[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12904":193,"$fnZjuQJM0P6s4KCWzWxNtPqdXgy0Xwap4Z3MsTgwwHfA":216},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":207,"status":4,"views":208,"subdate":209,"up_date":210,"first_name":211,"last_name":212,"avatar":13,"cat_title":213,"subdate_jalali":214,"update_jalali":215},12904,1169,1171,3858,"فرمول cos(α+β): رابطه cos(α+β)=cosα cosβ − sinα sinβ.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FjHVycni5h97F68racP16_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"فرمول cos(α+β): رابطه بنیادین مثلثات\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha + \\beta) $\u003C\u002Fspan> و کاربردهای آن در مثلثات\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">کشف رابطه بین کسینوس جمع دو زاویه: از اثبات هندسی تا حل معادلات و مسیرهای عملی\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>خلاصه سئوپسند:\u003C\u002Fstrong> این مقاله به بررسی کامل فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha + \\beta) $\u003C\u002Fspan> می‌پردازد. شما با رابطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos\\alpha\\cos\\beta - \\sin\\alpha\\sin\\beta $\u003C\u002Fspan> آشنا می‌شوید، اثبات هندسی آن را گام به گام می‌بینید، و تفاوت آن با فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha - \\beta) $\u003C\u002Fspan> را درک می‌کنید. مثال‌های عددی و کاربرد در حل معادلات مثلثاتی، یادگیری این مبحث پایه‌ای دبیرستان را برای شما آسان‌تر می‌سازد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">گام اول: مفهوم و بیان اصلی فرمول جمع زوایا برای کسینوس\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در مثلثات، فرمول‌های جمع و تفریق زاویه از پایه‌ای‌ترین ابزارها برای ساده‌سازی عبارات و حل معادلات هستند. فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha + \\beta) $\u003C\u002Fspan> بیان می‌کند که کسینوس مجموع دو زاویه برابر است با حاصلضرب کسینوس زاویه اول در کسینوس زاویه دوم، منهای حاصلضرب سینوس زاویه اول در سینوس زاویه دوم. به زبان ریاضی:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\cos(\\alpha + \\beta) = \\cos\\alpha \\cos\\beta - \\sin\\alpha \\sin\\beta $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>این رابطه برای تمام اعداد حقیقی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\alpha $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\beta $\u003C\u002Fspan> معتبر است. درک این فرمول به شما کمک می‌کند تا مقدار دقیق کسینوس زوایایی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 75^\\circ $\u003C\u002Fspan> (که برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 45^\\circ + 30^\\circ $\u003C\u002Fspan> است) را بدون استفاده از ماشین‌حساب محاسبه کنید.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای نمونه عملی، فرض کنید می‌خواهیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos 75^\\circ $\u003C\u002Fspan> را به دست آوریم. با انتخاب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\alpha = 45^\\circ $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\beta = 30^\\circ $\u003C\u002Fspan> داریم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\cos 75^\\circ = \\cos(45^\\circ+30^\\circ) = \\cos45^\\circ \\cos30^\\circ - \\sin45^\\circ \\sin30^\\circ $\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ = (\\frac{\\sqrt{2}}{2})(\\frac{\\sqrt{3}}{2}) - (\\frac{\\sqrt{2}}{2})(\\frac{1}{2}) = \\frac{\\sqrt{6}}{4} - \\frac{\\sqrt{2}}{4} = \\frac{\\sqrt{6}-\\sqrt{2}}{4} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">اثبات هندسی با استفاده از دایره مثلثاتی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>یکی از زیباترین و قابل‌درک‌ترین اثبات‌ها برای دانش‌آموزان دبیرستان، اثبات هندسی روی دایره واحد (دایره مثلثاتی) است. در این روش، نقاط مربوط به زوایای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\alpha $\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\beta $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\alpha+\\beta $\u003C\u002Fspan> را روی دایره به شعاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 1 $\u003C\u002Fspan> مشخص می‌کنیم. مختصات نقطه‌ای که با زاویه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\theta $\u003C\u002Fspan> از محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x $\u003C\u002Fspan> قرار دارد، برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (\\cos\\theta, \\sin\\theta) $\u003C\u002Fspan> است. فاصله بین دو نقطه روی دایره را به دو روش محاسبه کرده و با استفاده از قانون کسینوس‌ها\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> به رابطه مورد نظر می‌رسیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>مراحل سریع اثبات:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ A $\u003C\u002Fspan> با زاویه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\alpha $\u003C\u002Fspan> : \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (\\cos\\alpha, \\sin\\alpha) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ B $\u003C\u002Fspan> با زاویه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ -\\beta $\u003C\u002Fspan> : \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (\\cos\\beta, -\\sin\\beta) $\u003C\u002Fspan> (چون کسینوس زوج و سینوس فرد است)\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>فاصله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ AB $\u003C\u002Fspan> را از طریق مختصات محاسبه می‌کنیم و نیز از طریق قانون کسینوس‌ها در مثلث \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ AOB $\u003C\u002Fspan> با زاویه مرکزی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\alpha + \\beta $\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>با مساوی قرار دادن دو عبارت، پس از ساده‌سازی به فرمول اصلی می‌رسیم.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مقایسه فرمول کسینوس جمع و تفریق زوایا\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>درک تفاوت میان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha + \\beta) $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha - \\beta) $\u003C\u002Fspan> بسیار مهم است. علامت منفی در فرمول جمع به مثبت تبدیل می‌شود:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\cos(\\alpha - \\beta) = \\cos\\alpha \\cos\\beta + \\sin\\alpha \\sin\\beta $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>جدول زیر این دو رابطه را به صورت مستقیم مقایسه می‌کند:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه فرمول جمع و تفریق برای کسینوس\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">فرمول\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">عبارت جبری\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نمونه با اعداد\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha + \\beta) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos\\alpha\\cos\\beta - \\sin\\alpha\\sin\\beta $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(60^\\circ+30^\\circ)=\\cos90^\\circ=0 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha - \\beta) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos\\alpha\\cos\\beta + \\sin\\alpha\\sin\\beta $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(60^\\circ-30^\\circ)=\\cos30^\\circ=\\frac{\\sqrt{3}}{2} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی در حل معادلات مثلثاتی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos 2x \\cos x - \\sin 2x \\sin x = 0 $\u003C\u002Fspan> را داریم. اگر دقت کنید، سمت چپ دقیقاً همان شکل فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha + \\beta) $\u003C\u002Fspan> است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\alpha = 2x $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\beta = x $\u003C\u002Fspan>. بنابراین معادله به صورت زیر ساده می‌شود:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\cos(2x + x) = \\cos 3x = 0 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>اکنون حل معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos 3x = 0 $\u003C\u002Fspan> ساده است. می‌دانیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos\\theta = 0 $\u003C\u002Fspan> وقتی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\theta = \\frac{\\pi}{2} + k\\pi $\u003C\u002Fspan> که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ k $\u003C\u002Fspan> عدد صحیح است. بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 3x = \\frac{\\pi}{2} + k\\pi $\u003C\u002Fspan> و در نتیجه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x = \\frac{\\pi}{6} + \\frac{k\\pi}{3} $\u003C\u002Fspan>. این مثال نشان می‌دهد که چگونه یک فرمول به ظاهر ساده، مسیر حل را کوتاه می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 10px; margin-left: 12px; margin-right: 12px; margin-top: 10px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۱. چرا در فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha + \\beta) $\u003C\u002Fspan> عمل تفریق ظاهر می‌شود، در حالی که در فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\sin(\\alpha + \\beta) $\u003C\u002Fspan> عمل جمع داریم؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: این تفاوت ریشه در تقارن توابع دارد. تابع کسینوس زوج است \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (\\cos(-\\theta)=\\cos\\theta) $\u003C\u002Fspan>، در حالی که سینوس فرد است. وقتی فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha + \\beta) $\u003C\u002Fspan> را از روی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha - (-\\beta)) $\u003C\u002Fspan> و با استفاده از رابطه تفریق بسازیم، علامت منفی در جملهٔ سینوسی ظاهر می‌شود. همچنین از دید هندسی، کسینوس جمع دو زاویه به بردارها در ربع‌های مختلف وابسته است که حاصل‌ضرب سینوس‌ها علامت منفی می‌گیرد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 10px; margin-left: 12px; margin-right: 12px; margin-top: 10px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۲. آیا فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha + \\beta) $\u003C\u002Fspan> برای زوایای بزرگتر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 90^\\circ $\u003C\u002Fspan> نیز معتبر است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: بله، کاملاً معتبر است. این فرمول یک هویت مثلثاتی عمومی برای همه اعداد حقیقی (و حتی مختلط) است. برای زوایای بزرگتر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 90^\\circ $\u003C\u002Fspan>، کسینوس می‌تواند منفی شود و فرمول همچنان برقرار است. به عنوان مثال، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\alpha=100^\\circ $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\beta=50^\\circ $\u003C\u002Fspan> را امتحان کنید: سمت چپ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos150^\\circ = -\\frac{\\sqrt{3}}{2} $\u003C\u002Fspan> و سمت راست با محاسبه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos100^\\circ\\cos50^\\circ - \\sin100^\\circ\\sin50^\\circ $\u003C\u002Fspan> دقیقاً به همان مقدار می‌رسد (هرچند مقادیر تکی هر کسینوس و سینوس ممکن گنگ باشند).\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 10px; margin-left: 12px; margin-right: 12px; margin-top: 10px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۳. چگونه می‌توان از فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha + \\beta) $\u003C\u002Fspan> برای به دست آوردن فرمول کسینوس زاویه مضاعف استفاده کرد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: کافی است در فرمول جمع، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\beta $\u003C\u002Fspan> را برابر با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\alpha $\u003C\u002Fspan> قرار دهیم. آنگاه داریم:\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(2\\alpha) = \\cos(\\alpha+\\alpha) = \\cos\\alpha\\cos\\alpha - \\sin\\alpha\\sin\\alpha = \\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha $\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\nبا استفاده از رابطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 $\u003C\u002Fspan> می‌توان این را به شکل‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 2\\cos^2\\alpha - 1 $\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 1 - 2\\sin^2\\alpha $\u003C\u002Fspan> نیز نوشت. این روش پایه‌ای برای استخراج بسیاری از هویت‌های دیگر است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مسیری برای به خاطر سپاری آسان‌تر\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>بسیاری از دانش‌آموزان برای به خاطر سپردن این فرمول از جمله کلیدی «کسینوس جمع، کسینوس کسینوس منه سینوس سینوس» استفاده می‌کنند. همچنین می‌توانید ارتباط آن با فرمول جمع سینوس را به صورت جفتی یاد بگیرید. جدول زیر یک نگاه کلی به چهار فرمول اصلی جمع و تفریق می‌دهد:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"چهار فرمول اصلی جمع و تفریق زوایا\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">عملیات\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">فرمول کسینوس\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">فرمول سینوس\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">جمع (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ + $\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos\\alpha\\cos\\beta - \\sin\\alpha\\sin\\beta $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">تفریق (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ - $\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos\\alpha\\cos\\beta + \\sin\\alpha\\sin\\beta $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\sin\\alpha\\cos\\beta - \\cos\\alpha\\sin\\beta $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\cos(\\alpha + \\beta) = \\cos\\alpha\\cos\\beta - \\sin\\alpha\\sin\\beta $\u003C\u002Fspan> یکی از ستون‌های اصلی مثلثات است. در این مقاله اثبات هندسی آن را مرور کردیم، تفاوت آن با فرمول تفریق را در قالب جدول دیدیم، و با مثال عددی و حل معادله، کاربرد عملی آن را نشان دادیم. همچنین چالش‌های رایج را بررسی کرده و روش‌های به خاطر سپاری را ارائه دادیم. تسلط بر این فرمول، درک شما را از توابع مثلثاتی و کاربردهای آن‌ها در فیزیک، مهندسی و ریاضیات عمیق‌تر می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> قانون کسینوس‌ها (Law of Cosines): در هر مثلث با اضلاع a,b,c و زاویه مقابل به ضلع c یعنی γ، رابطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma $\u003C\u002Fspan> برقرار است. تعمیمی از قضیه فیثاغورس برای مثلث‌های غیر قائم‌الزاویه.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> دایره مثلثاتی (Unit Circle): دایره‌ای به شعاع واحد (۱) در صفحه مختصات که مبدأ آن در مرکز دایره قرار دارد. مختصات هر نقطه روی این دایره به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (\\cos\\theta, \\sin\\theta) $\u003C\u002Fspan> است، جایی که θ زاویهٔ تشکیل‌شده با محور افقی مثبت است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205,206],"پایهٔ یازدهم","حسابان یازدهم","فرمول cos(α","β)",0,105,"2026-05-04 15:59:01","2026-08-16 19:04:56","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F14","19:04 1405\u002F05\u002F25",{"tests":217,"papers":218,"files":219,"questions":220,"exams":221,"tutorials":222,"blogs":223},[],[],[],[],[],[],[224,233,241,249,257,265,273,281,289,297,305,313],{"id":225,"title":226,"cat":199,"pic":227,"up_date":228,"title_url":229,"url":230,"legacy_url":231,"cat_title":213,"update_jalali":232},12463,"نقطه تقاطع نمودار با محور x: نقطه‌ای که نمودار تابع محور x را قطع می‌کند و متناظر با صفر تابع است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Flp8mPVTnbCwBuDbga3iw_200.png","2026-08-31 12:56:30","نقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12463\u002Fنقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12463\u002Fنقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","1405\u002F06\u002F9",{"id":234,"title":235,"cat":199,"pic":236,"up_date":237,"title_url":238,"url":239,"legacy_url":240,"cat_title":213,"update_jalali":232},12464,"صفرهای تابع درجه دوم: مقادیری از x که در آن‌ها مقدار تابع درجه دوم صفر می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FsDayawGMHn9luVG99WUg_200.png","2026-08-31 12:54:11","صفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12464\u002Fصفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12464\u002Fصفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود",{"id":242,"title":243,"cat":199,"pic":244,"up_date":245,"title_url":246,"url":247,"legacy_url":248,"cat_title":213,"update_jalali":232},12465,"تجزیه تابع درجه دوم: نوشتن تابع درجه دوم به صورت حاصل‌ضرب عامل‌های خطی بر اساس صفرهای آن.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Frf3DvGoxbeXxlL2fdE28_200.png","2026-08-31 12:51:00","تجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12465\u002Fتجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12465\u002Fتجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن",{"id":250,"title":251,"cat":199,"pic":252,"up_date":253,"title_url":254,"url":255,"legacy_url":256,"cat_title":213,"update_jalali":232},12466,"ضابطه تابع: رابطه یا فرمولی که برای هر ورودی، مقدار تابع را تعیین می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FsLnJAa2du7iQAtRWKzhe_200.png","2026-08-31 12:48:32","ضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12466\u002Fضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12466\u002Fضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند",{"id":258,"title":259,"cat":199,"pic":260,"up_date":261,"title_url":262,"url":263,"legacy_url":264,"cat_title":213,"update_jalali":232},12467,"سهمی: نمودار تابع درجه دوم که به شکل منحنی U مانند یا وارونه آن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fm5rwEPuIbBS56GG3brKD_200.png","2026-08-31 12:45:13","سهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12467\u002Fسهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12467\u002Fسهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است",{"id":266,"title":267,"cat":199,"pic":268,"up_date":269,"title_url":270,"url":271,"legacy_url":272,"cat_title":213,"update_jalali":232},12468,"نقطه روی نمودار: نقطه‌ای که مختصات آن با قرار دادن یک مقدار x در ضابطه تابع و به دست آوردن y حاصل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYJZKdvtHJ3L8LMkn0sIM_200.png","2026-08-31 12:42:32","نقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12468\u002Fنقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12468\u002Fنقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود",{"id":274,"title":275,"cat":199,"pic":276,"up_date":277,"title_url":278,"url":279,"legacy_url":280,"cat_title":213,"update_jalali":232},12469,"مینیمم تابع: کمترین مقدار تابع در یک بازه یا در کل دامنه، در صورتی که وجود داشته باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FjmLcvCLQUzckNnuQlJ8q_200.png","2026-08-31 12:38:38","مینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12469\u002Fمینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12469\u002Fمینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد",{"id":282,"title":283,"cat":199,"pic":284,"up_date":285,"title_url":286,"url":287,"legacy_url":288,"cat_title":213,"update_jalali":232},12470,"ماکزیمم تابع: بیشترین مقدار تابع در یک بازه یا در کل دامنه، در صورتی که وجود داشته باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7hKMNaNQYPh1HEsFQSp6_200.png","2026-08-31 12:36:25","ماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12470\u002Fماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12470\u002Fماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد",{"id":290,"title":291,"cat":199,"pic":292,"up_date":293,"title_url":294,"url":295,"legacy_url":296,"cat_title":213,"update_jalali":232},12471,"ریشه متمایز: ریشه‌هایی که با هم برابر نیستند و دو مقدار متفاوت به دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzLtawJrDJEifOsWRDuh5_200.png","2026-08-31 12:33:15","ریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12471\u002Fریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12471\u002Fریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند",{"id":298,"title":299,"cat":199,"pic":300,"up_date":301,"title_url":302,"url":303,"legacy_url":304,"cat_title":213,"update_jalali":232},12472,"ریشه مضاعف: حالتی که معادله درجه دوم دو ریشه برابر دارد و سهمی فقط یک بار محور x را لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FqSf7rPtH1bsEMBI7KRpC_200.png","2026-08-31 12:28:36","ریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12472\u002Fریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12472\u002Fریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند",{"id":306,"title":307,"cat":199,"pic":308,"up_date":309,"title_url":310,"url":311,"legacy_url":312,"cat_title":213,"update_jalali":232},12473,"تعداد صفرهای تابع: تعداد نقاطی که نمودار تابع محور x را قطع یا لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F5cYBDDObwSY3Byq4ZtcF_200.png","2026-08-31 12:26:25","تعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12473\u002Fتعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12473\u002Fتعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":213,"update_jalali":232},12474,"علامت a: مثبت یا منفی بودن ضریب x² در تابع درجه دوم که جهت بازشدگی سهمی را تعیین می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8MR1zPfpVaba6oCMRVyC_200.png","2026-08-31 12:24:32","علامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12474\u002Fعلامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12474\u002Fعلامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند"]