[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13150":193,"$fZftRXOI3Qw8ei2mddZSgFMuL6Wkbt0MP4vRLHe2FagI":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13150,1170,1171,4927,"تابع یک‌به‌یک: تابعی که دو عضو متفاوت دامنه را به یک عضو مشترک نبرد.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVPE89p7CyavRdDQYasmU_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"تابع یک‌به‌یک: تابعی که دو عضو متفاوت دامنه را به یک عضو مشترک نبرد\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">تابع یک‌به‌یک (تابع تزریقی)؛ تابعی که دو عضو متفاوت دامنه را به یک عضو مشترک نبرد\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">آشنایی با تعریف دقیق، ویژگی‌ها، روش تشخیص، کاربردها و مثال‌های گوناگون از توابع تزریقی برای دانش‌آموزان دبیرستان\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">خلاصه: در این مقاله با مفهوم «تابع یک‌به‌یک» یا «تابع تزریقی» آشنا می‌شوید. شرط اصلی چنین تابعی جلوگیری از اشتراک تصویر دو عضو متفاوت از دامنه است. به زبان ساده، هر عضو از مجموعه‌ی مقدار یا برد، حداکثر به‌وسیلۀ یک عضو از دامنه به دست می‌آید. روش‌های تشخیص با نمودار، آزمون خط افقی، بررسی جبری و مثال‌های عددی به همراه جدول مقایسه و رفع چالش‌های مفهومی در این مقاله گنجانده شده است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">تعریف پایه‌ای و ویژگی‌های تابع یک‌به‌یک\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>در ریاضیات، یک \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">تابع\u003C\u002Fspan>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> زمانی \u003Cstrong>یک‌به‌یک یا تزریقی\u003C\u002Fstrong> نامیده می‌شود که هر عضو از مجموعه‌ی ورودی (دامنه) به عضوی منحصربه‌فرد در مجموعه‌ی خروجی (برد) نگاشت شود. به عبارت دیگر، اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x_1$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x_2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> دو عضو متفاوت از دامنه باشند، آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$f(x_1) \\neq f(x_2)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>ویژگی اصلی تابع یک‌به‌یک، \u003Cstrong>یکتایی تصویر\u003C\u002Fstrong> برای هر ورودی متمایز است. چنین خاصیتی در بسیاری از شاخه‌های ریاضی مانند جبر، آنالیز و نظریه‌ی اعداد کاربرد دارد. برای نمونه، فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$f(x)=2x+3$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> را روی اعداد حقیقی در نظر بگیرید. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x_1\\neq x_2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> باشد، داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$2x_1+3 \\neq 2x_2+3$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>. این تابع یک‌به‌یک است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>در نقطه‌ی مقابل، تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> روی اعداد حقیقی یک‌به‌یک نیست، زیرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$f(2)=4$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$f(-2)=4$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>، یعنی دو عضو متفاوت دامنه (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$-2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>) به یک خروجی مشترک (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$4$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>) رسیده‌اند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول مقایسه توابع یک‌به‌یک و غیر یک‌به‌یک\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\u003Ctr>\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع تابع\u003C\u002Fth>\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شرط اصلی\u003C\u002Fth>\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال\u003C\u002Fth>\u003C\u002Ftr>\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">یک‌به‌یک (تزریقی)\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"background: #dcfce7; color: #166534; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; : \">هر تصویر منحصربه‌فرد است\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=3x-1$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">غیر یک‌به‌یک\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"background: #fee2e2; color: #991b1b; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; : \">دست‌کم دو ورودی تصویر برابر دارند\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$g(x)=|x|$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">روش‌های تشخیص تابع تزریقی: آزمون خط افقی و بررسی جبری\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>برای تشخیص یک‌به‌یک بودن یک تابع، دو روش اصلی وجود دارد. روش نخست که به ویژه برای توابع با نمودار پیوسته مفید است، \u003Cstrong>آزمون خط افقی\u003C\u002Fstrong> نام دارد. در این روش، اگر بتوان خطی موازی محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> رسم کرد که نمودار تابع را در بیش از یک نقطه قطع کند، آن تابع یک‌به‌یک نیست. در مقابل، اگر هر خط افقی حداکثر یک بار نمودار را قطع کند، تابع تزریقی است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>روش دوم، \u003Cstrong>بررسی جبری\u003C\u002Fstrong> (یا روش اثبات مستقیم) است. برای این کار، کافی است فرض کنیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$f(x_1)=f(x_2)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> و سپس نشان دهیم که از این تساوی نتیجه می‌شود \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x_1=x_2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>. اگر بتوان چنین نتیجه‌ای گرفت، تابع یک‌به‌یک است. این روش برای توابعی مانند توابع خطی، توانی با فرض محدودیت بر دامنه، و توابع گویا کاربرد دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$f(x)=\\sqrt{x}$\u003C\u002Fspan> برای دامنه‌ی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x\\ge 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. تساوی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\sqrt{x_1}=\\sqrt{x_2}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> با به توان دو رساندن به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x_1=x_2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> می‌انجامد. بنابراین این تابع نیز یک‌به‌یک است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">کاربرد عملی و مثال عینی از توابع یک‌به‌یک در زندگی روزمره\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>مفهوم تابع یک‌به‌یک در موقعیت‌های روزمره نیز دیده می‌شود. برای نمونه، \u003Cstrong>کد ملی هر فرد\u003C\u002Fstrong> را در نظر بگیرید. اگر هر شهروند یک کد ملی منحصربه‌فرد داشته باشد، تابعی از مجموعه‌ی افراد به مجموعه‌ی کدهای ملی تعریف می‌شود که یک‌به‌یک است؛ زیرا هیچ دو فردی کد ملی یکسان ندارند. همچنین در \u003Cstrong>سیستم‌های رمزنگاری\u003C\u002Fstrong>، توابع یک‌به‌یک نقش مهمی ایفا می‌کنند تا رمزگشایی معکوس به طور یکتایی انجام شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>مثال دیگر: تابعی که شماره‌ی دانش‌آموزی هر دانش‌آموز را به شماره‌ی صندلی او در کلاس مرتبط می‌کند. اگر هیچ دو دانش‌آموزی روی یک صندلی ننشینند (هر صندلی حداکثر یک صندلی‌نشین داشته باشد)، آنگاه این تابع یک‌به‌یک است. در حالت مخالف اگر قرار باشد دو دانش‌آموز روی یک صندلی بنشینند، آن تابع دیگر تزریقی نخواهد بود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">نقش دامنه در یک‌به‌یک بودن؛ محدود کردن دامنه برای کسب خاصیت تزریقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>گاهی یک تابع روی کل اعداد حقیقی یک‌به‌یک نیست، اما با محدود کردن دامنه می‌توان آن را به یک تابع تزریقی تبدیل کرد. برای مثال تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> روی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> یک‌به‌یک نیست، اما اگر دامنه را به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x \\ge 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> محدود کنیم، تبدیل به یک تابع یک‌به‌یک می‌شود. به همین دلیل، در مسائل ریاضی همواره باید به دامنه‌ی تابع توجه داشت.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول تأثیر دامنه بر یک‌به‌یک بودن\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\u003Ctr>\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تابع\u003C\u002Fth>\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">دامنه\u003C\u002Fth>\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">یک‌به‌یک؟\u003C\u002Fth>\u003C\u002Ftr>\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">تمام اعداد حقیقی\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"background: #fee2e2; color: #991b1b; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; : \">خیر\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x \\ge 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"background: #dcfce7; color: #166534; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; : \">بله\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\u003Cstrong>پرسش ۱:\u003C\u002Fstrong> آیا تابع ثابت مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$f(x)=c$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> (که برای هر ورودی مقدار ثابت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$c$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> را برمی‌گرداند) یک‌به‌یک است؟\u003Cbr>\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر، تابع ثابت به هیچ وجه یک‌به‌یک نیست، زیرا تمام اعضای دامنه (هر تعداد که باشند) به یک عضو مشترک در برد نگاشت می‌شوند و شرط اصلی تابع تزریقی نقض می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\u003Cstrong>پرسش ۲:\u003C\u002Fstrong> آیا تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$f(x)=\\frac{1}{x}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> روی دامنه‌ی تمام اعداد حقیقی غیرصفر یک‌به‌یک است؟\u003Cbr>\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\frac{1}{x_1}=\\frac{1}{x_2}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> باشد، با ضرب متقابل داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$x_1=x_2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>. پس تابع یک‌به‌یک است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\u003Cstrong>پرسش ۳:\u003C\u002Fstrong> رابطه‌ی بین تابع یک‌به‌یک و وجود تابع وارونه چیست؟\u003Cbr>\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> یک تابع، وارون‌پذیر\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> است اگر و تنها اگر یک‌به‌یک باشد (همچنین پوشا بودن در وارون‌پذیری کامل نقش دارد اما شرط لازم اولیه، یک‌به‌یک بودن است). برای دبیرستان، معمولاً تأکید می‌شود که تابع وارون تنها برای توابع یک‌به‌یک تعریف می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> تابع یک‌به‌یک یا تزریقی، یکی از مفاهیم بنیادی در ریاضیات دبیرستان است که در آن هیچ دو عضو متفاوتی از دامنه به یک تصویر مشترک نمی‌رسند. تشخیص این نوع توابع با آزمون خط افقی (برای توابع با نمودار پیوسته) و روش جبری (فرض تساوی تصاویر و رسیدن به برابری ورودی‌ها) امکان‌پذیر است. توجه به دامنه در یک‌به‌یک بودن تأثیر مستقیم دارد. این مفهوم پایه‌ای برای درک توابع وارون و بسیاری از مباحث پیشرفته‌تر ریاضی محسوب می‌شود.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> تابع (Function): رابطه‌ای است بین دو مجموعه که هر عضو از مجموعه‌ی اول (دامنه) را دقیقاً به یک عضو از مجموعه‌ی دوم (برد) نسبت می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> وارون‌پذیر (Invertible): تابعی که بتوان برای آن تابعی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$f^{-1}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> پیدا کرد به طوری که ترکیب تابع با وارون آن به تابع همانی منجر شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم","تابع یک‌به‌یک",0,378,"2026-05-07 21:19:52","2026-09-11 18:13:10","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F17","18:13 1405\u002F06\u002F20",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13018,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_200.png","2026-09-13 10:24:30","اثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13020,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_200.png","2026-09-13 10:19:40","اثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":312},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":312},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف"]