[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13121":193,"$fIgK3a8ZbeWOjhmY5OOW7-drs0Oa6yQEPOtFrkkeXoE8":214},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":190,"subdate":207,"up_date":208,"first_name":209,"last_name":210,"avatar":13,"cat_title":211,"subdate_jalali":212,"update_jalali":213},13121,1170,1171,4927,"حداکثر احاطه یک رأس: در گرافی با ماکزیمم درجهٔ Δ، حداکثر Δ + 1 رأس",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FSCS9KoirxnW0FvxSzTI1_800.png","\u003Cp> \u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"حداکثر احاطه یک رأس در گراف\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">حداکثر احاطه یک رأس: در گرافی با ماکزیمم درجهٔ Δ، حداکثر Δ + 1 رأس\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">بررسی قضیهٔ اساسی نظریهٔ گراف: کران بالای تعداد رأس‌های مجاور با یک رأس همسایه‌ها و خود رأس\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>خلاصهٔ سئوپسند:\u003C\u002Fstrong> در نظریهٔ گراف، مفهوم «درجهٔ یک رأس» و «ماکزیمم درجهٔ گراف» نقش کلیدی در تحلیل ساختار گراف دارد. این مقاله با بیانی ساده برای دانش‌آموزان دبیرستانی نشان می‌دهد که چرا حداکثر تعداد رأس‌هایی که می‌توانند با یک رأس خاص در ارتباط باشند (شامل خود آن رأس و همسایه‌هایش) برابر با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">Δ + 1\u003C\u002Fspan> است. مفاهیمی مانند همسایه، گراف ساده، کران بالا و کاربرد آن در مسائل بهینه‌سازی از طریق مثال‌های علمی و جدول بررسی می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۱. آشنایی با مفاهیم پایه: رأس، یال، درجه و ماکزیمم درجه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin-bottom: 12px\">در نظریهٔ گراف، یک \u003Cstrong>گراف\u003C\u002Fstrong> از مجموعه‌ای از \u003Cstrong>رأس‌ها\u003C\u002Fstrong> (نقاط) و \u003Cstrong>یال‌ها\u003C\u002Fstrong> (خط‌های رابط) تشکیل می‌شود. اگر دو رأس با یک یال به هم متصل باشند، آن‌ها را \u003Cstrong>همسایه\u003C\u002Fstrong> یکدیگر می‌نامیم. برای یک رأس مانند \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">v\u003C\u002Fspan>، تعداد همسایه‌های آن را \u003Cstrong>درجهٔ رأس\u003C\u002Fstrong> می‌گوییم و با \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">deg(v)\u003C\u002Fspan> نمایش می‌دهیم. همچنین \u003Cstrong>ماکزیمم درجهٔ گراف\u003C\u002Fstrong> که آن را با \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ\u003C\u002Fspan> (دلتای بزرگ) نشان می‌دهیم، بزرگترین درجه در میان همهٔ رأس‌های گراف است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin-bottom: 12px\">فرض کنید در یک گراف ساده\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> (بدون یال موازی و بدون حلقه)، به دنبال این هستیم که یک رأس خاص حداکثر چند رأس دیگر را می‌تواند «احاطه» کند. منظور از احاطه، شامل خود آن رأس و همهٔ همسایه‌های مستقیم آن است. اگر درجهٔ یک رأس برابر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">d\u003C\u002Fspan> باشد، آنگاه مجموعهٔ احاطه‌گر آن رأس شامل خودش و \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">d\u003C\u002Fspan> همسایه می‌شود؛ بنابراین اندازهٔ این مجموعه برابر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">d + 1\u003C\u002Fspan> خواهد بود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>مثال عملی:\u003C\u002Fstrong> دوستان خود را در شبکهٔ اجتماعی تصور کنید. شما یک رأس هستید. افرادی که با شما دوست هستند (همسایه‌های مستقیم) به تعداد درجهٔ شما. مجموعه‌ای که شامل شما و دوستانتان می‌شود، حداکثر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">deg(you) + 1\u003C\u002Fspan> نفر را در بر می‌گیرد. حال اگر بخواهیم بدانیم در کل شبکه (گراف) حداکثر این عدد برای هر شخص چقدر می‌تواند باشد، کافی است به جای درجهٔ یک شخص خاص، ماکزیمم درجهٔ کل شبکه (\u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ\u003C\u002Fspan>) را در نظر بگیریم.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۲. کران بالای احاطه: اثبات قضیهٔ Δ + 1\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin-bottom: 12px\">حال به اصل مطلب می‌رسیم: «در هر گرافی با ماکزیمم درجهٔ \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ\u003C\u002Fspan>، حداکثر تعداد رأس‌هایی که می‌توانند توسط یک رأس احاطه شوند (یعنی خود آن رأس به اضافهٔ همسایه‌هایش) برابر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ + 1\u003C\u002Fspan> است.» این یک قضیهٔ ساده اما بنیادین است. برای اثبات، فرض کنید \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">v\u003C\u002Fspan> رأس دلخواهی در گراف باشد. درجهٔ آن حداکثر برابر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ\u003C\u002Fspan> است، زیرا \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ\u003C\u002Fspan> بزرگترین درجه در کل گراف است. پس \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">deg(v) \\le Δ\u003C\u002Fspan>. مجموعهٔ رأس‌های احاطه‌شده توسط \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">v\u003C\u002Fspan> برابر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">\\{v\\} \\cup N(v)\u003C\u002Fspan> است که در آن \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">N(v)\u003C\u002Fspan> مجموعهٔ همسایه‌های \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">v\u003C\u002Fspan> است. اندازهٔ این مجموعه برابر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">1 + |N(v)| = 1 + deg(v) \\le 1+Δ\u003C\u002Fspan>. بنابراین هیچ رأس‌ای نمی‌تواند بیش از \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ+1\u003C\u002Fspan> رأس را احاطه کند. برای رسیدن به تساوی، باید رأس‌ای با درجهٔ دقیقاً \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ\u003C\u002Fspan> انتخاب شود و گراف نیز ساده باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cdiv>\u003Cstrong>فرمول کلیدی:\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ |\\{v\\} \\cup N(v)| = 1 + deg(v) \\le 1 + \\Delta $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin-bottom: 12px\">برای درک بهتر، جدول زیر مقایسهٔ سه گراف مختلف با ماکزیمم درجه‌های متفاوت را نشان می‌دهد. در هر گراف، یک رأس با بیشترین درجه را انتخاب کرده‌ایم و اندازهٔ مجموعهٔ احاطه‌گر آن را محاسبه کرده‌ایم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسهٔ گراف‌ها با ماکزیمم درجه متفاوت\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع گراف\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ماکزیمم درجه (Δ)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">درجهٔ رأس منتخب (d)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">اندازهٔ احاطه (d+1)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">کران Δ+1\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مسیر با ۳ رأس (P3)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">گراف کامل K4\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ستارهٔ K1,5\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">5\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">5\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">6\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">6\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۳. کاربرد عملی در مسائل بهینه‌سازی شبکه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin-bottom: 12px\">این قضیه در طراحی شبکه‌های مخابراتی و کامپیوتری کاربرد دارد. فرض کنید هر رأس یک ایستگاه مخابراتی است و یال‌ها نشان‌دهندهٔ ارتباط مستقیم هستند. اگر بخواهیم پیامی را از یک ایستگاه به همهٔ ایستگاه‌های درون محدودهٔ احاطهٔ آن (خودش و همسایه‌های یک‌گامه) برسانیم، حداکثر تعداد ایستگاه‌هایی که تحت پوشش قرار می‌گیرند، از \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ+1\u003C\u002Fspan> تجاوز نمی‌کند. به عبارت دیگر، هر ایستگاه بدون نیاز به اطلاعات از کل شبکه، می‌تواند بداند که حداکثر چه تعداد گره دیگر را می‌تواند مستقیماً تحت تأثیر قرار دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin-bottom: 12px\">مثال دیگر در الگوریتم‌های مسیریابی است: اگر یک رأس بخواهد لیست همسایه‌های خود را به روز کند، حافظهٔ مورد نیاز از مرتبهٔ \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">O(Δ)\u003C\u002Fspan> خواهد بود که بسیار کارآمد است. این کران ساده، پایه‌ای برای قضیه‌های پیچیده‌تر مانند قضیهٔ بروکس\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> در رنگ‌آمیزی گراف است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۴. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 10px; margin-left: 12px; margin-right: 12px; margin-top: 10px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۱. آیا ممکن است عدد احاطه از \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ+1\u003C\u002Fspan> بیشتر شود اگر گراف دارای یال موازی یا حلقه باشد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: بله. اگر گراف دارای \u003Cstrong>حلقه\u003C\u002Fstrong> (لطفی که رأس را به خودش وصل کند) باشد، آن رأس در احاطهٔ خودش دو بار شمرده نمی‌شود (چون مجموعه است) اما مفهوم درجه تغییر می‌کند. در گراف‌های با یال موازی، درجهٔ رأس می‌تواند از تعداد همسایه‌های متمایز بیشتر باشد، اما در تعریف احاطه، فقط رأس‌های متمایز اهمیت دارند. در گراف ساده، کران \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ+1\u003C\u002Fspan> محکم است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 10px; margin-left: 12px; margin-right: 12px; margin-top: 10px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۲. اگر ماکزیمم درجهٔ گراف \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ\u003C\u002Fspan> باشد، آیا همیشه رأس‌ای وجود دارد که دقیقاً \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ+1\u003C\u002Fspan> رأس را احاطه کند؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: خیر. برای وجود چنین رأسی، باید رأسی با درجهٔ دقیقاً \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ\u003C\u002Fspan> وجود داشته باشد و گراف ساده باشد. همیشه چنین رأسی وجود دارد (طبق تعریف ماکزیمم درجه) چون \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ\u003C\u002Fspan> بزرگترین درجه است و حداقل یک رأس به آن درجه می‌رسد. بنابراین در گراف ساده، همیشه می‌توان رأس احاطه‌گر با اندازهٔ \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ+1\u003C\u002Fspan> یافت.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۳. آیا این قضیه برای گراف‌های جهت‌دار نیز برقرار است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: در گراف‌های جهت‌دار، مفهوم درجه به دو بخش درجهٔ ورودی و خروجی تقسیم می‌شود. اگر ماکزیمم درجهٔ خروجی را \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ^+\u003C\u002Fspan> در نظر بگیریم، آنگاه یک رأس می‌تواند حداکثر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ^+ + 1\u003C\u002Fspan> رأس (خودش و همسایه‌های خروجی) را احاطه کند. اما اگر جهت یال‌ها مهم نباشد و گراف زمینه‌ای بدون جهت در نظر گرفته شود، همان کران قبلی برقرار است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۵. جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">در این مقاله نشان دادیم که در یک گراف ساده، حداکثر تعداد رأس‌هایی که می‌توانند توسط یک رأس احاطه شوند (شامل خود رأس و همسایه‌های یک‌گامهٔ آن) برابر است با ماکزیمم درجهٔ گراف به اضافهٔ یک، یعنی \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ + 1\u003C\u002Fspan>. این نتیجه مستقیماً از تعریف درجه و ماکزیمم درجه حاصل می‌شود و اثباتی ساده و گام‌به‌گام دارد. همچنین مثال‌های جدولی و کاربردهای آن در شبکه‌های ارتباطی و الگوریتم‌های مسیریابی بررسی شد. فهم این مفهوم پایه‌ای، گامی ضروری برای مطالعهٔ مباحث پیشرفته‌تر مانند رنگ‌آمیزی گراف، پوشش رأس و مجموعهٔ احاطه‌گر است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۶. پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> گراف ساده (Simple Graph): گرافی بدون یال موازی (چند یال بین یک جفت رأس) و بدون حلقه (یالی که یک رأس را به خودش وصل کند).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> قضیهٔ بروکس (Brooks' Theorem): قضیه‌ای در رنگ‌آمیزی گراف که بیان می‌کند عدد رنگی یک گراف همبند حداکثر برابر ماکزیمم درجه است، مگر در گراف‌های کامل و دورهای فرد که عدد رنگی برابر \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"display: inline-block\">Δ+1\u003C\u002Fspan> می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>```\u003C\u002Fp>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم","حداکثر احاطه یک رأس",0,"2026-05-07 17:54:25","2026-09-12 19:32:35","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F17","19:32 1405\u002F06\u002F21",{"tests":215,"papers":216,"files":217,"questions":218,"exams":219,"tutorials":220,"blogs":221},[],[],[],[],[],[],[222,231,239,247,255,263,271,279,287,295,303,312],{"id":223,"title":224,"cat":199,"pic":225,"up_date":226,"title_url":227,"url":228,"legacy_url":229,"cat_title":211,"update_jalali":230},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":232,"title":233,"cat":199,"pic":234,"up_date":235,"title_url":236,"url":237,"legacy_url":238,"cat_title":211,"update_jalali":230},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":240,"title":241,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":244,"url":245,"legacy_url":246,"cat_title":211,"update_jalali":230},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":248,"title":249,"cat":199,"pic":250,"up_date":251,"title_url":252,"url":253,"legacy_url":254,"cat_title":211,"update_jalali":230},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":211,"update_jalali":230},13018,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_200.png","2026-09-13 10:24:30","اثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":211,"update_jalali":230},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":211,"update_jalali":230},13020,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_200.png","2026-09-13 10:19:40","اثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":211,"update_jalali":230},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":211,"update_jalali":230},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":211,"update_jalali":230},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":211,"update_jalali":311},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":313,"title":314,"cat":199,"pic":315,"up_date":316,"title_url":317,"url":318,"legacy_url":319,"cat_title":211,"update_jalali":311},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف"]