[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12698":193,"$fSjoVnWcLn4aXw1-hGFQVedyiBrGbXL9pcfaow6Y1rX8":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},12698,1169,1171,3858,"تابع یک‌به‌یک: تابعی که در آن هر دو عضو متمایز دامنه به دو عضو متمایز برد نسبت داده می‌شوند.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FuuG1PRyw3t1acWnKa8zT_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"تابع یک‌به‌یک\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">تابع یک‌به‌یک: نگاشت منحصربه‌فرد اعضای دامنه به برد\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">آشنایی با ویژگی تزریقی بودن توابع، تشخیص آن با آزمون خط افقی و کاربردهای آن در دنیای واقعی\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>خلاصه‌ٔ مقاله:\u003C\u002Fstrong> در این مقاله با مفهوم تابع یک‌به‌یک (تزریقی) آشنا می‌شوید. می‌آموزید که چگونه اعضای متمایز دامنه به اعضای متمایز برد نگاشت می‌شوند. روش تشخیص این توابع با استفاده از \u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">آزمون خط افقی\u003C\u002Fspan> و تفاوت آن با توابع پوشا و دوسویه را به همراه مثال‌های عددی و فرمول‌های ریاضی بررسی خواهیم کرد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تعریف اصلی تابع یک‌به‌یک (تزریقی)\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f\u003C\u002Fspan> تابعی از مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A\u003C\u002Fspan> (دامنه) به مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B\u003C\u002Fspan> (برد یا هم‌دامنه) باشد. تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f\u003C\u002Fspan> را \u003Cstrong>یک‌به‌یک\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> گوییم، هرگاه به ازای هر دو عضو متمایز \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_1\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_2\u003C\u002Fspan> از دامنه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A\u003C\u002Fspan>، تصاویر آنها نیز متمایز باشند. به عبارت دیگر، اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_1 \\neq x_2\u003C\u002Fspan> آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x_1) \\neq f(x_2)\u003C\u002Fspan>. معادل این گزاره، عکس آن نیز برقرار است: اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x_1) = f(x_2)\u003C\u002Fspan> آنگاه نتیجه می‌شود که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_1 = x_2\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکته:\u003C\u002Fstrong> برای اثبات یک‌به‌یک بودن یک تابع، معمولاً فرض می‌کنیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x_1)=f(x_2)\u003C\u002Fspan> و سپس با استفاده از عملیات جبری نشان می‌دهیم که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_1 = x_2\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>مثال عددی ساده: تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=2x+1\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2x_1+1 = 2x_2+1\u003C\u002Fspan>، با کم کردن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1\u003C\u002Fspan> از دو طرف داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2x_1 = 2x_2\u003C\u002Fspan> و در نهایت تقسیم بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2\u003C\u002Fspan> نتیجه می‌دهد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_1 = x_2\u003C\u002Fspan>. بنابراین این تابع یک‌به‌یک است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تشخیص بصری با آزمون خط افقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>یکی از روش‌های سریع برای تشخیص یک‌به‌یک بودن یک تابع (که نمودار آن در دستگاه مختصات رسم شده) استفاده از \u003Cstrong>آزمون خط افقی\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> است. اگر بتوان خطی افقی رسم کرد که نمودار تابع را در بیش از یک نقطه قطع کند، آن تابع یک‌به‌یک نیست. به بیان دیگر، یک تابع یک‌به‌یک است اگر و تنها اگر هر خط افقی حداکثر یک بار نمودار آن را قطع کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه آزمون خط افقی برای توابع مختلف\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع تابع\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">معادله نمونه\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نتیجه آزمون خط افقی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">یک‌به‌یک؟\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">خطی غیرثابت\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=3x-2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">هر خط افقی دقیقاً یک بار قطع می‌کند\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">بله\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">تابع درجه دوم\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">خطوط افقی بالای صفر دو بار قطع می‌کنند\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #fee2e2; border-radius: 999px; color: #991b1b; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">خیر\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">تابع نمایی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=e^x$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">هر خط افقی حداکثر یک بار قطع می‌کند\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cstrong style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; padding: 2px 8px; vertical-align: baseline\">بله\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تمایز با توابع پوشا و دوسویه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در نظریه مجموعه‌ها، توابع یک‌به‌یک را \u003Cstrong>توابع تزریقی\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> می‌نامند. در مقابل، اگر هر عضو از مجموعه برد (هم‌دامنه) تصویر حداقل یک عضو از دامنه باشد، تابع را \u003Cstrong>پوشا\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> می‌گویند. تابعی که هم یک‌به‌یک و هم پوشا باشد، \u003Cstrong>دوسویه\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> یا تناظر یک‌به‌یک نامیده می‌شود. توابع دوسویه وارون‌پذیر هستند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای مثال، تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f:\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> با ضابطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=x^3$\u003C\u002Fspan> یک تابع دوسویه است (چون هم یک‌به‌یک و هم پوشاست)، در حالی که تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f:\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}$\u003C\u002Fspan> با ضابطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan> نه یک‌به‌یک است (به دلیل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(2)=f(-2)=4$\u003C\u002Fspan>) و نه پوشا (زیرا اعداد منفی در برد آن نیستند).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی: رمزنگاری و پایگاه داده\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>مفهوم تابع یک‌به‌یک در دنیای واقعی کاربردهای گسترده‌ای دارد. به عنوان مثال، در پایگاه داده‌های رابطه‌ای، کلید اصلی\u003Csup>6\u003C\u002Fsup> همواره باید یک‌به‌یک باشد تا هر رکورد به طور منحصربه‌فرد شناسایی شود. در رمزنگاری، توابع درهم‌ساز\u003Csup>7\u003C\u002Fsup> ایده‌آل باید ویژگی یک‌به‌یک بودن را تقریب بزنند تا دو پیام متفاوت به یک مقدار درهم‌ساز نگاشت نشوند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>مثال ملموس دیگر: هر شماره ملی منحصربه‌فرد به یک شهروند نسبت داده می‌شود. این نگاشت یک تابع یک‌به‌یک از مجموعه شهروندان به مجموعه شماره‌های ملی است (اگر فرض کنیم هیچ شماره تکراری صادر نشود). همچنین، کدهای محصول در فروشگاه‌های اینترنتی به گونه‌ای طراحی می‌شوند که هر کد فقط به یک کالا اشاره کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>فرمول:\u003C\u002Fstrong> اگر تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f\u003C\u002Fspan> یک‌به‌یک باشد، آنگاه برای هر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$y$\u003C\u002Fspan> در برد، معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=y$\u003C\u002Fspan> حداکثر یک جواب دارد. این ویژگی اساس تعریف تابع وارون است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۱. آیا تابع ثابت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=c$\u003C\u002Fspan> (که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$c$\u003C\u002Fspan> یک عدد ثابت است) می‌تواند یک‌به‌یک باشد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: خیر، مگر آنکه دامنه تابع دقیقاً یک عضو داشته باشد. اگر دامنه دارای دو عضو متمایز مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_1 \\neq x_2$\u003C\u002Fspan> باشد، آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x_1)=c=f(x_2)$\u003C\u002Fspan> اما \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_1 \\neq x_2$\u003C\u002Fspan> که با شرط یک‌به‌یک بودن در تضاد است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۲. آیا هر تابع یک‌به‌یک لزوماً وارون‌پذیر است؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: برای وارون‌پذیری، تابع باید یک‌به‌یک و پوشا (یعنی دوسویه) باشد. اما اگر دامنه و برد تابع یک‌به‌یک را به ترتیب به مجموعه مقادیر و مجموعه تصاویر (برد حقیقی) محدود کنیم، آنگاه تابعی دوسویه خواهد بود و می‌توان وارون آن را تعریف کرد. در عمل، همه توابع یک‌به‌یک روی برد خودشان وارون‌پذیر هستند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۳. امکان دارد یک تابع صعودی اکید، یک‌به‌یک نباشد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: خیر. اگر تابعی بر روی یک بازه از اعداد حقیقی \u003Cstrong>صعودی اکید\u003C\u002Fstrong>\u003Csup>8\u003C\u002Fsup> باشد (یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_1 )، آنگاه کاملاً یک‌به‌یک است. زیرا برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_1 \\neq x_2$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_1 است یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_1 > x_2$\u003C\u002Fspan> که در هر دو حالت تصاویر متفاوت خواهند بود. همین ویژگی برای توابع نزولی اکید نیز برقرار است. \u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">ویژگی‌های جبری توابع یک‌به‌یک\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>چند ویژگی مهم در مورد ترکیب توابع یک‌به‌یک وجود دارد:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$g$\u003C\u002Fspan> هر دو توابعی یک‌به‌یک باشند، آنگاه ترکیب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f \\circ g$\u003C\u002Fspan> نیز یک‌به‌یک است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f \\circ g$\u003C\u002Fspan> یک‌به‌یک باشد، نتیجه می‌شود که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$g$\u003C\u002Fspan> حتماً یک‌به‌یک است (اما \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f$\u003C\u002Fspan> لزومی ندارد یک‌به‌یک باشد).\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>تابع وارون یک تابع یک‌به‌یک (اگر وجود داشته باشد) نیز یک‌به‌یک است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>مثال ترکیب: فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$g(x)=x+1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=2x$\u003C\u002Fspan>. هر دو یک‌به‌یک هستند. ترکیب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(f \\circ g)(x)=2(x+1)=2x+2$\u003C\u002Fspan> نیز به راحتی قابل بررسی است که یک‌به‌یک می‌باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">روش جبری اثبات یک‌به‌یک بودن\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای اثبات یک‌به‌یک بودن یک تابع با ضابطه جبری (مانند توابع چندجمله‌ای، گویا، مثلثاتی و ...) معمولاً مراحل زیر را طی می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Col style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>فرض می‌کنیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x_1)=f(x_2)$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>ضابطه تابع را جایگذاری می‌کنیم و معادله را ساده می‌کنیم.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>با استفاده از عملیات جبری مجاز (مانند جمع، تفریق، ضرب در عدد ثابت غیرصفر، تقسیم، ریشه‌گیری که یک‌به‌یک است) به تساوی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_1=x_2$\u003C\u002Fspan> می‌رسیم.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>اگر در این مسیر به یک چندجمله‌ای درجه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n$\u003C\u002Fspan> برسیم، باید اثبات کنیم که تنها ریشه ممکن همان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_1=x_2$\u003C\u002Fspan> است (مثلاً با استفاده از اتحادها).\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Fol>\r\n\r\n\u003Cp>مثال: برای تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=\\frac{2x}{x-1}$\u003C\u002Fspan> (با دامنه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x \\neq 1$\u003C\u002Fspan>) فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{2x_1}{x_1-1}=\\frac{2x_2}{x_2-1}$\u003C\u002Fspan>. با ضرب متقاطع و ساده‌سازی به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2x_1(x_2-1)=2x_2(x_1-1)$\u003C\u002Fspan> می‌رسیم که پس از تقسیم بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2$\u003C\u002Fspan> و بسط: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_1x_2 - x_1 = x_1x_2 - x_2$\u003C\u002Fspan> و ساده‌سازی به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-x_1 = -x_2$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_1=x_2$\u003C\u002Fspan> ختم می‌شود. پس این تابع یک‌به‌یک است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> تابع یک‌به‌یک (تزریقی) یکی از مفاهیم پایه‌ای در ریاضیات است که تضمین می‌کند اعضای متمایز دامنه به اعضای متمایز برد نگاشت می‌شوند. این ویژگی با آزمون خط افقی روی نمودار و به روش جبری قابل بررسی است. توابع یک‌به‌یک در کنار توابع پوشا، پایه و اساس توابع دوسویه و وارون‌پذیری را تشکیل می‌دهند. کاربردهای گسترده آن در علوم کامپیوتر (کلیدهای اصلی)، رمزنگاری و زندگی روزمره (شماره‌های ملی) اهمیت مطالعه این مفهوم را دوچندان می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> تابع یک‌به‌یک (Injective Function): تابعی که در آن هر عضو برد حداکثر یک تصویر از دامنه دارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> آزمون خط افقی (Horizontal Line Test): روشی هندسی برای تشخیص یک‌به‌یک بودن توابع با رسم خطوط افقی روی نمودار.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> تابع تزریقی (Injective Function): معادل دیگر تابع یک‌به‌یک در زبان ریاضیات.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> تابع پوشا (Surjective Function): تابعی که برد آن برابر با هم‌دامنه است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv>\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> تابع دوسویه (Bijective Function): تابعی که هم یک‌به‌یک و هم پوشا باشد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv>\u003Csup>6\u003C\u002Fsup> کلید اصلی (Primary Key): در پایگاه داده، ستونی که هر رکورد را به طور منحصربه‌فرد مشخص می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv>\u003Csup>7\u003C\u002Fsup> تابع درهم‌ساز (Hash Function): تابعی ریاضی که داده‌هایی با اندازه متغیر را به مقداری با اندازه ثابت تبدیل می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv>\u003Csup>8\u003C\u002Fsup> صعودی اکید (Strictly Increasing): تابعی که به ازای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x_1 همواره \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x_1) برقرار باشد.\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ یازدهم","حسابان یازدهم","تابع یک‌به‌یک",0,525,"2026-04-30 12:08:40","2026-08-23 17:44:54","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F10","17:44 1405\u002F06\u002F1",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,312],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},12463,"نقطه تقاطع نمودار با محور x: نقطه‌ای که نمودار تابع محور x را قطع می‌کند و متناظر با صفر تابع است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Flp8mPVTnbCwBuDbga3iw_200.png","2026-08-31 12:56:30","نقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12463\u002Fنقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12463\u002Fنقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","1405\u002F06\u002F9",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},12464,"صفرهای تابع درجه دوم: مقادیری از x که در آن‌ها مقدار تابع درجه دوم صفر می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FsDayawGMHn9luVG99WUg_200.png","2026-08-31 12:54:11","صفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12464\u002Fصفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12464\u002Fصفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},12465,"تجزیه تابع درجه دوم: نوشتن تابع درجه دوم به صورت حاصل‌ضرب عامل‌های خطی بر اساس صفرهای آن.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Frf3DvGoxbeXxlL2fdE28_200.png","2026-08-31 12:51:00","تجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12465\u002Fتجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12465\u002Fتجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},12466,"ضابطه تابع: رابطه یا فرمولی که برای هر ورودی، مقدار تابع را تعیین می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FsLnJAa2du7iQAtRWKzhe_200.png","2026-08-31 12:48:32","ضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12466\u002Fضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12466\u002Fضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},12467,"سهمی: نمودار تابع درجه دوم که به شکل منحنی U مانند یا وارونه آن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fm5rwEPuIbBS56GG3brKD_200.png","2026-08-31 12:45:13","سهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12467\u002Fسهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12467\u002Fسهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},12468,"نقطه روی نمودار: نقطه‌ای که مختصات آن با قرار دادن یک مقدار x در ضابطه تابع و به دست آوردن y حاصل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYJZKdvtHJ3L8LMkn0sIM_200.png","2026-08-31 12:42:32","نقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12468\u002Fنقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12468\u002Fنقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},12469,"مینیمم تابع: کمترین مقدار تابع در یک بازه یا در کل دامنه، در صورتی که وجود داشته باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FjmLcvCLQUzckNnuQlJ8q_200.png","2026-08-31 12:38:38","مینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12469\u002Fمینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12469\u002Fمینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},12470,"ماکزیمم تابع: بیشترین مقدار تابع در یک بازه یا در کل دامنه، در صورتی که وجود داشته باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7hKMNaNQYPh1HEsFQSp6_200.png","2026-08-31 12:36:25","ماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12470\u002Fماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12470\u002Fماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},12471,"ریشه متمایز: ریشه‌هایی که با هم برابر نیستند و دو مقدار متفاوت به دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzLtawJrDJEifOsWRDuh5_200.png","2026-08-31 12:33:15","ریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12471\u002Fریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12471\u002Fریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},12472,"ریشه مضاعف: حالتی که معادله درجه دوم دو ریشه برابر دارد و سهمی فقط یک بار محور x را لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FqSf7rPtH1bsEMBI7KRpC_200.png","2026-08-31 12:28:36","ریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12472\u002Fریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12472\u002Fریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":231},12473,"تعداد صفرهای تابع: تعداد نقاطی که نمودار تابع محور x را قطع یا لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F5cYBDDObwSY3Byq4ZtcF_200.png","2026-08-31 12:26:25","تعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12473\u002Fتعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12473\u002Fتعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند",{"id":313,"title":314,"cat":199,"pic":315,"up_date":316,"title_url":317,"url":318,"legacy_url":319,"cat_title":212,"update_jalali":231},12474,"علامت a: مثبت یا منفی بودن ضریب x² در تابع درجه دوم که جهت بازشدگی سهمی را تعیین می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8MR1zPfpVaba6oCMRVyC_200.png","2026-08-31 12:24:32","علامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12474\u002Fعلامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12474\u002Fعلامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند"]