[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13114":193,"$f8spwX5uSswhVo78TTtJSTPUzD1jrF3RDyvL1RWUwD1o":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13114,1170,1171,4927,"مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال گراف: مجموعهٔ احاطه‌گری که با حذف هر عضو، دیگر احاطه‌گر نباشد.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FhZrhE0OfipsI3owrk8GE_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال گراف\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال گراف: مفهوم، ویژگی‌ها و کاربردها\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">بررسی مجموعه‌هایی از رأس‌ها که تمام گراف را پوشش می‌دهند ولی با حذف هر عضو، این پوشش از بین می‌رود\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"seo-summary\" style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\nدر نظریهٔ گراف، \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">مجموعهٔ احاطه‌گر\u003C\u002Fstrong> به مجموعه‌ای از رأس‌ها گفته می‌شود که هر رأس دیگر گراف یا خودش در این مجموعه باشد یا با یکی از اعضای آن مجاورت داشته باشد. \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال\u003C\u002Fstrong> نوع خاصی از این مجموعه‌هاست که با حذف هر یک از اعضایش، خاصیت احاطه‌گری را از دست می‌دهد. در این مقاله با مثال‌های ساده، روش‌های یافتن، ویژگی‌ها و کاربردهای این مفهوم در مسائل بهینه‌سازی آشنا می‌شوید.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">تعریف پایه و پیش‌نیازهای گرافی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">پیش از پرداختن به مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال، بهتر است چند مفهوم پایه‌ای را مرور کنیم. گراف \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$G$\u003C\u002Fspan> از دو جزء اصلی ساخته می‌شود: مجموعهٔ رأس‌ها (رأس‌ها) و مجموعهٔ یال‌ها (پارها). دو رأس مجاور نامیده می‌شوند اگر بین آن‌ها یک یال وجود داشته باشد. در زندگی روزمره می‌توانید گراف را مانند نقشهٔ یک شبکهٔ دوستی تصور کنید: هر شخص یک رأس است و اگر دو نفر با هم دوست باشند، بینشان یک یال رسم می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">یک \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">مجموعهٔ احاطه‌گر\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$S \\subseteq V$\u003C\u002Fspan> در گراف \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$G = (V, E)$\u003C\u002Fspan> دارای این ویژگی است که هر رأس در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$V$\u003C\u002Fspan> یا عضو \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$S$\u003C\u002Fspan> است یا حداقل با یک رأس در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$S$\u003C\u002Fspan> مجاورت دارد. به عبارت دیگر، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$S$\u003C\u002Fspan> تمام گراف را می‌پوشاند. مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> مجموعه‌ای است که خود احاطه‌گر بوده و هیچ زیرمجموعهٔ سره‌ای از آن احاطه‌گر نباشد. این یعنی اگر هر عضو را از آن حذف کنیم، مجموعه توانایی پوشش دادن تمام رأس‌ها را از دست می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"formula-box\" style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$S \\subseteq V$\u003C\u002Fspan> یک مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال است اگر و فقط اگر: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$N[S] = V$\u003C\u002Fspan> و برای هر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$v \\in S$\u003C\u002Fspan> داشته باشیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$N[S \\setminus \\{v\\}] \\neq V$\u003C\u002Fspan>. در اینجا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$N[S]$\u003C\u002Fspan> نشان‌دهندهٔ بستهٔ همسایگی\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$S$\u003C\u002Fspan> است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">مقایسه مجموعه احاطه‌گر معمولی با مینیمال\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">برای درک بهتر تفاوت، جدول زیر ویژگی‌های دو نوع مجموعه را مقایسه می‌کند:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"مقایسه مجموعه احاطه‌گر و مینیمال\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مجموعه احاطه‌گر معمولی\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مجموعه احاطه‌گر مینیمال\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">شرط احاطه‌گری\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">برقرار است\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">برقرار است\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">شرط مینیمال بودن\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">الزامی نیست\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #dcfce7; color: #166534; : \">الزامی است\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">حذف یک عضو\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">ممکن است همچنان احاطه‌گر بماند\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">احاطه‌گری از بین می‌رود\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">اندازه (تعداد اعضا)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">می‌تواند بزرگ باشد\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">تا حد ممکن کوچک، ولی لزوماً مینیمم نیست\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">یک مثال ساده: گرافی با سه رأس که به صورت زنجیره‌ای به هم وصل شده‌اند (رأس الف – رأس ب – رأس ج). مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{الف, ج\\}$\u003C\u002Fspan> یک مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال است. اگر رأس الف را حذف کنیم، رأس ج به تنهایی نمی‌تواند رأس ب را بپوشاند (چون رأس ب با ج مجاور نیست). اگر رأس ج را حذف کنیم نیز به همین ترتیب احاطه‌گری از بین می‌رود. اما مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{الف, ب, ج\\}$\u003C\u002Fspan> هم احاطه‌گر است ولی مینیمال نیست چون با حذف مثلاً رأس ب، دو رأس الف و ج همچنان رأس ب را می‌پوشانند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">الگوریتم گام‌به‌گام برای یافتن مجموعه احاطه‌گر مینیمال\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">برای پیدا کردن یک مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال در یک گراف کوچک، می‌توانیم از روش سادهٔ زیر استفاده کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Col style=\"padding-right: 20px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli style=\"margin-bottom: 6px; : \">یک مجموعهٔ احاطه‌گر دلخواه مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$S$\u003C\u002Fspan> انتخاب کنید (برای شروع می‌توانید همهٔ رأس‌ها را قرار دهید).\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli style=\"margin-bottom: 6px; : \">هر رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$v$\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$S$\u003C\u002Fspan> را امتحان کنید: آیا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$S \\setminus \\{v\\}$\u003C\u002Fspan> نیز احاطه‌گر است؟\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli style=\"margin-bottom: 6px; : \">اگر بله، آن رأس را از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$S$\u003C\u002Fspan> حذف کنید و به مرحلهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> برگردید.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli style=\"margin-bottom: 6px; : \">اگر خیر، آن رأس را نگه دارید و به سراغ رأس بعدی بروید.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli style=\"margin-bottom: 6px; : \">وقتی هیچ رأس دیگری قابل حذف نباشد، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$S$\u003C\u002Fspan> یک مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Fol>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin: 12px 0 12px 0; : \">برای آشنایی بیشتر، یک مثال عملی در نظر بگیرید: گراف مسیر با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5$\u003C\u002Fspan> رأس (نام‌گذاری شده با اعداد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5$\u003C\u002Fspan> به صورت خطی). مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{2,4\\}$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan> با رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> مجاور است، رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3$\u003C\u002Fspan> با هر دو \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$4$\u003C\u002Fspan> مجاور است، رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5$\u003C\u002Fspan> با رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$4$\u003C\u002Fspan> مجاور است. پس تک تک رأس‌ها پوشانده شده‌اند. آیا این مجموعه مینیمال است؟ اگر رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> را حذف کنیم، رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan> بدون پوشش می‌ماند (چون با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$4$\u003C\u002Fspan> مجاور نیست). اگر رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$4$\u003C\u002Fspan> را حذف کنیم، رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5$\u003C\u002Fspan> بدون پوشش می‌ماند. بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{2,4\\}$\u003C\u002Fspan> یک مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">کاربرد عملی: مسئلهٔ قرارگیری ایستگاه‌های پلیس\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">فرض کنید می‌خواهید در یک محله که نقشهٔ آن به صورت گراف است، ایستگاه‌های پلیس را به گونه‌ای قرار دهید که هر خیابان (رأس) یا خودش ایستگاه داشته باشد یا در مجاورت (یک بلوک فاصله) با یک ایستگاه باشد. همچنین می‌خواهید هزینه را با کمترین تعداد ایستگاه بهینه کنید، اما به دلایل بودجه‌ای نمی‌توانید هیچ ایستگاه اضافی نگه دارید؛ یعنی اگر یک ایستگاه را بردارید، حتماً یک جای بدون پوشش باقی می‌ماند. این دقیقاً همان مفهوم مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال است. برخلاف \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">عدد احاطه‌گری\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> (که کوچکترین مجموعهٔ احاطه‌گر است)، مجموعهٔ مینیمال الزاماً کوچکترین نیست، اما هیچ عضو اضافی ندارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">مثالی دیگر: در شبکه‌های حسگر بی‌سیم، هر حسگر باید محدودهٔ مشخصی را پوشش دهد. مجموعهٔ حسگرهایی که فعال می‌مانند باید احاطه‌گر باشند و برای صرفه‌جویی در مصرف انرژی، هیچ حسگر اضافی (غیرضروری) نباید روشن بماند. این نیز نمونهای از کاربرد مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">ویژگی‌های مهم مجموعه احاطه‌گر مینیمال\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">چند ویژگی اساسی این مجموعه‌ها را می‌توان به صورت زیر دسته‌بندی کرد:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 20px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli style=\"margin-bottom: 6px; : \">\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">یکتایی نیست:\u003C\u002Fstrong> یک گراف می‌تواند چندین مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال مختلف با اندازه‌های متفاوت داشته باشد.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli style=\"margin-bottom: 6px; : \">\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">شرط رأس تنها:\u003C\u002Fstrong> در یک مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال، هر رأس عضو یا یک رأس تنها\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> در بستهٔ همسایگی خودش است (یعنی رأس دیگری از مجموعه آن را نمی‌پوشاند) یا رئوس دیگری از مجموعه وجود دارند که آن را می‌پوشانند اما آن رأس برای پوشش رئوس دیگر ضروری است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli style=\"margin-bottom: 6px; : \">\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">ارتباط با مجموعهٔ مستقل:\u003C\u002Fstrong> هر مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال مستقل\u003Csup>6\u003C\u002Fsup> (هیچ دو رأس مجاور هم نباشند) یک مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال است، اما عکس آن همیشه برقرار نیست.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"faq-box\" style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 6px 0; font-weight: 700; color: #24292f; : \">آیا هر مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال، کوچکترین مجموعهٔ احاطه‌گر ممکن است؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">خیر. کوچکترین مجموعهٔ احاطه‌گر، «عدد احاطه‌گری» نام دارد و اندازهٔ آن با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\gamma(G)$\u003C\u002Fspan> نشان داده می‌شود. یک مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال می‌تواند بزرگتر از این مقدار باشد. به عبارت دیگر، «مینیمال» به معنای «مینیمم (کمترین)» نیست؛ بلکه به معنای «نمی‌توان عضو حذف کرد» است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 6px 0; font-weight: 700; color: #24292f; : \">چگونه می‌توانیم در گراف‌های بزرگ، مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال پیدا کنیم؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">برای گراف‌های بزرگ، الگوریتم حریصانه (Greedy) کارآمد است: از یک مجموعهٔ احاطه‌گر بزرگ شروع کنید (مثلاً همهٔ رأس‌ها) و تا زمانی که امکان حذف یک رأس بدون از دست رفتن خاصیت احاطه‌گری وجود دارد، آن را حذف کنید. این روش تضمین می‌کند خروجی نهایی مینیمال باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 6px 0; font-weight: 700; color: #24292f; : \">تفاوت مجموعه احاطه‌گر مینیمال با مجموعه احاطه‌گر کمینه چیست؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 0 0; : \">در متون علمی فارسی، «مینیمال» (minimal) و «کمینه» (minimum) دو مفهوم متفاوتند. مجموعهٔ «مینیمال» کوچک‌ترین از نظر ترتیب جزئی (نمی‌توان عضو کم کرد) و مجموعهٔ «کمینه» کوچک‌ترین از نظر اندازه (کمترین تعداد عضو) است. مقالهٔ ما روی نوع اول (مینیمال) تمرکز دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"padding: 12px 14px; margin-bottom: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 6px 0; font-weight: 700; color: #24292f; : \">۱) آیا مجموعهٔ خالی می‌تواند یک مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال باشد؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 0 0; : \">خیر، مگر در گرافی با صفر رأس. در گراف با حداقل یک رأس، مجموعهٔ خالی احاطه‌گر نیست زیرا آن رأس بدون پوشش می‌ماند. شرط اول (احاطه‌گری) برقرار نیست، بنابراین نمی‌تواند مینیمال باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"padding: 12px 14px; margin-bottom: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 6px 0; font-weight: 700; color: #24292f; : \">۲) در یک گراف کامل با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> رأس، مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال چه شکلی است؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 0 0; : \">در گراف کامل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$K_n$\u003C\u002Fspan>، هر رأس با همهٔ رئوس دیگر مجاور است. بنابراین هر مجموعهٔ تک عضوی احاطه‌گر است و به وضوح مینیمال هم هست (چون با حذف آن عضو، مجموعه خالی می‌شود و احاطه‌گری از بین می‌رود). مجموعه‌های با بیشتر از یک عضو نیز احاطه‌گر هستند اما مینیمال نیستند، زیرا می‌توان یکی از اعضا را حذف کرد و همچنان مجموعه احاطه‌گر باقی بماند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"padding: 12px 14px; margin-bottom: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 6px 0; font-weight: 700; color: #24292f; : \">۳) آیا ممکن است در یک مسیر با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$4$\u003C\u002Fspan> رأس، دو مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال متفاوت با اندازهٔ یکسان وجود داشته باشد؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 0 0; : \">بله. مسیر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P_4$\u003C\u002Fspan> با رئوس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1-2-3-4$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{2,4\\}$\u003C\u002Fspan> و مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{1,3\\}$\u003C\u002Fspan> هر دو احاطه‌گر مینیمال با اندازهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> هستند. هر کدام را که بررسی کنید، حذف هر عضو باعث می‌شود یک رأس بدون پوشش بماند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"summary-box\" style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال در نظریهٔ گراف، ابزاری قدرتمند برای مدل‌سازی مسائل بهینه‌سازی و پوشش با کمترین افزونگی است. این مجموعه‌ها، برخلاف عدد احاطه‌گری (کمینه از نظر اندازه)، لزوماً کوچک‌ترین مجموعه نیستند اما خاصیت «نمی‌توان عضو حذف کرد» را دارند. با روش حذف تدریجی از یک مجموعهٔ احاطه‌گر بزرگ، می‌توان به یک مجموعهٔ مینیمال رسید. درک این مفهوم برای مسائل شبکه، قرارگیری تسهیلات، و طراحی الگوریتم‌های پوشش در علوم رایانه بسیار سودمند است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 6px 0; : \">\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> مجموعهٔ احاطه‌گر (Dominating Set): مجموعه‌ای از رأس‌ها در گراف که هر رأس دیگر یا خود در مجموعه است یا با یک عضو مجموعه مجاورت دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 6px 0; : \">\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال (Minimal Dominating Set): مجموعهٔ احاطه‌گری که با حذف هر یک از اعضایش، خاصیت احاطه‌گری از بین برود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 6px 0; : \">\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> بستهٔ همسایگی (Closed Neighborhood): مجموعه شامل خود رأس و همهٔ رئوس مجاور به آن، که با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$N[v]$\u003C\u002Fspan> نشان داده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 6px 0; : \">\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> عدد احاطه‌گری (Domination Number): کوچکترین اندازهٔ ممکن برای یک مجموعهٔ احاطه‌گر در گراف، که با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\gamma(G)$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 6px 0; : \">\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> رأس تنها (Private Neighbor): در یک مجموعهٔ احاطه‌گر، رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$v$\u003C\u002Fspan> برای رأس عضو \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$u$\u003C\u002Fspan> یک رأس تنها است اگر در همسایگی بستهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$u$\u003C\u002Fspan> باشد ولی در همسایگی بستهٔ هیچ عضو دیگری از مجموعه نباشد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 0 0; : \">\u003Csup>6\u003C\u002Fsup> مجموعهٔ مستقل (Independent Set): مجموعه‌ای از رأس‌ها که هیچ دو رأس مجاوری با هم ندارند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم","مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال گراف",0,286,"2026-05-07 14:22:16","2026-09-11 13:31:18","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F17","13:31 1405\u002F06\u002F20",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13018,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_200.png","2026-09-13 10:24:30","اثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13020,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_200.png","2026-09-13 10:19:40","اثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":312},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":312},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف"]