[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13020":193,"$ftC95N6m-x3w0W7Bb5HIjZkoOl2T0DTbnK0owWV34Ouc":214},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":205,"status":4,"views":206,"subdate":207,"up_date":208,"first_name":209,"last_name":210,"avatar":13,"cat_title":211,"subdate_jalali":212,"update_jalali":213},13020,1170,1171,4927,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن: روشی گام‌به‌گام برای قضاوت‌های ریاضی\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">مرور ساختارمند روش «brute force» در اثبات‌های ریاضی و کاربرد آن در مسائل گسسته، ترکیبیات و منطق\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\nدر این مقاله با روش اثبات به کمک بررسی همه حالت‌های ممکن (Proof by Exhaustion) آشنا می‌شوید. این روش که گاه «روش خام‌اندیشانهٔ نظام‌مند» نیز نامیده می‌شود، در ریاضیات دبیرستان برای اثبات گزاره‌هایی که دامنهٔ محدودی از حالت‌ها دارند، بسیار کارآمد است. خواهید دید که چگونه می‌توان گزاره‌هایی مانند «مجذور هر عدد صحیح بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1-\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan> برابر خود آن عدد است» را با بررسی تک‌تک اعضا اثبات کرد. همچنین با جدول مقایسه، مثال‌های علمی و چالش‌های مفهومی، قدرت و محدودیت این روش را می‌آموزید.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۱. تعریف و جایگاه روش بررسی همه حالت‌ها در اثبات‌های ریاضی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">در ریاضیات، روش اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن (که به آن \u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; : \">روش طاقت‌فرسا یا خام\u003C\u002Fspan> نیز می‌گویند) یکی از ساده‌ترین و در عین حال قابل‌اطمینان‌ترین راه‌ها برای اثبات یک گزاره است. ایدهٔ اصلی آن است: اگر مجموعهٔ حالت‌هایی که یک گزاره برای آن‌ها باید درست باشد، متناهی و به‌ اندازه‌ای کوچک باشد، می‌توان تک‌تک آن حالت‌ها را مستقیماً بررسی کرد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">برای نمونه، فرض کنید می‌خواهیم ثابت کنیم: «هر عدد صحیح بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2-\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan> دارای مربعی کوچک‌تر یا مساوی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan> است». در اینجا مجموعهٔ اعداد برابر است با: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">{-2, -1, 0, 1, 2}\u003C\u002Fspan>. کافی است مربع هر کدام را محاسبه کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4, 1, 0, 1, 4\u003C\u002Fspan> که همه مساوی یا کمتر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan> هستند. به این ترتیب گزاره ثابت می‌شود، بدون آنکه نیاز به استدلال پیچیده‌ای داشته باشیم.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$ \\text{اصل روش: اگر } |S| \r\n\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۲. تفکیک موضوع کلی به سه زیرموضوع پرمخاطب\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">زیرموضوع اول: اثبات در نظریه اعداد (بخش‌پذیری و اعداد اول کوچک)\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nدر نظریه اعداد، بسیاری از قضایا فقط برای اعداد کوچک یا باقی‌مانده‌های محدود مطرح می‌شوند. مثلاً قضیهٔ «هر عدد اول بزرگتر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan> به شکل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">6k \\pm 1\u003C\u002Fspan> است» را نمی‌توان با بررسی همهٔ اعداد نامتناهی اثبات کرد، اما برای عدد خاصی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n = 5\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n = 17\u003C\u002Fspan> می‌توان به راحتی همهٔ حالت‌های ممکن را بررسی کرد. در کلاس درس، اثبات «آیا عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n^2 - n + 41\u003C\u002Fspan> برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n = 0,1,...,40\u003C\u002Fspan> همیشه اول است؟» یک نمونهٔ کلاسیک از استفاده از روش بررسی همهٔ حالت‌هاست، هرچند برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n=41\u003C\u002Fspan> این گزاره نقض می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">زیرموضوع دوم: اثبات در ترکیبیات و منطق (جداول درستی)\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nدر منطق ریاضی، برای اثبات همارزی دو عبارت گزاره‌ای، از جدول درستی استفاده می‌شود که در واقع بررسی همهٔ حالت‌های متغیرهای گزاره‌ای است. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> متغیر گزاره‌ای داشته باشیم، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2^n\u003C\u002Fspan> حالت ترکیب درستی و نادرستی وجود دارد. برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n \\le 3\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan>، این روش کاملاً عملی است. مثلاً برای اثبات قانون دمورگان\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> می‌توان هر دو حالت متغیرهای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">A\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">B\u003C\u002Fspan> را بررسی کرد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">زیرموضوع سوم: اثبات در هندسهٔ گسسته و چندضلعی‌ها\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nدر مسائل هندسه که با چندضلعی‌های منتظم یا تعداد محدودی نقطه سر و کار داریم، گاهی بررسی حالت‌ها به صورت دستی انجام می‌شود. مثلاً برای اثبات اینکه در هر خانه‌شطرنجی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2 \\times 2\u003C\u002Fspan> حتماً دو خانهٔ همرنگ وجود دارد (با دو رنگ)، کافی است \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">16\u003C\u002Fspan> حالت رنگ‌آمیزی ممکن را بررسی کنیم (هر خانه دو حالت، جمعاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2^4=16\u003C\u002Fspan>). هرچند بدیهی به نظر می‌رسد، اما روش بررسی همهٔ حالت‌ها آن را بدون ابهام اثبات می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول مقایسه کاربرد روش در شاخه‌های مختلف ریاضی\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\u003Ctr>\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شاخهٔ ریاضی\u003C\u002Fth>\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نمونه گزاره\u003C\u002Fth>\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعداد حالت‌ها\u003C\u002Fth>\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">کاربردی بودن\u003C\u002Fth>\u003C\u002Ftr>\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">نظریه اعداد\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n^2+n+17\u003C\u002Fspan> برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n=0..15\u003C\u002Fspan> اول است\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">16\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 2px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #dcfce7; color: #166534; : \">قابل قبول\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">منطق ریاضی\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">همارزی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\\neg(p \\land q)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">\\neg p \\lor \\neg q\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 2px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #dcfce7; color: #166534; : \">بسیار مناسب\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">هندسهٔ ترکیبیاتی\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">رنگ‌آمیزی رئوس یک مربع با دو رنگ\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">16\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 2px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #dcfce7; color: #166534; : \">مناسب\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۳. کاربرد عملی: بررسی اعداد صحیح یک‌رقمی در یک رابطهٔ جبری\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">فرض کنید می‌خواهیم گزارهٔ زیر را اثبات کنیم: «هر عدد صحیح یک‌رقمی (از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">0\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">9\u003C\u002Fspan>) یا برابر است با حاصل‌جمع ارقام مربع خود، یا حاصل‌جمع ارقام مربع آن در نهایت به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan> می‌رسد.» برای اثبات، تمام اعداد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">0\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">9\u003C\u002Fspan> را بررسی می‌کنیم. به عنوان مثال: عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">7\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">7^2=49\u003C\u002Fspan>، حاصل‌جمع ارقام \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4+9=13\u003C\u002Fspan>، سپس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1^2+3^2=1+9=10\u003C\u002Fspan>، سپس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1^2+0^2=1\u003C\u002Fspan>. پس به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan> رسیدیم. این فرایند برای همهٔ اعداد یک‌رقمی به جز \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan> که به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan> می‌رسد، قابل بررسی است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cstrong>مثال عینی:\u003C\u002Fstrong> دانش‌آموزی می‌خواهد بداند آیا گزاره «برای هر عدد طبیعی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n \\le 50\u003C\u002Fspan>، عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n^2 + n + 41\u003C\u002Fspan> اول است» درست است؟ با بررسی حالت‌ها برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n=0\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">50\u003C\u002Fspan> متوجه می‌شود که در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n=40\u003C\u002Fspan> مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1681 = 41^2\u003C\u002Fspan> است و اول نیست. بنابراین روش بررسی همهٔ حالت‌ها این گزاره را نقض می‌کند و نشان می‌دهد که تعمیم از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">0\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">39\u003C\u002Fspan> به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">40\u003C\u002Fspan> اشتباه است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۴. چالش‌های مفهومی (پرسش و پاسخ)\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cstrong>پرسش ۱: آیا روش بررسی همهٔ حالت‌ها برای مجموعه‌های نامتناهی کاربرد دارد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0; : \">پاسخ: خیر. اگر مجموعهٔ حالت‌ها نامتناهی باشد (مثلاً همهٔ اعداد طبیعی)، نمی‌توان تک‌تک آن‌ها را بررسی کرد. در چنین شرایطی باید از روش‌های دیگری مانند استقرای ریاضی\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> یا برهان خلف استفاده کرد. با این حال، گاهی حالت‌ها را به دسته‌های متناهی تقسیم می‌کنیم و سپس هر دسته را بررسی می‌نماییم (مثل اثبات به کمک اصل لانه‌کبوتری\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>).\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cstrong>پرسش ۲: آیا در اثبات با بررسی همهٔ حالت‌ها، احتمال خطای محاسباتی وجود دارد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0; : \">پاسخ: بله، اگر تعداد حالت‌ها زیاد باشد، محاسبهٔ دستی احتمال اشتباه دارد. به همین دلیل در حالت‌هایی با بیش از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">30\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">40\u003C\u002Fspan> حالت، معمولاً از برنامه‌نویسی یا نرم‌افزارهای ریاضی کمک گرفته می‌شود. اما در مسائل دبیرستان، معمولاً تعداد حالت‌ها کمتر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">10\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">16\u003C\u002Fspan> است و بررسی دستی قابل اعتماد است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 8px 0; : \">\u003Cstrong>پرسش ۳: فرق بین «روش طاقت‌فرسا» و «اثبات با بررسی حالت‌ها» چیست؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0; : \">پاسخ: از نظر ماهیت تفاوتی ندارند؛ هر دو به یک روش اشاره دارند. اصطلاح «روش طاقت‌فرسا» (brute force) بیشتر در علوم رایانه و به‌ویژه الگوریتم‌ها رایج است، در حالی که در ریاضیات محض از عبارت «اثبات با بررسی همهٔ حالت‌های ممکن» استفاده می‌شود. در هر دو حالت، ایده یکی است: همهٔ گزینه‌ها را یک‌یک امتحان کن.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۵. جمع‌بندی و نتیجه‌گیری\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\nروش اثبات با بررسی همهٔ حالت‌های ممکن، یکی از پایه‌ای‌ترین و اطمینان‌بخش‌ترین روش‌های اثبات در ریاضیات دبیرستان است. این روش برای گزاره‌هایی که دامنهٔ محدودی دارند (مانند اعداد کوچک، جداول درستی منطق، رنگ‌آمیزی‌های محدود) کاربرد دارد. مهمترین محدودیت آن، ناکارآمدی در برابر مجموعه‌های نامتناهی و نیز افزایش نمایی حالت‌ها در مسائل بزرگ است. با این حال، درک درست از این روش به دانش‌آموزان کمک می‌کند تا ساختار اثبات‌های ریاضی را بهتر فهمیده و از اشتباهات رایج در تعمیم‌های بی‌راهنما پرهیز کنند. در پایان، توصیه می‌شود هرگاه با گزاره‌ای مواجه شدید که دامنهٔ آن کمتر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">20\u003C\u002Fspan> حالت داشت، پیش از هر روش پیچیده‌ای، بررسی همهٔ حالت‌ها را امتحان کنید.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">۶. پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 6px 0; : \">\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> قانون دمورگان (De Morgan's laws): دو قاعده در منطق ریاضی که نفی عطف و فصل را به هم ارتباط می‌دهد: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">\\neg(p \\land q) \\equiv \\neg p \\lor \\neg q\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; : \">\\neg(p \\lor q) \\equiv \\neg p \\land \\neg q\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 6px 0; : \">\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> استقرای ریاضی (Mathematical Induction): روشی برای اثبات گزاره‌های مربوط به اعداد طبیعی که در آن ابتدا درستی برای کوچکترین عضو (پایه) نشان داده شده، سپس با فرض درستی برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">k\u003C\u002Fspan>، درستی برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">k+1\u003C\u002Fspan> اثبات می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0; : \">\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> اصل لانه‌کبوتری (Pigeonhole Principle): اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> شیء را در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">m\u003C\u002Fspan> لانه توزیع کنیم و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n \\gt m\u003C\u002Fspan> باشد، آن‌گاه حداقل یک لانه شامل دست‌کم دو شیء خواهد بود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,198],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم",0,82,"2026-05-06 02:13:33","2026-09-13 10:19:40","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F16","10:19 1405\u002F06\u002F22",{"tests":215,"papers":216,"files":217,"questions":218,"exams":219,"tutorials":220,"blogs":221},[],[],[],[],[],[],[222,231,239,247,255,263,271,279,287,295,304,312],{"id":223,"title":224,"cat":199,"pic":225,"up_date":226,"title_url":227,"url":228,"legacy_url":229,"cat_title":211,"update_jalali":230},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":232,"title":233,"cat":199,"pic":234,"up_date":235,"title_url":236,"url":237,"legacy_url":238,"cat_title":211,"update_jalali":230},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":240,"title":241,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":244,"url":245,"legacy_url":246,"cat_title":211,"update_jalali":230},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":248,"title":249,"cat":199,"pic":250,"up_date":251,"title_url":252,"url":253,"legacy_url":254,"cat_title":211,"update_jalali":230},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":211,"update_jalali":230},13018,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_200.png","2026-09-13 10:24:30","اثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":211,"update_jalali":230},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":211,"update_jalali":230},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":211,"update_jalali":230},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":211,"update_jalali":230},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":211,"update_jalali":303},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":211,"update_jalali":303},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف",{"id":313,"title":314,"cat":199,"pic":315,"up_date":316,"title_url":317,"url":318,"legacy_url":319,"cat_title":211,"update_jalali":303},13083,"رأس زوج در گراف: رأسی با درجهٔ زوج در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F4tGcpcZRt7YeA0EYsm6Z_200.png","2026-09-12 21:13:14","رأس-زوج-در-گراف-رأسی-با-درجه-زوج-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13083\u002Fرأس-زوج-در-گراف-رأسی-با-درجه-زوج-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13083\u002Fرأس-زوج-در-گراف-رأسی-با-درجه-زوج-در-گراف"]