[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13018":193,"$fW5ULu0Tm1BkGO4ImtWgHAB8VDdNEQn3RrPv5hi7yHlc":214},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":99,"subdate":207,"up_date":208,"first_name":209,"last_name":210,"avatar":13,"cat_title":211,"subdate_jalali":212,"update_jalali":213},13018,1170,1171,4927,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"اثبات مستقیم در ریاضیات\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">اثبات مستقیم: مسیری بی‌واسطه از فرض تا نتیجه\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">آشنایی با اصلی‌ترین روش اثبات در ریاضیات دبیرستان همراه با مثال‌های گام‌به‌گام\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">اثبات مستقیم روشی است که در آن بدون هیچ پیچیدگی، از فرضیات مسئله شروع کرده و با استفاده از قواعد منطقی و قضایای داده شده، قدم به قدم به نتیجه مطلوب می‌رسیم. این مقاله به شما نشان می‌دهد چگونه از این روش برای اثبات گزاره‌هایی مانند «مجذور یک عدد فرد، فرد است» یا «جمع دو عدد زوج، زوج است» استفاده کنید. همچنین با جدول مقایسه، مثال‌های عینی، چالش‌های رایج و جمع‌بندی نهایی، تسلط کاملی بر این مفهوم پیدا خواهید کرد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۱. تعریف و ساختار اصلی اثبات مستقیم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در ریاضیات، وقتی می‌خواهیم درستی یک گزاره شرطی به فرم «اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">P\u003C\u002Fspan> آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">Q\u003C\u002Fspan>» را نشان دهیم، اثبات مستقیم\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> ساده‌ترین راه است. در این روش، فرض می‌کنیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">P\u003C\u002Fspan> درست است و سپس با یک زنجیره منطقی از استدلال‌های ریاضی (بدون استفاده از روش‌های غیرمستقیم مانند برهان خلف) به درستی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">Q\u003C\u002Fspan> می‌رسیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>ویژگی کلیدی اثبات مستقیم، شفافیت و گام‌به‌گام بودن آن است؛ هر مرحله مستقیماً از مرحله قبل و با استفاده از تعریف‌ها، قضایا یا اصول موضوعه نتیجه می‌شود. در دبیرستان، بیشتر اثبات‌هایی که در جبر و نظریه اعداد می‌بینید از این نوع هستند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>مثال عملی کوتاه:\u003C\u002Fstrong> فرض کنید می‌گوییم «اگر امروز پنج‌شنبه باشد، پس فردا جمعه است». برای اثبات مستقیم، کافی است بگوییم: امروز پنج‌شنبه است (فرض). یک روز بعد از پنج‌شنبه، جمعه است (تعریف روزهای هفته). بنابراین فردا جمعه است (نتیجه). این همان ساختار ساده اما قدرتمند اثبات مستقیم است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>فرم کلی یک اثبات مستقیم به صورت زیر نمایش داده می‌شود:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$P \\Rightarrow P_1 \\Rightarrow P_2 \\Rightarrow ... \\Rightarrow Q$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>که در آن هر پیکان نشان‌دهنده یک استنتاج منطقی معتبر است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۲. اثبات مستقیم در اعداد زوج و فرد\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>یکی از رایج‌ترین کاربردهای اثبات مستقیم در دبیرستان، اثبات ویژگی‌های اعداد زوج و فرد است. ابتدا تعریف‌ها را مرور می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>عدد زوج\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>:\u003C\u002Fstrong> عددی که بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan> بخش‌پذیر باشد. یعنی به شکل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$2k$\u003C\u002Fspan> که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">k\u003C\u002Fspan> یک عدد صحیح است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>عدد فرد\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>:\u003C\u002Fstrong> عددی که بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan> بخش‌پذیر نباشد. یعنی به شکل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$2k+1$\u003C\u002Fspan> که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">k\u003C\u002Fspan> عدد صحیح است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گزاره:\u003C\u002Fstrong> اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">n\u003C\u002Fspan> یک عدد فرد باشد، آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">n^2\u003C\u002Fspan> نیز فرد است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>اثبات مستقیم گام‌به‌گام:\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Col style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>فرض می‌کنیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$n$\u003C\u002Fspan> فرد است. پس بر اساس تعریف، عدد صحیح \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">k\u003C\u002Fspan>ای وجود دارد به طوری که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$n = 2k + 1$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>حال \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">n^2\u003C\u002Fspan> را محاسبه می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$n^2 = (2k+1)^2$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>از اتحاد مربع دوجمله‌ای استفاده می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>عامل مشترک \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4k\u003C\u002Fspan> را از دو جمله اول می‌گیریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$4k^2+4k+1 = 4k(k+1) + 1$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>عبارت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$4k(k+1)$\u003C\u002Fspan> بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan> بخش‌پذیر است (چون ضریب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4\u003C\u002Fspan> دارد). پس می‌توان نوشت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$4k(k+1) = 2 \\times [2k(k+1)]$\u003C\u002Fspan>. بنابراین کل عبارت به شکل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$2m+1$\u003C\u002Fspan> است که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$m = 2k(k+1)$\u003C\u002Fspan> یک عدد صحیح است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>از آنجا که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$n^2 = 2m+1$\u003C\u002Fspan>، طبق تعریف، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">n^2\u003C\u002Fspan> عددی فرد است. اثبات کامل شد.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Fol>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول مقایسه اثبات مستقیم و غیرمستقیم\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">اثبات مستقیم\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">اثبات غیرمستقیم (برهان خلف)\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مسیر اثبات\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">از فرض به نتیجه (خطی)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">با فرض نقیض نتیجه و رسیدن به تناقض\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">پیچیدگی درک\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">کم (مناسب برای آموزش اولیه)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">متوسط تا زیاد\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مثال معروف\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">فرد بودن مجذور عدد فرد\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نادیدپذیری جذر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۳. اثبات مستقیم در مورد جمع اعداد زوج\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>یک گزاره دیگر که با اثبات مستقیم به سادگی قابل اثبات است:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گزاره:\u003C\u002Fstrong> جمع هر دو عدد زوج، عددی زوج است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>اثبات مستقیم:\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">a\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">b\u003C\u002Fspan> دو عدد زوج باشند.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>پس اعداد صحیح \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">k\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">l\u003C\u002Fspan> وجود دارند به طوری که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$a = 2k$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$b = 2l$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>جمع آنها را می‌نویسیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$a + b = 2k + 2l = 2(k + l)$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>از آنجا که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">k+l\u003C\u002Fspan> یک عدد صحیح است، عبارت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2(k+l)$\u003C\u002Fspan> مضربی از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan> بوده و بنابراین زوج است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>نتیجه: جمع هر دو عدد زوج، زوج است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>این اثبات بسیار کوتاه و شفاف نشان می‌دهد که چگونه ساختار مستقیم، نیازی به فرض خلاف یا روش‌های پیچیده ندارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۴. کاربرد عملی: اثبات در نامساوی‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>اثبات مستقیم فقط به اعداد صحیح محدود نمی‌شود. در نامساوی‌ها نیز کاربرد گسترده دارد. به مثال زیر توجه کنید:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گزاره:\u003C\u002Fstrong> اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">y\u003C\u002Fspan> دو عدد حقیقی مثبت باشند، آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$x + y \\ge 2\\sqrt{xy}$\u003C\u002Fspan> (نامساوی بین میانگین حسابی و هندسی\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> برای دو عدد).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>اثبات مستقیم (از فرض به نتیجه):\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>از آنجا که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(\\sqrt{x} - \\sqrt{y})^2 \\ge 0$\u003C\u002Fspan> (مربع هر عدد حقیقی نامنفی است)، با بسط آن داریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$x - 2\\sqrt{xy} + y \\ge 0$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>با انتقال جمله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$- 2\\sqrt{xy}$\u003C\u002Fspan> به سمت راست نامساوی: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$x + y \\ge 2\\sqrt{xy}$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>به نتیجه مطلوب رسیدیم. همان‌طور که می‌بینید، کل اثبات فقط با شروع از یک گزاره همواره درست (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(\\sqrt{x} - \\sqrt{y})^2 \\ge 0$\u003C\u002Fspan>) و انجام عملیات جبری مجاز به دست آمد.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۵. چالش‌های مفهومی در اثبات مستقیم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۱. آیا اثبات مستقیم همیشه کوتاه‌ترین روش است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>خیر. گاهی اثبات مستقیم ممکن است به زنجیره طولانی از استنتاج‌ها نیاز داشته باشد، در حالی که روش‌های دیگری مانند برهان خلف می‌توانند مسیر کوتاه‌تری ارائه دهند. انتخاب روش به ساختار گزاره و ابزارهای در دسترس بستگی دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۲. چه اشتباهی در اثبات مستقیم بیشتر رخ می‌دهد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>رایج‌ترین اشتباه، “پرش منطقی” است؛ یعنی فرض کردن مرحله‌ای که هنوز اثبات نشده. در اثبات مستقیم، هر گام باید به وضوح از گام قبلی یا یک قضیه شناخته شده پیروی کند. همچنین اشتباه در تعریف مفاهیم پایه (مانند اشتباه گرفتن عدد زوج با مضرب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4\u003C\u002Fspan>) مشکل ساز است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۳. آیا اثبات مستقیم برای گزاره‌های دارای «وجود» نیز قابل استفاده است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>بله. اگر گزاره بگوید «عددی وجود دارد به گونه‌ای که ...»، اثبات مستقیم می‌تواند آن عدد را به صراحت بسازد یا نشان دهد. مثلاً برای اثبات «یک عدد زوج بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">5\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">9\u003C\u002Fspan> وجود دارد»، مستقیماً عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">6\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">8\u003C\u002Fspan> را پیشنهاد می‌دهیم و بررسی می‌کنیم که شرط را برآورده می‌کند. این نیز یک اثبات مستقیم محسوب می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۶. جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">اثبات مستقیم به عنوان بنیادی‌ترین روش اثبات در ریاضیات دبیرستان، با ایجاد زنجیره‌ای از استنتاج‌های منطقی از فرض به نتیجه، نقش کلیدی در درک درستی قضایا دارد. این روش نه تنها در نظریه اعداد (مانند اثبات ویژگی‌های اعداد زوج و فرد) بلکه در نامساوی‌ها، جبر و هندسه نیز کاربرد گسترده دارد. تسلط بر اثبات مستقیم، پایه‌ای محکم برای یادگیری روش‌های پیشرفته‌تر مانند برهان خلف، استقرای ریاضی و اثبات با تناقض ایجاد می‌کند. کلید موفقیت در این روش، دقت در تعریف مفاهیم اولیه، شفافیت هر گام و اجتناب از پرش‌های غیرمنطقی است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> اثبات مستقیم (Direct Proof): روشی برای اثبات درستی یک گزاره به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$P \\Rightarrow Q$\u003C\u002Fspan> که در آن فرض \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">P\u003C\u002Fspan> گرفته شده و با استفاده از قواعد منطقی و تعاریف، نتیجه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">Q\u003C\u002Fspan> استنتاج می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> عدد زوج (Even Number): عدد صحیحی که بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan> بخش‌پذیر باشد و به فرم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$2k$\u003C\u002Fspan> (با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$k \\in \\mathbb{Z}$\u003C\u002Fspan>) نمایش داده شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> عدد فرد (Odd Number): عدد صحیحی که بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan> بخش‌پذیر نباشد و به فرم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$2k+1$\u003C\u002Fspan> (با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$k \\in \\mathbb{Z}$\u003C\u002Fspan>) نمایش داده شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> نامساوی میانگین حسابی و هندسی (AM-GM Inequality): برای اعداد نامنفی، میانگین حسابی همیشه بزرگتر یا مساوی میانگین هندسی است. برای دو عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x, y \\ge 0$\u003C\u002Fspan> داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\frac{x+y}{2} \\ge \\sqrt{xy}$\u003C\u002Fspan> که معادل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$x+y \\ge 2\\sqrt{xy}$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم","اثبات مستقیم",0,"2026-05-06 01:59:54","2026-09-13 10:24:30","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F16","10:24 1405\u002F06\u002F22",{"tests":215,"papers":216,"files":217,"questions":218,"exams":219,"tutorials":220,"blogs":221},[],[],[],[],[],[],[222,231,239,247,255,263,271,279,287,295,304,312],{"id":223,"title":224,"cat":199,"pic":225,"up_date":226,"title_url":227,"url":228,"legacy_url":229,"cat_title":211,"update_jalali":230},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":232,"title":233,"cat":199,"pic":234,"up_date":235,"title_url":236,"url":237,"legacy_url":238,"cat_title":211,"update_jalali":230},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":240,"title":241,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":244,"url":245,"legacy_url":246,"cat_title":211,"update_jalali":230},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":248,"title":249,"cat":199,"pic":250,"up_date":251,"title_url":252,"url":253,"legacy_url":254,"cat_title":211,"update_jalali":230},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":211,"update_jalali":230},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":211,"update_jalali":230},13020,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_200.png","2026-09-13 10:19:40","اثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":211,"update_jalali":230},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":211,"update_jalali":230},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":211,"update_jalali":230},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":211,"update_jalali":303},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":211,"update_jalali":303},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف",{"id":313,"title":314,"cat":199,"pic":315,"up_date":316,"title_url":317,"url":318,"legacy_url":319,"cat_title":211,"update_jalali":303},13083,"رأس زوج در گراف: رأسی با درجهٔ زوج در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F4tGcpcZRt7YeA0EYsm6Z_200.png","2026-09-12 21:13:14","رأس-زوج-در-گراف-رأسی-با-درجه-زوج-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13083\u002Fرأس-زوج-در-گراف-رأسی-با-درجه-زوج-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13083\u002Fرأس-زوج-در-گراف-رأسی-با-درجه-زوج-در-گراف"]