[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13074":193,"$fCUb6jxFMkKBGWarGT39KmSseS6vhM7vjMYWG9terGZ4":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13074,1170,1171,4927,"مجموعهٔ رأس‌های گراف: مجموعهٔ همهٔ رأس‌های گراف، با نماد V(G)",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJgRMj1G6a6UQJbLrgPoL_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"مجموعهٔ رأس‌های گراف: مفاهیم و کاربردها\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">مجموعهٔ رأس‌های گراف: بنیاد نظریهٔ گراف\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">آشنایی با مفهوم V(G)، نمادگذاری، ویژگی‌ها و کاربردهای مجموعهٔ رأس‌ها در گراف‌های ساده و جهت‌دار\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\nدر این مقاله با مفهوم \u003Cstrong>مجموعهٔ رأس‌های گراف\u003C\u002Fstrong> (Vertex Set) آشنا می‌شوید. نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$V(G)$\u003C\u002Fspan> را می‌آموزید، تفاوت گراف جهت‌دار و بدون جهت را درک می‌کنید، و کاربردهای عملی این مفهوم بنیادین را در مسائل روزمره و ریاضیات دبیرستان مشاهده می‌کنید. همچنین با استفاده از جداول و مثال‌های گام‌به‌گام، درک عمیقی از نحوهٔ شمارش و نمایش رأس‌ها به دست خواهید آورد.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">1. تعریف و نمادگذاری مجموعهٔ رأس‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در نظریهٔ گراف\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>، یک \u003Cstrong>گراف\u003C\u002Fstrong> از دو بخش اصلی تشکیل شده است: مجموعهٔ رأس‌ها\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> و مجموعهٔ یال‌ها\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>. مجموعهٔ رأس‌ها که با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$V(G)$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود، شامل همهٔ نقطه‌ها یا گره‌های آن گراف است. هر رأس معمولاً با یک عدد، حرف یا برچسب مشخص می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>به عنوان مثال، اگر گرافی با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3$\u003C\u002Fspan> رأس داشته باشیم که نام‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$a$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$b$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$c$\u003C\u002Fspan> را یدک می‌کشند، آنگاه مجموعهٔ رأس‌ها به صورت زیر نوشته می‌شود:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$V(G) = \\{a, b, c\\}$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>تعداد اعضای این مجموعه را \u003Cstrong>مرتبهٔ گراف\u003C\u002Fstrong> (Order) می‌نامند و با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$|V(G)|$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> نشان می‌دهند. در مثال بالا، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$|V(G)| = 3$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">2. انواع گراف از دیدگاه مجموعهٔ رأس‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>مجموعهٔ رأس‌ها می‌تواند در گراف‌های مختلف ویژگی‌های متفاوتی داشته باشد. در ادامه به چند نوع مهم اشاره می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"مقایسه انواع گراف بر اساس مجموعه رأس‌ها\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع گراف\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی مجموعهٔ رأس‌ها\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال نمادگذاری\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">گراف کامل\u003Csup>4\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">هر رأس به همهٔ رأس‌های دیگر متصل است\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$K_n$\u003C\u002Fspan> با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$|V|=n$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">گراف تهی\u003Csup>5\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">هیچ یالی بین رأس‌ها وجود ندارد\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\overline{K_n}$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$E_n$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">گراف دو بخشی\u003Csup>6\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مجموعهٔ رأس‌ها به دو زیرمجموعهٔ مجزا افراز می‌شود\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">V(G)=X \\cup Y\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">X \\cap Y=\\varnothing\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>در یک گراف جهت‌دار\u003Csup>7\u003C\u002Fsup> نیز مجموعهٔ رأس‌ها همچنان به همان صورت باقی می‌ماند، اما یال‌ها جهت‌دار هستند. برای نمونه، در گرافی با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$V(G)=\\{1,2,3\\}$\u003C\u002Fspan> می‌توان یالی از رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan> به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> داشت بدون آنکه یال برگشتی وجود داشته باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">3. مثال عملی: شبکهٔ دوستان در یک کلاس\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید در یک کلاس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">5\u003C\u002Fspan> نفره، هر دانش‌آموز یک رأس از گراف باشد. اگر بخواهیم رابطهٔ "دوستی" را به صورت یال نشان دهیم، مجموعهٔ رأس‌ها را به این ترتیب می‌نویسیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$V(G) = \\{ \\text{احمد}, \\text{بهاره}, \\text{پویا}, \\text{سارا}, \\text{رضا} \\}$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>حال اگر احمد با بهاره و پویا دوست باشد، و بهاره با سارا، و پویا با رضا، آنگاه این گراف دارای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$|V(G)|=5$\u003C\u002Fspan> رأس و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$4$\u003C\u002Fspan> یال است. دقت کنید که حتی اگر هیچ یالی بین دو رأس نباشد، آن دو رأس همچنان عضو مجموعهٔ رأس‌ها هستند. مجموعهٔ رأس‌ها مستقل از یال‌ها تعریف می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">4. عملیات روی مجموعهٔ رأس‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>بر روی مجموعهٔ رأس‌های یک گراف می‌توان عملیات نظریهٔ مجموعه‌ها مانند اجتماع، اشتراک و تفاضل را انجام داد. این عملیات در ساخت گراف‌های جدید کاربرد دارند:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>اجتماع گراف‌ها\u003C\u002Fstrong>: اگر دو گراف \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$G_1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$G_2$\u003C\u002Fspan> داشته باشیم، مجموعهٔ رأس‌های گراف حاصل از اجتماع، برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$V(G_1) \\cup V(G_2)$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>اشتراک گراف‌ها\u003C\u002Fstrong>: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$V(G_1 \\cap G_2) = V(G_1) \\cap V(G_2)$\u003C\u002Fspan> و یال‌ها فقط بین رأس‌های مشترک حفظ می‌شوند.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>حذف یک رأس\u003C\u002Fstrong>: با حذف رأس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$v$\u003C\u002Fspan> از گراف، مجموعهٔ رأس‌های جدید برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$V(G) \\setminus \\{v\\}$\u003C\u002Fspan> می‌شود و همهٔ یال‌های متصل به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$v$\u003C\u002Fspan> نیز حذف می‌گردند.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">5. کاربردهای واقعی مجموعهٔ رأس‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>مفهوم مجموعهٔ رأس‌ها فقط به ریاضیات محدود نمی‌شود. در بسیاری از زمینه‌های علمی و روزمره، از این ایده استفاده می‌شود:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>شبکه‌های اجتماعی\u003C\u002Fstrong>: هر کاربر یک رأس است و مجموعهٔ همهٔ کاربران، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$V(G)$\u003C\u002Fspan> را می‌سازد.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>شبکه‌های کامپیوتری\u003C\u002Fstrong>: رأس‌ها همان گره‌ها ( رایانه‌ها یا مسیریاب‌ها) هستند.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>نقشهٔ مترو\u003C\u002Fstrong>: ایستگاه‌ها به عنوان رأس و خطوط ارتباطی بین آن‌ها به عنوان یال در نظر گرفته می‌شوند.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>مسیریابی در بازی‌های رایانه‌ای\u003C\u002Fstrong>: مکان‌های مختلف در یک نقشه به صورت رأس ذخیره می‌شوند.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>برای نمونه، در یک اپلیکیشن نقشه، هر مکان دیدنی با یک رأس مشخص می‌شود و مجموعهٔ رأس‌ها شامل همهٔ مکان‌هایی است که کاربر می‌تواند به آن‌ها سفر کند. مسیرهای بین آن‌ها نیز یال‌ها را تشکیل می‌دهند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">6. چالش‌های مفهومی (پرسش و پاسخ)\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پرسش 1:\u003C\u002Fstrong> آیا ممکن است دو گراف متفاوت، مجموعهٔ رأس‌های یکسانی داشته باشند؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله، بسیار هم محتمل است. دو گراف می‌توانند رأس‌های یکسان ولی یال‌های متفاوت داشته باشند. برای مثال، گراف تهی و گراف کامل روی یک مجموعهٔ رأس مشخص، هر دو \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$V(G)$\u003C\u002Fspan> یکسان دارند اما کاملاً متفاوت هستند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پرسش 2:\u003C\u002Fstrong> آیا مجموعهٔ رأس‌ها می‌تواند تهی باشد؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله، به چنین گرافی \u003Cstrong>گراف تهی-تهی\u003C\u002Fstrong> می‌گویند که هیچ رأس و هیچ یالی ندارد. در این حالت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$V(G)=\\varnothing$\u003C\u002Fspan> و مرتبهٔ گراف برابر صفر است. هرچند این یک حالت مرزی و صرفاً نظری است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پرسش 3:\u003C\u002Fstrong> چگونه می‌توانیم بدون دانستن یال‌ها، فقط از روی مجموعهٔ رأس‌ها، تعداد یال‌های یک گراف کامل را محاسبه کنیم؟\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> در یک گراف کامل با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> رأس، هر رأس به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n-1$\u003C\u002Fspan> رأس دیگر متصل است. از آنجا که هر یال دو بار شمارش می‌شود، تعداد کل یال‌ها برابر است با:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\displaystyle \\frac{n(n-1)}{2}$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003Cp>بنابراین صرفاً با دانستن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$|V(G)|=n$\u003C\u002Fspan> می‌توان تعداد یال‌های گراف کامل روی آن مجموعه را به دست آورد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">7. راهنمای گام‌به‌گام برای تعیین مجموعهٔ رأس‌ها از روی یک تصویر گراف\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید یک شکل گراف به شما داده شده است. برای نوشتن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$V(G)$\u003C\u002Fspan> گام‌های زیر را دنبال کنید:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Col style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli>همهٔ نقطه‌ها یا گره‌های موجود در شکل را پیدا کنید. به هر نقطه یک برچسب (عدد، حرف یا نام) بدهید اگر از قبل نداشته باشد.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>آنها را در یک مجموعه - معمولاً با کروشه یا آکولاد - بنویسید. ترتیب اعضا مهم نیست.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>تعداد اعضا را بشمارید. این عدد همان مرتبهٔ گراف \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>اگر گراف دارای زیرمجموعه‌هایی از رأس‌هاست (مانند گراف دو بخشی)، آن‌ها را جداگانه مشخص کنید.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Fol>\r\n\r\n\u003Cp>مثال: در گرافی با رأس‌های مثلثی شکل که رأس‌های آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$y$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$z$\u003C\u002Fspan> نامگذاری شده‌اند، مجموعهٔ رأس‌ها به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$V(G)=\\{x,y,z\\}$\u003C\u002Fspan> نوشته می‌شود و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$|V(G)|=3$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> مجموعهٔ رأس‌های گراف یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$V(G)$\u003C\u002Fspan>، یکی از دو رکن اصلی هر گراف است. این مجموعه شامل تمام نقطه‌ها یا گره‌های گراف بوده و مرتبهٔ گراف از روی تعداد اعضای آن محاسبه می‌شود. درک صحیح این مفهوم برای مطالعهٔ مباحث پیشرفتهٔ نظریهٔ گراف مانند مسیرها، دورها، گراف‌های همبند و الگوریتم‌های جستجو ضروری است. با تمرین روی مثال‌های متنوع، می‌توانید به راحتی مجموعهٔ رأس‌های هر گرافی را تشخیص داده و ویژگی‌های آن را تحلیل کنید.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> نظریهٔ گراف (Graph Theory): شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعهٔ گراف‌ها، به عنوان مدلی برای روابط بین اشیاء، می‌پردازد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> رأس (Vertex): یک نقطه یا گره در گراف که می‌تواند با یال به رأس‌های دیگر متصل شود. جمع آن در فارسی «رأس‌ها» و در انگلیسی «Vertices» است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> یال (Edge): ارتباط بین دو رأس در گراف که می‌تواند جهت‌دار یا بدون جهت باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> گراف کامل (Complete Graph): گرافی که در آن هر دو رأس متمایز دقیقاً با یک یال به هم متصل شده‌اند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> گراف تهی (Empty Graph یا Null Graph): گرافی که مجموعهٔ یال‌های آن خالی است، اگرچه ممکن است رأس داشته باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>6\u003C\u002Fsup> گراف دو بخشی (Bipartite Graph): گرافی که مجموعهٔ رأس‌های آن را می‌توان به دو زیرمجموعهٔ مجزا افراز کرد به طوری که هر یال یک رأس از یک بخش و رأس دیگر را از بخش دیگر وصل کند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>7\u003C\u002Fsup> گراف جهت‌دار (Directed Graph یا Digraph): گرافی که یال‌های آن دارای جهت هستند و با پیکان نشان داده می‌شوند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم","مجموعهٔ رأس‌های گراف",0,162,"2026-05-07 01:39:26","2026-09-11 15:11:01","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F17","15:11 1405\u002F06\u002F20",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13018,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_200.png","2026-09-13 10:24:30","اثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13020,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_200.png","2026-09-13 10:19:40","اثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":312},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":312},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف"]