 + x \\cdot 2(L-2x)(-2) = (L-2x)^2 -4x(L-2x) = (L-2x)(L-6x)$\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>معادلهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$V'(x)=0$\u003C\u002Fspan> جواب‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=\\frac{L}{2}$\u003C\u002Fspan> (در کرانهٔ دامنه و نامعتبر) و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=\\frac{L}{6}$\u003C\u002Fspan> را می‌دهد. با جایگذاری \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$L=24$\u003C\u002Fspan> داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=4$\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر. با بررسی مقدار حجم یا آزمون مشتق دوم، مشخص می‌شود که این نقطه‌ٔ بحرانی، بیشینهٔ حجم را نتیجه می‌دهد. این مثال نشان می‌دهد که چگونه نقاط بحرانی در بهینه‌سازی واقعی کاربرد دارند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۵. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">پرسش ۱: آیا هر نقطه‌ای که مشتق صفر دارد، لزوماً نقطهٔ اکسترمم موضعی است؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: خیر. مثال تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=x^3$\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. مشتق \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3x^2$\u003C\u002Fspan> در صفر برابر صفر است، اما تابع در همسایگی صفر، از منفی به مثبت تغییر علامت می‌دهد و نقطهٔ عطف دارد؛ نه بیشینه و نه کمینه.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">پرسش ۲: آیا یک تابع می‌تواند تعداد نامتناهی نقطهٔ بحرانی داشته باشد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: بله. برای مثال، تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=\\sin(x)$\u003C\u002Fspan> در نقاط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=\\frac{\\pi}{2}+k\\pi$\u003C\u002Fspan> (که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$k$\u003C\u002Fspan> عدد صحیح است) مشتق صفر دارد. همچنین تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=|x- \\lfloor x+0.5 \\rfloor |$\u003C\u002Fspan> در تمام اعداد نیم‌صحیح (مشتق موجود نیست) نقاط بحرانی دارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">پرسش ۳: اگر در جواب معادلهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x)=0$\u003C\u002Fspan> نقطه‌ای خارج از دامنه به دست آید، آن نقطه بحرانی محسوب می‌شود؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: خیر. تعریف نقطهٔ بحرانی به صراحت می‌گوید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$c \\in D_f$\u003C\u002Fspan>. اگر نقطه در دامنه نباشد، تابع در آن نقطه مقدار واقعی ندارد، بنابراین نمی‌تواند نقطهٔ بحرانی باشد. برای مثال در تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=\\frac{1}{x}$\u003C\u002Fspan> معادلهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x)=-\\frac{1}{x^2}=0$\u003C\u002Fspan> هیچ جوابی دارد و نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan> که مشتق در آن موجود نیست، اصلاً در دامنه قرار ندارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">نقاط بحرانی ابزاری کلیدی در تحلیل توابع هستند. آن‌ها شامل نقاطی می‌شوند که مشتق صفر دارد (نقاط ایستایی) یا مشتق در آن‌ها موجود نیست (نقاط زاویه‌دار، مماس قائم، و غیره). یافتن این نقاط از طریق محاسبه مشتق، حل معادلهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x)=0$\u003C\u002Fspan> و جستجوی نقاط تکین مشتق انجام می‌شود. مهم است به خاطر داشته باشیم که شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(c)=0$\u003C\u002Fspan> برای وجود اکسترمم کافی نیست و باید با آزمون‌های دیگر (مانند تغییر علامت مشتق یا مشتق دوم) ماهیت نقطه را تعیین کرد. درک صحیح از نقاط بحرانی، پایهٔ حل مسائل بهینه‌سازی در علوم، مهندسی و اقتصاد است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> نقطهٔ بحرانی (Critical Point): نقطه‌ای در دامنهٔ تابع که مشتق در آن صفر یا تعریف‌نشده باشد.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> مشتق (Derivative): نرخ تغییر لحظه‌ای تابع نسبت به متغیر ورودی؛ شیب خط مماس بر نمودار.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> اکسترمم موضعی (Local Extremum): بیشینه یا کمینهٔ یک تابع در یک همسایگی کوچک از نقطه.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> نقطهٔ عطف افقی (Horizontal Inflection Point): نقطهٔ بحرانی با مشتق صفر که تابع در آن عوض شود و نه بیشینه است و نه کمینه.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","حسابان دوازدهم","نقطهٔ بحرانی تابع",0,164,"2026-05-12 22:19:43","2026-09-10 03:16:11","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F22","3:16 1405\u002F06\u002F19",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,312],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13166,"انتقال عمودی به بالا: تبدیل y = f(x) + k در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به بالا منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FFoTANvbRj5FoG20XlJYp_200.png","2026-09-11 11:26:18","انتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","1405\u002F06\u002F20",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13167,"انتقال عمودی به پایین: تبدیل y = f(x) + k در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FuJNjTbbgLXejstDk1c6Q_200.png","2026-09-11 11:21:22","انتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13168,"انتقال افقی به چپ: تبدیل y = f(x + k) در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به چپ منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgAymHse2zFlSlbyvYR5x_200.png","2026-09-11 11:17:13","انتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13169,"انتقال افقی به راست: تبدیل y = f(x + k) در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKBCMRV5AnlnJ3QMSz8ot_200.png","2026-09-11 11:12:46","انتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13170,"دامنهٔ تابع: مجموعهٔ مقدارهای مجاز x که تابع برای آن‌ها تعریف شده است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FurqpgyzezpTtRLrSpPnc_200.png","2026-09-11 11:08:48","دامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13171,"برد تابع: مجموعهٔ مقدارهای y که از مقداردهی تابع به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWFCDPIxFmne7FoPCxc8A_200.png","2026-09-11 11:04:50","برد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13172,"انبساط عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با k > 1 ضرب می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8mt8XvUgPJLIDRhz2wBj_200.png","2026-09-11 11:00:36","انبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13173,"انقباض عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با ۰ ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fc995TR5YoUAEL5cFqmno_200.png","2026-09-11 10:57:45","انقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13174,"تبدیل y = kf(x): تبدیلی که در آن عرض هر نقطهٔ نمودار y = f(x) در k ضرب می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0OQzzsqJm0GliW9SN1C_200.png","2026-09-11 10:53:47","تبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13175,"قرینه نسبت به محور x: تبدیلی که هر نقطهٔ (x, y) را به (x, −y) تبدیل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8SwkJ0mNIeQwMFTCBzoV_200.png","2026-09-11 10:50:13","قرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":231},13186,"تابع نمایی: تابعی که متغیر در توان قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fdz0qJafki1DGSEI8ZyLY_200.png","2026-09-11 09:39:13","تابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد",{"id":313,"title":314,"cat":199,"pic":315,"up_date":316,"title_url":317,"url":318,"legacy_url":319,"cat_title":212,"update_jalali":231},13187,"تابع لگاریتمی: تابع وارون تابع نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F18apfTe0MBCAQ0g4vH8z_200.png","2026-09-11 09:31:51","تابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی"]