[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13246":193,"$fL2K1Ei2OC_mNnyDiHavWVOCU7QG66MfLwyEk5MviLvU":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13246,1170,1171,4926,"دامنهٔ تابع کسینوسی: مجموعهٔ عددهای حقیقی برای تابع y = a cos bx + c در حالت b ≠ ۰.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fnn0kMrtxSGbvpJHDy2uq_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"دامنهٔ تابع کسینوسی: مجموعهٔ عددهای حقیقی برای تابع y = a cos bx + c در حالت b ≠ ۰\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">دامنهٔ تابع کسینوسی: بررسی مجموعهٔ عددهای حقیقی در تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = a \\cos(bx) + c$\u003C\u002Fspan> با شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b \\neq 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">آشنایی با دامنه و تأثیر پارامترها بر خروجی تابع کسینوسی — ویژهٔ دانش‌آموزان دبیرستان\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله به بررسی دامنهٔ تابع کسینوسی به شکل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = a \\cos(bx) + c$\u003C\u002Fspan> می‌پردازیم. خواهیم دید که دامنهٔ این تابع همواره مجموعهٔ همهٔ عددهای حقیقی است، مگر آنکه محدودیت دیگری مانند مخرج کسر یا عبارت زیر رادیکال وجود داشته باشد. نقش پارامترهای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$c$\u003C\u002Fspan> در تغییرات دامنه، دامنهٔ معکوس و کاربردهای عملی آن نیز بررسی می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۱. چرا دامنهٔ تابع کسینوسی همهٔ عددهای حقیقی است؟\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>تابع کسینوسی پایه به شکل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = \\cos(x)$\u003C\u002Fspan> برای هر عدد حقیقی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> تعریف شده است. به عبارت دیگر، شما می‌توانید هر مقدار حقیقی را به عنوان ورودی به کسینوس بدهید و خروجی‌ای بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1$\u003C\u002Fspan> دریافت کنید. دلیل این امر به تعریف کسینوس بر روی دایرهٔ مثلثاتی\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> بازمی‌گردد: زاویه می‌تواند هر عدد حقیقی (بر حسب رادیان) باشد و متناظر با آن یک نقطه روی دایره وجود دارد. بنابراین دامنهٔ تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = \\cos(x)$\u003C\u002Fspan> برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> (همهٔ عددهای حقیقی) است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>حال تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = a \\cos(bx) + c$\u003C\u002Fspan> با شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b \\neq 0$\u003C\u002Fspan> صرفاً تغییر مقیاس، کشیدگی افقی و جابه‌جایی عمودی روی تابع کسینوسی است. از آنجا که عبارت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$bx$\u003C\u002Fspan> برای هر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> حقیقی یک عدد حقیقی تولید می‌کند، باز هم می‌توانیم کسینوس هر مقدار حقیقی را محاسبه کنیم. بنابراین دامنهٔ تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = a \\cos(bx) + c$\u003C\u002Fspan> همچنان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> است، مگر آنکه تابع به صورت ترکیبی با توابع دیگر (مانند کسر یا رادیکال) ظاهر شود که آن بحث دیگری است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکته مهم:\u003C\u002Fstrong> شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b \\neq 0$\u003C\u002Fspan> تنها برای جلوگیری از ثابت شدن تابع (تبدیل به تابع ثابت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = a \\cos(0) + c = a + c$\u003C\u002Fspan>) قرار داده شده است و تأثیری در دامنه ندارد. حتی اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b = 0$\u003C\u002Fspan> باشد، باز هم دامنه همهٔ اعداد حقیقی است، اما رفتار تابع متفاوت می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۲. تأثیر پارامترهای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$c$\u003C\u002Fspan> بر رفتار تابع\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>هرچند دامنه تغییر نمی‌کند، اما این پارامترها روی دامنهٔ معکوس تابع، دورهٔ تناوب\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> و بازهٔ مقدار (برد) تأثیر می‌گذارند. در جدول زیر خلاصه‌ای از این تأثیرات را می‌بینید:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"تأثیر پارامترها بر تابع کسینوسی\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">پارامتر\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تأثیر روی نمودار\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تأثیر روی دامنه\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan> (دامنهٔ نوسان)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">کشیدگی عمودی و بازتاب در صورت منفی بودن\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">بدون تغییر (همچنان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b$\u003C\u002Fspan> (عامل فرکانس)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">تغییر دورهٔ تناوب به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{2\\pi}{|b|}$\u003C\u002Fspan> و بازتاب افقی در صورت منفی بودن\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">بدون تغییر\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$c$\u003C\u002Fspan> (انتقال عمودی)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">جابه‌جایی کل نمودار به بالا یا پایین\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">بدون تغییر\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۳. مقایسهٔ دامنه در توابع کسینوسی ترکیبی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>گاهی تابع کسینوسی درون توابع دیگر قرار می‌گیرد. برای نمونه، تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = \\frac{1}{\\cos(bx)}$\u003C\u002Fspan> دامنه‌ای متفاوت دارد، زیرا مخرج کسر نباید صفر شود. در چنین مواردی باید معادلهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\cos(bx) = 0$\u003C\u002Fspan> را حل کنیم و آن مقادیر را از دامنه حذف کنیم. اما در تابع اصلی ما که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = a \\cos(bx) + c$\u003C\u002Fspan> است، هیچ مخرج یا رادیکالی وجود ندارد، بنابراین دامنه همواره کامل می‌ماند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>مثال عملی:\u003C\u002Fstrong> فرض کنید می‌خواهیم ارتفاع یک نقطه روی چرخ و فلک را مدل کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$h(t) = 10 \\cos(0.5t) + 12$\u003C\u002Fspan>. در اینجا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$t$\u003C\u002Fspan> زمان (بر حسب ثانیه) است. آیا می‌توان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$t = -100$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$t = 1000$\u003C\u002Fspan> را جایگزین کرد؟ بله، زیرا دامنه تمام اعداد حقیقی است. این مدل برای هر زمان حقیقی معنا دارد، هرچند ممکن است در عمل زمان منفی معنی فیزیکی نداشته باشد، اما از نظر ریاضی دامنه باز هم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۴. دامنه در توابع کسینوسی با تغییر متغیر خطی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = a \\cos(bx + d) + c$\u003C\u002Fspan> (که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$d$\u003C\u002Fspan> یک عدد حقیقی است) نیز دامنه همچنان همهٔ اعداد حقیقی است. عبارت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$bx + d$\u003C\u002Fspan> برای هر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x \\in \\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> یک عدد حقیقی تولید می‌کند و کسینوس نیز روی همهٔ اعداد حقیقی تعریف شده است. بنابراین هیچ محدودیتی برای ورودی وجود ندارد. این ویژگی مهم توابع مثلثاتی است که آنها را برای مدل‌سازی پدیده‌های تناوبی بسیار مناسب می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۵. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۱:\u003C\u002Fstrong> آیا اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b$\u003C\u002Fspan> یک عدد گنگ (مثل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\sqrt{2}$\u003C\u002Fspan>) باشد، دامنه تغییر می‌کند؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر. ضرب هر عدد حقیقی در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\sqrt{2}$\u003C\u002Fspan> باز هم عدد حقیقی است. بنابراین دامنه کماکان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> باقی می‌ماند. نوع عدد (گویا یا گنگ بودن) تأثیری در دامنه ندارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۲:\u003C\u002Fstrong> چرا گاهی در توابع مثلثاتی دامنه را محدود می‌کنیم (مثل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$[0, 2\\pi]$\u003C\u002Fspan>)؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> این محدودیت برای تعریف تابع معکوس مثلثاتی\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> یا برای بررسی یک دورهٔ کامل تناوب اعمال می‌شود، نه به دلیل آنکه تابع اصلی در خارج از آن بازه تعریف نشده باشد. دامنهٔ طبیعی تابع کسینوسی همچنان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۳:\u003C\u002Fstrong> اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a = 0$\u003C\u002Fspan> باشد، تکلیف دامنه چیست؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a = 0$\u003C\u002Fspan>، تابع به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = c$\u003C\u002Fspan> (تابع ثابت) تبدیل می‌شود. دامنهٔ تابع ثابت نیز تمام اعداد حقیقی است. حتی در این حالت هم دامنه تغییری نمی‌کند. تنها تفاوت در خروجی است که مستقل از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۶. جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">در این مقاله نشان دادیم که دامنهٔ تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = a \\cos(bx) + c$\u003C\u002Fspan> با شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b \\neq 0$\u003C\u002Fspan> همواره مجموعهٔ همهٔ عددهای حقیقی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan>) است. پارامترهای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$c$\u003C\u002Fspan> بر دامنه تأثیری ندارند، اما برد، دورهٔ تناوب و شکل نمودار را تغییر می‌دهند. همچنین تأکید کردیم که محدودیت‌های دامنه معمولاً زمانی رخ می‌دهد که تابع کسینوسی در مخرج کسر یا زیر رادیکال ظاهر شود. درک این مفهوم پایه‌ای برای مطالعهٔ توابع مثلثاتی و کاربردهای آن در فیزیک و مهندسی ضروری است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv>\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> دایرهٔ مثلثاتی (Unit Circle): دایره‌ای به شعاع واحد که در دستگاه مختصات دکارتی مرکز آن در مبدأ قرار دارد. هر نقطه روی این دایره مختصات \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(\\cos \\theta, \\sin \\theta)$\u003C\u002Fspan> را دارد که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\theta$\u003C\u002Fspan> زاویهٔ اندازه‌گیری شده از محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan>ها است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> دورهٔ تناوب (Period): کوچکترین عدد مثبت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$T$\u003C\u002Fspan> به طوری که برای همهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> در دامنه، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x+T) = f(x)$\u003C\u002Fspan> برقرار باشد. دورهٔ تناوب تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y = \\cos(bx)$\u003C\u002Fspan> برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{2\\pi}{|b|}$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> تابع معکوس مثلثاتی (Inverse Trigonometric Function): مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\arccos(x)$\u003C\u002Fspan> که برای داشتن تابعی یک‌به‌یک، دامنهٔ تابع کسینوسی را به بازهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$[0, \\pi]$\u003C\u002Fspan> محدود می‌کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","حسابان دوازدهم","دامنهٔ تابع کسینوسی",0,102,"2026-05-09 21:45:29","2026-09-10 19:07:01","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F19","19:07 1405\u002F06\u002F19",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,312],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13166,"انتقال عمودی به بالا: تبدیل y = f(x) + k در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به بالا منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FFoTANvbRj5FoG20XlJYp_200.png","2026-09-11 11:26:18","انتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","1405\u002F06\u002F20",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13167,"انتقال عمودی به پایین: تبدیل y = f(x) + k در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FuJNjTbbgLXejstDk1c6Q_200.png","2026-09-11 11:21:22","انتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13168,"انتقال افقی به چپ: تبدیل y = f(x + k) در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به چپ منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgAymHse2zFlSlbyvYR5x_200.png","2026-09-11 11:17:13","انتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13169,"انتقال افقی به راست: تبدیل y = f(x + k) در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKBCMRV5AnlnJ3QMSz8ot_200.png","2026-09-11 11:12:46","انتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13170,"دامنهٔ تابع: مجموعهٔ مقدارهای مجاز x که تابع برای آن‌ها تعریف شده است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FurqpgyzezpTtRLrSpPnc_200.png","2026-09-11 11:08:48","دامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13171,"برد تابع: مجموعهٔ مقدارهای y که از مقداردهی تابع به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWFCDPIxFmne7FoPCxc8A_200.png","2026-09-11 11:04:50","برد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13172,"انبساط عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با k > 1 ضرب می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8mt8XvUgPJLIDRhz2wBj_200.png","2026-09-11 11:00:36","انبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13173,"انقباض عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با ۰ ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fc995TR5YoUAEL5cFqmno_200.png","2026-09-11 10:57:45","انقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13174,"تبدیل y = kf(x): تبدیلی که در آن عرض هر نقطهٔ نمودار y = f(x) در k ضرب می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0OQzzsqJm0GliW9SN1C_200.png","2026-09-11 10:53:47","تبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13175,"قرینه نسبت به محور x: تبدیلی که هر نقطهٔ (x, y) را به (x, −y) تبدیل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8SwkJ0mNIeQwMFTCBzoV_200.png","2026-09-11 10:50:13","قرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":231},13186,"تابع نمایی: تابعی که متغیر در توان قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fdz0qJafki1DGSEI8ZyLY_200.png","2026-09-11 09:39:13","تابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد",{"id":313,"title":314,"cat":199,"pic":315,"up_date":316,"title_url":317,"url":318,"legacy_url":319,"cat_title":212,"update_jalali":231},13187,"تابع لگاریتمی: تابع وارون تابع نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F18apfTe0MBCAQ0g4vH8z_200.png","2026-09-11 09:31:51","تابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی"]