[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12469":193,"$foRh5w8hU27eeqoHPUeXcaBE_IickoSI2TPibyd-wfw8":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},12469,1169,1171,3858,"مینیمم تابع: کمترین مقدار تابع در یک بازه یا در کل دامنه، در صورتی که وجود داشته باشد.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FjmLcvCLQUzckNnuQlJ8q_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"مینیمم تابع: کمترین مقدار تابع در یک بازه یا کل دامنه\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">مینیمم تابع: کمترین مقدار یک تابع در بازه یا کل دامنه\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">آشنایی با نقطه‌های کمینه، روش‌های محاسبه و تفاوت مینیمم مطلق و نسبی در ریاضیات دبیرستان\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله با مفهوم مینیمم تابع (کمترین مقدار تابع) در ریاضیات دبیرستان آشنا می‌شوید. می‌آموزید که مینیمم مطلق با مینیمم نسبی چه تفاوتی دارد، چگونه نقاط بحرانی را بیابید و با استفاده از آزمون مشتق اول و دوم، کمینه توابع مختلف را تعیین کنید. مثال‌های گام‌به‌گام و جدول مقایسه، درک این مبحث پایه‌ای برای بهینه‌سازی را برای شما آسان می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تعریف مینیمم تابع و انواع آن\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در ریاضیات، مینیمم یک تابع به کمترین مقدار خروجی (مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">y\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f(x)\u003C\u002Fspan>) اشاره دارد که تابع می‌تواند در دامنه خود به دست آورد. این مفهوم یکی از پایه‌های بهینه‌سازی است. دو نوع اصلی مینیمم وجود دارد:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مینیمم مطلق (سراسری):\u003C\u002Fstrong> اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f(c) \\le f(x)$\u003C\u002Fspan> برای تمام \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x\u003C\u002Fspan> در دامنه تابع برقرار باشد، آن‌گاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f(c)\u003C\u002Fspan> کمترین مقدار تابع در کل دامنه است. به عبارت دیگر، هیچ نقطه‌ای مقدار کمتری از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f(c)\u003C\u002Fspan> ندارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مینیمم نسبی (موضعی):\u003C\u002Fstrong> اگر عدد مثبت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\delta$\u003C\u002Fspan> وجود داشته باشد به طوری که برای همه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x\u003C\u002Fspan> در فاصله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$(c-\\delta, c+\\delta)$\u003C\u002Fspan> (همسایگی نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">c\u003C\u002Fspan>) داشته باشیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f(c) \\le f(x)$\u003C\u002Fspan>، آن‌گاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f(c)\u003C\u002Fspan> یک مینیمم نسبی است. یعنی فقط در یک ناحیه کوچک اطراف \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">c\u003C\u002Fspan>، مقدار تابع از همه نقاط اطراف خود کمتر یا برابر است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>یک مثال ملموس: فرض کنید تابع ارتفاع یک کوه را نشان می‌دهد. مینیمم مطلق پایین‌ترین نقطه دامنه کوه (مثلاً سطح دریا) است، در حالی که مینیمم‌های نسبی کف دره‌های کوچک در دامنه کوه هستند که نسبت به اطراف خود پایین‌ترین نقطه به شمار می‌روند، اما از سطح دریا بسیار بالاترند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکته کلیدی:\u003C\u002Fstrong> یک تابع روی یک بازه بسته مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$[a,b]$\u003C\u002Fspan> همواره دارای مینیمم مطلق است (قضیه مقدار کرانی\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>)، اما روی بازه باز \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$(a,b)$\u003C\u002Fspan> ممکن است مینیمم مطلق وجود نداشته باشد یا در نقاط مرزی رخ دهد که خود جزء بازه نیستند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">شرط لازم برای وقوع مینیمم: نقاط بحرانی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای توابع مشتق‌پذیر\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>، نقاطی که مینیمم (یا ماکزیمم) نسبی در آن‌ها رخ می‌دهد، باید مشتق تابع در آن نقاط صفر شود یا مشتق وجود نداشته باشد. به این نقاط، \u003Cstrong>نقاط بحرانی\u003C\u002Fstrong> می‌گوییم. شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f'(x)=0$\u003C\u002Fspan> یک شرط لازم برای وقوع اکسترمم نسبی در نقاط داخلی دامنه است، اما کافی نیست (نقطه عطف افقی نیز مشتق صفر دارد).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>به عنوان مثال، تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. مشتق آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f'(x)=2x$\u003C\u002Fspan> است. با مساوی صفر قرار دادن مشتق داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$2x=0 \\Rightarrow x=0$\u003C\u002Fspan>. نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=0\u003C\u002Fspan> یک نقطه بحرانی است و همانطور که می‌دانیم مینیمم مطلق تابع در این نقطه قرار دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">آزمون مشتق اول برای تشخیص مینیمم نسبی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>آزمون مشتق اول یک روش کارآمد برای تعیین این است که یک نقطه بحرانی، مینیمم نسبی است یا ماکزیمم نسبی. مراحل کار به صورت زیر است:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>۱. نقطه بحرانی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">c\u003C\u002Fspan> را بیابید (محل‌هایی که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f'(c)=0$\u003C\u002Fspan> یا مشتق وجود ندارد).\u003Cbr>\r\n۲. علامت مشتق را کمی قبل و کمی بعد از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">c\u003C\u002Fspan> بررسی کنید.\u003Cbr>\r\n۳. اگر مشتق از منفی به مثبت تغییر علامت دهد، نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">c\u003C\u002Fspan> یک \u003Cstrong>مینیمم نسبی\u003C\u002Fstrong> است.\u003Cbr>\r\n۴. اگر مشتق از مثبت به منفی تغییر علامت دهد، نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">c\u003C\u002Fspan> یک ماکزیمم نسبی است.\u003Cbr>\r\n۵. اگر علامت مشتق تغییر نکند، نقطه عطف افقی داریم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال گام‌به‌گام:\u003C\u002Fstrong> تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f(x)=x^3 - 3x$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. مشتق: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f'(x)=3x^2 - 3 = 3(x^2-1)$\u003C\u002Fspan>. نقاط بحرانی: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$3(x^2-1)=0 \\Rightarrow x=\\pm 1$\u003C\u002Fspan>. اکنون علامت مشتق را بررسی می‌کنیم:\u003Cbr>\r\nبرای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=-1\u003C\u002Fspan>: در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=-2\u003C\u002Fspan> مشتق \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3(4-1)=9>0$\u003C\u002Fspan> (مثبت)، در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=0\u003C\u002Fspan> مشتق \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3(0-1)=-3<0$\u003C\u002Fspan> (منفی)، پس تغییر علامت از مثبت به منفی → ماکزیمم نسبی در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=-1\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\nبرای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=1\u003C\u002Fspan>: در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=0\u003C\u002Fspan> مشتق منفی، در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=2\u003C\u002Fspan> مشتق \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3(4-1)=9>0$\u003C\u002Fspan> مثبت، تغییر علامت از منفی به مثبت → \u003Cstrong>مینیمم نسبی در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fstrong>. مقدار مینیمم برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f(1)=1-3=-2$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">آزمون مشتق دوم: روشی سریع‌تر برای توابع دو بار مشتق‌پذیر\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>اگر تابع دو بار مشتق‌پذیر باشد و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f'(c)=0$\u003C\u002Fspan>، آنگاه می‌توان از مشتق دوم استفاده کرد:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f''(c) > 0$\u003C\u002Fspan>، نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">c\u003C\u002Fspan> یک مینیمم نسبی است. (تقعر رو به بالا)\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f''(c) < 0$\u003C\u002Fspan>، نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">c\u003C\u002Fspan> یک ماکزیمم نسبی است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f''(c) = 0$\u003C\u002Fspan>، آزمون بی‌نتیجه است و باید از آزمون مشتق اول استفاده کرد.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>برای مثال تابع قبلی: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f''(x)=6x$\u003C\u002Fspan>. در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=1\u003C\u002Fspan> داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f''(1)=6>0$\u003C\u002Fspan> که تایید می‌کند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=1\u003C\u002Fspan> مینیمم نسبی است. در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=-1\u003C\u002Fspan> داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f''(-1)=-6<0$\u003C\u002Fspan> که ماکزیمم نسبی را تایید می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مقایسه روش‌های یافتن مینیمم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه روش‌های یافتن مینیمم تابع\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">روش\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مزایا\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">معایب\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">کاربرد اصلی\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">آزمون مشتق اول\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">همیشه قابل استفاده، حتی وقتی مشتق دوم صفر است\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نیاز به بررسی علامت در دو سمت دارد\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">توابع عمومی\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">آزمون مشتق دوم\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">سریع و مستقیم، فقط با یک محاسبه\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">وقتی مشتق دوم صفر باشد بی‌نتیجه است\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">توابع چندجمله‌ای\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> و هموار\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مقادیر در مرز بازه\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">برای یافتن مینیمم مطلق روی بازه بسته ضروری است\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">فقط برای بازه‌های بسته کاربرد دارد\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">بهینه‌سازی روی بازه $[a,b]$\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی: یافتن کمترین هزینه در یک مسئله اقتصادی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید یک کارخانه تولیدکننده نوشیدنی، تابع هزینه روزانه خود را به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$C(x)=2x^2 - 20x + 150$\u003C\u002Fspan> مدل کرده است، که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x\u003C\u002Fspan> تعداد هزاران بطری تولیدی در روز است. می‌خواهیم تعداد تولیدی که هزینه را کمینه می‌کند، پیدا کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گام ۱:\u003C\u002Fstrong> محاسبه مشتق اول: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$C'(x)=4x - 20$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام ۲:\u003C\u002Fstrong> مساوی صفر قرار دهید: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$4x - 20 = 0 \\Rightarrow x=5$\u003C\u002Fspan> هزار بطری.\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام ۳:\u003C\u002Fstrong> آزمون مشتق دوم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$C''(x)=4 > 0$\u003C\u002Fspan>، بنابراین نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=5\u003C\u002Fspan> یک مینیمم نسبی است.\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام ۴:\u003C\u002Fstrong> از آنجا که تابع یک سهمی رو به بالا است (ضریب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x^2\u003C\u002Fspan> مثبت)، این مینیمم نسبی در واقع مینیمم مطلق نیز هست. مقدار هزینه کمینه: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$C(5)=2(25)-20(5)+150 = 50 - 100 + 150 = 100$\u003C\u002Fspan> هزار تومان.\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>نتیجه:\u003C\u002Fstrong> تولید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">5000\u003C\u002Fspan> بطری در روز، هزینه را به کمترین مقدار خود یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">100000\u003C\u002Fspan> تومان می‌رساند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۱. آیا هر تابعی لزوماً دارای یک مینیمم مطلق است؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nخیر. برای مثال تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f(x)=x$\u003C\u002Fspan> روی کل اعداد حقیقی، هیچ کران پایینی ندارد و به سمت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan> می‌رود. همچنین تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f(x)=\\frac{1}{x}$\u003C\u002Fspan> روی بازه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$(0,1)$\u003C\u002Fspan> نیز مینیمم ندارد زیرا با نزدیک شدن به صفر، مقدار تابع بی‌نهایت می‌شود و به یک عدد خاص نمی‌رسد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۲. تفاوت بین نقطه مینیمم و مقدار مینیمم چیست؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nنقطه مینیمم به مختصات \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x\u003C\u002Fspan> (محل وقوع) اشاره دارد، در حالی که مقدار مینیمم به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f(x)\u003C\u002Fspan> در آن نقطه گفته می‌شود. برای تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f(x)=x^2$\u003C\u002Fspan>، نقطه مینیمم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=0\u003C\u002Fspan> و مقدار مینیمم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">0\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۳. آیا تابعی می‌تواند مینیمم نسبی داشته باشد اما مینیمم مطلق نداشته باشد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nبله، بسیار رایج است. برای مثال تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f(x)=x^3 - 3x$\u003C\u002Fspan> که قبلاً بررسی کردیم، در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=1\u003C\u002Fspan> دارای مینیمم نسبی برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">-2\u003C\u002Fspan> است. اما با حرکت به سمت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x \\to -\\infty$\u003C\u002Fspan>، تابع به سمت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan> میل می‌کند، بنابراین مینیمم مطلق وجود ندارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> مینیمم تابع به دو دسته مطلق (سراسری) و نسبی (موضعی) تقسیم می‌شود. برای یافتن نقاط مینیمم نسبی، ابتدا نقاط بحرانی (محل‌هایی که مشتق صفر یا ناموجود است) را پیدا کرده، سپس با آزمون مشتق اول (تغییر علامت از منفی به مثبت) یا آزمون مشتق دوم (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f''(c)>0$\u003C\u002Fspan>) مینیمم بودن نقطه را تأیید می‌کنیم. برای یافتن مینیمم مطلق روی بازه بسته، مقادیر تابع را در نقاط بحرانی داخل بازه و دو سر بازه مقایسه کرده و کمترین مقدار را انتخاب می‌کنیم. درک این مفاهیم پایه بسیاری از مسائل بهینه‌سازی در علوم مختلف است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> قضیه مقدار کرانی (Extreme Value Theorem): اگر تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f\u003C\u002Fspan> روی بازه بسته \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">[a,b]\u003C\u002Fspan> پیوسته باشد، آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">f\u003C\u002Fspan> حتماً دارای یک ماکزیمم مطلق و یک مینیمم مطلق روی آن بازه است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> تابع مشتق‌پذیر (Differentiable Function): تابعی که مشتق آن در تمام نقاط دامنه وجود داشته باشد. چنین توابعی همواره پیوسته هستند اما عکس آن لزوماً برقرار نیست.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> تابع چندجمله‌ای (Polynomial Function): تابعی به شکل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$P(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$\u003C\u002Fspan> که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_n \\neq 0$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">n\u003C\u002Fspan> یک عدد صحیح نامنفی است. این توابع همواره پیوسته و مشتق‌پذیرند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ یازدهم","حسابان یازدهم","مینیمم تابع",0,193,"2026-04-26 10:12:23","2026-08-31 12:38:38","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F6","12:38 1405\u002F06\u002F9",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,256,264,272,280,288,296,304,312],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},12463,"نقطه تقاطع نمودار با محور x: نقطه‌ای که نمودار تابع محور x را قطع می‌کند و متناظر با صفر تابع است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Flp8mPVTnbCwBuDbga3iw_200.png","2026-08-31 12:56:30","نقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12463\u002Fنقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12463\u002Fنقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","1405\u002F06\u002F9",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},12464,"صفرهای تابع درجه دوم: مقادیری از x که در آن‌ها مقدار تابع درجه دوم صفر می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FsDayawGMHn9luVG99WUg_200.png","2026-08-31 12:54:11","صفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12464\u002Fصفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12464\u002Fصفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},12465,"تجزیه تابع درجه دوم: نوشتن تابع درجه دوم به صورت حاصل‌ضرب عامل‌های خطی بر اساس صفرهای آن.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Frf3DvGoxbeXxlL2fdE28_200.png","2026-08-31 12:51:00","تجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12465\u002Fتجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12465\u002Fتجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":231},12466,"ضابطه تابع: رابطه یا فرمولی که برای هر ورودی، مقدار تابع را تعیین می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FsLnJAa2du7iQAtRWKzhe_200.png","2026-08-31 12:48:32","ضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12466\u002Fضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12466\u002Fضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند",{"id":257,"title":258,"cat":199,"pic":259,"up_date":260,"title_url":261,"url":262,"legacy_url":263,"cat_title":212,"update_jalali":231},12467,"سهمی: نمودار تابع درجه دوم که به شکل منحنی U مانند یا وارونه آن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fm5rwEPuIbBS56GG3brKD_200.png","2026-08-31 12:45:13","سهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12467\u002Fسهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12467\u002Fسهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است",{"id":265,"title":266,"cat":199,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":212,"update_jalali":231},12468,"نقطه روی نمودار: نقطه‌ای که مختصات آن با قرار دادن یک مقدار x در ضابطه تابع و به دست آوردن y حاصل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYJZKdvtHJ3L8LMkn0sIM_200.png","2026-08-31 12:42:32","نقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12468\u002Fنقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12468\u002Fنقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود",{"id":273,"title":274,"cat":199,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":212,"update_jalali":231},12470,"ماکزیمم تابع: بیشترین مقدار تابع در یک بازه یا در کل دامنه، در صورتی که وجود داشته باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7hKMNaNQYPh1HEsFQSp6_200.png","2026-08-31 12:36:25","ماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12470\u002Fماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12470\u002Fماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد",{"id":281,"title":282,"cat":199,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":212,"update_jalali":231},12471,"ریشه متمایز: ریشه‌هایی که با هم برابر نیستند و دو مقدار متفاوت به دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzLtawJrDJEifOsWRDuh5_200.png","2026-08-31 12:33:15","ریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12471\u002Fریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12471\u002Fریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند",{"id":289,"title":290,"cat":199,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":212,"update_jalali":231},12472,"ریشه مضاعف: حالتی که معادله درجه دوم دو ریشه برابر دارد و سهمی فقط یک بار محور x را لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FqSf7rPtH1bsEMBI7KRpC_200.png","2026-08-31 12:28:36","ریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12472\u002Fریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12472\u002Fریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند",{"id":297,"title":298,"cat":199,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":212,"update_jalali":231},12473,"تعداد صفرهای تابع: تعداد نقاطی که نمودار تابع محور x را قطع یا لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F5cYBDDObwSY3Byq4ZtcF_200.png","2026-08-31 12:26:25","تعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12473\u002Fتعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12473\u002Fتعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند",{"id":305,"title":306,"cat":199,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":212,"update_jalali":231},12474,"علامت a: مثبت یا منفی بودن ضریب x² در تابع درجه دوم که جهت بازشدگی سهمی را تعیین می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8MR1zPfpVaba6oCMRVyC_200.png","2026-08-31 12:24:32","علامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12474\u002Fعلامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12474\u002Fعلامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند",{"id":313,"title":314,"cat":199,"pic":315,"up_date":316,"title_url":317,"url":318,"legacy_url":319,"cat_title":212,"update_jalali":231},12475,"علامت b: مثبت یا منفی بودن ضریب x در تابع درجه دوم که در موقعیت رأس و محور تقارن اثر دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FSrmCbmfbUUebGPhsxcaK_200.png","2026-08-31 12:21:29","علامت-b-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x-در-تابع-درجه-دوم-که-در-موقعیت-رأس-و-محور-تقارن-اثر-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12475\u002Fعلامت-b-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x-در-تابع-درجه-دوم-که-در-موقعیت-رأس-و-محور-تقارن-اثر-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12475\u002Fعلامت-b-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x-در-تابع-درجه-دوم-که-در-موقعیت-رأس-و-محور-تقارن-اثر-دارد"]