[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12406":193,"$fco9ioVtsFZMCR_fMvkWHgemBwVPqFa4evhihdYvv7d0":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},12406,1170,1171,4925,"ضرب سه‌تایی اسکالر: عدد a.(b×c) که برای محاسبه حجم متوازی‌السطوح به کار می‌رود.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F5ojaAw0amBxdKAndnyDW_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"ضرب سه‌تایی اسکالر: محاسبه حجم متوازی‌السطوح\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">ضرب سه‌تایی اسکالر: کلید محاسبه حجم متوازی‌السطوح در فضای سه‌بعدی\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">بررسی مفهوم عددی a·(b×c)، کاربرد هندسی آن در حجم‌یابی و روش محاسبه گام‌به‌گام همراه با مثال‌های عملی\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>خلاصه\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nدر این مقاله با مفهوم ضرب سه‌تایی اسکالر که به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{a} \\cdot (\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c}) $\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود، آشنا می‌شوید. این کمیت اسکالر، نقش اصلی در محاسبه حجم متوازی‌السطوح\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> ساخته شده توسط سه بردار در فضای سه‌بعدی دارد. همچنین روش محاسبه از راه دترمینان\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> ماتریس، ویژگی‌های جبری و نمونه‌های عددی گام‌به‌گام بررسی خواهد شد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۱. تعریف ضرب سه‌تایی اسکالر و نمادگذاری\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>ضرب سه‌تایی اسکالر حاصل ضرب نقطه‌ای (داخلی) یک بردار در حاصل ضرب برداری دو بردار دیگر است. اگر سه بردار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{a} $\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{b} $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{c} $\u003C\u002Fspan> در فضای سه‌بعدی داشته باشیم، این حاصل به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\mathbf{a} \\cdot (\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c}) $\u003C\u002Fspan> نوشته می‌شود. از آنجا که حاصل ضرب برداری \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{b} \\times \\mathbf{c} $\u003C\u002Fspan> یک بردار عمود بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{b} $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{c} $\u003C\u002Fspan> است، ضرب نقطه‌ای آن با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{a} $\u003C\u002Fspan> یک عدد حقیقی (اسکالر) خواهد بود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>این کمیت همچنین با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ [\\mathbf{a}, \\mathbf{b}, \\mathbf{c}] $\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\langle \\mathbf{a}, \\mathbf{b}, \\mathbf{c} \\rangle $\u003C\u002Fspan> نشان داده می‌شود. از نظر هندسی، مقدار مطلق این عدد برابر با حجم متوازی‌السطوحی است که سه بردار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{a} $\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{b} $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{c} $\u003C\u002Fspan> سه یال آن را تشکیل می‌دهند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکته\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nاگر سه بردار هم‌صفحه باشند (یعنی در یک صفحه قرار گیرند)، مقدار ضرب سه‌تایی اسکالر آنها صفر می‌شود. در این حالت حجم متوازی‌السطوح صفر است، زیرا ارتفاع آن از بین می‌رود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۲. محاسبه گام‌به‌گام با استفاده از مؤلفه‌های بردارها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید بردارها به صورت مؤلفه‌ای در دستگاه مختصات دکارتی داده شده باشند:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) $\u003C\u002Fspan> ، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3) $\u003C\u002Fspan>.\r\n\r\n\u003Cp>برای محاسبه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{a} \\cdot (\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c}) $\u003C\u002Fspan> دو روش اصلی وجود دارد:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>روش اول: محاسبه مرحله به مرحله\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nابتدا ضرب برداری \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{b} \\times \\mathbf{c} $\u003C\u002Fspan> را به دست می‌آوریم:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\mathbf{b} \\times \\mathbf{c} = (b_2 c_3 - b_3 c_2,\\; b_3 c_1 - b_1 c_3,\\; b_1 c_2 - b_2 c_1) $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>سپس حاصل ضرب نقطه‌ای این بردار جدید را در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{a} $\u003C\u002Fspan> محاسبه می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\mathbf{a} \\cdot (\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c}) = a_1 (b_2 c_3 - b_3 c_2) + a_2 (b_3 c_1 - b_1 c_3) + a_3 (b_1 c_2 - b_2 c_1) $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>روش دوم (کارآمدتر): استفاده از دترمینان\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nضرب سه‌تایی اسکالر دقیقاً برابر با دترمینان ماتریسی است که سطرهای آن مؤلفه‌های سه بردار هستند:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\mathbf{a} \\cdot (\\mathbf{b} \\times \\mathbf{c}) = \\det \\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\\\ b_1 & b_2 & b_3 \\\\ c_1 & c_2 & c_3 \\end{pmatrix} $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>فرمول کلیدی\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ V = |\\,\\mathbf{a}\\cdot(\\mathbf{b}\\times\\mathbf{c})\\,| $\u003C\u002Fspan> که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ V $\u003C\u002Fspan> حجم متوازی‌السطوح است. مقدار مطلق تضمین می‌کند که حجم همواره مثبت باشد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۳. ویژگی‌های جبری مهم ضرب سه‌تایی اسکالر\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>این عملگر دارای ویژگی‌هایی است که محاسبات را ساده‌تر می‌کند:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>جابجایی چرخشی\u003C\u002Fstrong>: مقدار ضرب سه‌تایی اسکالر تحت جابجایی چرخشی بردارها تغییر نمی‌کند:\u003Cbr>\r\n \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{a}\\cdot(\\mathbf{b}\\times\\mathbf{c}) = \\mathbf{b}\\cdot(\\mathbf{c}\\times\\mathbf{a}) = \\mathbf{c}\\cdot(\\mathbf{a}\\times\\mathbf{b}) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>علامت با جابجایی عادی\u003C\u002Fstrong>: اگر دو بردار را جابجا کنیم، علامت حاصل عوض می‌شود:\u003Cbr>\r\n \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{a}\\cdot(\\mathbf{b}\\times\\mathbf{c}) = -\\,\\mathbf{a}\\cdot(\\mathbf{c}\\times\\mathbf{b}) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>توزیع‌پذیری نسبت به جمع\u003C\u002Fstrong>: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{a}\\cdot(\\mathbf{b}+\\mathbf{d})\\times\\mathbf{c} = \\mathbf{a}\\cdot(\\mathbf{b}\\times\\mathbf{c}) + \\mathbf{a}\\cdot(\\mathbf{d}\\times\\mathbf{c}) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>مثال عملی گام‌به‌گام\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nفرض کنید سه بردار داریم:\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{a} = (1, 2, 0) $\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{b} = (0, 1, 1) $\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{c} = (2, 0, 3) $\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\n\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام 1\u003C\u002Fstrong>: دترمینان ماتریس را می‌نویسیم:\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 3 \\end{vmatrix} $\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام 2\u003C\u002Fstrong>: محاسبه دترمینان با روش ساروس:\u003Cbr>\r\n: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 1\\times(1\\times3 - 1\\times0) = 1\\times3 = 3 $\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ -2\\times(0\\times3 - 1\\times2) = -2\\times(0-2) = -2\\times(-2)= +4 $\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ +0\\times(0\\times0 - 1\\times2) = 0 $\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام 3\u003C\u002Fstrong>: جمع جمله‌ها: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 3 + 4 + 0 = 7 $\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>گام 4\u003C\u002Fstrong>: حجم برابر است با مقدار مطلق این عدد: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ V = |7| = 7 $\u003C\u002Fspan> واحد حجم.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۴. جدول مقایسه روش‌های محاسبه ضرب سه‌تایی اسکالر\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه روش‌های محاسبه\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">روش\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مراحل\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مزایا\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">معایب\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">محاسبه ضرب برداری سپس نقطه‌ای\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">یک ضرب برداری (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{b}\\times\\mathbf{c} $\u003C\u002Fspan>) و سپس یک ضرب نقطه‌ای\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">شهودی و گام‌به‌گام\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">کمی زمان‌بر برای محاسبات دستی\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">دترمینان ماتریس\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نوشتن مؤلفه‌ها در یک ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 3\\times 3 $\u003C\u002Fspan> و محاسبه دترمینان\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">سریع و مناسب برای برنامه‌نویسی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نیاز به آشنایی با دترمینان\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۵. کاربرد عملی در مسائل هندسه و فیزیک\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>ضرب سه‌تایی اسکالر صرفاً یک مفهوم نظری نیست، بلکه در مسائل دنیای واقعی کاربرد دارد:\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>مثال فیزیکی\u003C\u002Fstrong>: در محاسبه گشتاور سه‌بعدی و کار نیروهای غیرهم‌صفحه، این کمیت ظاهر می‌شود. همچنین در الکترومغناطیس برای محاسبه شار میدان مغناطیسی از یک سطح استفاده می‌شود.\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>مثال مهندسی\u003C\u002Fstrong>: در طراحی سازه‌های فضایی، برای تعیین حجم بخش‌های غیرمنظم (مانند یک سقف شیب‌دار) کافی است سه بردار یال‌های مجاور را پیدا کرده و ضرب سه‌تایی اسکالر آنها را محاسبه کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۶. چالش‌های مفهومی و پرسش‌های رایج\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۱. آیا ترتیب بردارها در ضرب سه‌تایی اسکالر اهمیت دارد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nبله، اما نه به هر شکلی. اگر ترتیب بردارها به صورت چرخشی تغییر کند، مقدار یکسان می‌ماند. ولی اگر دو بردار را مستقیماً جابجا کنیم، علامت عوض می‌شود. برای حجم که مقدار مطلق محاسبه می‌شود، ترتیب نهایی اهمیت ندارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۲. اگر ضرب سه‌تایی اسکالر منفی شود، چه معنایی دارد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nعلامت منفی نشان می‌دهد که بردار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{a} $\u003C\u002Fspan> نسبت به جهت بردار حاصل از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{b}\\times\\mathbf{c} $\u003C\u002Fspan> در جهت مخالف قرار دارد. در فیزیک این به معنای حجم با جهت‌دهی مخالف است. اما حجم واقعی همواره قدر مطلق این عدد است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۳. چگونه از ضرب سه‌تایی اسکالر برای تشخیص هم‌صفحه بودن بردارها استفاده کنیم؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nاگر سه بردار هم‌صفحه باشند (در یک صفحه قرار گیرند)، متوازی‌السطوحی که می‌سازند ارتفاع صفر دارد. بنابراین حجم صفر است. پس شرط لازم و کافی برای هم‌صفحه بودن سه بردار این است که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{a}\\cdot(\\mathbf{b}\\times\\mathbf{c}) = 0 $\u003C\u002Fspan> باشد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۷. جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">ضرب سه‌تایی اسکالر که با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{a}\\cdot(\\mathbf{b}\\times\\mathbf{c}) $\u003C\u002Fspan> نشان داده می‌شود، یک عدد حقیقی است که مقدار مطلق آن حجم متوازی‌السطوح ساخته شده توسط سه بردار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{a} $\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{b} $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\mathbf{c} $\u003C\u002Fspan> را می‌دهد. این کمیت را می‌توان به دو روشِ محاسبه گام‌به‌گام ضرب برداری و نقطه‌ای یا از راه دترمینان ماتریس مؤلفه‌ها به دست آورد. صفر شدن آن نشانه هم‌صفحه بودن بردارها است. درک این مفهوم برای حل مسائل هندسه تحلیلی، فیزیک و مهندسی بسیار ضروری است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۸. پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> متوازی‌السطوح (Parallelepiped): یک شکل سه‌بعدی با شش وجه متوازی‌الاضلاع که در مقابل هم قرار دارند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> دترمینان (Determinant): یک مقدار اسکالر که از عناصر یک ماتریس مربع محاسبه می‌شود و خواص هندسی و جبری آن ماتریس را نشان می‌دهد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","هندسه دوازدهم","ضرب سه‌تایی اسکالر",0,162,"2026-04-25 17:12:16","2026-08-20 03:12:14","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F5","3:12 1405\u002F05\u002F29",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,257,265,273,281,289,297,305,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},12146,"ماتریس همانی (I یا In): ماتریس مربعی که روی قطر اصلی 1 و درایه‌های دیگر 0 است و عضو خنثی ضرب ماتریس‌هاست.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHO2OY2jMEIIhcKB9dEBj_200.png","2026-08-24 15:41:07","ماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","1405\u002F06\u002F2",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},12152,"شرط وجود وارون (شرط وارون‌پذیری): برای اینکه A^-1 وجود داشته باشد باید |A|≠0 باشد؛ اگر |A|=0 باشد وارون وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlIHXa8luNtBVAeHHK9gC_200.png","2026-08-24 15:31:13","شرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},12160,"دستگاه ناسازگار (بدون جواب): وقتی دو خط موازیِ متمایز باشند؛ در نگاه ماتریسی معمولاً |A|=0 و شرایط ثابت‌ها طوری است که نقطهٔ مشترک وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZFswJRmEaNrsJK91UMT8_200.png","2026-08-24 15:15:34","دستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":256},12054,"ماتریس: هر آرایش مستطیلی از اعداد حقیقی که از تعدادی سطر و ستون تشکیل شده باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCyH6F8um7hxbFOh8NwJp_200.png","2026-08-22 21:41:37","ماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","1405\u002F05\u002F31",{"id":258,"title":259,"cat":199,"pic":260,"up_date":261,"title_url":262,"url":263,"legacy_url":264,"cat_title":212,"update_jalali":256},12055,"درایهٔ ماتریس: هر عدد حقیقیِ قرارگرفته در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9vpUNpXsvaSlSGLjPM7r_200.png","2026-08-22 21:40:00","درایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس",{"id":266,"title":267,"cat":199,"pic":268,"up_date":269,"title_url":270,"url":271,"legacy_url":272,"cat_title":212,"update_jalali":256},12056,"سطر و ستون ماتریس: ردیف افقی و عمودی عناصر (درایه‌ها) در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fd4ccWiSZS1hvCAicia99_200.png","2026-08-22 21:38:30","سطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس",{"id":274,"title":275,"cat":199,"pic":276,"up_date":277,"title_url":278,"url":279,"legacy_url":280,"cat_title":212,"update_jalali":256},12057,"مرتبهٔ ماتریس (m×n): تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس؛ اگر ماتریس m سطر و n ستون داشته باشد، مرتبهٔ آن m×n است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHLx6GW4ccIuuUGfxgXQx_200.png","2026-08-22 21:36:51","مرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است",{"id":282,"title":283,"cat":199,"pic":284,"up_date":285,"title_url":286,"url":287,"legacy_url":288,"cat_title":212,"update_jalali":256},12058,"دستگاه معادلات: مجموعه‌ای از چند معادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و معمولاً برای یافتن مقادیر مجهول‌ها حل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEeFtslvSqFgghaNmBX5o_200.png","2026-08-22 21:33:48","دستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود",{"id":290,"title":291,"cat":199,"pic":292,"up_date":293,"title_url":294,"url":295,"legacy_url":296,"cat_title":212,"update_jalali":256},12059,"دستگاه نامعادلات: مجموعه‌ای از چند نامعادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و جواب آن مجموعه‌ای از مقادیر ممکن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKwLUm5NEHXLEWqbsAf5m_200.png","2026-08-22 21:31:30","دستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است",{"id":298,"title":299,"cat":199,"pic":300,"up_date":301,"title_url":302,"url":303,"legacy_url":304,"cat_title":212,"update_jalali":256},12060,"تعمیم: گسترش یک الگو یا نتیجه از حالت‌های خاص به حالت‌های کلی‌تر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F85yS4UtNCzL5Ryquxtzf_200.png","2026-08-22 21:29:58","تعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر",{"id":306,"title":307,"cat":199,"pic":308,"up_date":309,"title_url":310,"url":311,"legacy_url":312,"cat_title":212,"update_jalali":256},12061,"مقاطع مخروطی: منحنی‌هایی که از برش دادن یک مخروط به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGAdfKPxq5mWGavBxYt4C_200.png","2026-08-22 21:28:07","مقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":256},12062,"مکان هندسی: مجموعهٔ همهٔ نقاطی که یک ویژگی یا شرط هندسی مشخص را داشته باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F0t0y8haqNG18E6sFnt6V_200.png","2026-08-22 21:26:19","مکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند"]