[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12410":193,"$fDC9jZrWVBEXg4UQW__-ata6sKmP2PjsmhdFjXLrb3RE":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},12410,1170,1171,4925,"مساحت متوازی‌الاضلاع با دترمینان\u002Fضرب خارجی: اگر a و b دو بردار باشند، مساحت متوازی‌الاضلاع ساخته‌شده برابر |a×b| است.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FiLIRbfNVboMxjCbOVxL9_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"مساحت متوازی‌الاضلاع با دترمینان و ضرب خارجی\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">مساحت متوازی‌الاضلاع: از ضرب خارجی تا دترمینان\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">آشنایی با مفاهیم برداری، ضرب خارجی و ارتباط آن با دترمینان و مساحت هندسی\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله می‌آموزید که چگونه از ضرب خارجی دو بردار در فضای دوبعدی و سه‌بعدی برای محاسبهٔ مساحت متوازی‌الاضلاع استفاده می‌شود. همچنین با مفهوم دترمینان به عنوان ابزاری برای محاسبهٔ مساحت در دستگاه مختصات آشنا می‌شوید و با حل مثال‌های گام‌به‌گام، کاربرد این روش‌ها را در هندسه تحلیلی مشاهده خواهید کرد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">نخست: بردارها و متوازی‌الاضلاع در صفحه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید دو بردار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\vec{a}\\)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\vec{b}\\)\u003C\u002Fspan> را از یک نقطهٔ مبدأ رسم کنیم. انتهای این دو بردار، همراه با نقطهٔ شروع، سه رأس یک متوازی‌الاضلاع را مشخص می‌کنند. ضلع چهارم با جمع برداری \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\vec{a}+\\vec{b}\\)\u003C\u002Fspan> به دست می‌آید. مساحت این شکل هندسی برابر است با اندازهٔ \u003Cstrong>ضرب خارجی\u003C\u002Fstrong> (Cross Product) دو بردار.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای درک بهتر، متوازی‌الاضلاعی را در نظر بگیرید که توسط بردارهای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\vec{a}=(3,0)\\)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\vec{b}=(1,2)\\)\u003C\u002Fspan> در صفحهٔ مختصات ساخته شده است. ارتفاع این متوازی‌الاضلاع (عمود بر پایه) برابر با مولفهٔ عمودی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\vec{b}\\)\u003C\u002Fspan> نسبت به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\vec{a}\\)\u003C\u002Fspan> است. قاعده نیز طول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\vec{a}\\)\u003C\u002Fspan> می‌باشد. از این رو مساحت برابر قاعده × ارتفاع = \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(3 \\times 2 = 6\\)\u003C\u002Fspan> واحد مربع خواهد بود. اما این روش همیشه ساده نیست، مخصوصاً وقتی بردارها بر محورها عمود نباشند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکته مهم:\u003C\u002Fstrong> ضرب خارجی دو بردار در فضای دوبعدی (حتی اگر بردارها در صفحه باشند) نتیجه‌ای در راستای عمود بر آن صفحه می‌دهد. بزرگی این بردار تازه، دقیقاً برابر مساحت متوازی‌الاضلاع آن دو بردار است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">ضرب خارجی در فضای سه‌بعدی و ارتباط با مساحت\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در فضای سه‌بعدی، ضرب خارجی دو بردار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\\)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\\)\u003C\u002Fspan> به صورت زیر تعریف می‌شود:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">\\(\\vec{a}\\times\\vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\\; a_3b_1 - a_1b_3,\\; a_1b_2 - a_2b_1)\\)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>بزرگی بردار حاصل از رابطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(|\\vec{a}\\times\\vec{b}| = |\\vec{a}|\\,|\\vec{b}|\\,\\sin\\theta\\)\u003C\u002Fspan> به دست می‌آید که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\theta\\)\u003C\u002Fspan> زاویهٔ بین دو بردار است. با توجه به فرمول مساحت متوازی‌الاضلاع (قاعده × ارتفاع = \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(|\\vec{a}|\\,(|\\vec{b}|\\sin\\theta)\\)\u003C\u002Fspan>) به وضوح می‌بینیم که مساحت برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(|\\vec{a}\\times\\vec{b}|\\)\u003C\u002Fspan> است. بنابراین بدون نیاز به یافتن ارتفاع، با یک ضرب خارجی مساحت به دست می‌آید.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">دترمینان: ابزاری برای محاسبهٔ مساحت در دستگاه مختصات\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای بردارهای دوبعدی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\vec{a}=(a_1,a_2)\\)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\vec{b}=(b_1,b_2)\\)\u003C\u002Fspan> می‌توان ضرب خارجی را به صورت دترمینان (Determinant) ماتریسی که سطرهای آن مؤلفه‌های بردارها هستند، نوشت. در حقیقت، بزرگی ضرب خارجی برابر قدر مطلق دترمینان زیر است:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">\\(\\text{Area} = \\left| \\det\\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\\\ b_1 & b_2 \\end{bmatrix} \\right| = |a_1b_2 - a_2b_1|\\)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>این رابطه نشان می‌دهد که دترمینان یک ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(2\\times 2\\)\u003C\u002Fspan> می‌تواند به عنوان مساحت علامت‌دار (جهت‌دار) متوازی‌الاضلاع تفسیر شود. اگر علامت منفی شود، به معنای تغییر جهت ترتیب بردارهاست و مقدار مطلق آن مساحت را می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه روش‌های محاسبه مساحت\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">روش محاسبه\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">فرمول اصلی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">محدودیت \u002F ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">هندسه (قاعده × ارتفاع)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(|\\vec{a}| \\cdot h\\)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نیاز به محاسبه ارتفاع (عمود)\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ضرب خارجی برداری\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(|\\vec{a}\\times\\vec{b}|\\)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">در فضای دو و سه‌بعدی کاربرد دارد\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">دترمینان ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(2\\times 2\\)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(|a_1b_2 - a_2b_1|\\)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">تنها برای بردارهای دوبعدی\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مثال عملی: محاسبه گام‌به‌گام با ضرب خارجی و دترمینان\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید دو بردار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\vec{a}=(2,1,0)\\)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\vec{b}=(3,-1,0)\\)\u003C\u002Fspan> در صفحهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(xy\\)\u003C\u002Fspan> داده شده‌اند. مساحت متوازی‌الاضلاع ساخته شده توسط این دو بردار را به دست آورید.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گام یکم (ضرب خارجی):\u003C\u002Fstrong> با استفاده از فرمول ضرب خارجی داریم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">\\(\\vec{a}\\times\\vec{b} = (1\\cdot0 - 0\\cdot(-1),\\; 0\\cdot3 - 2\\cdot0,\\; 2\\cdot(-1)-1\\cdot3) = (0,\\;0,\\;-2-3)=(0,0,-5)\\)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گام دوم (بزرگی):\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(|\\vec{a}\\times\\vec{b}| = \\sqrt{0^2+0^2+(-5)^2} = 5\\)\u003C\u002Fspan> واحد مربع. بنابراین مساحت برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(5\\)\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گام سوم (تأیید با دترمینان):\u003C\u002Fstrong> از آنجا که بردارها در صفحهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(xy\\)\u003C\u002Fspan> هستند، مؤلفهٔ سوم صفر است. دترمینان ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(2\\times 2\\)\u003C\u002Fspan> مؤلفه‌های اول و دوم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">\\(\\det\\begin{bmatrix}2 & 1 \\\\ 3 & -1\\end{bmatrix} = (2)(-1)-(1)(3) = -2-3=-5\\)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>قدر مطلق آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(5\\)\u003C\u002Fspan> را می‌دهد که با نتیجهٔ ضرب خارجی هماهنگ است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سؤال اول:\u003C\u002Fstrong> آیا ضرب خارجی برای بردارهای موازی (زاویهٔ صفر درجه) مساحت صفر می‌دهد؟ چرا؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله، اگر دو بردار موازی باشند، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\sin 0 = 0\\)\u003C\u002Fspan> و در نتیجه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(|\\vec{a}\\times\\vec{b}| = |\\vec{a}|\\,|\\vec{b}|\\times 0 = 0\\)\u003C\u002Fspan>. این یعنی متوازی‌الاضلاع به یک پاره‌خط تبدیل می‌شود و مساحت آن صفر است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سؤال دوم:\u003C\u002Fstrong> چرا مقدار دترمینان می‌تواند منفی شود اما مساحت همواره مثبت است؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> دترمینان علامت‌دار، جهت‌گیری (یا دستسانی) جفت بردارها را نشان می‌دهد. اگر ترتیب بردارها عوض شود، علامت دترمینان معکوس می‌گردد. مساحت هندسی یک کمیت نردهای مثبت است، بنابراین از قدر مطلق دترمینان استفاده می‌کنیم.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سؤال سوم:\u003C\u002Fstrong> چگونه می‌توان مساحت متوازی‌الاضلاع در فضای سه‌بعدی را بدون استفاده از ضرب خارجی محاسبه کرد؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> اگر طول قاعده و ارتفاع را بدانیم می‌توان از فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\text{Area} = |\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}|\\sin\\theta\\)\u003C\u002Fspan> استفاده کرد، ولی یافتن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\(\\sin\\theta\\)\u003C\u002Fspan> نیاز به محاسبه زاویه دارد که با ضرب نقطه‌ای به دست می‌آید. روش ضرب خارجی مستقیم‌ترین راه است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد در برنامه‌نویسی و گرافیک کامپیوتری\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در بسیاری از نرم‌افزارهای گرافیکی و موتورهای بازی‌سازی، محاسبهٔ مساحت چندضلعی‌ها با استفاده از ضرب خارجی بردارهای یال‌ها انجام می‌شود. برای مثال، مساحت یک مثلث در فضای سه‌بعدی برابر نصف ضرب خارجی دو بردار از رأس آن مثلث است. همچنین در محاسبهٔ نرمال سطح (عمود بر سطح) از ضرب خارجی استفاده می‌شود که در شبیه‌سازی نور و سایه کاربرد دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکته برنامه‌نویسی:\u003C\u002Fstrong> در زبان‌هایی مانند پایتون (با کتابخانهٔ NumPy) تابع \u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 6px; direction: ltr; display: inline-block; padding: 2px 6px; vertical-align: baseline\">cross(a,b)\u003C\u002Fspan> ضرب خارجی را محاسبه می‌کند و \u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 6px; direction: ltr; display: inline-block; padding: 2px 6px; vertical-align: baseline\">det\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 6px; direction: ltr; display: inline-block; padding: 2px 6px; vertical-align: baseline\">linalg.det\u003C\u002Fspan> دترمینان را به دست می‌دهد. همواره از قدر مطلق برای مساحت استفاده کنید.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> مساحت متوازی‌الاضلاع ساخته شده توسط دو بردار به راحتی از طریق بزرگی ضرب خارجی یا قدر مطلق دترمینان (در حالت دوبعدی) محاسبه می‌شود. این روش‌ها بسیار قدرتمندتر از روش‌های سنتی قاعده و ارتفاع هستند، زیرا بدون نیاز به دانستن زاویه یا ارتفاع، تنها با مؤلفه‌های بردارها پاسخ را می‌دهند. درک این رابطه برای مباحث پیشرفته‌تر هندسه تحلیلی، فیزیک و گرافیک کامپیوتری ضروری است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> ضرب خارجی (Cross Product): عملیات دوتایی بین دو بردار در فضای سه‌بعدی که نتیجهٔ آن بردار عمود بر هر دو بردار اولیه است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> دترمینان (Determinant): عددی که از درایه‌های یک ماتریس مربع محاسبه می‌شود و خواص هندسی مانند مساحت یا حجم را نشان می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> بردارها (Vectors): کمیت‌هایی که دارای اندازه و جهت هستند و با مؤلفه‌های مختصاتی نمایش داده می‌شوند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> متوازی‌الاضلاع (Parallelogram): چهارضلعی که هر دو جفت اضلاع مقابل آن موازی و مساوی هستند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","هندسه دوازدهم","مساحت متوازی‌الاضلاع با دترمینان\u002Fضرب خارجی",0,183,"2026-04-25 17:35:30","2026-08-20 02:57:33","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F5","2:57 1405\u002F05\u002F29",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,257,265,273,281,289,297,305,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},12146,"ماتریس همانی (I یا In): ماتریس مربعی که روی قطر اصلی 1 و درایه‌های دیگر 0 است و عضو خنثی ضرب ماتریس‌هاست.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHO2OY2jMEIIhcKB9dEBj_200.png","2026-08-24 15:41:07","ماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","1405\u002F06\u002F2",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},12152,"شرط وجود وارون (شرط وارون‌پذیری): برای اینکه A^-1 وجود داشته باشد باید |A|≠0 باشد؛ اگر |A|=0 باشد وارون وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlIHXa8luNtBVAeHHK9gC_200.png","2026-08-24 15:31:13","شرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},12160,"دستگاه ناسازگار (بدون جواب): وقتی دو خط موازیِ متمایز باشند؛ در نگاه ماتریسی معمولاً |A|=0 و شرایط ثابت‌ها طوری است که نقطهٔ مشترک وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZFswJRmEaNrsJK91UMT8_200.png","2026-08-24 15:15:34","دستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":256},12054,"ماتریس: هر آرایش مستطیلی از اعداد حقیقی که از تعدادی سطر و ستون تشکیل شده باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCyH6F8um7hxbFOh8NwJp_200.png","2026-08-22 21:41:37","ماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","1405\u002F05\u002F31",{"id":258,"title":259,"cat":199,"pic":260,"up_date":261,"title_url":262,"url":263,"legacy_url":264,"cat_title":212,"update_jalali":256},12055,"درایهٔ ماتریس: هر عدد حقیقیِ قرارگرفته در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9vpUNpXsvaSlSGLjPM7r_200.png","2026-08-22 21:40:00","درایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس",{"id":266,"title":267,"cat":199,"pic":268,"up_date":269,"title_url":270,"url":271,"legacy_url":272,"cat_title":212,"update_jalali":256},12056,"سطر و ستون ماتریس: ردیف افقی و عمودی عناصر (درایه‌ها) در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fd4ccWiSZS1hvCAicia99_200.png","2026-08-22 21:38:30","سطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس",{"id":274,"title":275,"cat":199,"pic":276,"up_date":277,"title_url":278,"url":279,"legacy_url":280,"cat_title":212,"update_jalali":256},12057,"مرتبهٔ ماتریس (m×n): تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس؛ اگر ماتریس m سطر و n ستون داشته باشد، مرتبهٔ آن m×n است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHLx6GW4ccIuuUGfxgXQx_200.png","2026-08-22 21:36:51","مرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است",{"id":282,"title":283,"cat":199,"pic":284,"up_date":285,"title_url":286,"url":287,"legacy_url":288,"cat_title":212,"update_jalali":256},12058,"دستگاه معادلات: مجموعه‌ای از چند معادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و معمولاً برای یافتن مقادیر مجهول‌ها حل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEeFtslvSqFgghaNmBX5o_200.png","2026-08-22 21:33:48","دستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود",{"id":290,"title":291,"cat":199,"pic":292,"up_date":293,"title_url":294,"url":295,"legacy_url":296,"cat_title":212,"update_jalali":256},12059,"دستگاه نامعادلات: مجموعه‌ای از چند نامعادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و جواب آن مجموعه‌ای از مقادیر ممکن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKwLUm5NEHXLEWqbsAf5m_200.png","2026-08-22 21:31:30","دستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است",{"id":298,"title":299,"cat":199,"pic":300,"up_date":301,"title_url":302,"url":303,"legacy_url":304,"cat_title":212,"update_jalali":256},12060,"تعمیم: گسترش یک الگو یا نتیجه از حالت‌های خاص به حالت‌های کلی‌تر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F85yS4UtNCzL5Ryquxtzf_200.png","2026-08-22 21:29:58","تعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر",{"id":306,"title":307,"cat":199,"pic":308,"up_date":309,"title_url":310,"url":311,"legacy_url":312,"cat_title":212,"update_jalali":256},12061,"مقاطع مخروطی: منحنی‌هایی که از برش دادن یک مخروط به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGAdfKPxq5mWGavBxYt4C_200.png","2026-08-22 21:28:07","مقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":256},12062,"مکان هندسی: مجموعهٔ همهٔ نقاطی که یک ویژگی یا شرط هندسی مشخص را داشته باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F0t0y8haqNG18E6sFnt6V_200.png","2026-08-22 21:26:19","مکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند"]