[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12907":193,"$fkKvHmromdM15chbLa_9QmpG6bnIVD7a42339S8k8SM0":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},12907,1169,1171,3858,"فرمول cos(α−β): رابطه cos(α−β)=cosα cosβ + sinα sinβ.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2eFf9sg7Apy2sSHHzFXm_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"فرمول اتحاد مثلثاتی کسینوس تفاضل دو زاویه\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">اتحاد مثلثاتی کسینوس تفاضل دو زاویه: فرمول cos(α−β)\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">آشنایی با رابطهٔ cos(α−β) = cosα cosβ + sinα sinβ و کاربرد آن در ساده‌سازی عبارات مثلثاتی\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">خلاصهٔ سئوپسند: فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha - \\beta) $\u003C\u002Fspan> یکی از اتحادهای بنیادین در مثلثات است که به کمک آن می‌توان کسینوس تفاضل دو زاویه را برحسب کسینوس و سینوس تک‌زاویه‌ها نوشت. این مقاله با زبانی روان و مناسب برای دانش‌آموزان دبیرستان، اثبات هندسی، اثبات تحلیلی، مثال‌های متنوع، جدول مقادیر ویژه، کاربردهای عملی و چالش‌های مفهومی پیرامون این رابطه را پوشش می‌دهد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۱. تعریف و بیان کلی فرمول کسینوس تفاضل دو زاویه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در مثلثات، روابط متعددی بین توابع مثلثاتی زوایای مختلف وجود دارد. یکی از پرکاربردترین این روابط، فرمول کسینوس تفاضل دو زاویه است که به صورت زیر نوشته می‌شود:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\cos(\\alpha - \\beta) = \\cos\\alpha \\cos\\beta + \\sin\\alpha \\sin\\beta $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>در این فرمول، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\alpha $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\beta $\u003C\u002Fspan> دو زاویهٔ دلخواه (بر حسب درجه یا رادیان) هستند. این رابطه بیان می‌کند که کسینوس اختلاف دو زاویه، برابر است با حاصل‌ضرب کسینوس‌های آن دو زاویه به اضافهٔ حاصل‌ضرب سینوس‌های آن‌ها. درک این فرمول برای حل معادلات مثلثاتی، اثبات اتحادهای دیگر و محاسبات فیزیک و مهندسی ضروری است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای نمونه، فرض کنید زاویهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\alpha = 60^\\circ $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\beta = 30^\\circ $\u003C\u002Fspan> باشد. طبق فرمول داریم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(60^\\circ - 30^\\circ) = \\cos 60^\\circ \\cos 30^\\circ + \\sin 60^\\circ \\sin 30^\\circ = (\\frac{1}{2})(\\frac{\\sqrt{3}}{2}) + (\\frac{\\sqrt{3}}{2})(\\frac{1}{2}) = \\frac{\\sqrt{3}}{4} + \\frac{\\sqrt{3}}{4} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} $\u003C\u002Fspan> که همان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos 30^\\circ $\u003C\u002Fspan> است. نتیجهٔ مستقیم محاسبه نیز \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos 30^\\circ = \\frac{\\sqrt{3}}{2} $\u003C\u002Fspan> می‌باشد و صحت فرمول تأیید می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۲. اثبات هندسی با استفاده از دایرهٔ مثلثاتی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>یکی از شهودی‌ترین روش‌ها برای اثبات این فرمول، استفاده از دایرهٔ واحد (دایرهٔ مثلثاتی) و محاسبهٔ فاصلهٔ دو نقطه روی محیط آن است. دایرهٔ مثلثاتی به مرکز مبدأ مختصات و به شعاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1$\u003C\u002Fspan> در نظر گرفته می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$P$\u003C\u002Fspan> متناظر با زاویهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\alpha $\u003C\u002Fspan> دارای مختصات \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (\\cos\\alpha , \\sin\\alpha) $\u003C\u002Fspan> و نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$Q$\u003C\u002Fspan> متناظر با زاویهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\beta $\u003C\u002Fspan> دارای مختصات \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (\\cos\\beta , \\sin\\beta) $\u003C\u002Fspan> است. حال فاصلهٔ این دو نقطه را به دو روش محاسبه می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>روش اول (استفاده از قانون کسینوس‌ها در مثلث \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$POQ$\u003C\u002Fspan>):\u003C\u002Fstrong> زاویهٔ مرکزی بین دو شعاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$OP$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$OQ$\u003C\u002Fspan> برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ |\\alpha - \\beta| $\u003C\u002Fspan> است. از آنجا که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$OP = OQ = 1$\u003C\u002Fspan>، طبق قانون کسینوس‌ها داریم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ PQ^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)\\cos(\\alpha - \\beta) = 2 - 2\\cos(\\alpha - \\beta) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>روش دوم (استفاده از فرمول فاصلهٔ دو نقطه در مختصات دکارتی):\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ PQ^2 = (\\cos\\alpha - \\cos\\beta)^2 + (\\sin\\alpha - \\sin\\beta)^2 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>با بسط این عبارت:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ = \\cos^2\\alpha - 2\\cos\\alpha\\cos\\beta + \\cos^2\\beta + \\sin^2\\alpha - 2\\sin\\alpha\\sin\\beta + \\sin^2\\beta $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>با توجه به اتحاد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\sin^2\\theta + \\cos^2\\theta = 1 $\u003C\u002Fspan> خواهیم داشت:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ = (\\cos^2\\alpha + \\sin^2\\alpha) + (\\cos^2\\beta + \\sin^2\\beta) - 2(\\cos\\alpha\\cos\\beta + \\sin\\alpha\\sin\\beta) = 1 + 1 - 2(\\cos\\alpha\\cos\\beta + \\sin\\alpha\\sin\\beta) = 2 - 2(\\cos\\alpha\\cos\\beta + \\sin\\alpha\\sin\\beta) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>حال با مساوی قرار دادن دو عبارت به دست آمده برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$PQ^2$\u003C\u002Fspan>:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 2 - 2\\cos(\\alpha - \\beta) = 2 - 2(\\cos\\alpha\\cos\\beta + \\sin\\alpha\\sin\\beta) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پس از ساده‌سازی (حذف \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2$\u003C\u002Fspan> و تقسیم بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-2$\u003C\u002Fspan>)، رابطهٔ اصلی اثبات می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۳. اثبات تحلیلی با استفاده از ماتریس چرخش یا ضرب مختلط‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در سطح دبیرستان، اثبات دیگری نیز با استفاده از اعداد مختلط\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> امکان‌پذیر است. می‌دانیم که عدد مختلط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta $\u003C\u002Fspan>. حال دو عدد مختلط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ e^{i\\alpha} $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ e^{i\\beta} $\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. خارج قسمت آن‌ها برابر است با:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\frac{e^{i\\alpha}}{e^{i\\beta}} = e^{i(\\alpha - \\beta)} = \\cos(\\alpha - \\beta) + i\\sin(\\alpha - \\beta) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>از طرفی، با تقسیم مستقیم و استفاده از مزدوج مختلط\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> مخرج:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\frac{e^{i\\alpha}}{e^{i\\beta}} = \\frac{\\cos\\alpha + i\\sin\\alpha}{\\cos\\beta + i\\sin\\beta} \\times \\frac{\\cos\\beta - i\\sin\\beta}{\\cos\\beta - i\\sin\\beta} = \\frac{(\\cos\\alpha + i\\sin\\alpha)(\\cos\\beta - i\\sin\\beta)}{\\cos^2\\beta + \\sin^2\\beta} = (\\cos\\alpha + i\\sin\\alpha)(\\cos\\beta - i\\sin\\beta) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>با بسط و جمع جملات حقیقی و موهومی:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ = (\\cos\\alpha\\cos\\beta + \\sin\\alpha\\sin\\beta) + i(\\sin\\alpha\\cos\\beta - \\cos\\alpha\\sin\\beta) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>با مقایسهٔ قسمت حقیقی با عبارت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha - \\beta) $\u003C\u002Fspan>، دوباره به همان رابطه می‌رسیم. این روش نشان‌دهندهٔ ارتباط عمیق بین مثلثات و اعداد مختلط است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۴. جدول مقادیر ویژه برای زاویه‌های معروف\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول مقادیر کسینوس تفاضل برای زوایای خاص\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">زاویهٔ α (درجه)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">زاویهٔ β (درجه)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">α−β (درجه)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مقدار cos(α−β) از فرمول\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مقدار مستقیم cos(α−β)\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">90\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">60\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">30\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0)(0.5)+(1)(0.866)=0.866\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">0.866\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">45\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">30\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">15\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(0.707)(0.866)+(0.707)(0.5)=0.966\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">0.966\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">120\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">45\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">75\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(-0.5)(0.707)+(0.866)(0.707)=0.259\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">0.259\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۵. کاربرد عملی در فیزیک و مهندسی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرمول کسینوس تفاضل دو زاویه در محاسبهٔ اختلاف فاز\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> بین دو موج، بردارها و جریان‌های متناوب کاربرد فراوان دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای مثال، در فیزیک، هنگامی که دو موج با دامنهٔ یکسان و اختلاف فاز \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\delta $\u003C\u002Fspan> برهم نهی می‌کنند، دامنهٔ موج برآیند به کمک رابطه‌ای شامل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos\\delta $\u003C\u002Fspan> محاسبه می‌شود. اگر بخواهیم فاز حاصل را برحسب فازهای اولیه بیان کنیم، مستقیماً با فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\phi_1 - \\phi_2) $\u003C\u002Fspan> روبرو می‌شویم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>مثال عددی: فرض کنید دو بردار نیروی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$F_1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$F_2$\u003C\u002Fspan> به ترتیب زاویهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\alpha = 50^\\circ $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\beta = 20^\\circ $\u003C\u002Fspan> با محور افقی ساخته‌اند. برای محاسبهٔ مؤلفهٔ افقی برآیند، از مجموع مؤلفه‌های x استفاده می‌شود. اما اگر بخواهیم زاویهٔ بین دو بردار را بدانیم، مستقیماً از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(50^\\circ - 20^\\circ) = \\cos 30^\\circ $\u003C\u002Fspan> استفاده می‌کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>همچنین در مهندسی برق، برای ولتاژ و جریان متناوب با تغییر فاز \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\varphi $\u003C\u002Fspan>، توان متوسط از رابطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ P = V_{\\text{rms}} I_{\\text{rms}} \\cos\\varphi $\u003C\u002Fspan> به دست می‌آید. اگر اختلاف فاز بین دو کمیت را برحسب توابع زمانی آن‌ها بنویسیم، دوباره به فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\theta_1 - \\theta_2) $\u003C\u002Fspan> نیاز پیدا می‌کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۶. چالش‌های مفهومی (پرسش و پاسخ)\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cdiv style=\"margin-bottom: 12px\">\u003Cstrong>پرسش ۱:\u003C\u002Fstrong> آیا فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha - \\beta) $\u003C\u002Fspan> برای هر دو زاویهٔ دلخواه حتی بزرگ‌تر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$360^\\circ$\u003C\u002Fspan> نیز برقرار است؟\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #ffffff; border-radius: 8px; padding: 8px 12px\">پاسخ: بله، این فرمول یک اتحاد مثلثاتی عمومی است که برای تمام اعداد حقیقی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\alpha $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\beta $\u003C\u002Fspan> (اعم از درجه یا رادیان) صادق است. دلیل آن تناوبی بودن توابع سینوس و کسینوس و سازگاری اثبات‌ها با هر زاویهٔ حقیقی است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cdiv style=\"margin-bottom: 12px\">\u003Cstrong>پرسش ۲:\u003C\u002Fstrong> چرا در فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha - \\beta) $\u003C\u002Fspan> علامت جمع (+) بین دو جمله وجود دارد، در حالی که در فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha + \\beta) $\u003C\u002Fspan> علامت منفی (-) ظاهر می‌شود؟\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #ffffff; border-radius: 8px; padding: 8px 12px\">پاسخ: اگر در فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha - \\beta) $\u003C\u002Fspan> به جای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\beta $\u003C\u002Fspan> مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ -\\beta $\u003C\u002Fspan> قرار دهیم، داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha + \\beta) = \\cos\\alpha \\cos(-\\beta) + \\sin\\alpha \\sin(-\\beta) $\u003C\u002Fspan>. از آنجا که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(-\\beta)=\\cos\\beta $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\sin(-\\beta)=-\\sin\\beta $\u003C\u002Fspan>، رابطه به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos\\alpha\\cos\\beta - \\sin\\alpha\\sin\\beta $\u003C\u002Fspan> تبدیل می‌شود. بنابراین تفاوت علامت ناشی از خاصیت فرد و زوج بودن سینوس و کسینوس است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cdiv style=\"margin-bottom: 12px\">\u003Cstrong>پرسش ۳:\u003C\u002Fstrong> آیا همیشه می‌توان از این فرمول برای محاسبهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos 15^\\circ $\u003C\u002Fspan> استفاده کرد؟ به چه صورت؟\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #ffffff; border-radius: 8px; padding: 8px 12px\">پاسخ: بله. برای مثال \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 15^\\circ = 45^\\circ - 30^\\circ $\u003C\u002Fspan>. بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos15^\\circ = \\cos45^\\circ\\cos30^\\circ + \\sin45^\\circ\\sin30^\\circ = (\\frac{\\sqrt{2}}{2})(\\frac{\\sqrt{3}}{2}) + (\\frac{\\sqrt{2}}{2})(\\frac{1}{2}) = \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4} $\u003C\u002Fspan>. این مقدار دقیق، جایگزین مقدار اعشاری تقریبی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$0.966$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۷. جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">در این مقاله با فرمول بنیادین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha - \\beta) = \\cos\\alpha\\cos\\beta + \\sin\\alpha\\sin\\beta $\u003C\u002Fspan> آشنا شدیم. اثبات هندسی با استفاده از دایرهٔ مثلثاتی و اثبات تحلیلی با کمک اعداد مختلط را بررسی کردیم. با جدول مقادیر ویژه و مثال‌های عددی، کاربرد این فرمول در محاسبات دقیق مثلثاتی نشان داده شد. همچنین برخی چالش‌های رایج مانند علت علامت جمع و تفاوت آن با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha+\\beta) $\u003C\u002Fspan> توضیح داده شد. تسلط بر این رابطه، پایهٔ قوی برای یادگیری سایر اتحادهای مثلثاتی و حل مسائل پیشرفته‌تر در ریاضیات و فیزیک فراهم می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv dir=\"rtl\" style=\"color: #667085; font-size: 13px; line-height: 1.6\">\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> عدد مختلط (Complex Number): عددی به شکل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ a+bi $\u003C\u002Fspan> که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ a $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ b $\u003C\u002Fspan> اعداد حقیقی و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ i $\u003C\u002Fspan> واحد موهومی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ i^2 = -1 $\u003C\u002Fspan>) است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> مزدوج مختلط (Complex Conjugate): برای عدد مختلط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ a+bi $\u003C\u002Fspan>، عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ a-bi $\u003C\u002Fspan> را گویند که با علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\overline{z} $\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> اختلاف فاز (Phase Difference): میزان اختلاف زاویهٔ اولیه بین دو کمیت نوسانی یا موجی که معمولاً بر حسب درجه یا رادیان بیان می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ یازدهم","حسابان یازدهم","فرمول cos(α−β)",0,212,"2026-05-04 16:19:57","2026-08-16 18:58:01","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F14","18:58 1405\u002F05\u002F25",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,312],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},12463,"نقطه تقاطع نمودار با محور x: نقطه‌ای که نمودار تابع محور x را قطع می‌کند و متناظر با صفر تابع است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Flp8mPVTnbCwBuDbga3iw_200.png","2026-08-31 12:56:30","نقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12463\u002Fنقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12463\u002Fنقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","1405\u002F06\u002F9",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},12464,"صفرهای تابع درجه دوم: مقادیری از x که در آن‌ها مقدار تابع درجه دوم صفر می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FsDayawGMHn9luVG99WUg_200.png","2026-08-31 12:54:11","صفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12464\u002Fصفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12464\u002Fصفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},12465,"تجزیه تابع درجه دوم: نوشتن تابع درجه دوم به صورت حاصل‌ضرب عامل‌های خطی بر اساس صفرهای آن.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Frf3DvGoxbeXxlL2fdE28_200.png","2026-08-31 12:51:00","تجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12465\u002Fتجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12465\u002Fتجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},12466,"ضابطه تابع: رابطه یا فرمولی که برای هر ورودی، مقدار تابع را تعیین می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FsLnJAa2du7iQAtRWKzhe_200.png","2026-08-31 12:48:32","ضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12466\u002Fضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12466\u002Fضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},12467,"سهمی: نمودار تابع درجه دوم که به شکل منحنی U مانند یا وارونه آن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fm5rwEPuIbBS56GG3brKD_200.png","2026-08-31 12:45:13","سهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12467\u002Fسهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12467\u002Fسهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},12468,"نقطه روی نمودار: نقطه‌ای که مختصات آن با قرار دادن یک مقدار x در ضابطه تابع و به دست آوردن y حاصل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYJZKdvtHJ3L8LMkn0sIM_200.png","2026-08-31 12:42:32","نقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12468\u002Fنقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12468\u002Fنقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},12469,"مینیمم تابع: کمترین مقدار تابع در یک بازه یا در کل دامنه، در صورتی که وجود داشته باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FjmLcvCLQUzckNnuQlJ8q_200.png","2026-08-31 12:38:38","مینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12469\u002Fمینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12469\u002Fمینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},12470,"ماکزیمم تابع: بیشترین مقدار تابع در یک بازه یا در کل دامنه، در صورتی که وجود داشته باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7hKMNaNQYPh1HEsFQSp6_200.png","2026-08-31 12:36:25","ماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12470\u002Fماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12470\u002Fماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},12471,"ریشه متمایز: ریشه‌هایی که با هم برابر نیستند و دو مقدار متفاوت به دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzLtawJrDJEifOsWRDuh5_200.png","2026-08-31 12:33:15","ریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12471\u002Fریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12471\u002Fریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},12472,"ریشه مضاعف: حالتی که معادله درجه دوم دو ریشه برابر دارد و سهمی فقط یک بار محور x را لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FqSf7rPtH1bsEMBI7KRpC_200.png","2026-08-31 12:28:36","ریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12472\u002Fریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12472\u002Fریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":231},12473,"تعداد صفرهای تابع: تعداد نقاطی که نمودار تابع محور x را قطع یا لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F5cYBDDObwSY3Byq4ZtcF_200.png","2026-08-31 12:26:25","تعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12473\u002Fتعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12473\u002Fتعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند",{"id":313,"title":314,"cat":199,"pic":315,"up_date":316,"title_url":317,"url":318,"legacy_url":319,"cat_title":212,"update_jalali":231},12474,"علامت a: مثبت یا منفی بودن ضریب x² در تابع درجه دوم که جهت بازشدگی سهمی را تعیین می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8MR1zPfpVaba6oCMRVyC_200.png","2026-08-31 12:24:32","علامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12474\u002Fعلامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12474\u002Fعلامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند"]