[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13149":193,"$f3z5dAgauni7R7L2lu37Am26fkrG6txiCOJd13jsyFHQ":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13149,1170,1171,4927,"تابع پوشا: تابعی که برد آن کل مجموعهٔ مقصد باشد.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgH65gPEGVK6Dd1irF7MI_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"تابع پوشا: تعریف، ویژگی‌ها و مثال‌ها\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">تابع پوشا (Surjection): وقتی برد با مجموعهٔ مقصد یکی می‌شود\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">آشنایی با مفهوم تابع پوشا، تفاوت آن با توابع یک‌به‌یک و معکوس‌پذیر، به همراه مثال‌های گام‌به‌گام و جدول مقایسه\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\nدر این مقاله می‌آموزید که تابع پوشا\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> چیست، چه تفاوتی با تابع یک‌به‌یک\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> دارد و چگونه می‌توان پوشا بودن یک تابع را تشخیص داد. همچنین با مفهوم پوشایی در توابع خطی، درجه دوم و گسسته آشنا می‌شوید. در پایان، چالش‌های مفهومی و کاربردهای عملی این مبحث در ریاضیات دبیرستان بررسی خواهد شد.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۱. تعریف رسمی تابع پوشا و تفاوت آن با برد\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f:A \\to B\u003C\u002Fspan> یک تابع از مجموعه \u003Cstrong>A\u003C\u002Fstrong> به مجموعه \u003Cstrong>B\u003C\u002Fstrong> باشد. به ازای هر عضو \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x \\in A\u003C\u002Fspan>، مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x) \\in B\u003C\u002Fspan> را داریم. مجموعهٔ همهٔ مقادیر خروجی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)\u003C\u002Fspan> را \u003Cstrong>برد تابع\u003C\u002Fstrong> می‌نامیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>تعریف تابع پوشا:\u003C\u002Fstrong> تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f:A \\to B\u003C\u002Fspan> را پوشا (یا \u003Cstrong>رو\u003C\u002Fstrong>) گوییم، هرگاه \u003Cstrong>برد آن برابر کل مجموعهٔ مقصد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$B\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fstrong> باشد. به عبارت دیگر، به ازای هر عضو \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y \\in B\u003C\u002Fspan>، لااقل یک \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x \\in A\u003C\u002Fspan> وجود داشته باشد که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x) = y\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cstrong>فرمول نمادین:\u003C\u002Fstrong>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$f:A \\to B \\text{ پوشا است} \\iff \\forall y \\in B, \\exists x \\in A, f(x)=y$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>برای درک بهتر، یک مثال ساده بزنیم. فرض کنید \u003Cstrong>A\u003C\u002Fstrong> مجموعهٔ دانش‌آموزان یک کلاس و \u003Cstrong>B\u003C\u002Fstrong> مجموعهٔ نمرات \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">{۲۰،۱۹،۱۸}\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> باشد. اگر تابعی نمرهٔ هر دانش‌آموز را تعیین کند، این تابع پوشا خواهد بود اگر و فقط اگر هر سه نمره (۲۰،۱۹ و ۱۸) حداقل یک بار به یک دانش‌آموز داده شده باشد. حتی اگر چند دانش‌آموز نمرهٔ یکسان بگیرند، باز هم تابع پوشاست.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۲. مقایسهٔ توابع پوشا، یک‌به‌یک و دو‌سویه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در ریاضیات دبیرستان، سه نوع مهم تابع را مطالعه می‌کنید: پوشا، یک‌به‌یک (تزریقی)\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> و دو‌سویه (معکوس‌پذیر)\u003Csup>4\u003C\u002Fsup>. تابع یک‌به‌یک به ازای دو ورودی متفاوت، دو خروجی متفاوت تولید می‌کند. تابع دو‌سویه، هم یک‌به‌یک و هم پوشا است. جدول زیر این سه مفهوم را مقایسه می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"مقایسه توابع پوشا، یک‌به‌یک و دو‌سویه\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تابع پوشا\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تابع یک‌به‌یک\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تابع دو‌سویه\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">شرط اصلی\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">هر عضو مقصد، حداقل یک تصویر دارد\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">هر عضو مقصد، حداکثر یک تصویر دارد\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">هر عضو مقصد، دقیقاً یک تصویر دارد\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">رابطهٔ |A| و |B|\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$|A| \\ge |B|$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$|A| \\le |B|$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$|A| = |B|$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">وجود معکوس\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">معمولاً معکوس‌پذیر نیست\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">معمولاً معکوس‌پذیر نیست\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">معکوس‌پذیر است\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>مثال عینی: فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$A=\\{1,2,3\\}$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$B=\\{a,b\\}$\u003C\u002Fspan>. تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(1)=a, f(2)=a, f(3)=b$\u003C\u002Fspan> پوشاست (چون هر دو عضو \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$B$\u003C\u002Fspan> تصویر دارند) اما یک‌به‌یک نیست. تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$g(1)=a, g(2)=b$\u003C\u002Fspan> (با دامنهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{1,2\\}$\u003C\u002Fspan>) یک‌به‌یک است ولی پوشا نیست زیرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$B$\u003C\u002Fspan> دو عضوی است و هر دو تصویر شده‌اند؟ در اینجا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$g$\u003C\u002Fspan> با دامنهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{1,2\\}$\u003C\u002Fspan> و مقصد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{a,b\\}$\u003C\u002Fspan> هم یک‌به‌یک و هم پوشا است (دو‌سویه).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۳. روش تشخیص پوشا بودن توابع خطی و درجه دوم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای توابع حقیقی (از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan>) روش تشخیص پوشایی معمولاً به این صورت است که دامنهٔ تابع را به طور ضمنی همان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> در نظر می‌گیریم. سپس سؤال می‌کنیم: آیا به ازای هر عدد حقیقی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y$\u003C\u002Fspan>، معادلهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=y$\u003C\u002Fspan> حداقل یک جواب حقیقی دارد؟\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>توابع خطی غیر ثابت:\u003C\u002Fstrong> تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=ax+b$\u003C\u002Fspan> با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a \\neq 0$\u003C\u002Fspan> از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> همیشه پوشا است. زیرا معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$ax+b=y$\u003C\u002Fspan> جواب منحصر‌به‌فرد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x = \\frac{y-b}{a}$\u003C\u002Fspan> دارد که برای هر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y \\in \\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> حقیقی است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>توابع درجه دوم:\u003C\u002Fstrong> تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan> از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong>پوشا نیست\u003C\u002Fstrong>، زیرا مقادیر منفی در مقصد (اعداد کوچکتر از صفر) هیچ تصویری ندارند. اگر مقصد را به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$[0,+\\infty)$\u003C\u002Fspan> محدود کنیم، آنگاه تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f:\\mathbb{R} \\to [0,+\\infty)$\u003C\u002Fspan> با ضابطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan> پوشا خواهد بود.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cstrong>نکته:\u003C\u002Fstrong> یک تابع را می‌توان با تغییر مجموعهٔ مقصد، به یک تابع پوشا تبدیل کرد. اگر تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f:A \\to B$\u003C\u002Fspan> داده شده باشد، همیشه می‌توان تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f:A \\to \\text{برد}(f)$\u003C\u002Fspan> را تعریف کرد که پوشا است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۴. کاربرد عملی در رمزنگاری و شمارش\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در علوم کامپیوتر و رمزنگاری، توابع پوشا (به ویژه توابع درهم‌ساز) کاربرد دارند. یک تابع درهم‌ساز\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> ایده‌آل باید پوشا باشد تا تمام مقادیر خروجی ممکن (مثلاً همهٔ رشته‌های بیتی به طول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan>) قابل تولید باشند. همچنین در مسائل شمارش ترکیبی، وقتی می‌خواهیم تعداد توابع پوشا از یک مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$m$\u003C\u002Fspan> عضوی به یک مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> عضوی را محاسبه کنیم (با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$m \\ge n$\u003C\u002Fspan>) از اصل شمول و عدم شمول استفاده می‌کنیم. فرمول تعداد توابع پوشا به صورت زیر است:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; text-align: center; margin: 12px 0; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\text{تعداد توابع پوشا} = \\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \\binom{n}{k} (n-k)^m$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>به عنوان مثال، از یک مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3$\u003C\u002Fspan> عضوی به یک مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> عضوی، چند تابع پوشا وجود دارد؟ با جایگذاری \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$m=3, n=2$\u003C\u002Fspan> داریم:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; text-align: center; margin: 12px 0; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\sum_{k=0}^{2} (-1)^k \\binom{2}{k} (2-k)^3 = \\binom{2}{0}(2)^3 - \\binom{2}{1}(1)^3 + \\binom{2}{2}(0)^3 = 8 - 2 + 0 = 6$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۵. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong>سؤال ۱: آیا یک تابع می‌تواند هم پوشا باشد و هم غیر یک‌به‌یک؟ مثال بزنید.\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: بله. تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f:\\{1,2,3\\} \\to \\{a,b\\}$\u003C\u002Fspan> با ضابطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(1)=a, f(2)=a, f(3)=b$\u003C\u002Fspan> پوشاست (چون هر دو عضو \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{a,b\\}$\u003C\u002Fspan> تصویر دارند) اما یک‌به‌یک نیست (چون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(1)=f(2)$\u003C\u002Fspan>).\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong>سؤال ۲: اگر دامنهٔ تابع بزرگتر از مقصد باشد (از نظر تعداد اعضا)، آیا خودبه‌خود تابع پوشا می‌شود؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: خیر. شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$|A| \\ge |B|$\u003C\u002Fspan> برای پوشایی \u003Cstrong>لازم\u003C\u002Fstrong> است اما \u003Cstrong>کافی\u003C\u002Fstrong> نیست. باید مطمئن شوید که همهٔ اعضای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$B$\u003C\u002Fspan> حداقل یک بار تصویر شوند. مثلاً از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{1,2,3\\}$\u003C\u002Fspan> به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{a,b\\}$\u003C\u002Fspan> تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(1)=a, f(2)=a, f(3)=a$\u003C\u002Fspan> پوشا نیست چون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$b$\u003C\u002Fspan> تصویر ندارد.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong>سؤال ۳: آیا تابع ثابت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=c$\u003C\u002Fspan> از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> پوشا است؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: خیر، مگر اینکه مجموعهٔ مقصد فقط یک عضو داشته باشد (همان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$c$\u003C\u002Fspan>). اگر مقصد شامل اعداد دیگری غیر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$c$\u003C\u002Fspan> باشد، آن اعداد تصویری ندارند و تابع پوشا نخواهد بود.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۶. جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\nتابع پوشا یکی از مفاهیم پایه‌ای در نظریهٔ توابع است که در آن هر عضو مجموعهٔ مقصد، حداقل یک عضو از دامنه به عنوان تصویر دارد. برای تشخیص پوشایی، باید بررسی کنید که معادلهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$f(x)=y$\u003C\u002Fspan> به ازای هر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y$\u003C\u002Fspan> در مقصد، جواب داشته باشد. توابع خطی غیر ثابت از اعداد حقیقی به اعداد حقیقی پوشا هستند، در حالی که توابع درجه دوم برای پوشا بودن نیاز به محدود کردن مقصد دارند. درک تفاوت پوشا، یک‌به‌یک و دو‌سویه برای مطالعهٔ معکوس توابع و مباحث پیشرفته‌تر ریاضی ضروری است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv>\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> تابع پوشا (Surjective function or Surjection): تابعی که در آن هر عضو مجموعهٔ مقصد حداقل یک پیکان از دامنه دریافت می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> تابع یک‌به‌یک (Injective function or Injection): تابعی که در آن اعضای مختلف دامنه به اعضای مختلف مقصد نگاشته می‌شوند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> تابع تزریقی (Injective function): همان تابع یک‌به‌یک است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> تابع دو‌سویه (Bijective function): تابعی که هم یک‌به‌یک و هم پوشا باشد؛ چنین توابعی معکوس‌پذیرند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> تابع درهم‌ساز (Hash function): تابعی که داده‌ای با اندازهٔ دلخواه را به مقداری با اندازهٔ ثابت تبدیل می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم","تابع پوشا",0,446,"2026-05-07 21:10:28","2026-09-11 18:20:51","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F17","18:20 1405\u002F06\u002F20",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13018,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_200.png","2026-09-13 10:24:30","اثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13020,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_200.png","2026-09-13 10:19:40","اثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":312},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":312},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف"]