[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13375":193,"$fmroBaUTjMuZmuXLnBFQsgIORJlHaSrUl5-enbyw2W6E":214},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":205,"status":4,"views":206,"subdate":207,"up_date":208,"first_name":209,"last_name":210,"avatar":13,"cat_title":211,"subdate_jalali":212,"update_jalali":213},13375,1170,1171,4926,"قاعدهٔ زنجیری با متغیر میانی",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fbj93ELCf0DYh7rtYk5dX_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"قاعده زنجیری با متغیر میانی\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">قاعدهٔ زنجیری با متغیر میانی: از تابع درون‌زا تا مشتق‌گیری گام‌به‌گام\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">یادگیری سادهٔ رابطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = f(u)$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u = g(x)$\u003C\u002Fspan> با فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y' = u' \\cdot f'(u)$\u003C\u002Fspan> همراه با مثال‌های ملموس\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله یاد می‌گیرید که قاعدهٔ زنجیری چگونه مشتق توابع ترکیبی را با کمک یک متغیر میانی محاسبه می‌کند. با مفاهیمی مانند «تابع درونی»، «تابع بیرونی»، «ضرب مشتق‌ها» و کاربرد آن در مسائل رشد نرخ‌ها آشنا می‌شوید. مثال‌های عددی و جدول مقایسه، درک شما را از فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y' = u' \\cdot f'(u)$\u003C\u002Fspan> تضمین می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۱. متغیر میانی چیست و چرا به آن نیاز داریم؟\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در ریاضیات دبیرستان، اغلب با توابعی سر و کار داریم که به صورت مستقیم به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> وابسته نیستند. برای نمونه تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = (3x^2 + 2)^5$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. اگر بخواهیم مشتق آن را به دست آوریم، نمی‌توانیم مستقیماً قاعدهٔ توان را اعمال کنیم؛ زیرا عبارت داخل پرانتز نیز یک تابع از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> است. اینجاست که \u003Cstrong>متغیر میانی\u003C\u002Fstrong> وارد می‌شود. متغیر میانی، تابعی است که خروجی آن به عنوان ورودی تابع اصلی (بیرونی) استفاده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>در مثال بالا، اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u = 3x^2 + 2$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیریم، آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = u^5$\u003C\u002Fspan>. در اینجا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u$\u003C\u002Fspan> همان متغیر میانی است. قاعدهٔ زنجیری بیان می‌کند که برای محاسبهٔ مشتق \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y$\u003C\u002Fspan> نسبت به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> کافی است مشتق \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y$\u003C\u002Fspan> نسبت به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u$\u003C\u002Fspan> را در مشتق \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u$\u003C\u002Fspan> نسبت به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> ضرب کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>این روش نه تنها محاسبات را ساده می‌کند، بلکه درک بهتری از وابستگی لایه‌ای توابع ارائه می‌دهد. به عنوان یک مثال روزمره، تصور کنید که گرما (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y$\u003C\u002Fspan>) وابسته به ارتفاع (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u$\u003C\u002Fspan>) باشد و ارتفاع نیز وابسته به زمان (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan>) باشد. قاعدهٔ زنجیری به شما اجازه می‌دهد نرخ تغییر گرما نسبت به زمان را از حاصلضرب نرخ تغییر گرما نسبت به ارتفاع در نرخ تغییر ارتفاع نسبت به زمان به دست آورید.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">فرمول اصلی قاعدهٔ زنجیری با متغیر میانی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u$\u003C\u002Fspan>:\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\large \\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\times \\frac{du}{dx}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۲. گام‌های عملی مشتق‌گیری با قاعدهٔ زنجیری\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای استفاده از قاعدهٔ زنجیری، همیشه چهار گام ساده را دنبال کنید:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام اول:\u003C\u002Fstrong> تابع ترکیبی را به دو بخش \u003Cstrong>تابع بیرونی\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>تابع درونی\u003C\u002Fstrong> تفکیک کنید. تابع درونی را با نام \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u$\u003C\u002Fspan> نشان دهید.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام دوم:\u003C\u002Fstrong> مشتق تابع بیرونی را نسبت به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u$\u003C\u002Fspan> محاسبه کنید (یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(u)$\u003C\u002Fspan>).\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام سوم:\u003C\u002Fstrong> مشتق تابع درونی را نسبت به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> محاسبه کنید (یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u'$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{du}{dx}$\u003C\u002Fspan>).\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام چهارم:\u003C\u002Fstrong> دو مشتق به دست آمده را در هم ضرب کنید و در نهایت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u$\u003C\u002Fspan> را با عبارت اصلی آن بر حسب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> جایگزین نمایید.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال عددی گام‌به‌گام:\u003C\u002Fstrong> مشتق تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = \\sin(4x)$\u003C\u002Fspan> را بیابید.\u003Cbr>\r\n- تابع بیرونی: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(u) = \\sin(u)$\u003C\u002Fspan>، تابع درونی: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u = 4x$\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\n- \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(u) = \\cos(u)$\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\n- \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u' = 4$\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\n- \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y' = 4 \\cdot \\cos(u) = 4 \\cos(4x)$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۳. جدول مقایسه: توابع ساده در برابر توابع ترکیبی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه روش مشتق‌گیری\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع تابع\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نمونه\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">روش مشتق‌گیری\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نتیجه\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">تابع ساده (بدون ترکیب)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = x^5$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">قاعدهٔ توان مستقیم\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y' = 5x^4$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">تابع ترکیبی با متغیر میانی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = (2x+1)^5$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">قاعدهٔ زنجیری (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u=2x+1$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y' = 10(2x+1)^4$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">تابع با چند لایه ترکیب\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = e^{\\sin(x)}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">دو بار قاعدهٔ زنجیری\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y' = e^{\\sin(x)} \\cdot \\cos(x)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۴. کاربرد عملی: محاسبهٔ نرخ تغییر در مسائل رشد\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید حجم یک کره (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$V$\u003C\u002Fspan>) بر اساس شعاع آن (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$r$\u003C\u002Fspan>) تغییر می‌کند: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$V = \\frac{4}{3}\\pi r^3$\u003C\u002Fspan>. همچنین شعاع کره به مرور زمان (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$t$\u003C\u002Fspan>) مطابق رابطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$r = 2t + 1$\u003C\u002Fspan> افزایش می‌یابد. می‌خواهیم نرخ افزایش حجم را در لحظهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$t = 2$\u003C\u002Fspan> محاسبه کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>در اینجا متغیر میانی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$r$\u003C\u002Fspan> (شعاع) است. با قاعدهٔ زنجیری داریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{dV}{dt} = \\frac{dV}{dr} \\cdot \\frac{dr}{dt}$\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\n- \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{dV}{dr} = 4\\pi r^2$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n- \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{dr}{dt} = 2$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\nبنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{dV}{dt} = 4\\pi r^2 \\cdot 2 = 8\\pi r^2$\u003C\u002Fspan>. اکنون در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$t=2$\u003C\u002Fspan> داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$r = 2(2)+1 = 5$\u003C\u002Fspan>، پس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{dV}{dt} = 8\\pi (25) = 200\\pi$\u003C\u002Fspan> واحد حجم بر واحد زمان. این مثال نشان می‌دهد که قاعدهٔ زنجیری چگونه مفاهیم انتزاعی را به کاربردهای فیزیکی و مهندسی پیوند می‌زند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۵. چالش‌های مفهومی در قاعدهٔ زنجیری\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پرسش \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan>: آیا همیشه باید متغیر میانی را به طور واضح بنویسیم؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: در ابتدا برای جلوگیری از اشتباه، توصیه می‌شود حتماً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u$\u003C\u002Fspan> را تعریف کنید. اما پس از کسب مهارت، می‌توانید به طور ذهنی قاعدهٔ زنجیری را اعمال کنید. با این حال، در مسائل پیچیده یا چندلایه، نوشتن صریح متغیر میانی از خطاهای محاسباتی جلوگیری می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پرسش \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan>: اگر تابع بیش از دو لایه ترکیب شده باشد (مثل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = f(g(h(x)))$\u003C\u002Fspan>) چه کنیم؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: قاعدهٔ زنجیری برای هر تعداد لایه قابل گسترش است. کافی است مشتق هر لایه را نسبت به لایهٔ درونی‌تر آن محاسبه کرده و همه را ضرب کنید. به عبارت دیگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dv} \\cdot \\frac{dv}{dx}$\u003C\u002Fspan> که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u = g(v)$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$v = h(x)$\u003C\u002Fspan>. این اصل را «زنجیروار» به خاطر بسپارید.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پرسش \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan>: آیا ترتیب ضرب در قاعدهٔ زنجیری مهم است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: خیر، زیرا ضرب اعداد حقیقی خاصیت جابه‌جایی دارد. اما از نظر مفهومی، معمولاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$\u003C\u002Fspan> نوشته می‌شود تا مسیر وابستگی از بیرونی به درونی نشان داده شود. در محاسبه نهایی، ترتیب تغییری در نتیجه ایجاد نمی‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">قاعدهٔ زنجیری با بهره‌گیری از متغیر میانی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u$\u003C\u002Fspan>، مشتق توابع ترکیبی را به حاصلضرب دو مشتق ساده‌تر تبدیل می‌کند. این روش نه تنها در ریاضیات دبیرستان، بلکه در فیزیک، اقتصاد، زیست‌شناسی و مهندسی کاربرد گسترده دارد. با تمرین گام‌های چهارگانه (تفکیک تابع به درونی و بیرونی، محاسبهٔ مشتق هر بخش و ضرب آن‌ها) می‌توانید به راحتی از پس توابع پیچیده برآیید. فرمول اصلی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$\u003C\u002Fspan> را به عنوان یک ابزار قدرتمند در ذهن بسپارید.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> تابع بیرونی (Outer Function): تابعی که روی خروجی تابع دیگر اعمال می‌شود. در ترکیب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(g(x))$\u003C\u002Fspan>، تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f$\u003C\u002Fspan> نقش تابع بیرونی را دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> تابع درونی (Inner Function): تابعی که ورودی تابع بیرونی را فراهم می‌کند. در ترکیب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(g(x))$\u003C\u002Fspan>، تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$g$\u003C\u002Fspan> تابع درونی نامیده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> متغیر میانی (Intermediate Variable): نمادی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$u$\u003C\u002Fspan> که به جای عبارت تابع درونی قرار می‌گیرد تا محاسبات قاعدهٔ زنجیری ساده‌تر و شفاف‌تر انجام شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,198],"پایهٔ دوازدهم","حسابان دوازدهم",0,77,"2026-05-12 01:25:19","2026-09-10 09:23:42","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F22","9:23 1405\u002F06\u002F19",{"tests":215,"papers":216,"files":217,"questions":218,"exams":219,"tutorials":220,"blogs":221},[],[],[],[],[],[],[222,231,239,247,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":223,"title":224,"cat":199,"pic":225,"up_date":226,"title_url":227,"url":228,"legacy_url":229,"cat_title":211,"update_jalali":230},13166,"انتقال عمودی به بالا: تبدیل y = f(x) + k در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به بالا منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FFoTANvbRj5FoG20XlJYp_200.png","2026-09-11 11:26:18","انتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","1405\u002F06\u002F20",{"id":232,"title":233,"cat":199,"pic":234,"up_date":235,"title_url":236,"url":237,"legacy_url":238,"cat_title":211,"update_jalali":230},13167,"انتقال عمودی به پایین: تبدیل y = f(x) + k در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FuJNjTbbgLXejstDk1c6Q_200.png","2026-09-11 11:21:22","انتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":240,"title":241,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":244,"url":245,"legacy_url":246,"cat_title":211,"update_jalali":230},13168,"انتقال افقی به چپ: تبدیل y = f(x + k) در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به چپ منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgAymHse2zFlSlbyvYR5x_200.png","2026-09-11 11:17:13","انتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند",{"id":248,"title":249,"cat":199,"pic":250,"up_date":251,"title_url":252,"url":253,"legacy_url":254,"cat_title":211,"update_jalali":230},13169,"انتقال افقی به راست: تبدیل y = f(x + k) در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKBCMRV5AnlnJ3QMSz8ot_200.png","2026-09-11 11:12:46","انتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":211,"update_jalali":230},13170,"دامنهٔ تابع: مجموعهٔ مقدارهای مجاز x که تابع برای آن‌ها تعریف شده است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FurqpgyzezpTtRLrSpPnc_200.png","2026-09-11 11:08:48","دامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":211,"update_jalali":230},13171,"برد تابع: مجموعهٔ مقدارهای y که از مقداردهی تابع به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWFCDPIxFmne7FoPCxc8A_200.png","2026-09-11 11:04:50","برد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":211,"update_jalali":230},13172,"انبساط عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با k > 1 ضرب می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8mt8XvUgPJLIDRhz2wBj_200.png","2026-09-11 11:00:36","انبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":211,"update_jalali":230},13173,"انقباض عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با ۰ ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fc995TR5YoUAEL5cFqmno_200.png","2026-09-11 10:57:45","انقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":211,"update_jalali":230},13174,"تبدیل y = kf(x): تبدیلی که در آن عرض هر نقطهٔ نمودار y = f(x) در k ضرب می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0OQzzsqJm0GliW9SN1C_200.png","2026-09-11 10:53:47","تبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":211,"update_jalali":230},13175,"قرینه نسبت به محور x: تبدیلی که هر نقطهٔ (x, y) را به (x, −y) تبدیل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8SwkJ0mNIeQwMFTCBzoV_200.png","2026-09-11 10:50:13","قرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":211,"update_jalali":230},13186,"تابع نمایی: تابعی که متغیر در توان قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fdz0qJafki1DGSEI8ZyLY_200.png","2026-09-11 09:39:13","تابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":211,"update_jalali":230},13187,"تابع لگاریتمی: تابع وارون تابع نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F18apfTe0MBCAQ0g4vH8z_200.png","2026-09-11 09:31:51","تابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی"]