[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13040":193,"$f3E_2iZaxJC1dn8Q7xykOHfMtj2X9pSibj7Ie9m5VQ4s":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13040,1170,1171,4927,"افراز مجموعه: تقسیم یک مجموعه به زیرمجموعه‌های جدا و کامل",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzzYce2oLdt3DdeWEY48g_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"افراز مجموعه: تقسیم یک مجموعه به زیرمجموعه‌های جدا و کامل\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">افراز مجموعه: تقسیم بندی دقیق برای درک نظم در ریاضیات\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">آشنایی با مفهوم افراز، ویژگی‌های آن و تفاوت با پوشش مجموعه به همراه مثال‌های ملموس\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله با مفهوم «افراز مجموعه» (Partition of a Set) آشنا می‌شوید. افراز روشی برای تقسیم یک مجموعه به زیرمجموعه‌های ناتهی، مجزا از هم و پوشش‌دهنده همه اعضای مجموعه اصلی است. می‌آموزید که افراز چه تفاوتی با پوشش دارد، چگونه افرازها را نمایش می‌دهیم و چه کاربردهایی در طبقه‌بندی و شمارش دارد. مثال‌های گوناگون همراه با جدول مقایسه و پاسخ به پرسش‌های چالشی، درک این مفهوم پایه‌ای را برای شما ساده می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تعریف افراز و ویژگی‌های سه‌گانه آن\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید یک مجموعه مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> داریم. یک \u003Cstrong>افراز\u003C\u002Fstrong> برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> خانواده‌ای از زیرمجموعه‌های ناتهی از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> است که سه شرط زیر را به‌طور همزمان داشته باشد:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>شرط ۱ (ناتهی بودن)\u003C\u002Fstrong>: هر یک از زیرمجموعه‌ها نباید خالی باشد. یعنی هیچ عضوی از افراز، مجموعهٔ تهی نیست.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>شرط ۲ (مجزا بودن)\u003C\u002Fstrong>: هر دو زیرمجموعهٔ متمایز از افراز، هیچ عضو مشترکی ندارند. به زبان ریاضی: اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B_i$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B_j$\u003C\u002Fspan> دو زیرمجموعه متفاوت از افراز باشند، آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B_i \\cap B_j = \\varnothing$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>شرط ۳ (پوشش کامل)\u003C\u002Fstrong>: اجتماع همهٔ زیرمجموعه‌های افراز دقیقاً برابر با مجموعهٔ اصلی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> است. به عبارتی هیچ عضوی از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> بیرون از این زیرمجموعه‌ها باقی نمی‌ماند.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>مثال ساده\u003C\u002Fstrong>: مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A = \\{1, 2, 3\\}$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. خانوادهٔ زیر یک افراز برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> است: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\{\\{1\\}, \\{2, 3\\}\\}$\u003C\u002Fspan>. چرا؟ زیرا هر زیرمجموعه ناتهی است، اشتراک \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\{1\\}$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\{2, 3\\}$\u003C\u002Fspan> خالی است و اجتماع آنها برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\{1,2,3\\}$\u003C\u002Fspan> می‌باشد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تفاوت افراز با پوشش مجموعه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>بسیاری از دانش‌آموزان مفهوم «پوشش»\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> را با افراز اشتباه می‌گیرند. در یک پوشش، تنها شرط لازم این است که اجتماع زیرمجموعه‌ها برابر مجموعهٔ اصلی باشد. اما در افراز، دو شرط دیگر یعنی ناتهی بودن و مجزا بودن نیز باید برقرار شوند. برای روشن شدن تفاوت، جدول زیر را ببینید:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه افراز و پوشش مجموعه\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">افراز\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">پوشش\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">زیرمجموعه‌ها ناتهی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">الزامی\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #fee2e2; border-radius: 999px; color: #991b1b; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">اختیاری (می‌تواند تهی داشته باشد)\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مجزا بودن (اشتراک تهی)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">الزامی\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #fee2e2; border-radius: 999px; color: #991b1b; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">نیاز نیست (اشتراک مجاز است)\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">اجتماع برابر مجموعه اصلی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">الزامی\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">الزامی\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>به عنوان مثال، برای مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A = \\{a, b, c\\}$\u003C\u002Fspan>، خانوادهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\{\\{a, b\\}, \\{b, c\\}\\}$\u003C\u002Fspan> یک پوشش است (چون اجتماع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\{a, b, c\\}$\u003C\u002Fspan> می‌شود) اما افراز نیست، زیرا دو زیرمجموعه اشتراک غیرتهی (عضو \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b$\u003C\u002Fspan>) دارند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">نمایش افراز با رابطۀ هم‌ارزی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>یکی از جذاب‌ترین ارتباطات در ریاضیات، پیوند میان افراز مجموعه‌ها و روابط هم‌ارزی\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> است. هر رابطهٔ هم‌ارزی روی یک مجموعه، یک افراز برای آن مجموعه ایجاد می‌کند. به این افراز، مجموعهٔ کلاس‌های هم‌ارزی\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> گفته می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید روی مجموعهٔ افراد یک کلاس، رابطهٔ «هم‌شهری بودن» را تعریف کنیم. این رابطه یک رابطهٔ هم‌ارزی است (بازتابی، تقارنی و تعدی دارد). کلاس‌های هم‌ارزی شامل گروه‌هایی از دانش‌آموزان هستند که در یک شهر زندگی می‌کنند. این کلاس‌ها با هم اشتراک ندارند (هرکس فقط در یک شهر زندگی می‌کند) و همه افراد را پوشش می‌دهند. بنابراین این کلاس‌ها یک افراز برای مجموعهٔ دانش‌آموزان تشکیل می‌دهند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">نکته ریاضی\u003C\u002Fspan> اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$R$\u003C\u002Fspan> یک رابطهٔ هم‌ارزی روی مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> باشد، مجموعهٔ کلاس‌های هم‌ارزی، یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A\u002FR = \\{[x]_R \\mid x \\in A\\}$\u003C\u002Fspan> یک افراز برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> است. برعکس، هر افراز نیز یک رابطهٔ هم‌ارزی تولید می‌کند: دو عضو در یک رابطه هستند اگر در یک زیرمجموعهٔ افراز قرار گیرند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی: تقسیم بندی دانش‌آموزان در گروه‌های پروژه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید معلمی می‌خواهد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$20$\u003C\u002Fspan> دانش‌آموز کلاس را به گروه‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$4$\u003C\u002Fspan> نفری برای انجام پروژه تقسیم کند. شرط می‌گذارد که هر دانش‌آموز دقیقاً در یک گروه باشد و هیچ گروهی خالی نباشد. این تقسیم‌بندی در حقیقت یک افراز برای مجموعهٔ دانش‌آموزان است. تعداد راه‌های انجام چنین تقسیم‌بندی با استفاده از اعداد استرلینگ نوع دوم\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> محاسبه می‌شود. اگر فقط تعداد گروه‌ها مهم باشد (و نام گروه‌ها مشخص نباشد)، پاسخ برابر عدد استرلینگ نوع دوم برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n=20$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$k=5$\u003C\u002Fspan> است که با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$S(20,5)$\u003C\u002Fspan> نشان داده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>در پروژه‌های واقعی نرم‌افزاری، هنگام پارتیشن‌بندی پایگاه داده یا توزیع بار بین چند سرور، از مفهوم افراز استفاده می‌شود تا هر رکورد دقیقاً به یک سرور اختصاص یابد و هیچ رکوردی جا نماند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۱. آیا می‌توان یک افراز داشت که فقط یک زیرمجموعه داشته باشد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>بله. اگر مجموعهٔ اصلی خودش یک زیرمجموعهٔ ناتهی باشد، خانوادهٔ تک عضوی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\{A\\}$\u003C\u002Fspan> یک افراز برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> است. زیرا شرط ناتهی بودن برقرار است (چون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> خالی نیست)، شرط مجزا بودن که بین یک عضو معنی ندارد و شرط پوشش هم برقرار است. به این افراز، «افراز نابدیهی» می‌گویند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۲. آیا مجموعهٔ تهی می‌تواند عضوی از افراز باشد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>خیر. طبق تعریف، هر زیرمجموعه درون افراز باید ناتهی باشد. بنابراین مجموعهٔ تهی هرگز در یک افراز ظاهر نمی‌شود. اگر مجموعه تهی را به افراز اضافه کنیم، دیگر شرط اول نقض می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۳. چگونه می‌توان همه افرازهای یک مجموعه کوچک را یافت؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A = \\{1, 2\\}$\u003C\u002Fspan>، افرازها عبارتند از: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\{\\{1, 2\\}\\}$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\{\\{1\\}, \\{2\\}\\}$\u003C\u002Fspan>. برای مجموعهٔ سه عضوی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\{1,2,3\\}$\u003C\u002Fspan> تعداد افرازها برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$5$\u003C\u002Fspan> است. شکل درختواره یا عدد بل\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> به شما در یافتن سیستماتیک همه افرازها کمک می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">فرمول‌های کلیدی در شمارش افرازها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>اگر بخواهیم بدانیم یک مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n$\u003C\u002Fspan> عضوی چند افراز متفاوت دارد، از عدد بل استفاده می‌کنیم که با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B_n$\u003C\u002Fspan> نشان داده می‌شود. عدد بل از جمع اعداد استرلینگ نوع دوم به دست می‌آید:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$B_n = \\sum_{k=1}^{n} S(n,k)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$S(n,k)$\u003C\u002Fspan> عدد استرلینگ نوع دوم و نشان‌دهندهٔ تعداد افرازهای یک مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n$\u003C\u002Fspan> عضوی به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$k$\u003C\u002Fspan> زیرمجموعهٔ ناتهی و مجزا است. برای محاسبهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$S(n,k)$\u003C\u002Fspan> از رابطهٔ بازگشتی زیر استفاده می‌شود:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$S(n,k) = k \\cdot S(n-1,k) + S(n-1,k-1)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>با شرایط اولیه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$S(n,1)=1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$S(n,n)=1$\u003C\u002Fspan> برای هر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n \\ge 1$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nافراز مجموعه یکی از مفاهیم بنیادی در نظریه مجموعه‌ها است که کاربردهای گسترده‌ای در طبقه‌بندی، شمارش و روابط هم‌ارزی دارد. در این مقاله آموختیم که یک افراز باید سه ویژگی ناتهی، مجزا و پوشای زیرمجموعه‌ها را داشته باشد. تفاوت آن با پوشش مجموعه را مرور کردیم و دیدیم که چگونه هر رابطهٔ هم‌ارزی یک افراز طبیعی ایجاد می‌کند. همچنین با اعداد بل و استرلینگ نوع دوم برای شمارش افرازها آشنا شدیم. درک این مفهوم پایه برای مطالعه موضوعات پیشرفته‌تر مانند نظریه گراف، ترکیبیات و الگوریتم‌های پارتیشن‌بندی ضروری است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> پوشش (Cover): خانواده‌ای از زیرمجموعه‌ها که اجتماع آنها برابر مجموعه اصلی باشد؛ بدون نیاز به مجزا بودن یا ناتهی بودن اعضا.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> رابطه هم‌ارزی (Equivalence Relation): رابطه‌ای دوتایی که بازتابی، تقارنی و تعدی باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> کلاس هم‌ارزی (Equivalence Class): مجموعه همه اعضایی که با یک عضو مشخص در رابطهٔ هم‌ارزی قرار دارند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> اعداد استرلینگ نوع دوم (Stirling Numbers of the Second Kind): تعداد راه‌های تقسیم یک مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n$\u003C\u002Fspan> عضوی به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$k$\u003C\u002Fspan> زیرمجموعهٔ ناتهی و مجزا.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> عدد بل (Bell Number): تعداد کل افرازهای یک مجموعهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n$\u003C\u002Fspan> عضوی.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم","افراز مجموعه",0,208,"2026-05-06 19:59:44","2026-09-11 16:30:37","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F16","16:30 1405\u002F06\u002F20",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13018,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_200.png","2026-09-13 10:24:30","اثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13020,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_200.png","2026-09-13 10:19:40","اثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":312},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":312},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف"]