[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13002":193,"$fc4nF-SoMG8FQh4tuxlDg-GELjvZnC2W-7NCsZBhZ5O8":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},13002,1169,1171,3858,"تابع پیوسته در نقطه: تابعی که در آن lim f(x) هنگام x→a برابر f(a) است.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FOi7AjF4b7PWieexxuaIX_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"تابع پیوسته در نقطه: حد و مقدار تابع\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">تابع پیوسته در نقطه: برابری حد با مقدار تابع\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">شرط اساسی پیوستگی: حد چپ و راست با مقدار تابع در آن نقطه برابر باشند\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">پیوستگی تابع در یک نقطه به این معناست که با نزدیک شدن متغیر ورودی به آن نقطه، مقدار تابع به مقدار تابع در آن نقطه نزدیک شود. در این مقاله با مفهوم \u003Cstrong>حد\u003C\u002Fstrong>، \u003Cstrong>شرط پیوستگی\u003C\u002Fstrong> و \u003Cstrong>انواع ناپیوستگی\u003C\u002Fstrong> آشنا می‌شوید. مثال‌های گام‌به‌گام از توابع چندجمله‌ای، گویا و قدرمطلق بررسی می‌شوند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۱. تعریف Formal پیوستگی در یک نقطه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f$\u003C\u002Fspan> تابعی باشد که روی بازه‌ای شامل نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan> تعریف شده است. می‌گوییم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f$\u003C\u002Fspan> در نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=a$\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong>پیوسته\u003C\u002Fstrong> است اگر سه شرط زیر برقرار باشند:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(a)$\u003C\u002Fspan> وجود داشته باشد (تابع در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan> تعریف شده باشد).\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to a} f(x)$\u003C\u002Fspan> وجود داشته باشد (حد چپ و راست برابر باشند).\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to a} f(x) = f(a)$\u003C\u002Fspan> (حد با مقدار تابع برابر باشد).\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>در غیر این صورت تابع در آن نقطه ناپیوسته\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> نامیده می‌شود. شرط سوم، قلب مفهوم پیوستگی است و تضمین می‌کند که نمودار تابع در نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(a,f(a))$\u003C\u002Fspan> هیچ پرش یا پارگی نداشته باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>مثال ساده\u003C\u002Fstrong>: تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=2x+1$\u003C\u002Fspan> را در نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=3$\u003C\u002Fspan> بررسی کنید. مقدار تابع برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(3)=7$\u003C\u002Fspan> است. حد تابع هنگام نزدیک شدن به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3$\u003C\u002Fspan> نیز برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$7$\u003C\u002Fspan> است، زیرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to 3}(2x+1)=2(3)+1=7$\u003C\u002Fspan>. از آنجا که حد با مقدار تابع برابر است، تابع در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=3$\u003C\u002Fspan> پیوسته است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۲. بررسی گام‌به‌گام پیوستگی با استفاده از حد یک‌طرفه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای اطمینان از وجود حد در نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=a$\u003C\u002Fspan>، باید حد چپ و حد راست را جداگانه محاسبه کنیم و برابری آن‌ها را بررسی کنیم. اگر:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to a^-} f(x) = L$\u003C\u002Fspan> (حد چپ)\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to a^+} f(x) = L$\u003C\u002Fspan> (حد راست)\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(a) = L$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>آنگاه تابع در نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan> پیوسته است. در غیر این صورت ناپیوستگی رخ می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>مثال عددی گام‌به‌گام\u003C\u002Fstrong>: تابع دوضابطه‌ای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=\\begin{cases} x^2, & x \\lt 2 \\\\ 4, & x = 2 \\\\ x+2, & x \\gt 2 \\end{cases}$\u003C\u002Fspan> را در نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=2$\u003C\u002Fspan> بررسی کنید.\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام ۱\u003C\u002Fstrong> مقدار تابع: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(2)=4$\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام ۲\u003C\u002Fstrong> حد چپ: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to 2^-} x^2 = 4$\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام ۳\u003C\u002Fstrong> حد راست: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to 2^+} (x+2) = 4$\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام ۴\u003C\u002Fstrong> مقایسه: حد چپ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$=4$\u003C\u002Fspan>، حد راست \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$=4$\u003C\u002Fspan>، پس حد وجود دارد و برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$4$\u003C\u002Fspan> است. از آنجا که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to 2} f(x)=f(2)$\u003C\u002Fspan>، تابع در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=2$\u003C\u002Fspan> پیوسته است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۳. جدول مقایسه انواع ناپیوستگی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"انواع ناپیوستگی توابع\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع ناپیوستگی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شرط حد چپ و راست\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">پرشی (جهشی)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">حد چپ و راست وجود دارند اما برابر نیستند\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=\\lfloor x \\rfloor$\u003C\u002Fspan> در نقاط صحیح\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">قابل رفع (برداشتی)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">حد وجود دارد اما با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(a)$\u003C\u002Fspan> برابر نیست یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(a)$\u003C\u002Fspan> تعریف نشده\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=\\frac{x^2-1}{x-1}$\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نامتناهی (بی‌نهایت)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">حد چپ یا راست بی‌نهایت می‌شود\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=\\frac{1}{x}$\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۴. کاربرد عملی در تعیین پیوستگی توابع چندضابطه‌ای\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در مسائل دنیای واقعی، توابع اغلب با ضوابط متفاوت در بازه‌های مختلف تعریف می‌شوند. برای اینکه چنین تابعی در نقطه اتصال دو بازه پیوسته باشد، باید شرط برابری حد چپ، حد راست و مقدار تابع در آن نقطه برقرار شود. این مفهوم در محاسبه جریان الکتریکی در مدارهای سوییچ‌شونده یا تعیین نرخ مالیات پلکانی بسیار مهم است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال کاربردی\u003C\u002Fstrong>: فرض کنید هزینه پست بسته به وزن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> (کیلوگرم) به صورت زیر تعریف شده است: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$C(x)=\\begin{cases} 5000, & 0 \\lt x \\le 1 \\\\ 8000, & 1 \\lt x \\le 2 \\end{cases}$\u003C\u002Fspan>. در نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan>، حد چپ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$5000$\u003C\u002Fspan>، حد راست \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$8000$\u003C\u002Fspan> و مقدار تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$C(1)=5000$\u003C\u002Fspan> است. از آنجا که حد چپ با حد راست برابر نیست، تابع در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan> ناپیوسته است؛ یعنی با افزایش وزن از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1$\u003C\u002Fspan> به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1.001$\u003C\u002Fspan>، هزینه یک جهش ناگهانی دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۵. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۱:\u003C\u002Fstrong> آیا ممکن است تابعی در نقطه‌ای حد داشته باشد ولی در آن نقطه پیوسته نباشد؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله. اگر حد وجود داشته باشد اما \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(a)$\u003C\u002Fspan> با آن برابر نباشد یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(a)$\u003C\u002Fspan> تعریف نشده باشد، ناپیوستگی از نوع قابل رخ می‌دهد. نمونه: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=\\frac{x^2-4}{x-2}$\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=2$\u003C\u002Fspan> تعریف نشده، ولی حد آن برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$4$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۲:\u003C\u002Fstrong> آیا توابع چندجمله‌ای همواره در تمام نقاط حقیقی پیوسته هستند؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله. هر تابع چندجمله‌ای مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$P(x)=a_n x^n + ... + a_0$\u003C\u002Fspan> در تمام نقاط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> پیوسته است، زیرا حد آن در هر نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=a$\u003C\u002Fspan> برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$P(a)$\u003C\u002Fspan> می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۳:\u003C\u002Fstrong> شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to a} f(x) = f(a)$\u003C\u002Fspan> به تنهایی برای پیوستگی کافی است؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر. قبل از آن باید مطمئن شوید که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(a)$\u003C\u002Fspan> وجود دارد و خود حد نیز وجود دارد. بنابراین سه شرط یادشده همگی لازمند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۶. خلاصه و جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f$\u003C\u002Fspan> در نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=a$\u003C\u002Fspan> پیوسته است اگر و تنها اگر (۱) \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(a)$\u003C\u002Fspan> مشخص باشد، (۲) حد چپ و راست در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan> وجود داشته و برابر باشند، و (۳) این مقدار حد با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(a)$\u003C\u002Fspan> برابر باشد. در غیر این صورت تابع ناپیوسته است. ناپیوستگی‌ها به سه دسته اصلی پرشی، قابل رفع و نامتناهی تقسیم می‌شوند. درک این مفهوم برای مطالعه حد و مشتق‌پذیری در ریاضیات پایه ضروری است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; padding: 0\">\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> ناپیوسته (Discontinuous): تابعی که در نقطه مورد نظر حد با مقدار تابع برابر نباشد یا حد وجود نداشته باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> حد (Limit): مقداری که تابع هنگام نزدیک شدن متغیر به یک نقطه مشخص به آن نزدیک می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> حد چپ و راست (Left-hand and Right-hand Limits): مقداری که تابع هنگام نزدیک شدن از مقادیر کوچک‌تر (چپ) یا بزرگ‌تر (راست) به آن میل می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ یازدهم","حسابان یازدهم","تابع پیوسته در نقطه",0,123,"2026-05-06 00:07:43","2026-08-12 12:27:16","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F16","12:27 1405\u002F05\u002F21",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,312],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},12463,"نقطه تقاطع نمودار با محور x: نقطه‌ای که نمودار تابع محور x را قطع می‌کند و متناظر با صفر تابع است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Flp8mPVTnbCwBuDbga3iw_200.png","2026-08-31 12:56:30","نقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12463\u002Fنقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12463\u002Fنقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","1405\u002F06\u002F9",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},12464,"صفرهای تابع درجه دوم: مقادیری از x که در آن‌ها مقدار تابع درجه دوم صفر می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FsDayawGMHn9luVG99WUg_200.png","2026-08-31 12:54:11","صفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12464\u002Fصفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12464\u002Fصفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},12465,"تجزیه تابع درجه دوم: نوشتن تابع درجه دوم به صورت حاصل‌ضرب عامل‌های خطی بر اساس صفرهای آن.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Frf3DvGoxbeXxlL2fdE28_200.png","2026-08-31 12:51:00","تجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12465\u002Fتجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12465\u002Fتجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},12466,"ضابطه تابع: رابطه یا فرمولی که برای هر ورودی، مقدار تابع را تعیین می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FsLnJAa2du7iQAtRWKzhe_200.png","2026-08-31 12:48:32","ضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12466\u002Fضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12466\u002Fضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},12467,"سهمی: نمودار تابع درجه دوم که به شکل منحنی U مانند یا وارونه آن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fm5rwEPuIbBS56GG3brKD_200.png","2026-08-31 12:45:13","سهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12467\u002Fسهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12467\u002Fسهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},12468,"نقطه روی نمودار: نقطه‌ای که مختصات آن با قرار دادن یک مقدار x در ضابطه تابع و به دست آوردن y حاصل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYJZKdvtHJ3L8LMkn0sIM_200.png","2026-08-31 12:42:32","نقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12468\u002Fنقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12468\u002Fنقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},12469,"مینیمم تابع: کمترین مقدار تابع در یک بازه یا در کل دامنه، در صورتی که وجود داشته باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FjmLcvCLQUzckNnuQlJ8q_200.png","2026-08-31 12:38:38","مینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12469\u002Fمینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12469\u002Fمینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},12470,"ماکزیمم تابع: بیشترین مقدار تابع در یک بازه یا در کل دامنه، در صورتی که وجود داشته باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7hKMNaNQYPh1HEsFQSp6_200.png","2026-08-31 12:36:25","ماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12470\u002Fماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12470\u002Fماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},12471,"ریشه متمایز: ریشه‌هایی که با هم برابر نیستند و دو مقدار متفاوت به دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzLtawJrDJEifOsWRDuh5_200.png","2026-08-31 12:33:15","ریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12471\u002Fریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12471\u002Fریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},12472,"ریشه مضاعف: حالتی که معادله درجه دوم دو ریشه برابر دارد و سهمی فقط یک بار محور x را لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FqSf7rPtH1bsEMBI7KRpC_200.png","2026-08-31 12:28:36","ریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12472\u002Fریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12472\u002Fریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":231},12473,"تعداد صفرهای تابع: تعداد نقاطی که نمودار تابع محور x را قطع یا لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F5cYBDDObwSY3Byq4ZtcF_200.png","2026-08-31 12:26:25","تعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12473\u002Fتعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12473\u002Fتعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند",{"id":313,"title":314,"cat":199,"pic":315,"up_date":316,"title_url":317,"url":318,"legacy_url":319,"cat_title":212,"update_jalali":231},12474,"علامت a: مثبت یا منفی بودن ضریب x² در تابع درجه دوم که جهت بازشدگی سهمی را تعیین می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8MR1zPfpVaba6oCMRVyC_200.png","2026-08-31 12:24:32","علامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12474\u002Fعلامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12474\u002Fعلامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند"]