[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13089":193,"$fvQlHThiqP0H3JXNnRW910DKifv5wVPa9JjvGydDB6NQ":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13089,1170,1171,4927,"رأس‌های مجاور (همسایه) در گراف: دو رأسی که با یال به هم وصل‌اند.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2yEqFU6cB4VyM35BexTN_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"رأس‌های مجاور در گراف\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">رأس‌های مجاور در گراف: شناخت همسایه‌ها در ساختارهای شبکه‌ای\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">بررسی دقیق مفهوم دو رأس متصل توسط یک یال، همراه با مثال‌های علمی، جدول مقایسه و فرمول‌های پایه\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\nدر نظریهٔ گراف، دو رأس را مجاور (همسایه) گویند هرگاه با یک یال به طور مستقیم به هم متصل شده باشند. این مفهوم پایه‌ای برای درک مسائل مسیریابی، شبکه‌های اجتماعی، مدارهای الکتریکی و الگوریتم‌های گرافی است. در این مقاله با زبانی ساده و روان به تعریف دقیق، ویژگی‌ها، مثال‌های علمی، کاربردها و چالش‌های مفهومی رأس‌های مجاور می‌پردازیم.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">تعریف پایه و نمادگذاری رأس‌های مجاور\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>در یک گراف بدون جهت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">G = (V, E)\u003C\u002Fspan> که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">V\u003C\u002Fspan> مجموعهٔ رأس‌ها (گره‌ها) و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">E\u003C\u002Fspan> مجموعهٔ یال‌ها (پیوندها) است، دو رأس مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">u\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">v\u003C\u002Fspan> را مجاور گویند اگر یالی مستقیم بین آن‌ها موجود باشد. این رابطه را با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">u \\sim v\u003C\u002Fspan> نشان می‌دهند. به عبارت دیگر، رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">u\u003C\u002Fspan> همسایهٔ رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">v\u003C\u002Fspan> است اگر فاصلهٔ بین آن دو در گراف دقیقاً یک یال باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">فرمول شمارش همسایگان\u003C\u002Fspan> هم‌چنین مجموعهٔ همهٔ همسایه‌های یک رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">v\u003C\u002Fspan> را با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">N(v)\u003C\u002Fspan> نمایش می‌دهیم. تعداد این همسایه‌ها، درجهٔ رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">v\u003C\u002Fspan> نامیده می‌شود و با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\\deg(v)\u003C\u002Fspan> نشان داده می‌شود. در گراف ساده (بدون یال چندگانه و بدون حلقه)، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\\deg(v) = |N(v)|\u003C\u002Fspan>.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cp>برای درک بهتر، یک گراف با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">5\u003C\u002Fspan> رأس به نام‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">A, B, C, D, E\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید که یال‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">A-B\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">B-C\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">C-D\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">D-E\u003C\u002Fspan> را دارد. در این گراف، رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">B\u003C\u002Fspan> با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">A\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">C\u003C\u002Fspan> مجاور است، اما با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">D\u003C\u002Fspan> مجاور نیست زیرا بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">B\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">D\u003C\u002Fspan> یال مستقیمی وجود ندارد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">انواع گراف و تأثیر بر مفهوم مجاورت\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>مفهوم رأس‌های مجاور در انواع مختلف گراف به شکل‌های متفاوتی ظاهر می‌شود. در جدول زیر مهم‌ترین انواع گراف و ویژگی مجاورت در آن‌ها مقایسه شده است:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"مقایسه انواع گراف از نظر مجاورت\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\u003Ctr>\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع گراف\u003C\u002Fth>\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شرط مجاورت\u003C\u002Fth>\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال\u003C\u002Fth>\u003C\u002Ftr>\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">گراف بدون جهت\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">دو رأس با یک یال به هم وصل شده‌اند (رابطه متقارن)\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">u-v\u003C\u002Fspan> یال داشته باشد، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">u\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">v\u003C\u002Fspan> مجاورند\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">گراف جهت‌دار\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">وجود یال از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">u\u003C\u002Fspan> به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">v\u003C\u002Fspan>؛ مجاورت معمولاً نامتقارن است\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">در یال \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">u \\to v\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">v\u003C\u002Fspan> مجاور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">u\u003C\u002Fspan> است ولی لزوماً برعکس نه\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">گراف کامل\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">هر دو رأس متمایزی با هم مجاورند\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">K_4\u003C\u002Fspan> هر یک از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan> رأس با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan> رأس دیگر مجاور است\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">گراف دو بخشی\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مجاورت فقط بین رأس‌های دو بخش متفاوت رخ می‌دهد\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">در گراف دو بخشی کامل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">K_{2,3}\u003C\u002Fspan> هر رأس بخش اول با همهٔ رأس‌های بخش دوم مجاور است\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">کاربرد عملی: شبکهٔ اجتماعی و مسیریابی شهری\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>فرض کنید می‌خواهید شبکهٔ دوستی در یک کلاس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">30\u003C\u002Fspan> نفره را مدل کنید. هر دانش‌آموز یک رأس است و اگر دو نفر با هم دوست باشند، یک یال بین آن‌ها رسم می‌شود. در این گراف، رأس‌های مجاور همان دوست‌های مستقیم هر فرد هستند. اگر بخواهید پیامی را از دانش‌آموز \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">A\u003C\u002Fspan> به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">D\u003C\u002Fspan> برسانید و فقط اجازه دارید پیام را به دوستان مستقیم بدهید، اولین قدم پیدا کردن همسایه‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">A\u003C\u002Fspan> است. مفهوم مجاورت در اینجا پایهٔ الگوریتم‌های پخش اطلاع‌رسانی در شبکه‌های اجتماعی است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>در مسیریابی شهری، تقاطع‌ها رأس و خیابان‌ها یال هستند. دو تقاطع مجاور یعنی مستقیماً با یک خیابان به هم متصل‌اند. سامانهٔ مسیریاب مانند نشانگرهای گوگل برای یافتن کوتاه‌ترین مسیر، ابتدا همسایه‌های نقطهٔ شروع را بررسی می‌کند. بنابراین درک رأس‌های مجاور برای نوشتن الگوریتم جستجوی اول سطح\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> بسیار ضروری است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong>پرسش \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan>: آیا یک رأس با خودش مجاور محسوب می‌شود؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: در گراف ساده (بدون حلقه)، خیر. حلقه\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> یالی است که یک رأس را به خودش متصل می‌کند. در گراف‌هایی که حلقه مجاز است، برخی تعاریف رأس را با خودش مجاور می‌دانند اما در اکثر متون مقدماتی، مجاورت فقط برای دو رأس متمایز تعریف می‌شود.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong>پرسش \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan>: اگر بین دو رأس بیش از یک یال وجود داشته باشد (یال چندگانه\u003Csup>5\u003C\u002Fsup>)، آن دو رأس مجاورند؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: بله، در گراف چندگانه (شبه‌گراف) نیز وجود حداقل یک یال مستقیم برای مجاورت کافی است. تعداد یال‌ها بر اصل مجاورت تأثیر نمی‌گذارد ولی بر مفهوم «تعدد یال» اثر دارد.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong>پرسش \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan>: آیا رأس‌های مجاور همیشه در یک مؤلفهٔ همبندی\u003Csup>6\u003C\u002Fsup> قرار دارند؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: کاملاً صحیح است. اگر دو رأس مجاور باشند، حتماً در یک مؤلفهٔ همبندی قرار می‌گیرند زیرا یال مستقیم بین آن‌ها یک مسیر به طول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan> ایجاد می‌کند. اما عکس این گزاره درست نیست: دو رأس در یک مؤلفه می‌توانند غیرمجاور باشند (مثلاً با فاصلهٔ بیشتر از یک یال).\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">بازنمایی ریاضی و ماتریس مجاورت\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>برای ذخیره‌سازی اطلاعات مجاورت در کامپیوتر، از ماتریس مجاورت\u003Csup>7\u003C\u002Fsup> استفاده می‌شود. برای گراف با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> رأس، ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">A\u003C\u002Fspan> به ابعاد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n \\times n\u003C\u002Fspan> تعریف می‌شود به طوری که:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$A_{ij} = 1$\u003C\u002Fspan> اگر رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">i\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">j\u003C\u002Fspan> مجاور باشند و در غیر این صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$A_{ij} = 0$\u003C\u002Fspan> (برای گراف بدون جهت، ماتریس متقارن است: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$A_{ij} = A_{ji}$\u003C\u002Fspan>).\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cp>برای مثال، گراف مسیری با سه رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1-2-3\u003C\u002Fspan> دارای ماتریس مجاورت زیر است (سطر و ستون اول مربوط به رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan>، دومی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan> و سومی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan>):\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$A = \\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\end{bmatrix}$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cp>توان ماتریس مجاورت، اطلاعات جالبی دربارهٔ تعداد مسیرهای با طول مشخص بین رأس‌ها می‌دهد. برای نمونه، درجهٔ هر رأس از مجموع سطر متناظر در ماتریس مجاورت به دست می‌آید: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\deg(v_i) = \\sum_{j=1}^{n} A_{ij}$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n\u003Cstrong>جمع‌بندی\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nرأس‌های مجاور یا همسایه، پایه‌ترین مفهوم در نظریهٔ گراف برای نشان دادن ارتباط مستقیم بین دو گره هستند. این مفهوم در گراف‌های بدون جهت، جهت‌دار، کامل و دو بخشی با اندکی تغییر تعریف می‌شود. آشنایی با مجاورت برای درک درجهٔ رأس، ماتریس مجاورت، الگوریتم‌های جستجو (مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">BFS\u003C\u002Fspan>) و مسائل مسیریابی ضروری است. با تسلط بر این مفهوم، می‌توان مدل‌سازی بسیاری از پدیده‌های دنیای واقعی از شبکه‌های اجتماعی گرفته تا مدارهای الکتریکی را ساده‌تر انجام داد.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> گراف کامل (Complete Graph): گرافی که در آن هر دو رأس متمایزی دقیقاً با یک یال به هم متصل شده‌اند و با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">K_n\u003C\u002Fspan> نشان داده می‌شود.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> گراف دو بخشی (Bipartite Graph): گرافی که مجموعه رأس‌های آن را می‌توان به دو بخش مجزا افراز کرد به طوری که هر یال یک رأس از بخش اول را به رأس از بخش دوم متصل کند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> جستجوی اول سطح (Breadth-First Search - BFS): الگوریتمی برای پیمایش یا جستجو در گراف که از یک رأس شروع کرده و ابتدا همهٔ همسایه‌های آن را بررسی می‌کند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> حلقه (Loop): یالی که یک رأس را به خودش متصل می‌کند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> یال چندگانه (Multiple Edge): دو یا چند یال که بین یک جفت رأس قرار می‌گیرند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>6\u003C\u002Fsup> مؤلفهٔ همبندی (Connected Component): زیرگرافی که هر دو رأس در آن با یک مسیر به هم متصل‌اند و به بقیهٔ گراف متصل نیست.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>7\u003C\u002Fsup> ماتریس مجاورت (Adjacency Matrix): ماتریس مربعی دودویی که درایه‌های آن نشان‌دهندهٔ مجاورت بین رأس‌های یک گراف است.\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم","رأس‌های مجاور در گراف",0,119,"2026-05-07 11:18:55","2026-09-12 20:51:26","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F17","20:51 1405\u002F06\u002F21",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13018,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_200.png","2026-09-13 10:24:30","اثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13020,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_200.png","2026-09-13 10:19:40","اثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":312},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":312},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف"]