[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13112":193,"$fxovP5Xu2VG4k69fFLx0IyWbI8T9l5krB3aS67X-JoY8":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13112,1170,1171,4927,"مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمم گراف γ: مجموعهٔ احاطه‌گری با کم‌ترین تعداد عضو",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWBOw0vvxQ1x42OF2q69P_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمم گراف\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمم گراف (γ)\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">شناخت کوچک‌ترین گروه از رئوس که تمام رئوس دیگر گراف را پوشش می‌دهند — مفاهیم پایه، مثال‌ها و کاربردها\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله با مفهوم \u003Cstrong>مجموعهٔ احاطه‌گر\u003C\u002Fstrong> در نظریهٔ گراف\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> آشنا می‌شوید. یاد می‌گیرید که چگونه \u003Cstrong>مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمم\u003C\u002Fstrong> را پیدا کنید و عدد احاطه‌گر که با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\gamma(G) $\u003C\u002Fspan> نشان داده می‌شود، چیست. مثال‌های گوناگون از گراف‌های ساده تا شبکه‌ها، کاربرد در مسئلهٔ نظارت بر دوربین‌ها و چالش‌های محاسباتی این مفهوم را بررسی خواهیم کرد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تعریف اصلی و آشنایی با احاطه‌گری در گراف\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید یک \u003Cstrong>گراف\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fstrong> داریم که شامل مجموعه‌ای از نقطه‌ها (رأس‌ها) و یال‌هایی است که برخی از این نقطه‌ها را به هم وصل می‌کند. یک رأس می‌تواند همسایه‌های خود را «احاطه» کند. به زبان ساده، اگر در یک گراف، تعدادی از رأس‌ها را انتخاب کنیم به طوری که هر رأس دیگر گراف یا خودِ عضو منتخب باشد یا با یکی از اعضای منتخب \u003Cstrong>همسایه\u003C\u002Fstrong> باشد، به آن مجموعه، \u003Cstrong>مجموعهٔ احاطه‌گر\u003C\u002Fstrong> می‌گوییم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>هدف ما پیداکردن \u003Cstrong>مجموعهٔ احاطه‌گر با کم‌ترین تعداد عضو\u003C\u002Fstrong> است. به این مجموعه، \u003Cstrong>مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمم\u003C\u002Fstrong> می‌گوییم و تعداد اعضای آن را \u003Cstrong>عدد احاطه‌گر\u003C\u002Fstrong> می‌نامیم و با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\gamma(G) $\u003C\u002Fspan> نمایش می‌دهیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>مثال ساده:\u003C\u002Fstrong> گرافی با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 3 $\u003C\u002Fspan> رأس را در نظر بگیرید که به صورت یک مسیر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ v_1 - v_2 - v_3 $\u003C\u002Fspan> قرار گرفته‌اند. مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\{v_2\\} $\u003C\u002Fspan> همهٔ رأس‌ها را احاطه می‌کند زیرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ v_2 $\u003C\u002Fspan> خودش عضو است و همسایه‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ v_1 $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ v_3 $\u003C\u002Fspan> را پوشش می‌دهد. بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\gamma = 1 $\u003C\u002Fspan>. اما اگر گراف سه رأس بدون یال (گراف تهی) باشد، هیچ رأس دیگری نمی‌تواند همسایه‌ها را پوشش دهد و تنها راه این است که هر سه رأس را انتخاب کنیم؛ در این صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\gamma = 3 $\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چگونه مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمم را پیدا کنیم؟\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>یافتن مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمم برای گراف‌های بزرگ کار دشواری است. اما برای گراف‌های کوچک می‌توانیم با دقت و بررسی همهٔ حالت‌ها (روش آزمون و خطا) آن را پیدا کنیم. در زیر، مراحل گام‌به‌گام برای یک گراف مشخص را نشان می‌دهیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>روش گام‌به‌گام:\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n۱- گراف خود را رسم کنید و همهٔ رأس‌ها را نام‌گذاری کنید.\u003Cbr>\r\n۲- از کوچک‌ترین اندازهٔ ممکن (مثلاً یک رأس) شروع کنید. بررسی کنید آیا آن رأس به تنهایی همهٔ رأس‌ها را احاطه می‌کند؟ (یعنی هر رأس دیگر با آن همسایه باشد یا خودش باشد.)\u003Cbr>\r\n۳- اگر پاسخ خیر است، اندازه را یکی افزایش دهید و همهٔ ترکیب‌های ممکن با آن اندازه را امتحان کنید تا مجموعه‌ای بیابید که شرط احاطه‌گری را برآورده کند.\u003Cbr>\r\n۴- اولین اندازه‌ای که برای آن چنین مجموعه‌ای یافت شود، عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\gamma(G) $\u003C\u002Fspan> خواهد بود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>به عنوان مثال، گراف \u003Cstrong>چهارضلعی\u003C\u002Fstrong> (چرخه با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 4 $\u003C\u002Fspan> رأس) را در نظر بگیرید. اگر دو رأس غیرهمسایه را انتخاب کنیم، هر دو رأس باقی‌مانده با این دو رأس همسایه هستند. بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\gamma(C_4) = 2 $\u003C\u002Fspan>. با یک رأس نمی‌توان همه را پوشش داد، چون هر رأس فقط دو همسایه دارد و یک رأس دیگر را دور می‌گذارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مقایسهٔ عدد احاطه‌گر برای گراف‌های شناخته شده\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول مقایسه عدد احاطه‌گر در گراف‌های مختلف\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع گراف\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نماد\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">عدد احاطه‌گر (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\gamma $\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">توضیح\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">گراف کامل با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ n $\u003C\u002Fspan> رأس\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ K_n $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 1 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">یک رأس همه را می‌پوشاند\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مسیر با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ n $\u003C\u002Fspan> رأس\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ P_n $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\lceil \\frac{n}{3} \\rceil $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">انتخاب رأس‌های دوم، پنجم، ...\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">چرخه با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ n $\u003C\u002Fspan> رأس\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ C_n $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\lceil \\frac{n}{3} \\rceil $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مشابه مسیر با احاطهٔ مدور\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">گراف تهی (بدون یال) با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ n $\u003C\u002Fspan> رأس\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\overline{K_n} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ n $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">هر رأس فقط خودش را می‌پوشاند\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی: نصب دوربین‌های مداربسته در یک موزه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید پلان یک موزه به صورت گرافی طراحی شده که هر اتاق یک رأس است و اگر بین دو اتاق یک راهرو (گذر مستقیم) وجود داشته باشد، بین رأس‌ها یال قرار دارد. ما می‌خواهیم کم‌ترین تعداد دوربین را در اتاق‌ها نصب کنیم به طوری که هر اتاق یا خودش دوربین داشته باشد یا حداقل با یک اتاق دارای دوربین مجاور باشد (یعنی از آن اتاق قابل دید باشد). این دقیقاً همان مسئلهٔ یافتن \u003Cstrong>مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمم\u003C\u002Fstrong> است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای یک موزه با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 7 $\u003C\u002Fspan> اتاق که به شکل یک مسیر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ v_1 - v_2 - \\dots - v_7 $\u003C\u002Fspan> چیده شده‌اند، عدد احاطه‌گر برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\lceil 7\u002F3 \\rceil = 3 $\u003C\u002Fspan> است. با انتخاب اتاق‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ v_2, v_5 $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ v_7 $\u003C\u002Fspan> همهٔ اتاق‌ها پوشش داده می‌شوند. این راهکار به مدیر موزه کمک می‌کند تا هزینهٔ تجهیزات را بهینه کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی در درک مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۱) آیا هر مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمم، لزوماً یک مجموعهٔ مستقل\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> نیز هست؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: خیر. مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمم می‌تواند شامل دو رأس مجاور (همسایه) باشد. برای نمونه، در یک مسیر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ P_4 $\u003C\u002Fspan> با رأس‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ a-b-c-d $\u003C\u002Fspan>، مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\{b,c\\} $\u003C\u002Fspan> احاطه‌گر است و دو عضو مجاور دارد. اما تعداد اعضای آن مینیمم است (چون با یک رأس نمی‌توان همه را پوشاند).\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۲) آیا همیشه عدد احاطه‌گر از نصف تعداد رأس‌ها کمتر است؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: خیر. در گراف تهی (بدون یال)، هر رأس فقط خودش را می‌پوشاند، بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\gamma = n $\u003C\u002Fspan> که از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ n\u002F2 $\u003C\u002Fspan> بزرگتر است (برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ n \\ge 1 $\u003C\u002Fspan>). اما در بسیاری از گراف‌های همبند، این کران برقرار است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۳) آیا می‌توان همیشه مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمم را سریع (در زمان چندجمله‌ای) پیدا کرد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: برای گراف‌های عمومی، مسئلهٔ پیدا کردن مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمم یک مسئلهٔ \u003Cstrong>ان‌پی-سخت\u003Csup>4\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fstrong> است. یعنی الگوریتم معروفی که همیشه در زمان معقول جواب دقیق بدهد، وجود ندارد (مگر اینکه در نظریهٔ پیچیدگی تحولی رخ دهد). اما برای گراف‌های خاص (درخت‌ها، مسیرها، چرخه‌ها) الگوریتم‌های کارا داریم.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">در این مقاله با مفهوم کلیدی \u003Cstrong>مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمم\u003C\u002Fstrong> و عدد احاطه‌گر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\gamma(G) $\u003C\u002Fspan> آشنا شدیم. دیدیم که یک مجموعهٔ احاطه‌گر چگونه تمام رأس‌های گراف را پوشش می‌دهد و هدف، یافتن کوچک‌ترین چنین مجموعه‌ای است. با مثال‌های عملی مانند نصب دوربین و جدول مقایسهٔ گراف‌های معروف، درک بهتری از این شاخه از نظریهٔ گراف پیدا کردیم. همچنین چالش‌هایی مانند دشواری محاسبه برای گراف‌های بزرگ و تفاوت آن با مفاهیم مشابه را مرور کردیم. این دانش پایه‌ای برای پژوهش‌های پیشرفته‌تر در بهینه‌سازی شبکه و نظریهٔ رمز به شمار می‌رود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> نظریهٔ گراف (Graph Theory): شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعهٔ رابطه‌های دودویی بین اشیاء با استفاده از ساختارهای نقطه و خط می‌پردازد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> گراف (Graph): یک ساختار شامل مجموعهٔ رأس‌ها (نقاط) و مجموعهٔ یال‌ها (خطوط) که اتصال بین رأس‌ها را نشان می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> مجموعهٔ مستقل (Independent Set): مجموعه‌ای از رأس‌ها که هیچ دو رأس آن با یک یال به هم متصل نباشند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> ان‌پی-سخت (NP-Hard): دسته‌ای از مسائل که حل آن‌ها حداقل به اندازهٔ حل مسائل ان‌پی (غیرقطعی چندجمله‌ای) دشوار است و الگوریتم سریعی برای آن‌ها شناخته نشده است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم","مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمم گراف γ",0,88,"2026-05-07 14:01:28","2026-09-11 13:41:00","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F17","13:41 1405\u002F06\u002F20",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13018,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_200.png","2026-09-13 10:24:30","اثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13020,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_200.png","2026-09-13 10:19:40","اثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":312},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":312},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف"]