[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12400":193,"$f85oUh3D0EYkaVeKpPr8xg5q1k3cclm0J0b4v4ywejvo":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},12400,1170,1171,4925,"توزیع‌پذیری ضرب خارجی نسبت به جمع: a×(b+c)=a×b + a×c و (a+b)×c = a×c + b×c.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgBAmaxv3L8wJVTHm25sD_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"قانون توزیع‌پذیری ضرب خارجی نسبت به جمع\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">قانون توزیع‌پذیری ضرب خارجی نسبت به جمع\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">مفهوم پایه‌ای در جبر برداری: بررسی دو طرفهٔ توزیع ضرب خارجی بر روی جمع برداری\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله با قانون توزیع‌پذیری ضرب خارجی بردارها (حاصلضرب برداری) نسبت به عمل جمع آشنا می‌شوید. دو رابطهٔ اصلی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a} \\times (\\vec{b} + \\vec{c}) = \\vec{a} \\times \\vec{b} + \\vec{a} \\times \\vec{c} $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (\\vec{a} + \\vec{b}) \\times \\vec{c} = \\vec{a} \\times \\vec{c} + \\vec{b} \\times \\vec{c} $\u003C\u002Fspan> را گام به گام بررسی می‌کنیم. همچنین با کمک مثال‌های عددی، هندسهٔ بردارها، جدول مقایسه و پاسخ به پرسش‌های رایج، این ویژگی بنیادین را در سطح دبیرستان درک خواهید کرد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تعریف ضرب خارجی و ویژگی جمع‌پذیری برداری\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در فیزیک و ریاضیات دبیرستان، بردارها کمیت‌هایی هستند که هم اندازه و هم جهت دارند. عمل جمع برداری به روش متوازی‌الاضلاع انجام می‌شود. ضرب خارجی (حاصلضرب برداری) دو بردار، بردار سومی عمود بر صفحهٔ آن دو می‌سازد که جهت آن توسط قانون دست راست تعیین می‌شود. \u003Cstrong>قانون توزیع‌پذیری\u003C\u002Fstrong> به این معناست که اگر یک بردار در حاصل‌جمع دو بردار دیگر ضرب خارجی شود، نتیجه برابر است با مجموع ضرب خارجی آن بردار در هر کدام از آن دو بردار به طور جداگانه. این ویژگی هم برای ضرب خارجی از چپ و هم از راست برقرار است، اما باید به ترتیب بردارها توجه کرد زیرا ضرب خارجی جابه‌جایی نیست: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a} \\times \\vec{b} = - (\\vec{b} \\times \\vec{a}) $\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای نمونه فرض کنید بردار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a} $\u003C\u002Fspan> در راستای محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x $\u003C\u002Fspan> به طول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 2 $\u003C\u002Fspan> و بردارهای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{b} $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{c} $\u003C\u002Fspan> به ترتیب در راستای محورهای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ y $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ z $\u003C\u002Fspan> با طول‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 3 $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 4 $\u003C\u002Fspan> باشند. آن‌گاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{b} + \\vec{c} $\u003C\u002Fspan> در صفحهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ yz $\u003C\u002Fspan> قرار دارد و ضرب خارجی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a} \\times (\\vec{b} + \\vec{c}) $\u003C\u002Fspan> در جهت محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x $\u003C\u002Fspan> نخواهد بود و با مجموع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a}\\times\\vec{b} $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a}\\times\\vec{c} $\u003C\u002Fspan> برابر است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>فرمول اصلی:\u003C\u002Fstrong> برای هر سه بردار دلخواه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a}, \\vec{b}, \\vec{c} $\u003C\u002Fspan> در فضای سه بعدی: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\vec{a} \\times (\\vec{b} + \\vec{c}) = \\vec{a} \\times \\vec{b} + \\vec{a} \\times \\vec{c} $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ (\\vec{a} + \\vec{b}) \\times \\vec{c} = \\vec{a} \\times \\vec{c} + \\vec{b} \\times \\vec{c} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">بررسی توزیع‌پذیری از چپ و راست با مثال عددی گام به گام\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای درک بهتر، دو بردار در صفحهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ xy $\u003C\u002Fspan> در نظر می‌گیریم. فرض کنید: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a} = (1, 0, 0) $\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{b} = (0, 2, 0) $\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{c} = (0, -1, 0) $\u003C\u002Fspan>. ابتدا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{b} + \\vec{c} = (0, 1, 0) $\u003C\u002Fspan>. سپس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a} \\times (\\vec{b} + \\vec{c}) $\u003C\u002Fspan> را محاسبه می‌کنیم که برابر است با حاصلضرب برداری \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (1,0,0) \\times (0,1,0) $\u003C\u002Fspan>. با استفاده از قاعدهٔ دترمینان، نتیجه برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (0,0,1) $\u003C\u002Fspan> می‌شود. از طرف دیگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a}\\times\\vec{b} = (0,0,2) $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a}\\times\\vec{c} = (0,0,-1) $\u003C\u002Fspan>. جمع این دو یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (0,0,2) + (0,0,-1) = (0,0,1) $\u003C\u002Fspan> که با نتیجهٔ قسمت اول برابر است. پس توزیع‌پذیری از چپ تأیید شد. برای توزیع‌پذیری از راست، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (\\vec{a}+\\vec{b})\\times\\vec{c} $\u003C\u002Fspan> را با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{b}\\times\\vec{c} $\u003C\u002Fspan> مقایسه کنید.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه حالت‌های توزیع‌پذیری\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">عبارت\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نتیجه (مختصات)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">وضعیت برابری\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a} \\times (\\vec{b}+\\vec{c}) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (0,0,1) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">مرجع\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a}\\times\\vec{b} + \\vec{a}\\times\\vec{c} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (0,0,1) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">برابر\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (\\vec{a}+\\vec{b}) \\times \\vec{c} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (0,0,-1) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"background: #fff3c4; border-radius: 999px; color: #24292f; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">مرجع\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a}\\times\\vec{c} + \\vec{b}\\times\\vec{c} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (0,0,-1) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">برابر\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد در فیزیک دبیرستان: گشتاور نیرو و حرکت زاویه‌ای\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>یکی از مهم‌ترین کاربردهای ضرب خارجی و قانون توزیع‌پذیری آن، محاسبهٔ \u003Cstrong>گشتاور نیرو\u003C\u002Fstrong> (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{\\tau} = \\vec{r} \\times \\vec{F} $\u003C\u002Fspan>) است. اگر چند نیرو به یک نقطه از جسم وارد شوند، برآیند گشتاور برابر است با گشتاور حاصل از برآیند نیروها. به عبارت دیگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{r} \\times (\\vec{F}_1 + \\vec{F}_2) = \\vec{r} \\times \\vec{F}_1 + \\vec{r} \\times \\vec{F}_2 $\u003C\u002Fspan>. این ویژگی به دانش‌آموزان اجازه می‌دهد بدون محاسبهٔ برآیند نیروها، گشتاور کل را از جمع گشتاورهای هر نیرو به دست آورند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>مثال عملی: شخصی آچار را در راستای محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x $\u003C\u002Fspan> به طول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 0.5 $\u003C\u002Fspan> متر گرفته و دو نیرو در نقطهٔ انتهایی آچار وارد می‌کند: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{F}_1 = (0, 10, 0) $\u003C\u002Fspan> نیوتن و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{F}_2 = (0, -4, 0) $\u003C\u002Fspan> نیوتن. بردار مکان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{r} = (0.5, 0, 0) $\u003C\u002Fspan>. گشتاور حاصل از هر نیرو به ترتیب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (0,0,5) $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (0,0,-2) $\u003C\u002Fspan> نیوتن متر است. مجموع آن‌ها \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (0,0,3) $\u003C\u002Fspan> و با گشتاور حاصل از نیروی برآیند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{F}_1+\\vec{F}_2=(0,6,0) $\u003C\u002Fspan> که برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (0,0,3) $\u003C\u002Fspan> است، یکسان می‌باشد. این یعنی قانون توزیع‌پذیری مستقیماً در محاسبات مهندسی کاربرد دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی دربارهٔ ضرب خارجی و جمع\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۱) چرا ضرب خارجی جابه‌جایی پذیر نیست اما توزیع‌پذیری دارد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>ضرب خارجی به دلیل ماهیت برداری و جهت عمودی که قانون دست راست تعیین می‌کند، خاصیت جابه‌جایی ندارد و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a} \\times \\vec{b} = - \\vec{b} \\times \\vec{a} $\u003C\u002Fspan>. اما توزیع‌پذیری یک ویژگی خطی است و برای هر عملگر دوعملوندی که به جمع خطی حساس باشد، می‌تواند برقرار باشد. ضرب خارجی نسبت به جمع هر دو ورودی خود خطی است (در ورودی اول و دوم به طور جداگانه خطی است).\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۲) آیا توزیع‌پذیری برای ضرب خارجی بردارهای هم‌راستا نیز کار می‌کند؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>بله. اگر دو بردار هم‌راستا باشند، حاصلضرب خارجی آن‌ها بردار صفر است. برای مثال \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{b} $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{c} $\u003C\u002Fspan> هر دو در جهت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ x $\u003C\u002Fspan> باشند، آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a} \\times (\\vec{b}+\\vec{c}) = \\vec{0} $\u003C\u002Fspan> و همچنین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a}\\times\\vec{b} = \\vec{0} $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a}\\times\\vec{c} = \\vec{0} $\u003C\u002Fspan>، پس تساوی برقرار است. بنابراین قانون محدودیتی ندارد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۳) اگر به جای ضرب خارجی از ضرب داخلی استفاده کنیم، آیا شکل توزیع‌پذیری تغییر می‌کند؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>ضرب داخلی نیز توزیع‌پذیر است: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a} \\cdot (\\vec{b} + \\vec{c}) = \\vec{a}\\cdot\\vec{b} + \\vec{a}\\cdot\\vec{c} $\u003C\u002Fspan>. تفاوت اصلی در نتیجه است: ضرب داخلی یک عدد (نرده‌ای) می‌دهد، اما ضرب خارجی یک بردار. هر دو از قانون توزیع پیروی می‌کنند، ولی خواص جابه‌جایی متفاوت است (ضرب داخلی جابه‌جایی دارد، ضرب خارجی پادجابه‌جایی).\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">قانون توزیع‌پذیری ضرب خارجی نسبت به جمع، هم برای حالت ضرب از چپ و هم از راست برقرار است و یکی از ویژگی‌های خطی بودن عملگر ضرب برداری محسوب می‌شود. با استفاده از این قانون، می‌توان محاسبات مربوط به گشتاور، تکانه زاویه‌ای و میدان‌های الکترومغناطیس را ساده‌تر کرد. در این مقاله با مثال‌های عددی و جدول مقایسه نشان دادیم که همواره \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{a} \\times (\\vec{b} + \\vec{c}) = \\vec{a} \\times \\vec{b} + \\vec{a} \\times \\vec{c} $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ (\\vec{a} + \\vec{b}) \\times \\vec{c} = \\vec{a} \\times \\vec{c} + \\vec{b} \\times \\vec{c} $\u003C\u002Fspan> برای هر سه بردار دلخواه در فضای سه بعدی برقرار است. درک این ویژگی برای حل مسائل برداری در فیزیک و ریاضی دبیرستان ضروری می‌باشد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> ضرب خارجی (Cross Product): عملیات دودویی بین دو بردار در فضای سه بعدی که نتیجه آن برداری عمود بر صفحهٔ دو بردار اولیه با اندازه‌ای برابر مساحت متوازی‌الاضلاع ساخته شده توسط آن دو بردار است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> قانون دست راست (Right‑Hand Rule): قاعده‌ای برای تعیین جهت بردار حاصل از ضرب خارجی: اگر انگشتان دست راست از جهت بردار اول به سمت بردار دوم خم شوند، شست جهت بردار حاصلضرب را نشان می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> گشتاور (Torque): کمیتی برداری که تمایل یک نیرو به چرخاندن یک جسم حول یک محور را نشان می‌دهد و برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\vec{r} \\times \\vec{F} $\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","هندسه دوازدهم","توزیع‌پذیری ضرب خارجی نسبت به جمع",0,138,"2026-04-25 13:15:08","2026-08-20 10:26:35","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F5","10:26 1405\u002F05\u002F29",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,257,265,273,281,289,297,305,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},12146,"ماتریس همانی (I یا In): ماتریس مربعی که روی قطر اصلی 1 و درایه‌های دیگر 0 است و عضو خنثی ضرب ماتریس‌هاست.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHO2OY2jMEIIhcKB9dEBj_200.png","2026-08-24 15:41:07","ماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","1405\u002F06\u002F2",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},12152,"شرط وجود وارون (شرط وارون‌پذیری): برای اینکه A^-1 وجود داشته باشد باید |A|≠0 باشد؛ اگر |A|=0 باشد وارون وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlIHXa8luNtBVAeHHK9gC_200.png","2026-08-24 15:31:13","شرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},12160,"دستگاه ناسازگار (بدون جواب): وقتی دو خط موازیِ متمایز باشند؛ در نگاه ماتریسی معمولاً |A|=0 و شرایط ثابت‌ها طوری است که نقطهٔ مشترک وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZFswJRmEaNrsJK91UMT8_200.png","2026-08-24 15:15:34","دستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":256},12054,"ماتریس: هر آرایش مستطیلی از اعداد حقیقی که از تعدادی سطر و ستون تشکیل شده باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCyH6F8um7hxbFOh8NwJp_200.png","2026-08-22 21:41:37","ماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","1405\u002F05\u002F31",{"id":258,"title":259,"cat":199,"pic":260,"up_date":261,"title_url":262,"url":263,"legacy_url":264,"cat_title":212,"update_jalali":256},12055,"درایهٔ ماتریس: هر عدد حقیقیِ قرارگرفته در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9vpUNpXsvaSlSGLjPM7r_200.png","2026-08-22 21:40:00","درایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس",{"id":266,"title":267,"cat":199,"pic":268,"up_date":269,"title_url":270,"url":271,"legacy_url":272,"cat_title":212,"update_jalali":256},12056,"سطر و ستون ماتریس: ردیف افقی و عمودی عناصر (درایه‌ها) در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fd4ccWiSZS1hvCAicia99_200.png","2026-08-22 21:38:30","سطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس",{"id":274,"title":275,"cat":199,"pic":276,"up_date":277,"title_url":278,"url":279,"legacy_url":280,"cat_title":212,"update_jalali":256},12057,"مرتبهٔ ماتریس (m×n): تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس؛ اگر ماتریس m سطر و n ستون داشته باشد، مرتبهٔ آن m×n است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHLx6GW4ccIuuUGfxgXQx_200.png","2026-08-22 21:36:51","مرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است",{"id":282,"title":283,"cat":199,"pic":284,"up_date":285,"title_url":286,"url":287,"legacy_url":288,"cat_title":212,"update_jalali":256},12058,"دستگاه معادلات: مجموعه‌ای از چند معادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و معمولاً برای یافتن مقادیر مجهول‌ها حل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEeFtslvSqFgghaNmBX5o_200.png","2026-08-22 21:33:48","دستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود",{"id":290,"title":291,"cat":199,"pic":292,"up_date":293,"title_url":294,"url":295,"legacy_url":296,"cat_title":212,"update_jalali":256},12059,"دستگاه نامعادلات: مجموعه‌ای از چند نامعادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و جواب آن مجموعه‌ای از مقادیر ممکن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKwLUm5NEHXLEWqbsAf5m_200.png","2026-08-22 21:31:30","دستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است",{"id":298,"title":299,"cat":199,"pic":300,"up_date":301,"title_url":302,"url":303,"legacy_url":304,"cat_title":212,"update_jalali":256},12060,"تعمیم: گسترش یک الگو یا نتیجه از حالت‌های خاص به حالت‌های کلی‌تر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F85yS4UtNCzL5Ryquxtzf_200.png","2026-08-22 21:29:58","تعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر",{"id":306,"title":307,"cat":199,"pic":308,"up_date":309,"title_url":310,"url":311,"legacy_url":312,"cat_title":212,"update_jalali":256},12061,"مقاطع مخروطی: منحنی‌هایی که از برش دادن یک مخروط به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGAdfKPxq5mWGavBxYt4C_200.png","2026-08-22 21:28:07","مقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":256},12062,"مکان هندسی: مجموعهٔ همهٔ نقاطی که یک ویژگی یا شرط هندسی مشخص را داشته باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F0t0y8haqNG18E6sFnt6V_200.png","2026-08-22 21:26:19","مکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند"]