[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13127":193,"$fXmuzrwJrolJsWzMTI68PWU8m9YkqRxmFlSMj9QOX0Vk":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13127,1170,1171,4927,"جایگشت با تکرار: جایگشت اشیایی که بعضی از آن‌ها یکسان‌اند.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FQvAqjJhCInEPlWFK9QBR_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"جایگشت با تکرار: جایگشت اشیایی که بعضی از آن‌ها یکسان‌اند\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">جایگشت با تکرار: جایگشت اشیایی که بعضی از آن‌ها یکسان هستند\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">شناخت مفهوم جایگشت با اعضای تکراری، فرمول محاسبه و تفاوت آن با جایگشت معمولی همراه با مثال‌های گام‌به‌گام\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\nدر این مقاله با مفهوم «جایگشت با تکرار» آشنا می‌شوید؛ حالتی از شمارش که در آن بعضی از اشیا با یکدیگر یکسان هستند. خواهید دید چگونه فرمول جایگشت با تکرار از فرمول پایه‌ای فاکتوریل مشتق می‌شود، تفاوت آن با جایگشت معمولی در چیست و با استفاده از مثال‌های ملموس مانند چیدمان حروف یک کلمه یا کنار هم قرار گرفتن توپ‌های رنگی، گام‌به‌گام محاسبات را یاد خواهید گرفت.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۱. مفاهیم پایه: جایگشت، فاکتوریل و اشیای یکسان\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در علم آمار و ترکیبیات، \u003Cstrong>جایگشت\u003C\u002Fstrong> به چیدمان مرتب تعدادی شیء در یک ردیف گفته می‌شود. اگر تمام اشیا متمایز باشند، تعداد جایگشت‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> شیء برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$n!$\u003C\u002Fspan> (فاکتوریل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan>). اما در بسیاری از مسائل واقعی، بعضی از اشیا با یکدیگر یکسان هستند. برای نمونه، اگر بخواهیم حروف کلمه «کتاب» را به ترتیب‌های مختلف بنویسیم، حرف «ت» دو بار تکرار شده است. در چنین شرایطی، جایگشت‌های متفاوتی که ناشی از جابجایی اشیای یکسان هستند، یک چیدمان محسوب می‌شوند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید از بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> شیء، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n_1$\u003C\u002Fspan> شیء از نوع اول، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n_2$\u003C\u002Fspan> شیء از نوع دوم، ... و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n_k$\u003C\u002Fspan> شیء از نوع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$k$\u003C\u002Fspan>-ام باشند، به طوری که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$n_1 + n_2 + ... + n_k = n$\u003C\u002Fspan>. در این حالت، تعداد جایگشت‌های متمایز (جایگشت با تکرار) از فرمول زیر به دست می‌آید:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\displaystyle \\frac{n!}{n_1! \\times n_2! \\times ... \\times n_k!}$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">نکته مهم\u003C\u002Fspan> این فرمول به ما اجازه می‌دهد بدون این که همه حالت‌ها را یک‌یک بنویسیم، تعداد چیدمان‌های متفاوت را محاسبه کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۲. مقایسه جایگشت معمولی و جایگشت با تکرار\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"مقایسه مفاهیم جایگشت\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">جایگشت معمولی (بدون تکرار)\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">جایگشت با تکرار\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">شرط اشیا\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">همه اشیا متمایز و یکتا\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">بعضی از اشیا با هم یکسان هستند\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">فرمول\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n!$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مثال عددی\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">۳ حرف متمایز A,B,C → \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3! = 6$\u003C\u002Fspan> حالت\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">حروف A,A,B → \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{3!}{2!} = 3$\u003C\u002Fspan> حالت\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>برای درک بهتر این تفاوت، یک مثال عملی را بررسی می‌کنیم. فرض کنید کیسه‌ای شامل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۳\u003C\u002Fspan> توپ داریم: دو توپ قرمز (یکسان) و یک توپ آبی. می‌خواهیم این سه توپ را در یک ردیف کنار هم قرار دهیم. اگر توپ‌های قرمز را به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$q_1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$q_2$\u003C\u002Fspan> نامگذاری کنیم، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3! = 6$\u003C\u002Fspan> حالت به دست می‌آید. اما چون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$q_1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$q_2$\u003C\u002Fspan> برای ما قابل تشخیص نیستند، حالت‌هایی که فقط جای دو توپ قرمز عوض شده باشد، تکراری محسوب می‌شوند. بنابراین تعداد واقعی چیدمان‌ها \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{3!}{2!} = \\frac{6}{2} = 3$\u003C\u002Fspan> می‌شود که همان‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(قرمز, قرمز, آبی)\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(قرمز, آبی, قرمز)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(آبی, قرمز, قرمز)\u003C\u002Fspan> هستند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۳. حل گام‌به‌گام با مثال کلمه «آمار»\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>یکی از نمونه‌های کلاسیک برای جایگشت با تکرار، شمارش چیدمان‌های مختلف حروف یک کلمه است. کلمه \u003Cstrong>«آمار»\u003C\u002Fstrong> را در نظر بگیرید. حروف این کلمه عبارتند از: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">آ، م، ا، ر\u003C\u002Fspan>. مشاهده می‌کنید که حرف «الف» با صدای کشیده (آ) یک بار و حرف «الف» معمولی (ا) نیز یک بار آمده است. آیا این دو «الف» یکسان هستند؟ بله، در مسئله جایگشت با تکرار هر دو «الف» یکسان فرض می‌شوند. بنابراین ما دو حرف یکسان (دو الف) و دو حرف متفاوت (م و ر) داریم. تعداد کل حروف \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n = 4$\u003C\u002Fspan> است. تعداد تکرار برای الف برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n_1 = 2$\u003C\u002Fspan> و برای م و ر هر کدام \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>طبق فرمول داریم:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\frac{4!}{2!} = \\frac{24}{2} = 12$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cp>بنابراین کلمه «آمار» را می‌توان به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۱۲\u003C\u002Fspan> شکل متفاوت نوشت. برای درک بهتر، چند نمونه از این جایگشت‌ها عبارتند از: آمــار، آرمــا، مــاآر، راآم، مــارآ و ... . توجه کنید که در همه اینها، دو الف تکرار شده‌اند و جابه‌جایی آن‌ها حالت جدیدی ایجاد نمی‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۴. کاربرد عملی: چیدمان کارت‌های تکراری در بازی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید در یک بازی رومیزی، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۵\u003C\u002Fspan> کارت داریم که روی آنها اعداد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۱، ۱، ۲، ۳، ۳\u003C\u002Fspan> نوشته شده است (عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۱\u003C\u002Fspan> دو بار و عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۳\u003C\u002Fspan> دو بار و عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۲\u003C\u002Fspan> یک بار تکرار شده است). می‌خواهیم بدانیم این \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۵\u003C\u002Fspan> کارت را به چند ترتیب مختلف می‌توان کنار هم چید.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>در اینجا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n = 5$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n_1 = 2$\u003C\u002Fspan> (برای عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۱\u003C\u002Fspan>)، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n_2 = 1$\u003C\u002Fspan> (برای عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۲\u003C\u002Fspan>)، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n_3 = 2$\u003C\u002Fspan> (برای عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۳\u003C\u002Fspan>). محاسبه به صورت زیر است:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\frac{5!}{2! \\times 1! \\times 2!} = \\frac{120}{2 \\times 1 \\times 2} = \\frac{120}{4} = 30$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cp>یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">۳۰\u003C\u002Fspan> چیدمان متفاوت وجود دارد. این مثال نشان می‌دهد که چگونه در مسائل عملی مانند مرتب‌سازی داده‌های تکراری یا تحلیل الگوریتم‌های مرتب‌سازی، از جایگشت با تکرار استفاده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۵. چالش‌های مفهومی (پرسش و پاسخ)\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong>پرسش ۱: چرا نمی‌توانیم در جایگشت با تکرار، به سادگی از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n!$\u003C\u002Fspan> استفاده کنیم؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: زیرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n!$\u003C\u002Fspan> فرض می‌کند همه اشیا متمایز هستند. وقتی چند شیء یکسان داریم، جایگزینی آنها با یکدیگر چیدمان جدیدی ایجاد نمی‌کند. برای حذف این جایگشت‌های اضافی، باید حاصل را بر فاکتوریل تعداد اشیای تکراری تقسیم کنیم.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong>پرسش ۲: اگر بیش از دو نوع شیء تکراری داشته باشیم، فرمول چگونه تغییر می‌کند؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: فرمول به همان شکل کلی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}$\u003C\u002Fspan> باقی می‌ماند. به عنوان مثال برای کلمه «مـــــــــــمکن» که سه «م» تکراری و بقیه حروف یک بار آمده‌اند، تعداد جایگشت‌ها برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{5!}{3!} = \\frac{120}{6}=20$\u003C\u002Fspan> خواهد بود.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong>پرسش ۳: آیا ترتیب انتخاب اشیا در جایگشت با تکرار مهم است؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: بله. جایگشت (برخلاف ترکیب) به ترتیب چیدمان اهمیت می‌دهد. تفاوت جایگشت با تکرار با ترکیب با تکرار در همین نکته است. در جایگشت با تکرار، ما به دنبال چیدمان خطی اشیا هستیم، نه انتخاب یک زیرمجموعه بدون توجه به ترتیب.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۶. جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\nجایگشت با تکرار روشی کارآمد برای شمارش چیدمان‌هایی است که در آن‌ها بعضی از اشیا یکسان هستند. فرمول اصلی این نوع جایگشت عبارت است از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}$\u003C\u002Fspan> که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> مجموع اشیا و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n_i$\u003C\u002Fspan> تعداد اشیای نوع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$i$\u003C\u002Fspan>-ام است. این مفهوم در تحلیل کلمات، رمزنگاری ساده، نظریه احتمال و آمار کاربرد گسترده دارد. درک تفاوت آن با جایگشت معمولی و ترکیب، پایه محکمی برای یادگیری مباحث پیشرفته‌تر ترکیبیات ایجاد می‌کند.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv>\r\n\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> جایگشت (Permutation): به هر حالت مرتب کردن یک مجموعه از اشیا در یک ردیف، جایگشت گفته می‌شود. ترتیب عناصر در جایگشت اهمیت دارد.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> فاکتوریل (Factorial): حاصلضرب تمام اعداد طبیعی از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> که به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n!$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود. مثلاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3! = 1 \\times 2 \\times 3 = 6$\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> اشیای یکسان (Identical Objects): اشیایی که از نظر ویژگی‌های مورد نظر در مسئله، غیرقابل تشخیص و هم‌ارز هستند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> ترکیبیات (Combinatorics): شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعه اشیاء گسسته و روش‌های شمارش آن‌ها می‌پردازد.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم","جایگشت با تکرار",0,300,"2026-05-07 18:36:25","2026-09-12 08:55:44","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F17","8:55 1405\u002F06\u002F21",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13018,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_200.png","2026-09-13 10:24:30","اثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13020,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_200.png","2026-09-13 10:19:40","اثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":312},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":312},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف"]