[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13110":193,"$fP6n45H_cpsRW5KygGJ-gnpYdfyU2bx36f76xfrdRO-Q":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13110,1170,1171,4927,"مجموعهٔ احاطه‌گر گراف: زیرمجموعه‌ای از رأس‌ها که هر رأس گراف یا در آن باشد یا با عضوی از آن مجاور باشد.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FdZasY4Ot4tYPBLzTsiLD_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"مجموعهٔ احاطه‌گر گراف\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">مجموعهٔ احاطه‌گر گراف: معرفی، روش‌ها و کاربردها\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">مفاهیم پایه، الگوریتم یافتن، مثال‌های علمی و چالش‌های موجود در نظریهٔ مجموعه‌های احاطه‌گر در گراف‌ها\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\nدر این مقاله با مفهوم «مجموعهٔ احاطه‌گر» در گراف‌ها آشنا می‌شوید. مجموعهٔ احاطه‌گر، زیرمجموعه‌ای از رأس‌هاست که هر رأس گراف یا خودش در این مجموعه باشد یا با حداقل یک رأس از آن مجموعه مجاورت داشته باشد. کاربرد این مفهوم در مسائل بهینه‌سازی، شبکه‌های حسگر، پایش سیستم‌ها و شناسایی مؤلفه‌های کلیدی در ساختارهای شبکه‌ای دیده می‌شود. در این مقاله مثال‌های متنوع، جدول مقایسه، چالش‌های مفهومی و روش‌های عددی ارائه شده است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">تعریف دقیق و اجزای تشکیل‌دهنده\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">گراف\u003C\u002Fstrong> از دو مجموعه ساخته می‌شود: مجموعهٔ رأس‌ها (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$V$\u003C\u002Fspan>) و مجموعهٔ یال‌ها (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$E$\u003C\u002Fspan>). فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$G=(V,E)$\u003C\u002Fspan> یک گراف ساده و بدون جهت باشد. یک زیرمجموعه مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$D \\subseteq V$\u003C\u002Fspan> را مجموعهٔ احاطه‌گر\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> گوییم هرگاه هر رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$v \\in V$\u003C\u002Fspan> یا خودش عضو \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$D$\u003C\u002Fspan> باشد یا با حداقل یک رأس از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$D$\u003C\u002Fspan> مجاور باشد. به عبارت دیگر، همهٔ رأس‌های گراف توسط رأس‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$D$\u003C\u002Fspan> «پوشش» داده می‌شوند. کوچکترین اندازهٔ ممکن برای چنین مجموعه‌ای را \u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">عدد احاطه‌گر\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> می‌نامیم و با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\gamma(G)$\u003C\u002Fspan> نشان می‌دهیم.\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">مثال عملی\u003C\u002Fspan> فرض کنید شهری با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$7$\u003C\u002Fspan> محله (رأس) داریم که جاده‌ها (یال‌ها) ارتباط بین محله‌ها را نشان می‌دهند. می‌خواهیم ایستگاه‌های پلیس را در برخی محله‌ها مستقر کنیم به گونه‌ای که هر محله یا خودش ایستگاه داشته باشد یا در مجاورت یک محلهٔ دارای ایستگاه باشد. یافتن کمترین تعداد ایستگاه مورد نیاز، همان یافتن عدد احاطه‌گر است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">انواع مجموعه‌های احاطه‌گر و ویژگی‌های آن‌ها\u003C\u002Fh3>\r\nمجموعه‌های احاطه‌گر انواع گوناگونی دارند که در جدول زیر به مقایسهٔ چند نوع مهم پرداخته شده است:\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"انواع مجموعه‌های احاطه‌گر\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع مجموعه\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شرط تعریف\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">کاربرد معمول\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مجموعهٔ احاطه‌گر مینیمال\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">با حذف هر عضو، احاطه‌گری از بین می‌رود\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">بهینه‌سازی محلی\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مجموعهٔ احاطه‌گر مطلقاً مینیمال\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">هیچ زیرمجموعهٔ سره‌ای احاطه‌گر نیست\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">یافتن کوچکترین جواب\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مجموعهٔ احاطه‌گر هم‌بند\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">زیرگراف تحریک‌شده توسط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$D$\u003C\u002Fspan> هم‌بند است\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">شبکه‌های ارتباطی\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cp>برای گراف مسیر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P_n$\u003C\u002Fspan> با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> رأس، عدد احاطه‌گر برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\lceil \\frac{n}{3} \\rceil$\u003C\u002Fspan>. برای مثال در مسیر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P_4$\u003C\u002Fspan> با رأس‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$v_1-v_2-v_3-v_4$\u003C\u002Fspan>، مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{v_2, v_4\\}$\u003C\u002Fspan> یک مجموعهٔ احاطه‌گر با اندازهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> است و عدد احاطه‌گر برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\lceil 4\u002F3 \\rceil = 2$\u003C\u002Fspan> می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">روش گام‌به‌گام یافتن مجموعهٔ احاطه‌گر در یک گراف کوچک\u003C\u002Fh3>\r\nفرض کنید گرافی با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5$\u003C\u002Fspan> رأس به صورت حلقهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C_5$\u003C\u002Fspan> داریم که رأس‌های آن به ترتیب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a,b,c,d,e$\u003C\u002Fspan> به صورت دایره‌ای به هم متصل شده‌اند. مراحل یافتن یک مجموعهٔ احاطه‌گر کوچک:\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli>گام \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan>: درجهٔ هر رأس را می‌شماریم (در حلقه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$C_5$\u003C\u002Fspan> همه درجه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> دارند).\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>گام \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan>: یک رأس دلخواه مثل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a$\u003C\u002Fspan> را به مجموعه اضافه می‌کنیم. حالا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a$\u003C\u002Fspan> و همسایه‌هایش (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$b$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$e$\u003C\u002Fspan>) پوشش داده شدند.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>گام \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan>: از بین رأس‌های پوشش‌نشده (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$c$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$d$\u003C\u002Fspan>) رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$c$\u003C\u002Fspan> را انتخاب می‌کنیم (چون با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$d$\u003C\u002Fspan> مجاور است). با افزودن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$c$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$c$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$d$\u003C\u002Fspan> پوشش داده می‌شوند.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>گام \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan>: مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\{a,c\\}$\u003C\u002Fspan> همهٔ رأس‌ها را می‌پوشاند. بنابراین یک مجموعهٔ احاطه‌گر با اندازهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> یافتیم.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\u003Cdiv class=\"formula\" style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\gamma(C_5)=2$\u003C\u002Fspan> در حالی که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$|V|=5$\u003C\u002Fspan> است. این نشان می‌دهد با کمتر از نصف رأس‌ها هم می‌توان کل گراف را احاطه کرد.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">کاربرد عملی: شبکهٔ حسگرهای بی‌سیم\u003C\u002Fh3>\r\nدر یک مزرعهٔ هوشمند، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> گره حسگر داریم که هر حسگر بتواند با حسگرهای مجاور خود ارتباط برقرار کند (گراف ارتباطی). می‌خواهیم کمترین تعداد ایستگاه‌های دریافت داده را نصب کنیم به طوری که هر حسگر یا خودش ایستگاه باشد یا با یک ایستگاه هم‌مجاور باشد. این دقیقاً همان مسئلهٔ یافتن مجموعهٔ احاطه‌گر است. با استفاده از الگوریتم حریصانه (هر بار انتخاب رأس با بیشترین تعداد همسایهٔ پوشش‌نشده) می‌توان جواب تقریبی و نزدیک به بهینه یافت. برای گراف‌های خاص مانند درخت‌ها، الگوریتم‌های دقیق با مرتبهٔ زمانی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$O(n)$\u003C\u002Fspan> وجود دارد.\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong>پرسش \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan>:\u003C\u002Fstrong> آیا مجموعهٔ احاطه‌گر یک گراف می‌تواند تهی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$D=\\varnothing$\u003C\u002Fspan>) باشد؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر، مگر آن‌که گراف هیچ رأس‌ای نداشته باشد (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$|V|=0$\u003C\u002Fspan>). اگر حداقل یک رأس وجود داشته باشد، آن رأس برای احاطه شدن باید خودش در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$D$\u003C\u002Fspan> باشد یا با عضوی از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$D$\u003C\u002Fspan> مجاور باشد. مجموعهٔ تهی این شرط را برآورده نمی‌کند پس هر گراف غیرتهی عدد احاطه‌گر مثبتی دارد.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong>پرسش \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan>:\u003C\u002Fstrong> آیا عدد احاطه‌گر همیشه از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\frac{|V|}{2}$\u003C\u002Fspan> کوچک‌تر یا مساوی است؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> نه، برای مثال در گراف ستارهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$K_{1,n-1}$\u003C\u002Fspan> با یک رأس مرکزی و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n-1$\u003C\u002Fspan> برگ، عدد احاطه‌گر برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan> است (فقط رأس مرکزی) که کمتر از نصف است. اما در گراف کامل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$K_n$\u003C\u002Fspan> هر رأس با بقیه مجاور است پس یک رأس کافی است. در گراف‌هایی مانند مسیر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$P_n$\u003C\u002Fspan>، عدد احاطه‌گر تقریباً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n\u002F3$\u003C\u002Fspan> است که کمتر از نصف است. در حقیقت برای هر گراف بدون رأس تنها، نابرابری \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\gamma(G) \\le \\frac{|V|}{2}$\u003C\u002Fspan> همیشه برقرار نیست؟ بله برای گراف‌هایی با یال کم ممکن است به نصف نزدیک شود ولی مثال نقض برای بیشتر از نصف وجود دارد؟ در گراف دو‌بخشی کامل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$K_{m,n}$\u003C\u002Fspan> با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$m\\le n$\u003C\u002Fspan>، عدد احاطه‌گر برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$m$\u003C\u002Fspan> است که اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$m > \\frac{m+n}{2}$\u003C\u002Fspan> نادر است چون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$m \\le n$\u003C\u002Fspan> پس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$m \\le \\frac{m+n}{2}$\u003C\u002Fspan>. در کل برای گراف‌های ساده حد بالای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n\u002F2$\u003C\u002Fspan> همیشه برقرار نیست؟ یک مثال: گراف حاصل از اجتماع دو مؤلفهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$K_2$\u003C\u002Fspan> (دو یال مجزا) با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$4$\u003C\u002Fspan> رأس، هر مؤلفه نیاز به یک رأس دارد پس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\gamma=2 = n\u002F2$\u003C\u002Fspan>. اگر هر مؤلفه یک رأس تنها (بدون یال) داشته باشیم، آن رأس حتماً باید در مجموعه باشد پس برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$k$\u003C\u002Fspan> رأس تنها، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\gamma = k = n$\u003C\u002Fspan> که بزرگتر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n\u002F2$\u003C\u002Fspan> است. اما گراف بدون یال مجاز نیست؟ در تعریف گراف ساده، رأس تنها مجاز است. بنابراین عدد احاطه‌گر می‌تواند تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> هم برسد (مجموعهٔ همهٔ رأس‌ها). در نتیجه نابرابری مطلق \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\gamma(G) \\le n\u002F2$\u003C\u002Fspan> نادرست است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong>پرسش \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan>:\u003C\u002Fstrong> آیا محاسبهٔ عدد احاطه‌گر برای هر گرافی سریع و آسان است؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر، مسئلهٔ یافتن عدد احاطه‌گر برای گراف‌های عمومی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mathcal{NP}$\u003C\u002Fspan>-سخت است. یعنی الگوریتمی با زمان چندجمله‌ای برای همهٔ گراف‌ها شناخته نشده است. با این حال برای کلاس‌های خاص مانند درخت‌ها، گراف‌های مسیر، دور و گراف‌های دوبخشی خاص، راهکارهای سریع وجود دارد.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\nمجموعهٔ احاطه‌گر یکی از مفاهیم پایه‌ای در نظریهٔ گراف است که با انتخاب حداقل رأس‌های تأثیرگذار، امکان پوشش کل رأس‌های گراف را فراهم می‌کند. این مفهوم در مسائل بهینه‌سازی در شبکه‌های ارتباطی، سنسورها، شناسایی گره‌های کلیدی و نظریهٔ کدگذاری کاربرد گسترده دارد. در این مقاله با انواع مجموعه‌های احاطه‌گر، روش گام‌به‌گام یافتن آن‌ها، مثال‌های عددی و چالش‌های محاسباتی آشنا شدید. درک این مفهوم پایه‌ای برای ورود به مباحث پیشرفته‌تر مانند احاطه‌گری در گراف‌های وزندار، مجموعه‌های احاطه‌گر هم‌بند و کاربردهای الگوریتمی ضروری است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv>\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> مجموعهٔ احاطه‌گر (Dominating Set): زیرمجموعه‌ای از رأس‌های گراف که هر رأس دیگر یا خود در آن مجموعه است یا با حداقل یک عضو از آن مجاور باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> عدد احاطه‌گر (Domination Number): کوچکترین اندازهٔ ممکن برای یک مجموعهٔ احاطه‌گر در گراف داده شده که با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\gamma(G)$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم","مجموعهٔ احاطه‌گر گراف",0,275,"2026-05-07 13:47:37","2026-09-11 19:21:19","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F17","19:21 1405\u002F06\u002F20",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13018,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_200.png","2026-09-13 10:24:30","اثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13020,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_200.png","2026-09-13 10:19:40","اثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":312},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":312},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف"]