[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13036":193,"$fVRF0XUCAy9-9TNOdhYZ5RHGzvHS5vEMfjOx_jlJJt8s":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13036,1170,1171,4927,"شمارنده (مقسوم‌علیه): عددی که عدد دیگر را عاد می‌کند.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FkWsQLGNOAYUgH4RPoD0K_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"شمارنده (مقسوم‌علیه): عددی که عدد دیگر را عاد می‌کند\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">شمارنده (مقسوم‌علیه): عددی که عدد دیگر را عاد می‌کند\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">بررسی جامع مفهوم شمارنده، ویژگی‌ها، کاربردها و چالش‌های آن در ریاضیات دبیرستان\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\n\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">خلاصه:\u003C\u002Fstrong> شمارنده یا مقسوم‌علیه، عددی است که عدد دیگری را بدون برجای‌ماندن باقی‌مانده عاد می‌کند. این مقاله به بررسی مفهوم شمارنده، روش‌های یافتن آن، شمارنده‌های اول و مرکب، شمارنده مشترک و بزرگترین شمارنده مشترک (ب.م.م) می‌پردازد. همچنین کاربردهای عملی شمارنده‌ها در ساده‌سازی کسرها، تجزیه اعداد و حل مسائل روزمره تشریح می‌شود. مفاهیمی مانند عدد اول، عدد مرکب، شمارنده‌های یک عدد و رابطهٔ بخش‌پذیری با زبانی ساده و مثال‌های گوناگون توضیح داده شده‌اند.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">تعریف شمارنده و رابطهٔ بخش‌پذیری\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>در ریاضیات، اگر عدد صحیح \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">a\u003C\u002Fspan> بر عدد صحیح \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">b\u003C\u002Fspan> بخش‌پذیر باشد، یعنی حاصل‌تقسیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">a ÷ b\u003C\u002Fspan> عددی صحیح و بدون باقی‌مانده باشد، آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">b\u003C\u002Fspan> را یک \u003Cstrong>شمارنده\u003C\u002Fstrong> (یا مقسوم‌علیه) برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">a\u003C\u002Fspan> می‌نامیم. به عبارت دیگر، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">b\u003C\u002Fspan> عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">a\u003C\u002Fspan> را عاد می‌کند. این رابطه را به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$b \\mid a$\u003C\u002Fspan> نمایش می‌دهیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای مثال، عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan> یک شمارنده برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">12\u003C\u002Fspan> است، زیرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">12 ÷ 3 = 4\u003C\u002Fspan> و باقی‌مانده برابر صفر است. در مقابل، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">5\u003C\u002Fspan> شمارندهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">12\u003C\u002Fspan> نیست چون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">12 ÷ 5 = 2\u003C\u002Fspan> با باقی‌ماندهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan> همراه است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"font-weight: 700; : \">مثال روزمره:\u003C\u002Fspan> فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">24\u003C\u002Fspan> عددی شکلات دارید و می‌خواهید آن‌ها را به طور مساوی بین چند نفر تقسیم کنید. تعداد افرادی که می‌توانند شکلات‌ها را بدون باقی‌مانده تقسیم کنند، در واقع شمارنده‌های عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">24\u003C\u002Fspan> هستند: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\u003C\u002Fspan> نفر.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">شمارنده‌های اول، مرکب و ویژگی‌های اساسی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>هر عدد صحیح بزرگتر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan> حداقل دو شمارنده دارد: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan> و خود عدد. بر این اساس، اعداد به سه دسته تقسیم می‌شوند:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>اعداد اول\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>:\u003C\u002Fstrong> عددی بزرگتر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan> که فقط دو شمارنده دارد: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan> و خودش. مثال: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2, 3, 5, 7, 11\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>اعداد مرکب\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>:\u003C\u002Fstrong> عددی بزرگتر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan> که بیش از دو شمارنده دارد. مثال: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan> (شمارنده‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1, 2, 4\u003C\u002Fspan>)، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">6\u003C\u002Fspan> (شمارنده‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1, 2, 3, 6\u003C\u002Fspan>) .\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>عدد یک:\u003C\u002Fstrong> فقط یک شمارنده دارد (خودش) و نه اول است و نه مرکب.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>ویژگی مهم دیگر این است که اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">b\u003C\u002Fspan> شمارندهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">a\u003C\u002Fspan> باشد، آنگاه حاصل‌تقسیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">a ÷ b\u003C\u002Fspan> نیز خود یک شمارندهٔ دیگر برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">a\u003C\u002Fspan> است. به این ترتیب شمارنده‌ها به صورت جفت‌هایی ظاهر می‌شوند که حاصلضربشان برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">a\u003C\u002Fspan> است. برای مثال، برای عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">18\u003C\u002Fspan>، جفت‌های شمارنده عبارتند از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(1,18), (2,9), (3,6)\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"مقایسه اعداد اول و مرکب\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع عدد\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعداد شمارنده‌ها\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نمونه\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">لیست شمارنده‌ها\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">عدد اول\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">7\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1, 7\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">عدد مرکب\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">بیشتر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">12\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1, 2, 3, 4, 6, 12\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">روش یافتن همهٔ شمارنده‌های یک عدد\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>برای یافتن همهٔ شمارنده‌های یک عدد طبیعی مراحل زیر را طی می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Col style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli>عدد را به عوامل اول\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> تجزیه می‌کنیم.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>توان هر عامل اول را یک واحد افزایش داده و سپس همهٔ حاصل‌ضرب‌های ممکن را تشکیل می‌دهیم.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>تعداد کل شمارنده‌ها از ضرب توان‌های افزایش‌یافته به دست می‌آید.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Fol>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">N\u003C\u002Fspan> به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$N = p_1^{a_1} \\times p_2^{a_2} \\times ... \\times p_k^{a_k}$\u003C\u002Fspan> تجزیه شود. آنگاه تعداد شمارنده‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">N\u003C\u002Fspan> برابر است با:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"font-weight: 700; : \">فرمول تعداد شمارنده‌ها:\u003C\u002Fspan>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$d(N) = (a_1 + 1)(a_2 + 1)...(a_k + 1)$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال:\u003C\u002Fstrong> عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">60\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. تجزیه به عوامل اول: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$60 = 2^2 \\times 3^1 \\times 5^1$\u003C\u002Fspan>. تعداد شمارنده‌ها: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$(2+1)(1+1)(1+1) = 3 \\times 2 \\times 2 = 12$\u003C\u002Fspan>. لیست شمارنده‌ها: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">کاربرد عملی: شمارنده مشترک و بزرگترین شمارنده مشترک (ب.م.م)\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>یکی از مهم‌ترین کاربردهای مفهوم شمارنده، یافتن \u003Cstrong>بزرگترین شمارنده مشترک\u003C\u002Fstrong> (ب.م.م)\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> بین دو یا چند عدد است. ب.م.م بزرگترین عددی است که همهٔ آن اعداد را عاد می‌کند. برای محاسبهٔ ب.م.م دو راه اصلی وجود دارد:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cul style=\"padding-right: 18px; list-style-position: outside; : \">\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>روش تجزیه به عوامل اول:\u003C\u002Fstrong> اشتراک عوامل اول با کمترین توان را در هم ضرب می‌کنیم.\u003C\u002Fli>\r\n\u003Cli>\u003Cstrong>روش الگوریتم اقلیدس\u003Csup>5\u003C\u002Fsup>:\u003C\u002Fstrong> با تقسیم‌های متوالی باقی‌مانده صفر می‌شود.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"font-weight: 700; : \">مثال کاربردی:\u003C\u002Fspan> برای ساده کردن کسر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\frac{48}{60}$\u003C\u002Fspan>، ابتدا ب.م.م \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">48\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">60\u003C\u002Fspan> را می‌یابیم. تجزیه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">48 = 2^4 \\times 3\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">60 = 2^2 \\times 3 \\times 5\u003C\u002Fspan> پس ب.م.م \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$= 2^2 \\times 3 = 12$\u003C\u002Fspan>. حال صورت و مخرج کسر را بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">12\u003C\u002Fspan> تقسیم می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\frac{48 \\div 12}{60 \\div 12} = \\frac{4}{5}$\u003C\u002Fspan>.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۱. آیا عدد صفر شمارنده دارد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>در تعریف استاندارد، شمارنده معمولاً برای اعداد صحیح مثبت تعریف می‌شود. عدد صفر بر هر عدد غیرصفر بخش‌پذیر است (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$0 \\div b = 0$\u003C\u002Fspan>)، اما هیچ عددی بر صفر بخش‌پذیر نیست (تقسیم بر صفر تعریف نشده است). بنابراین در نظریه اعداد، معمولاً بحث شمارنده‌ها را برای اعداد مثبت مطرح می‌کنند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۲. چگونه می‌توان فهمید یک عدد اول است یا نه بدون امتحان همهٔ اعداد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>برای آزمون اول بودن یک عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan>، کافی است همهٔ اعداد اول کوچکتر یا مساوی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\sqrt{n}$\u003C\u002Fspan> را امتحان کنیم. اگر هیچ‌کدام \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> را عاد نکردند، آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> اول است. دلیل: اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> مرکب باشد، حداقل یک شمارندهٔ کوچکتر یا مساوی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\sqrt{n}$\u003C\u002Fspan> دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۳. آیا ممکن است دو عدد متفاوت، مجموعه شمارنده‌های یکسانی داشته باشند؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>خیر. مجموعهٔ شمارنده‌های یک عدد به طور یکتا آن عدد را مشخص می‌کند. اگر دو عدد طبیعی مجموعهٔ شمارنده‌های یکسانی داشته باشند، حتماً مساوی هستند. زیرا بزرگترین شمارنده در مجموعه، خود عدد است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\nشمارنده یا مقسوم‌علیه یکی از مفاهیم بنیادین نظریه اعداد است که درک صحیح آن برای یادگیری مباحث پیشرفته‌تر مانند کسرها، معادلات دیوفانتی و رمزنگاری ضروری است. با دانستن روش تجزیه اعداد به عوامل اول، می‌توان به راحتی همهٔ شمارنده‌های یک عدد و همچنین بزرگترین شمارنده مشترک چند عدد را یافت. این مفهوم کاربردهای گسترده‌ای در ساده‌سازی محاسبات روزمره، توزیع مساوی منابع و حل مسائل بهینه‌سازی دارد. تسلط بر ویژگی‌های شمارنده‌ها، پایه‌ریزی محکمی برای ادامه تحصیل در ریاضیات محسوب می‌شود.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> عدد اول (Prime Number): عدد طبیعی بزرگتر از ۱ که جز یک و خودش شمارنده دیگری نداشته باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> عدد مرکب (Composite Number): عدد طبیعی بزرگتر از ۱ که حداقل یک شمارنده غیر از یک و خودش داشته باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> عوامل اول (Prime Factors): اعداد اولی که با ضرب شدن در یکدیگر، عدد مورد نظر را ایجاد می‌کنند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> بزرگترین شمارنده مشترک (Greatest Common Divisor - GCD): بزرگترین عدد صحیحی که دو یا چند عدد را بدون باقی‌مانده عاد می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> الگوریتم اقلیدس (Euclidean Algorithm): روشی کارآمد برای یافتن ب.م.م دو عدد با تکرار عمل تقسیم و استفاده از باقی‌مانده‌ها.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم","شمارنده",0,85,"2026-05-06 19:31:31","2026-09-11 16:51:58","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F16","16:51 1405\u002F06\u002F20",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},13018,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_200.png","2026-09-13 10:24:30","اثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},13020,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_200.png","2026-09-13 10:19:40","اثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":312},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":312},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف"]