[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12405":193,"$farEfQ6-32I0hQHcQVMOpM0NACg1p9vAndrG4OJQzb5c":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},12405,1170,1171,4925,"حجم متوازی‌السطوح: حجم جسمی که با سه بردار غیرهم‌صفحه ساخته می‌شود و برابر قدرمطلقِ ضرب داخلی یک بردار در ضرب خارجی دو بردار دیگر است.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FosWPfA68BtFVYQxwipNj_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"حجم متوازی‌السطوح: کاربرد ضرب داخلی و خارجی بردارها\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">حجم متوازی‌السطوح: از سه بردار تا یک عدد جادوییِ برداری\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">مروری جامع بر فرمول قدرمطلق ضرب داخلی یک بردار در ضرب خارجی دو بردار دیگر به همراه مثال‌های عینی و پرسش‌های مفهومی\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"seo-summary\" style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله یاد می‌گیرید که چگونه سه بردار غیرهم‌صفحه یک متوازی‌السطوح\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> در فضا می‌سازند و حجم این جسم هندسی از طریق قدرمطلق ضرب داخلی\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> یک بردار در ضرب خارجی\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> دو بردار دیگر به دست می‌آید. با استفاده از بردارهای پایه، مفهوم بردار یکه\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> و تفسیر هندسی ضرب خارجی، به زبانی ساده و روان به سراغ فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$V = | \\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \\times \\vec{c}) |\u003C\u002Fspan> می‌رویم. مثال‌های عددی گام‌به‌گام، جدول مقایسه و پرسش‌های چالشی، درک شما را از این مقطع مهم هندسه تحلیلی و جبر خطی عمیق‌تر می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">سه بردار ناهمسطح: ساختار سازنده متوازی‌السطوح\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در فضای سه‌بعدی، اگر سه بردار داشته باشیم که در یک صفحه قرار نگیرند (غیرهم‌صفحه یا ناهمسطح)، می‌توانیم آن‌ها را از یک نقطه شروع کنیم. این سه بردار سه یال مجاور یک متوازی‌السطوح را مشخص می‌کنند. به بیان ساده، متوازی‌السطوح شکلی شبیه جعبه کج شده است که وجوه آن متوازی‌الأضلاع هستند. برای نمونه بردارهای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{a}=(2,0,0)$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{b}=(0,3,0)$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{c}=(0,0,4)$\u003C\u002Fspan> یک جعبه راست‌گوشه می‌سازند، اما اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{c}=(1,2,4)$\u003C\u002Fspan> باشد، جسم به سمت جلو کج می‌شود. شرط ناهمسطحی یعنی حاصل‌ضرب مختلط آن‌ها صفر نباشد که همان حجم غیرصفر است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>در یک مثال عینی، فرض کنید سه بردار نیرو در فضا داریم که بر یک نقطه اثر می‌کنند. اگر بخواهیم حجم فضایی را که این سه بردار احاطه کرده‌اند محاسبه کنیم، دقیقاً به همان فرمول حجم متوازی‌السطوح می‌رسیم. این مفهوم در فیزیک برای محاسبه گشتاور حجمی یا در گرافیک کامپیوتری برای تشخیص اینکه آیا سه بردار یک جعبه احاطه‌کننده معتبر می‌سازند، کاربرد دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"formula-box\" style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">فرمول کلیدی: اگر سه بردار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{a}$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{b}$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{c}$\u003C\u002Fspan> سه یال مجاور متوازی‌السطوح باشند، حجم آن برابر است با قدرمطلق ضرب داخلی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{a}$\u003C\u002Fspan> در حاصل‌ضرب خارجی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{b} \\times \\vec{c}$\u003C\u002Fspan>: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ V = | \\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \\times \\vec{c}) | $\u003C\u002Fspan> همچنین به این کمیت، حاصل‌ضرب مختلط یا جعبه‌ای\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> سه بردار گفته می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">ضرب خارجی و ضرب داخلی: دو عملیات برداری در خدمت حجم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای درک فرمول بالا، ابتدا باید دو عملگر اصلی را بشناسیم. ضرب خارجی دو بردار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{b}$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{c}$\u003C\u002Fspan> (نوشته می‌شود \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{b} \\times \\vec{c}$\u003C\u002Fspan>) بردار جدیدی می‌دهد که عمود بر هر دو بردار اولیه است. اندازه این بردار برابر مساحت متوازی‌الأضلاع ساخته شده توسط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{b}$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{c}$\u003C\u002Fspan> است. سپس ضرب داخلی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \\times \\vec{c})$\u003C\u002Fspan> یعنی بردار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{a}$\u003C\u002Fspan> در بردار حاصل از ضرب خارجی ضرب نقطه‌نقطه شود. نتیجه یک عدد است که قدرمطلق آن، حجم متوازی‌السطوح را می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای روشن‌تر شدن، مراحل گام‌به‌گام محاسبه را دنبال کنید: فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{b}=(1,2,0)$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{c}=(0,1,3)$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{a}=(2,0,1)$\u003C\u002Fspan>. ابتدا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{b} \\times \\vec{c}$\u003C\u002Fspan> را محاسبه می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{b} \\times \\vec{c} = \\begin{vmatrix} \\hat{i} & \\hat{j} & \\hat{k} \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3 \\end{vmatrix} = \\hat{i}(2\\cdot3 - 0\\cdot1) - \\hat{j}(1\\cdot3 - 0\\cdot0) + \\hat{k}(1\\cdot1 - 2\\cdot0) = (6, -3, 1)$\u003C\u002Fspan> سپس ضرب داخلی: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a} \\cdot (6, -3, 1) = 2\\cdot6 + 0\\cdot(-3) + 1\\cdot1 = 12 + 0 + 1 = 13$\u003C\u002Fspan> و در پایان قدرمطلق یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$V = |13| = 13$\u003C\u002Fspan> واحد حجم. توجه کنید که اگر ترتیب بردارها عوض شود، علامت ممکن است تغییر کند اما قدرمطلق حجم یکسان می‌ماند.\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه ضرب داخلی و ضرب خارجی\" class=\"role=\" region=\"\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ضرب داخلی (نقطه‌ای)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ضرب خارجی (برداری)\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نتیجه\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">یک عدد نردهای\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">یک بردار\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">دستور در متوازی‌السطوح\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ارتفاع مؤثر را در مساحت قواعد ضرب می‌کند\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">بردار مساحت قاعده (جهت‌دار) را می‌سازد\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نماد\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\cdot$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\times$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی: محاسبه حجم یک جعبه کج در مهندسی سازه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید در یک پروژه عمرانی، یک سازه به شکل متوازی‌السطوح داریم که سه یال آن با بردارهای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{u}=(3,1,2)$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{v}=(1,4,0)$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{w}=(2,2,5)$\u003C\u002Fspan> متر مشخص شده‌اند. مهندسان نیاز به حجم دقیق برای محاسبه بتن ریزی دارند. با استفاده از فرمول قدرمطلق ضرب داخلی در ضرب خارجی گام به گام پیش می‌رویم. ابتدا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{v} \\times \\vec{w}$\u003C\u002Fspan> را می‌یابیم:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{v} \\times \\vec{w} = \\begin{vmatrix} \\hat{i} & \\hat{j} & \\hat{k} \\\\ 1 & 4 & 0 \\\\ 2 & 2 & 5 \\end{vmatrix} = \\hat{i}(4\\cdot5 - 0\\cdot2) - \\hat{j}(1\\cdot5 - 0\\cdot2) + \\hat{k}(1\\cdot2 - 4\\cdot2) = (20, -5, -6)$\u003C\u002Fspan> سپس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{u} \\cdot (20, -5, -6) = 3\\cdot20 + 1\\cdot(-5) + 2\\cdot(-6) = 60 -5 -12 = 43$\u003C\u002Fspan>. قدرمطلق عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$43$\u003C\u002Fspan> برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$43$\u003C\u002Fspan> است. بنابراین حجم مورد نیاز برای بتن، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$43$\u003C\u002Fspan> متر مکعب خواهد بود. دقت کنید که جابه‌جایی بردارها فقط علامت حاصل ضرب مختلط را عوض می‌کند، اما قدرمطلق ثابت می‌ماند.\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"faq-section\" style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #344054\">نکته مهم برای محاسبات سریع:\u003C\u002Fstrong> اگر سه بردار را به صورت سطری در یک ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3 \\times 3$\u003C\u002Fspan> بنویسید، حاصل ضرب مختلط همان دترمینان آن ماتریس است: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \\times \\vec{c}) = \\det\\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\\\ b_1 & b_2 & b_3 \\\\ c_1 & c_2 & c_3 \\end{pmatrix}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>چالش ۱: آیا ترتیب بردارها در فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \\times \\vec{c})$\u003C\u002Fspan> اهمیت دارد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: بله، از نظر علامت اهمیت دارد. جابه‌جایی هر دو بردار (جابه‌جایی زوج) علامت را عوض نمی‌کند، اما جابه‌جایی فرد (یک بار جابه‌جایی) علامت را منفی می‌کند. با این حال قدرمطلق حجم همواره مثبت است. به عنوان مثال \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{b} \\cdot (\\vec{a} \\times \\vec{c}) = - \\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \\times \\vec{c})$\u003C\u002Fspan>. پس در محاسبه حجم حتماً از قدرمطلق استفاده کنید.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>چالش ۲: اگر سه بردار هم‌صفحه باشند، چه مقدار برای حجم به دست می‌آید؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: اگر سه بردار در یک صفحه قرار بگیرند (هم‌صفحه)، متوازی‌السطوح ارتفاعی ندارد و حجم آن صفر می‌شود. در این حالت تعبیر هندسی ضرب خارجی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{b} \\times \\vec{c}$\u003C\u002Fspan> بردار عمود بر صفحه است و ضرب داخلی آن در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\vec{a}$\u003C\u002Fspan> که در همان صفحه قرار دارد، صفر خواهد بود. پس شرط غیرهم‌صفحه بودن یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$V \\neq 0$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>چالش ۳: چرا در فرمول از قدرمطلق استفاده می‌کنیم و آیا حجم می‌تواند منفی باشد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: در فیزیک و هندسه، حجم یک کمیت نردهای و همواره نامنفی است. حاصل ضرب مختلط بدون قدرمطلق ممکن است بر اساس جهت‌گیری (دست راستی یا چپ گردی) بردارها مثبت یا منفی شود. قدرمطلق این علامت را حذف کرده و اندازه واقعی حجم را نشان می‌دهد. به همین دلیل در تمام مسائل کاربردی از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$V = | \\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \\times \\vec{c}) |$\u003C\u002Fspan> استفاده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"summary-box\" style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> حجم متوازی‌السطوحی که توسط سه بردار غیرهم‌صفحه ساخته می‌شود، برابر قدرمطلق ضرب داخلی یک بردار در ضرب خارجی دو بردار دیگر است. این فرمول که با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$V = | \\vec{a} \\cdot (\\vec{b} \\times \\vec{c}) |$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود، پیوندی زیبا بین ضرب داخلی (ارتفاع مؤثر) و ضرب خارجی (مساحت جهت‌دار) ایجاد می‌کند. محاسبه گام‌به‌گام با دترمینان ماتریس بردارها سریع‌ترین روش است. به یاد داشته باشید که شرط اصلی، ناهمسطح بودن بردارها (حجم غیرصفر) است. این مفهوم در مهندسی، فیزیک و گرافیک کامپیوتری برای محاسبه حجم اجسام کج، گشتاور حجمی و تشخیص راست گردی یا چپ گردی بردارها کاربرد گسترده دارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px\">\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> متوازی‌السطوح (Parallelepiped): یک منشور سه‌بعدی با شش وجه متوازی‌الأضلاع که هر وجه با وجه مقابل خود موازی و برابر است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> ضرب داخلی (Dot Product): عملیات بین دو بردار که حاصل آن یک عدد نردهای برابر با حاصلضرب اندازه بردارها در کسینوس زاویه بین آن‌ها است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> ضرب خارجی (Cross Product): عملیات بین دو بردار در فضای سه‌بعدی که حاصل آن بردار عمود بر هر دو بردار اولیه با اندازه مساحت متوازی‌الأضلاع ساخته شده توسط آن دو است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> بردار یکه (Unit Vector): بردار با اندازه یک که جهت مشخصی را در فضا نشان می‌دهد و معمولاً با کلاه کوچک روی حرف نشان داده می‌شود مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\hat{i}$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> حاصلضرب جعبه‌ای (Scalar Triple Product): حاصلضرب اسکالر یک بردار در ضرب خارجی دو بردار دیگر که برابر با حجم متوازی‌السطوح ساخته شده توسط آن سه بردار است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","هندسه دوازدهم","حجم متوازی‌السطوح",0,155,"2026-04-25 17:07:43","2026-08-20 03:14:09","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F5","3:14 1405\u002F05\u002F29",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,257,265,273,281,289,297,305,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},12146,"ماتریس همانی (I یا In): ماتریس مربعی که روی قطر اصلی 1 و درایه‌های دیگر 0 است و عضو خنثی ضرب ماتریس‌هاست.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHO2OY2jMEIIhcKB9dEBj_200.png","2026-08-24 15:41:07","ماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","1405\u002F06\u002F2",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},12152,"شرط وجود وارون (شرط وارون‌پذیری): برای اینکه A^-1 وجود داشته باشد باید |A|≠0 باشد؛ اگر |A|=0 باشد وارون وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlIHXa8luNtBVAeHHK9gC_200.png","2026-08-24 15:31:13","شرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},12160,"دستگاه ناسازگار (بدون جواب): وقتی دو خط موازیِ متمایز باشند؛ در نگاه ماتریسی معمولاً |A|=0 و شرایط ثابت‌ها طوری است که نقطهٔ مشترک وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZFswJRmEaNrsJK91UMT8_200.png","2026-08-24 15:15:34","دستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":256},12054,"ماتریس: هر آرایش مستطیلی از اعداد حقیقی که از تعدادی سطر و ستون تشکیل شده باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCyH6F8um7hxbFOh8NwJp_200.png","2026-08-22 21:41:37","ماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","1405\u002F05\u002F31",{"id":258,"title":259,"cat":199,"pic":260,"up_date":261,"title_url":262,"url":263,"legacy_url":264,"cat_title":212,"update_jalali":256},12055,"درایهٔ ماتریس: هر عدد حقیقیِ قرارگرفته در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9vpUNpXsvaSlSGLjPM7r_200.png","2026-08-22 21:40:00","درایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس",{"id":266,"title":267,"cat":199,"pic":268,"up_date":269,"title_url":270,"url":271,"legacy_url":272,"cat_title":212,"update_jalali":256},12056,"سطر و ستون ماتریس: ردیف افقی و عمودی عناصر (درایه‌ها) در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fd4ccWiSZS1hvCAicia99_200.png","2026-08-22 21:38:30","سطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس",{"id":274,"title":275,"cat":199,"pic":276,"up_date":277,"title_url":278,"url":279,"legacy_url":280,"cat_title":212,"update_jalali":256},12057,"مرتبهٔ ماتریس (m×n): تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس؛ اگر ماتریس m سطر و n ستون داشته باشد، مرتبهٔ آن m×n است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHLx6GW4ccIuuUGfxgXQx_200.png","2026-08-22 21:36:51","مرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است",{"id":282,"title":283,"cat":199,"pic":284,"up_date":285,"title_url":286,"url":287,"legacy_url":288,"cat_title":212,"update_jalali":256},12058,"دستگاه معادلات: مجموعه‌ای از چند معادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و معمولاً برای یافتن مقادیر مجهول‌ها حل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEeFtslvSqFgghaNmBX5o_200.png","2026-08-22 21:33:48","دستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود",{"id":290,"title":291,"cat":199,"pic":292,"up_date":293,"title_url":294,"url":295,"legacy_url":296,"cat_title":212,"update_jalali":256},12059,"دستگاه نامعادلات: مجموعه‌ای از چند نامعادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و جواب آن مجموعه‌ای از مقادیر ممکن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKwLUm5NEHXLEWqbsAf5m_200.png","2026-08-22 21:31:30","دستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است",{"id":298,"title":299,"cat":199,"pic":300,"up_date":301,"title_url":302,"url":303,"legacy_url":304,"cat_title":212,"update_jalali":256},12060,"تعمیم: گسترش یک الگو یا نتیجه از حالت‌های خاص به حالت‌های کلی‌تر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F85yS4UtNCzL5Ryquxtzf_200.png","2026-08-22 21:29:58","تعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر",{"id":306,"title":307,"cat":199,"pic":308,"up_date":309,"title_url":310,"url":311,"legacy_url":312,"cat_title":212,"update_jalali":256},12061,"مقاطع مخروطی: منحنی‌هایی که از برش دادن یک مخروط به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGAdfKPxq5mWGavBxYt4C_200.png","2026-08-22 21:28:07","مقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":256},12062,"مکان هندسی: مجموعهٔ همهٔ نقاطی که یک ویژگی یا شرط هندسی مشخص را داشته باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F0t0y8haqNG18E6sFnt6V_200.png","2026-08-22 21:26:19","مکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند"]