[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13108":193,"$fU7fuobcKf5v4T0ddfzikVGc8ZrhnWqaUYL61DW8LSro":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13108,1170,1171,4927,"قانون رأس‌های فرد در گراف: تعداد رأس‌های فرد در هر گراف زوج است.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVKlJmXK0N6ia8ZBl5IhA_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"قانون رأس‌های فرد در گراف: تعداد رأس‌های فرد در هر گراف زوج است\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">قانون رأس‌های فرد در گراف: تعداد رأس‌های فرد در هر گراف زوج است\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">قانون دست‌مصافحه و اثبات اینکه تعداد رأس‌های با درجه فرد در هر گراف بدون جهت، همیشه عددی زوج است\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\n\u003Cstrong>خلاصه:\u003C\u002Fstrong> در نظریهٔ گراف، قانون رأس‌های فرد (یا قضیهٔ دست‌مصافحه) بیان می‌کند که مجموع درجهٔ همهٔ رأس‌های هر گراف بدون جهت، برابر با دو برابر تعداد یال‌ها است. نتیجهٔ مستقیم این قانون آن است که تعداد رأس‌هایی که درجهٔ فرد دارند، همواره عددی زوج خواهد بود. این مقاله با زبانی ساده و مثال‌های ملموس از قبیل شبکهٔ دوستان و نمودارهای ساده، مفهوم درجهٔ رأس، رأس فرد و زوج را توضیح می‌دهد و اثبات گام‌به‌گام این ویژگی مهم گرافی را ارائه می‌کند.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">گراف چیست و چرا به درجهٔ رأس نیاز داریم؟\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>گراف\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> در ریاضیات، ساختاری است برای نمایش ارتباط میان اشیاء. یک گراف از دو چیز ساخته می‌شود: \u003Cstrong>رأس‌ها\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fstrong> (نقاط یا گره‌ها) و \u003Cstrong>یال‌ها\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fstrong> (خط‌های اتصال). برای نمونه، فرض کنید در یک مهمانی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">5\u003C\u002Fspan> نفر حضور دارند. هر نفر یک رأس است. اگر دو نفر با هم دست بدهند، بین رأس‌های آن‌ها یک یال رسم می‌کنیم. گراف به‌دست‌آمده، شبکهٔ دست‌دادن‌ها را نشان می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>یکی از پایه‌ای‌ترین مفاهیم در گراف، \u003Cstrong>درجهٔ رأس\u003Csup>4\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fstrong> است. درجهٔ یک رأس، تعداد یال‌هایی است که به آن متصل هستند. در مثال مهمانی، درجهٔ هر نفر برابر است با تعداد افرادی که با او دست داده‌اند. به رأس با درجهٔ فرد، \u003Cstrong>رأس فرد\u003C\u002Fstrong> و به رأس با درجهٔ زوج، \u003Cstrong>رأس زوج\u003C\u002Fstrong> می‌گوییم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>حال سؤال این است: آیا می‌توان تعداد افرادی که با تعداد فردی از دیگران دست داده‌اند، فرد باشد؟ قانون رأس‌های فرد پاسخ روشنی می‌دهد: خیر، این تعداد \u003Cstrong>همیشه زوج است\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cstrong>مثال عملی:\u003C\u002Fstrong> فرض کنید در یک کلاس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">6\u003C\u002Fspan> دانش‌آموز داریم. اگر ببینیم دقیقاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan> دانش‌آموز با تعداد فردی از بقیه دوست هستند، این وضعیت \u003Cstrong>غیرممکن\u003C\u002Fstrong> است. تعداد دانش‌آموزانی که تعداد دوستان فرد دارند، حتماً باید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">0\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">6\u003C\u002Fspan> باشد.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">قانون دست‌مصافحه: قلب قضیه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>قانونی که پایهٔ اثبات ماست، \u003Cstrong>قانون دست‌مصافحه\u003Csup>5\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fstrong> نام دارد. این قانون می‌گوید: مجموع درجهٔ همهٔ رأس‌های یک گراف بدون جهت، همیشه برابر با دو برابر تعداد یال‌ها است. دلیل آن ساده است: هر یال دقیقاً به دو رأس متصل می‌شود و در محاسبهٔ مجموع درجه‌ها، هر یال یک واحد به درجهٔ هرکدام از دو سر خود اضافه می‌کند. بنابراین هر یال دو بار در مجموع کل شمرده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\nاگر مجموعهٔ رأس‌ها را با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$V$\u003C\u002Fspan> و مجموعهٔ یال‌ها را با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$E$\u003C\u002Fspan> و درجهٔ رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$v$\u003C\u002Fspan> را با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\deg(v)$\u003C\u002Fspan> نشان دهیم، قانون دست‌مصافحه به صورت زیر نوشته می‌شود:\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\sum_{v \\in V} \\deg(v) = 2|E|$\u003C\u002Fspan>.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>از آنجایی که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$2|E|$\u003C\u002Fspan> همواره عددی زوج است، پس مجموع درجهٔ همهٔ رأس‌ها همیشه زوج خواهد بود. همین نکتهٔ ساده، کلید اصلی اثبات ما است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">اثبات گام‌به‌گام تعداد زوج رأس‌های فرد\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>حال نشان می‌دهیم که چرا تعداد رأس‌های فرد ناگزیر زوج است. این اثبات تنها با استفاده از جمع و تقسیم‌بندی درجه‌ها انجام می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گام اول:\u003C\u002Fstrong> مجموع درجهٔ همهٔ رأس‌ها را به دو بخش تقسیم می‌کنیم: مجموع درجهٔ رأس‌های زوج به‌علاوهٔ مجموع درجهٔ رأس‌های فرد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\sum_{v \\in V} \\deg(v) = \\sum_{\\text{رأس‌های زوج}} \\deg(v) + \\sum_{\\text{رأس‌های فرد}} \\deg(v)$\u003C\u002Fspan>.\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گام دوم:\u003C\u002Fstrong> می‌دانیم مجموع کل (طرف چپ) یک عدد زوج است. همچنین مجموع درجهٔ رأس‌های زوج، حاصلجمع چند عدد زوج است که باز هم زوج خواهد بود. بنابراین:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\underbrace{\\sum_{\\text{رأس‌های زوج}} \\deg(v)}_{\\text{زوج}} + \\underbrace{\\sum_{\\text{رأس‌های فرد}} \\deg(v)}_{\\text{?}} = \\text{زوج}$\u003C\u002Fspan>.\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گام سوم:\u003C\u002Fstrong> از آنجا که «زوج + مقدار = زوج»، نتیجه می‌گیریم که مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\sum_{\\text{رأس‌های فرد}} \\deg(v)$\u003C\u002Fspan> نیز باید یک عدد زوج باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گام چهارم:\u003C\u002Fstrong> مجموع درجهٔ رأس‌های فرد، حاصلجمع چند عدد فرد است. چه زمانی حاصلجمع چند عدد فرد، زوج می‌شود؟ تنها زمانی که تعداد این اعداد فرد، \u003Cstrong>زوج\u003C\u002Fstrong> باشد (چون مجموع هر دو عدد فرد یک عدد زوج می‌سازد). بنابراین تعداد رأس‌های فرد باید زوج باشد. اثبات کامل شد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"faq\" style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>نکته کلیدی:\u003C\u002Fstrong> هیچ الزامی وجود ندارد که تعداد رأس‌های زوج حتماً زوج یا فرد باشد. تنها قانون مربوط به تعداد رأس‌های فرد است که همواره زوج است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">جدول مقایسهٔ رأس فرد در گراف‌های مختلف\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"مقایسهٔ تعداد رأس‌های فرد در انواع گراف\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع گراف\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعداد رأس‌ها\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعداد یال‌ها\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">لیست درجهٔ رأس‌ها\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعداد رأس‌های فرد\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">گراف خطی با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan> رأس\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1, 2, 2, 1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #dcfce7; color: #166534; : \">2 (زوج)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مثلث (گراف کامل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">K3\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2, 2, 2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">0 (زوج)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">ستارهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">5\u003C\u002Fspan> پرتو\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">5\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1, 1, 1, 1, 4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #dcfce7; color: #166534; : \">4 (زوج)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مربع (چهارضلعی)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2, 2, 2, 2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">0 (زوج)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">کاربرد واقعی: شبکهٔ ارتباطات و مسیریابی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>قانون رأس‌های فرد در طراحی شبکه‌های کامپیوتری، مدارهای الکتریکی و حتی برنامه‌ریزی مسیر پستچی (مسئلهٔ مسیر اویلری) کاربرد دارد. برای نمونه، اگر در یک شبکه بخواهیم مسیری پیدا کنیم که از هر پل یا خیابان دقیقاً یک بار عبور کند (مسیر اویلر)، طبق قضیهٔ اویلر، گراف باید حداکثر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">0\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan> رأس فرد داشته باشد. دانستن اینکه تعداد رأس‌های فرد زوج است، به مهندسان کمک می‌کند تا بدون آزمون و خطا بفهمند که چنین مسیری وجود دارد یا خیر.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>مثال دیگر: در یک کنفرانس با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">10\u003C\u002Fspan> شرکت‌کننده، اگر بخواهیم تعداد افرادی که با تعداد فردی از دیگران تبادل نظر کرده‌اند را بشماریم، می‌توانیم مطمئن باشیم این تعداد زوج است. اگر خلاف آن را مشاهده کردیم، یعنی اشتباهی در شمارش رخ داده است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"padding: 12px 14px; margin-bottom: 12px; background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۱. آیا ممکن است گرافی داشته باشیم که دقیقاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan> رأس فرد داشته باشد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>خیر. طبق قانون اثبات شده، تعداد رأس‌های فرد حتماً زوج است. پس هیچ گرافی نمی‌تواند دقیقاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">5\u003C\u002Fspan> رأس فرد داشته باشد. چنین گرافی در دنیای ریاضیات وجود خارجی ندارد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"padding: 12px 14px; margin-bottom: 12px; background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۲. آیا گراف بدون یال (گراف تهی) از این قانون پیروی می‌کند؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>بله. در گراف تهی با هر تعداد رأس، درجهٔ همهٔ رأس‌ها صفر است که عددی زوج محسوب می‌شود. بنابراین تعداد رأس‌های فرد برابر صفر است که عددی زوج می‌باشد. قانون در این حالت مرزی نیز برقرار است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"padding: 12px 14px; margin-bottom: 12px; background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۳. اگر در یک گراف جهت‌دار به جای گراف بدون جهت نگاه کنیم، آیا این قانون همچنان برقرار است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>خیر. قانون رأس‌های فرد و قضیهٔ دست‌مصافحه برای گراف‌های جهت‌دار به شکل دیگری بیان می‌شود. در گراف جهت‌دار، مجموع درجهٔ ورودی همهٔ رأس‌ها برابر مجموع درجهٔ خروجی و برابر تعداد یال‌ها است، اما تعداد رأس‌های با مجموع درجه (ورودی+خروجی) فرد می‌تواند فرد یا زوج باشد. قانون زوج بودن رأس‌های فرد مختص گراف‌های بدون جهت است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\nدر این مقاله با زبان ساده نشان دادیم که در هر گراف بدون جهت، مجموع درجهٔ همهٔ رأس‌ها برابر دو برابر تعداد یال‌ها است. از این حقیقت نتیجه گرفتیم که مجموع درجهٔ رأس‌های فرد باید زوج باشد و این امر تنها زمانی ممکن است که تعداد رأس‌های فرد زوج باشد. این ویژگی که «تعداد رأس‌های فرد در هر گراف زوج است» یک ابزار تشخیص سریع برای بررسی صحت گراف‌ها و همچنین مبنایی برای قضایای پیشرفته‌تر مانند وجود مسیر یا دور اویلر به شمار می‌رود. درک این قانون ساده اما بنیادین، دروازه‌ای به دنیای نظریهٔ گراف و کاربردهای آن در علوم رایانه، شبکه و تحقیق در عملیات است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> گراف (Graph): ساختاری متشکل از مجموعهٔ رأس‌ها و مجموعهٔ یال‌ها که رابطهٔ دودویی میان رأس‌ها را نمایش می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> رأس (Vertex): یک نقطه یا گره در گراف که نمایانگر یک شیء یا موجودیت است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> یال (Edge): ارتباط یا پیوند میان دو رأس در گراف که ممکن است جهت‌دار یا بدون جهت باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> درجهٔ رأس (Degree of a Vertex): تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف بدون جهت.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> قانون دست‌مصافحه (Handshaking Lemma): قضیه‌ای که می‌گوید مجموع درجهٔ همهٔ رأس‌های هر گراف بدون جهت برابر با دو برابر تعداد یال‌ها است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم","قانون رأس‌های فرد در گراف",0,291,"2026-05-07 13:33:27","2026-09-11 19:33:24","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F17","19:33 1405\u002F06\u002F20",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13018,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_200.png","2026-09-13 10:24:30","اثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13020,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_200.png","2026-09-13 10:19:40","اثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":312},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":312},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف"]