[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13158":193,"$f94qT-28maey3s2eIjxBo2b6T9O2pADGXA2OcQCuySC8":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13158,1170,1171,4927,"شمارش حالت‌های نامطلوب: محاسبهٔ حالت‌های مخالف شرط برای رسیدن به حالت مطلوب",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEWaB56QORg2gfOhRudzn_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"شمارش حالت‌های نامطلوب: محاسبهٔ حالت‌های مخالف شرط برای رسیدن به حالت مطلوب\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">شمارش حالت‌های نامطلوب: محاسبهٔ حالت‌های مخالف شرط برای رسیدن به حالت مطلوب\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">روش مکمل در شمارش سریع: پیدا کردن پاسخ از راه حالت‌های ناخواسته\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">در این مقاله یاد می‌گیریم که گاهی شمردن مستقیم حالت‌های مطلوب دشوار است، اما اگر تعداد کل حالت‌ها و تعداد حالت‌های نامطلوب (مخالف شرط) را پیدا کنیم، با تفریق به جواب می‌رسیم. این روش که «شمارش از راه مکمل» یا «روش حالت‌های مخالف» نام دارد، در مسائل ترکیبیات، احتمال و آمار کاربرد گسترده‌ای دارد. با مثال‌های ملموس دبیرستانی، گام‌به‌گام با فرمول‌های MathJax و جدول‌های مقایسه، این تکنیک را فرا خواهید گرفت.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">نقطهٔ شروع: چرا گاهی شمردن مستقیم سخت است؟\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>در بسیاری از مسائل شمارش، ما به دنبال تعداد حالت‌هایی هستیم که یک شرط خاص را برآورده می‌کنند (حالت مطلوب). اما گاهی تعداد حالت‌های مطلوب مستقیم قابل محاسبه نیست زیرا شرط، پیچیده یا شامل چندین «و» و «یا» منطقی است. در چنین شرایطی، روش هوشمندانه این است که ابتدا \u003Cstrong>تعداد کل حالت‌های ممکن\u003C\u002Fstrong> را بدون هیچ شرط محدودکننده‌ای به دست آوریم و سپس \u003Cstrong>تعداد حالت‌هایی را که شرط را نقض می‌کنند (حالت‌های نامطلوب)\u003C\u002Fstrong> بشماریم. در نهایت:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ \\text{تعداد حالت‌های مطلوب} = \\text{تعداد کل حالت‌ها} - \\text{تعداد حالت‌های نامطلوب} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cp>این روش را «شمارش به کمک اصل مکمل» یا «روش مخالف شرط» می‌نامند. برای نمونه، اگر بخواهیم تعداد اعداد دو رقمی که حداقل یک رقم آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 5 $\u003C\u002Fspan> است را پیدا کنیم، شمردن مستقیم (اعداد شامل یک رقم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 5 $\u003C\u002Fspan> یا بیش از یک رقم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 5 $\u003C\u002Fspan>) طولانی است. اما حالت مخالف یعنی «هیچ رقم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 5 $\u003C\u002Fspan> نباشد» بسیار ساده‌تر است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">گام اول: شناسایی وضعیت‌های کلی، مطلوب و نامطلوب\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>هر مسئلهٔ شمارشی از سه بخش تشکیل می‌شود: کل فضای نمونه (همهٔ حالت‌های ممکن)، زیرمجموعهٔ حالت‌های مطلوب (آنچه می‌خواهیم)، و زیرمجموعهٔ حالت‌های نامطلوب (بقیهٔ حالت‌ها). راهبرد اصلی این است که اگر \u003Cstrong>حالت مطلوب\u003C\u002Fstrong> به صورت «حداقل یک بار» یا «حداقل یکی از ویژگی‌ها» تعریف شده باشد، معمولاً \u003Cstrong>حالت نامطلوب\u003C\u002Fstrong> به «هیچ‌کدام» یا «هیچ ویژگی» تبدیل می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>مثال: از بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 10 $\u003C\u002Fspan> دانش‌آموز (شامل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 6 $\u003C\u002Fspan> پسر و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 4 $\u003C\u002Fspan> دختر) می‌خواهیم یک گروه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 3 $\u003C\u002Fspan> نفری انتخاب کنیم که \u003Cstrong>حداقل یک پسر\u003C\u002Fstrong> داشته باشد. حالت مطلوب یعنی: گروه‌هایی که شامل یک یا دو یا سه پسر هستند. حالت نامطلوب: گروهی که هیچ پسری ندارد (یعنی هر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 3 $\u003C\u002Fspan> نفر دختر باشند).\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cstrong>مقایسهٔ دو روش:\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli>روش مستقیم: شمارش گروه‌های با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 1 $\u003C\u002Fspan> پسر \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">حالت‌های زیاد و پرخطا\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>روش مکمل: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ \\text{کل گروه‌های ۳ نفره} - \\text{گروه‌های بدون پسر} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">گام دوم: محاسبهٔ تعداد کل حالت‌ها و تعداد حالت‌های نامطلوب\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>برای مثال بالا، تعداد کل انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 3 $\u003C\u002Fspan> نفر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 10 $\u003C\u002Fspan> برابر است با:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ \\binom{10}{3} = \\frac{10 \\times 9 \\times 8}{3 \\times 2 \\times 1} = 120 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cp>تعداد حالت‌های نامطلوب (بدون پسر) یعنی انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 3 $\u003C\u002Fspan> نفر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 4 $\u003C\u002Fspan> دختر:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ \\binom{4}{3} = 4 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cp>بنابراین تعداد گروه‌های مطلوب (حداقل یک پسر) برابر است با:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 120 - 4 = 116 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cp>این روش در مسائلی مانند «تعداد اعداد بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 1 $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 1000 $\u003C\u002Fspan> که بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 2 $\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 3 $\u003C\u002Fspan> بخش‌پذیرند»، «تعداد رمزهای عبور با حداقل یک حرف بزرگ» یا «تعداد دست‌کم یک جفت در پرتاب تاس» هم کاربرد دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">مثال عینی: شمارش رمزهای عبور با حداقل یک رقم\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>فرض کنید می‌خواهیم تعداد رمزهای عبور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 4 $\u003C\u002Fspan> کاراکتری از حروف کوچک انگلیسی (۲۶ حرف) را پیدا کنیم که \u003Cstrong>حداقل یک رقم (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 0 $\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 9 $\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Fstrong> داشته باشند. حالت مطلوب شامل رمزهایی با یک، دو، سه یا چهار رقم است که شمارش مستقیم آن پیچیده و شامل حالت‌های مختلف است. اما حالت نامطلوب یعنی «هیچ رقمی وجود نداشته باشد» که یعنی رمز تنها از حروف ساخته شده است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli>تعداد کل رمزهای ممکن: هر کاراکتر می‌تواند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 26+10 = 36 $\u003C\u002Fspan> حالت داشته باشد. بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 36^{4} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>تعداد رمزهای بدون رقم (تنها حروف): \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 26^{4} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>تعداد رمزهای مطلوب: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 36^{4} - 26^{4} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 36^{4} = 1679616 \\quad , \\quad 26^{4} = 456976 \\quad \\Rightarrow \\quad 1679616 - 456976 = 1222640 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"مقایسهٔ روش مستقیم و روش مکمل\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">معیار مقایسه\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">روش مستقیم (شمارش حالت‌های مطلوب)\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">روش مکمل (تفریق حالت‌های نامطلوب)\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">تعداد حالت‌ها برای مثال رمز \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 4 $\u003C\u002Fspan> کاراکتری با حداقل یک رقم\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">باید جمع حالت‌های ۱ رقم، ۲ رقم، ۳ رقم و ۴ رقم محاسبه شود (۴ جمله)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">فقط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 36^{4} - 26^{4} $\u003C\u002Fspan> (تفریق دو جمله)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">احتمال خطا در محاسبه\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">بالا\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #dcfce7; color: #166534; : \">پایین\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مناسب برای شرط «حداقل یک بار»\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">نیازمند استفاده از اصل شمول و عدم شمول\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">بسیار ساده و سریع\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">کاربرد عملی در مسائل احتمال و ترکیبیات دبیرستانی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>در مسائل احتمال، روش حالت‌های نامطلوب مستقیم به محاسبهٔ احتمال مطلوب از راه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ P(\\text{مطلوب}) = 1 - P(\\text{نامطلوب}) $\u003C\u002Fspan> منجر می‌شود. برای نمونه، اگر دو تاس را همزمان بیندازیم، احتمال اینکه حاصل جمع حداقل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 4 $\u003C\u002Fspan> باشد، به سادگی از راه محاسبهٔ احتمال جمع‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 2 $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ 3 $\u003C\u002Fspan> به دست می‌آید.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>مسئلهٔ کلاسیک دیگر: «تعداد توابع\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> از یک مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ n $\u003C\u002Fspan> عضوی به مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ m $\u003C\u002Fspan> عضوی که پوشا نیستند\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>» را می‌توان با کمک حالت‌های نامطلوب (توابعی که لااقل یک عضو از مجموعهٔ مقصد را پوشش نمی‌دهند) محاسبه کرد، اما این مسئله نیاز به اصل شمول و عدم شمول دارد که خود از همین ایدهٔ شمارش حالت‌های نامطلوب الهام گرفته است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cstrong>❓ چالش ۱: آیا همیشه می‌توانیم حالت نامطلوب را ساده‌تر از حالت مطلوب پیدا کنیم؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>خیر. روش مکمل زمانی مؤثر است که شرط مطلوب شامل عبارتی مانند «حداقل یک»، «حداقل یکی از ویژگی‌ها» یا «نه همه» باشد. در این حالت، شرط نامطلوب به «هیچ‌کدام» یا «همه خلاف» تبدیل می‌شود که معمولاً شمارش آن ساده‌تر است. اگر شرط مطلوب از ابتدا ساده باشد (مثلاً «همه زوج باشند») روش مستقیم کارآمدتر است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cstrong>❓ چالش ۲: چه زمانی باید از اصل شمول و عدم شمول به جای تفریق ساده استفاده کنیم؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>وقتی بیش از یک شرط نامطلوب داریم و این شروط با هم همپوشانی دارند (مانند «حداقل یکی از چند ویژگی نداشته باشد») باید از اصل شمول و عدم شمول\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> استفاده کنیم. در این حالت، تعداد حالت‌های نامطلوب برابر اجتماع چند مجموعه است و نمی‌توان به سادگی یک عبارت را از کل کم کرد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cstrong>❓ چالش ۳: آیا روش حالت‌های نامطلوب فقط در ترکیبیات کاربرد دارد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>خیر. این روش در نظریهٔ احتمال، جبر، نظریه اعداد (مثلاً شمارش اعداد هم‌نهشت با یک عدد به پیمانهٔ معین)، علوم کامپیوتر (تعداد رشته‌های باینری فاقد الگو) و حتی آمار (محاسبهٔ توان آزمون با استفاده از خطای نوع دوم) کاربرد گسترده دارد. هرجا که فضای حالت‌ها قابل شمارش باشد و مکمل شرط خوش‌رفتارتر به نظر برسد، می‌توان از این روش استفاده کرد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n\u003Cp>روش شمارش حالت‌های نامطلوب (یا اصل مکمل) یک راهبرد پایه‌ای در ترکیبیات است که به جای شمردن مستقیم حالت‌های مطلوب، تعداد کل حالت‌ها را منهای حالت‌های مخالف شرط می‌کند. این روش زمانی ایده‌آل است که شرط مطلوب شامل عبارت «حداقل یک بار» یا «حداقل یکی از ویژگی‌ها» باشد و شرط نامطلوب به «هیچ‌کدام» تبدیل شود. با استفاده از این تکنیک، بسیاری از مسائل دبیرستانی شامل انتخاب افراد، رمزگذاری، پرتاب تاس، و شمارش اعداد به سرعت و با کمترین خطا حل می‌شوند. درک این روش، پایهٔ یادگیری اصل شمول و عدم شمول و بسیاری از مباحث پیشرفته‌تر احتمال است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv>\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> تابع (Function): رابطه‌ای که هر عضو دامنه را به دقیقاً یک عضو هم‌دامنه نسبت می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> پوشا بودن (Surjectivity): تابعی که همهٔ اعضای مجموعهٔ مقصد، تصویر حداقل یک عضو از دامنه هستند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> اصل شمول و عدم شمول (Inclusion-Exclusion Principle): قاعده‌ای برای محاسبهٔ اندازهٔ اجتماع چند مجموعه با جمع اندازهٔ مجموعه‌ها و تفریق اندازهٔ اشتراک‌های دوتایی و افزودن اشتراک‌های سه‌تایی و ...\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم","شمارش حالت‌های نامطلوب",0,168,"2026-05-07 22:34:34","2026-09-11 09:49:23","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F17","9:49 1405\u002F06\u002F20",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13018,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_200.png","2026-09-13 10:24:30","اثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13020,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_200.png","2026-09-13 10:19:40","اثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":312},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":312},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف"]