[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13145":193,"$fBNexLdFiJz-ne2akH6c_5Ds_9gmsTP2L76tVKTdZ3Gc":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13145,1170,1171,4927,"نتیجهٔ اصل شمول: شمار اعضایی که در هیچ‌یک از چند مجموعه قرار ندارند.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzTRrbDQLrVGcdri74i69_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"نتیجهٔ اصل شمول: شمار اعضایی که در هیچ‌یک از چند مجموعه قرار ندارند\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">نتیجهٔ اصل شمول: محاسبهٔ اعضای خارج از اجتماع مجموعه‌ها\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">روش گام‌به‌گام برای یافتن تعداد عناصری که در هیچ‌یک از مجموعه‌های داده شده عضو نیستند، با استفاده از اصل شمول و عدم شمول\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\nدر این مقاله یاد می‌گیریم چگونه با استفاده از \u003Cstrong>اصل شمول و عدم شمول\u003C\u002Fstrong>، تعداد اعضایی را پیدا کنیم که در هیچ‌یک از مجموعه‌های مورد نظر قرار ندارند. ابتدا مفهوم مجموعهٔ جهانی را معرفی کرده، سپس با فرمول‌های پایه شروع کرده و به حالات سه مجموعه‌ای و بیشتر می‌پردازیم. مثال‌های عددی و جدول مقایسه، یادگیری را برای دانش‌آموزان دبیرستانی ساده و کاربردی می‌کند. کلیدواژه‌ها: \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">اصل شمول\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">مجموعه جهانی\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">متمم مجموعه\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">اجتماع مجموعه‌ها\u003C\u002Fspan>.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۱. مفهوم پایه: مجموعه جهانی و اعضای بیرون از چند مجموعه\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>در نظریه مجموعه‌ها، وقتی با چند مجموعه روبرو می‌شویم، معمولاً همهٔ عضوها در یک \u003Cstrong>مجموعهٔ جهانی\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> (که آن را با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$U$\u003C\u002Fspan> نشان می‌دهیم) قرار دارند. ممکن است برخی از اعضای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$U$\u003C\u002Fspan> درون هیچ‌یک از مجموعه‌های مورد بحث نباشند. برای پیدا کردن تعداد این اعضا، ابتدا باید تعداد اعضایی که \u003Cstrong>دست‌کم در یکی\u003C\u002Fstrong> از مجموعه‌ها هستند را محاسبه کنیم، سپس آن را از کل اعضای مجموعهٔ جهانی کم کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال عینی:\u003C\u002Fstrong> در یک کلاس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$30$\u003C\u002Fspan> نفری، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$18$\u003C\u002Fspan> نفر به فوتبال و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$12$\u003C\u002Fspan> نفر به والیبال علاقه دارند. \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$7$\u003C\u002Fspan> نفر هم به هر دو ورزش علاقه دارند. چند نفر به هیچ‌یک از این دو ورزش علاقه ندارند؟ پاسخ: ابتدا تعداد علاقه‌مندان به فوتبال یا والیبال را به دست می‌آوریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$18 + 12 - 7 = 23$\u003C\u002Fspan>. سپس از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$30$\u003C\u002Fspan> نفر کلاس کم می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$30 - 23 = 7$\u003C\u002Fspan> نفر به هیچ‌یک علاقه ندارند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۲. فرمول اصلی برای دو مجموعه\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$A$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$B$\u003C\u002Fspan> دو مجموعه دلخواه از مجموعهٔ جهانی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$U$\u003C\u002Fspan> باشند، تعداد اعضایی که در \u003Cstrong>هیچ‌کدام\u003C\u002Fstrong> از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$A$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$B$\u003C\u002Fspan> نیستند برابر است با:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$n(\\text{هیچ‌کدام}) = n(U) - n(A \\cup B)$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cp>و می‌دانیم که طبق \u003Cstrong>اصل شمول و عدم شمول\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$n(A \\cup B) = n(A) + n(B) - n(A \\cap B)$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cp>بنابراین فرمول نهایی برای دو مجموعه به صورت زیر است:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$n(\\text{هیچ‌کدام}) = n(U) - [n(A) + n(B) - n(A \\cap B)]$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cp>در این فرمول، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n(A \\cap B)$\u003C\u002Fspan> تعداد اعضایی است که هم در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$A$\u003C\u002Fspan> و هم در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$B$\u003C\u002Fspan> قرار دارند (اشتراک).\u003C\u002Fp>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۳. گسترش به سه مجموعه: محاسبهٔ گام‌به‌گام\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>برای سه مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$A$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$B$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C$\u003C\u002Fspan>، اصل شمول و عدم شمول به شکل زیر درمی‌آید:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$n(A \\cup B \\cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \\cap B) - n(A \\cap C) - n(B \\cap C) + n(A \\cap B \\cap C)$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cp>سپس برای یافتن اعضای بیرون از همهٔ مجموعه‌ها داریم:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$n(\\text{هیچ‌کدام}) = n(U) - n(A \\cup B \\cup C)$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال عددی سه‌مجموعه‌ای:\u003C\u002Fstrong> در یک نظرسنجی از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$50$\u003C\u002Fspan> نفر، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$25$\u003C\u002Fspan> نفر چای، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$20$\u003C\u002Fspan> نفر قهوه، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$15$\u003C\u002Fspan> نفر شیر، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$8$\u003C\u002Fspan> نفر چای و قهوه، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$6$\u003C\u002Fspan> نفر چای و شیر، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5$\u003C\u002Fspan> نفر قهوه و شیر و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3$\u003C\u002Fspan> نفر هر سه نوشیدنی را دوست دارند. تعداد افرادی که هیچ‌یک از این سه نوشیدنی را دوست ندارند:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>گام ۱: محاسبهٔ اجتماع \u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$25+20+15 = 60$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$60 - (8+6+5) = 60 - 19 = 41$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$41 + 3 = 44$\u003C\u002Fspan> (تعداد افرادی که دست‌کم یکی از نوشیدنی‌ها را دوست دارند)\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>گام ۲: کم کردن از مجموعهٔ جهانی\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$50 - 44 = 6$\u003C\u002Fspan> نفر هیچ‌یک را دوست ندارند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۴. جدول مقایسهٔ فرمول‌ها برای حالات مختلف\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"مقایسه فرمول‌های اصل شمول برای حالات دو و سه مجموعه\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعداد مجموعه‌ها\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">فرمول اجتماع\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعداد اعضای بیرون از همه\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">دو مجموعه (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$A,B$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n(A)+n(B)-n(A\\cap B)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n(U)-[n(A)+n(B)-n(A\\cap B)]$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">سه مجموعه (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$A,B,C$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n(A)+n(B)+n(C)-n(A\\cap B)-n(A\\cap C)-n(B\\cap C)+n(A\\cap B\\cap C)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n(U)-n(A\\cup B\\cup C)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۵. کاربرد عملی: تحلیل نظرسنجی و آمار\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>یکی از کاربردهای مهم این روش در \u003Cstrong>تحلیل نظرسنجی‌ها\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>آمار توصیفی\u003C\u002Fstrong> است. فرض کنید در یک پژوهش، از افراد خواسته می‌شود عضویت در چند گروه (مثل باشگاه ورزشی، کتابخانه، گروه هنری) را اعلام کنند. برای یافتن تعداد افرادی که هیچ عضویتی ندارند، کافی است اطلاعات مربوط به هر گروه و اشتراک‌های بین آن‌ها را داشته باشیم.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال واقعی:\u003C\u002Fstrong> در یک مدرسه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$200$\u003C\u002Fspan> دانش‌آموزی، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$120$\u003C\u002Fspan> نفر در تیم ریاضی، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$90$\u003C\u002Fspan> نفر در تیم علوم، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$50$\u003C\u002Fspan> نفر در هر دو تیم عضویت دارند. تعداد دانش‌آموزانی که در هیچ‌یک از این دو تیم نیستند برابر است با:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n(\\text{هیچ‌کدام}) = 200 - (120 + 90 - 50) = 200 - 160 = 40$\u003C\u002Fspan> دانش‌آموز.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>این روش به مدیران مدرسه کمک می‌کند تا بفهمند چه تعداد از دانش‌آموزان همچنان در فعالیت‌های فوق‌برنامه شرکت نکرده‌اند و برای تشویق آن‌ها برنامه‌ریزی کنند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۶. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>چالش ۱: چرا نمی‌توانیم مستقیماً اشتراک‌ها را از مجموع تک‌مجموعه‌ها کم کنیم؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>پاسخ: اگر فقط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n(A)+n(B)+n(C)$\u003C\u002Fspan> را حساب کنیم، اعضای اشتراک دو مجموعه چندین بار شمرده می‌شوند. با کم کردن جفت‌اشتراک‌ها، اعضای اشتراک سه‌گانه یک بار بیش از حد حذف می‌گردند، بنابراین باید دوباره اضافه شوند. به همین دلیل فرمول به این پیچیدگی نیاز دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>چالش ۲: اگر مجموعهٔ جهانی نامعلوم باشد، چگونه می‌توان اعضای بیرون از مجموعه‌ها را یافت؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>پاسخ: بدون دانستن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n(U)$\u003C\u002Fspan> نمی‌توان تعداد اعضای بیرون از همه مجموعه‌ها را محاسبه کرد، زیرا این عدد به عنوان مخرج تفاضل عمل می‌کند. در مسائل استاندارد، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$U$\u003C\u002Fspan> معمولاً به عنوان جامعهٔ آماری مشخص شده است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>چالش ۳: آیا این روش برای بیشتر از سه مجموعه هم کار می‌کند؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>پاسخ: بله، اصل شمول و عدم شمول برای هر تعداد مجموعه‌ای قابل تعمیم است. برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$k$\u003C\u002Fspan> مجموعه، مجموع اندازهٔ تک‌مجموعه‌ها منها مجموع اشتراک‌های دوتایی به اضافه اشتراک‌های سه‌تایی و الی آخر، با علامت‌های متناوب. سپس از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n(U)$\u003C\u002Fspan> کم می‌شود. هرچه تعداد مجموعه‌ها بیشتر شود، محاسبات طولانی‌تر اما همچنان امکان‌پذیر است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۷. جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\nبرای یافتن تعداد اعضایی که در هیچ‌یک از چند مجموعه قرار ندارند، ابتدا باید تعداد اعضای واقع در اجتماع مجموعه‌ها را با استفاده از \u003Cstrong>اصل شمول و عدم شمول\u003C\u002Fstrong> محاسبه کرد و سپس آن را از \u003Cstrong>مجموعهٔ جهانی\u003C\u002Fstrong> کم کرد. این روش برای دو، سه یا هر تعداد مجموعه‌ای کاربرد دارد و در مسائل نظرسنجی، آمار و احتمال بسیار مفید است. مهم‌ترین نکته، محاسبهٔ دقیق اشتراک‌ها و رعایت علامت‌های مثبت و منفی در فرمول است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۸. پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> مجموعه جهانی (Universal Set): مجموعه‌ای که شامل همهٔ عناصر مورد بحث در یک مسئله یا نظریه است و معمولاً با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$U$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> اصل شمول و عدم شمول (Principle of Inclusion-Exclusion): قاعده‌ای در نظریه مجموعه‌ها که اندازهٔ اجتماع چند مجموعه را بر اساس اندازهٔ خود مجموعه‌ها و اشتراک‌های آن‌ها محاسبه می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم","نتیجهٔ اصل شمول",0,134,"2026-05-07 20:42:35","2026-09-11 18:54:09","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F17","18:54 1405\u002F06\u002F20",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13018,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_200.png","2026-09-13 10:24:30","اثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13020,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_200.png","2026-09-13 10:19:40","اثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":312},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":312},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف"]