[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12398":193,"$fPWBIzMwsONpqkSC_8apiQ_XDbfeqUEXmuiD_NOBWpsE":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},12398,1170,1171,4925,"ضرب عدد حقیقی در ضرب خارجی: اگر r عدد حقیقی باشد، (ra)×b = a×(rb) = r(a×b).",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FIXA5lF5wNdmb4lMkETfW_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"ضرب عدد حقیقی در ضرب خارجی\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">ضرب عدد حقیقی در ضرب خارجی: قانون همخوانی و یکنواختی\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">بررسی ویژگی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(ra)×b = a×(rb) = r(a×b)\u003C\u002Fspan> و کاربردهای آن در هندسه و فیزیک دبیرستان\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">این مقاله به بررسی ویژگی مهم ضرب خارجی بردارها می‌پردازد که می‌گوید: ضرب یک عدد حقیقی در یکی از بردارها، پیش از انجام ضرب خارجی، با ضرب همان عدد در نتیجهٔ نهایی ضرب خارجی معادل است. این ویژگی با عنوان «همخوانی ضرب عدد حقیقی» شناخته می‌شود و در حل مسائل بردارها، گشتاور نیروها و میدان‌های مغناطیسی کاربرد گسترده‌ای دارد. در این متن، با زبانی ساده و گام‌به‌گام، همراه با مثال‌های عددی و هندسی، این قانون را بررسی می‌کنیم.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تعریف ضرب خارجی و نقش عدد حقیقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>ضرب خارجی (Cross Product) دو بردار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">a\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">b\u003C\u002Fspan> در فضای سه‌بعدی، بردار سومی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">c\u003C\u002Fspan> تولید می‌کند که عمود بر هر دو بردار اولیه است\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>. اندازه این بردار برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">|a||b|sinθ\u003C\u002Fspan> است که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">θ\u003C\u002Fspan> زاویه بین دو بردار می‌باشد. جهت آن نیز از قانون دست راست پیروی می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>حال فرض کنید عدد حقیقی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r\u003C\u002Fspan> را در یکی از بردارها ضرب کنیم. آیا می‌توان این ضرب عددی را پس از انجام ضرب خارجی اعمال کرد؟ پاسخ مثبت است و این همان موضوع اصلی مقاله است:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$(r\\mathbf{a}) \\times \\mathbf{b} = \\mathbf{a} \\times (r\\mathbf{b}) = r(\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b})$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>این تساوی نشان می‌دهد که ضرب خارجی نسبت به ضرب اسکالر (عدد حقیقی) خاصیت همخوانی (Homogeneity) دارد. به عبارت دیگر، ضرب خارجی یک عملگر خطی است. در ادامه هر یک از اجزای این تساوی را با مثال بررسی می‌کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">بررسی گام‌به‌گام با مؤلفه‌های بردار\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای درک بهتر، بردارها را به صورت مؤلفه‌ای در نظر می‌گیریم. فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\u003C\u002Fspan>. ضرب خارجی آنها از رابطه زیر به دست می‌آید:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\\; a_1 b_2 - a_2 b_1)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>حال اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\mathbf{a}\u003C\u002Fspan> را در عدد حقیقی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r\u003C\u002Fspan> ضرب کنیم، مؤلفه‌ها به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(r a_1, r a_2, r a_3)\u003C\u002Fspan> تبدیل می‌شوند. سپس ضرب خارجی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(r\\mathbf{a}) \\times \\mathbf{b}\u003C\u002Fspan> را محاسبه می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$(r a_2 b_3 - r a_3 b_2,\\; r a_3 b_1 - r a_1 b_3,\\; r a_1 b_2 - r a_2 b_1) = r (a_2 b_3 - a_3 b_2,\\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\\; a_1 b_2 - a_2 b_1)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>دقیقاً همان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r(\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b})\u003C\u002Fspan>. محاسبه مشابهی برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\mathbf{a} \\times (r\\mathbf{b})\u003C\u002Fspan> نتیجهٔ یکسانی خواهد داشت. این گام ثابت می‌کند که عدد حقیقی را می‌توان پیش یا پس از ضرب خارجی اعمال کرد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مثال عددی: مقایسه حالت‌های مختلف\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\mathbf{a} = (1, 2, 0)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\mathbf{b} = (0, 1, 3)\u003C\u002Fspan> و عدد حقیقی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r = 4\u003C\u002Fspan>. در جدول زیر سه حالت مختلف محاسبه و مقایسه شده است:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول مقایسه ضرب عدد حقیقی در ضرب خارجی\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">عبارت\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">محاسبه گام‌به‌گام\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نتیجه نهایی\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(r\\mathbf{a}) \\times \\mathbf{b}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(4,8,0) \\times (0,1,3) = (8×3 - 0×1,\\; 0×0 - 4×3,\\; 4×1 - 8×0) = (24, -12, 4)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(24, -12, 4)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbf{a} \\times (r\\mathbf{b})$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(1,2,0) \\times (0,4,12) = (2×12 - 0×4,\\; 0×0 - 1×12,\\; 1×4 - 2×0) = (24, -12, 4)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(24, -12, 4)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$r(\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b})$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ابتدا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b} = (6, -3, 1)$\u003C\u002Fspan> سپس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$4×(6,-3,1) = (24, -12, 4)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(24, -12, 4)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>همان‌طور که مشاهده می‌شود، هر سه روش نتیجهٔ یکسانی تولید می‌کنند. این همخوانی محاسبات را ساده‌تر می‌کند، زیرا می‌توان ضرب عدد حقیقی را به هر مرحله‌ای که راحت‌تر است موکول کرد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تفسیر هندسی: اثر بزرگنمایی و جهتیابی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>از نظر هندسی، ضرب خارجی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b}$\u003C\u002Fspan> مساحت متوازی‌الاضلاعی که دو بردار می‌سازند را نشان می‌دهد (اندازه بردار حاصل برابر مساحت است). اگر یکی از بردارها را در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r\u003C\u002Fspan> ضرب کنیم، طول آن بردار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">|r|\u003C\u002Fspan> برابر می‌شود. بنابراین مساحت متوازی‌الاضلاع نیز به همان نسبت تغییر می‌کند. در ضمن، اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r\u003C\u002Fspan> منفی باشد، جهت بردار حاصل از ضرب خارجی برعکس می‌شود (چون قانون دست راست برای یک بردار معکوس شده و جهت وارونه می‌گردد). این دقیقاً همان چیزی است که در رابطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$r(\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b})$\u003C\u002Fspan> دیده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای تجسم بهتر، یک مثال فیزیکی ساده: گشتاور نیرو\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> نسبت به یک نقطه برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\boldsymbol{\\tau} = \\mathbf{r} \\times \\mathbf{F}$\u003C\u002Fspan> است که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbf{r}$\u003C\u002Fspan> بردار مکان و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbf{F}$\u003C\u002Fspan> نیرو است. اگر نیرو را دو برابر کنید (ضرب در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">r=2\u003C\u002Fspan>)، گشتاور نیز دو برابر می‌شود. همچنین اگر فقط بردار مکان را دو برابر کنید (یعنی نقطهٔ اثر را دورتر کنید) باز هم گشتاور دو برابر می‌شود. در هر دو حالت، عدد حقیقی از ضرب خارجی بیرون کشیده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد در فیزیک دبیرستان: گشتاور و میدان مغناطیسی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در فیزیک پایه دوازدهم، با مفهوم نیروی لورنتس\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> آشنا می‌شوید: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbf{F} = q(\\mathbf{v} \\times \\mathbf{B})$\u003C\u002Fspan>. اگر بار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">q\u003C\u002Fspan> را یک عدد حقیقی در نظر بگیریم، می‌توان نوشت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbf{F} = (q\\mathbf{v}) \\times \\mathbf{B} = \\mathbf{v} \\times (q\\mathbf{B})$\u003C\u002Fspan>. یعنی می‌توانیم ضریب بار را به سرعت یا به میدان مغناطیسی منتقل کنیم و نتیجه یکسان خواهد بود. این انعطاف در حل مسائل بسیار مفید است. مثال دیگر، گشتاور مغناطیسی حلقهٔ حامل جریان است که با ضرب جریان (عدد حقیقی) در مساحت برداری به دست می‌آید.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 10px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 10px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>مثال عملی\u003C\u002Fstrong>: فرض کنید یک میله به طول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan> متر از نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">O\u003C\u002Fspan> تحت نیروی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbf{F} = (3,0,0)$\u003C\u002Fspan> نیوتن قرار دارد و بردار مکان نقطهٔ اثر نسبت به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">O\u003C\u002Fspan> برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbf{r} = (0,4,0)$\u003C\u002Fspan> متر است. گشتاور برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\boldsymbol{\\tau} = \\mathbf{r} \\times \\mathbf{F} = (0,0,12)$\u003C\u002Fspan> نیوتن·متر است. اگر نیرو را سه برابر کنیم، یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$r=3$\u003C\u002Fspan>، گشتاور جدید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(0,0,36)$\u003C\u002Fspan> می‌شود که همان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3 \\times (0,0,12)$\u003C\u002Fspan> است. این قانون به ما اجازه می‌دهد بدون تکرار محاسبات، اثر تغییر نیرو یا فاصله را به سرعت پیش‌بینی کنیم.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۱: آیا این ویژگی برای ضرب داخلی نیز برقرار است؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nبله، ضرب داخلی نیز ویژگی همخوانی دارد: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(r\\mathbf{a})\\cdot\\mathbf{b} = \\mathbf{a}\\cdot(r\\mathbf{b}) = r(\\mathbf{a}\\cdot\\mathbf{b})$\u003C\u002Fspan>. اما تفاوت در این است که ضرب داخلی یک عدد (اسکالر) تولید می‌کند در حالی که ضرب خارجی بردار عمود بر صفحه را می‌سازد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۲: اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$r$\u003C\u002Fspan> صفر باشد چه اتفاقی می‌افتد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nاگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$r=0$\u003C\u002Fspan> باشد، آن‌گاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$0 \\times \\mathbf{a}$\u003C\u002Fspan> بردار صفر است. ضرب خارجی هر بردار با بردار صفر، بردار صفر می‌دهد. از طرفی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$0(\\mathbf{a} \\times \\mathbf{b})$\u003C\u002Fspan> نیز بردار صفر است. بنابراین تساوی همچنان برقرار است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۳: آیا این قانون برای هر نوع عدد حقیقی از جمله اعداد گنگ (مثل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\sqrt{2}$\u003C\u002Fspan>) نیز صادق است؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nبله، خاصیت همخوانی از خطی بودن ضرب خارجی ناشی می‌شود و برای همه اعداد حقیقی (چه گویا، چه گنگ، چه مثبت و چه منفی) برقرار است. این ویژگی یک خاصیت جبری است و به مقدار خاص عدد بستگی ندارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">یک نگاه جامع: جدول ویژگی‌های خطی بودن ضرب خارجی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول ویژگی‌های خطی ضرب خارجی\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نام ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">فرم ریاضی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">توضیح مفهومی\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">همخوانی (Homogeneity)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(r\\mathbf{a})\\times\\mathbf{b}=r(\\mathbf{a}\\times\\mathbf{b})$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ضرب اسکالر از عملگر خارج می‌شود\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">توزیع‌پذیری از چپ\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbf{a}\\times(\\mathbf{b}+\\mathbf{c})=\\mathbf{a}\\times\\mathbf{b}+\\mathbf{a}\\times\\mathbf{c}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">توزیع نسبت به جمع بردارها\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">توزیع‌پذیری از راست\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(\\mathbf{a}+\\mathbf{b})\\times\\mathbf{c}=\\mathbf{a}\\times\\mathbf{c}+\\mathbf{b}\\times\\mathbf{c}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مشابه خاصیت پخشی در ضرب اعداد\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>ویژگی همخوانی که موضوع این مقاله است، به همراه دو ویژگی توزیع‌پذیری، ضرب خارجی را به یک عملگر دوخطی (Bilinear) تبدیل می‌کند. این مفهوم در ریاضیات پیشرفته و فیزیک بسیار پرکاربرد است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nدر این مقاله نشان دادیم که ضرب یک عدد حقیقی در ضرب خارجی دو بردار، مستقل از این است که عدد حقیقی به کدام یک از بردارها ضرب شود و می‌توان آن را پیش یا پس از انجام ضرب خارجی اعمال کرد. با استفاده از مؤلفه‌ها و مثال عددی، صحت رابطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(r\\mathbf{a})\\times\\mathbf{b} = \\mathbf{a}\\times(r\\mathbf{b}) = r(\\mathbf{a}\\times\\mathbf{b})$\u003C\u002Fspan> را تأیید کردیم. همچنین کاربرد این قانون در فیزیک (گشتاور و نیروی لورنتس) و تفسیر هندسی آن (تغییر مساحت متوازی‌الاضلاع) شرح داده شد. درک این ویژگی ساده اما بنیادین، پایه‌ای برای یادگیری مباحث پیشرفته‌تر مانند میدان‌های برداری و معادلات ماکسول است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> ضرب خارجی (Cross Product): عملیات دوتایی بین دو بردار در فضای سه‌بعدی که نتیجه آن برداری عمود بر هر دو بردار اولیه است.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> گشتاور نیرو (Torque): معادل چرخشی نیرو که حاصل ضرب خارجی بردار مکان و نیرو است.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> نیروی لورنتس (Lorentz Force): نیروی وارد بر ذره باردار متحرک در میدان الکترومغناطیسی که بخش مغناطیسی آن به صورت ضرب خارجی سرعت در میدان مغناطیسی ظاهر می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","هندسه دوازدهم","ضرب عدد حقیقی در ضرب خارجی",0,73,"2026-04-25 13:08:28","2026-08-20 10:29:48","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F5","10:29 1405\u002F05\u002F29",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,257,265,273,281,289,297,305,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},12146,"ماتریس همانی (I یا In): ماتریس مربعی که روی قطر اصلی 1 و درایه‌های دیگر 0 است و عضو خنثی ضرب ماتریس‌هاست.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHO2OY2jMEIIhcKB9dEBj_200.png","2026-08-24 15:41:07","ماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","1405\u002F06\u002F2",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},12152,"شرط وجود وارون (شرط وارون‌پذیری): برای اینکه A^-1 وجود داشته باشد باید |A|≠0 باشد؛ اگر |A|=0 باشد وارون وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlIHXa8luNtBVAeHHK9gC_200.png","2026-08-24 15:31:13","شرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},12160,"دستگاه ناسازگار (بدون جواب): وقتی دو خط موازیِ متمایز باشند؛ در نگاه ماتریسی معمولاً |A|=0 و شرایط ثابت‌ها طوری است که نقطهٔ مشترک وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZFswJRmEaNrsJK91UMT8_200.png","2026-08-24 15:15:34","دستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":256},12054,"ماتریس: هر آرایش مستطیلی از اعداد حقیقی که از تعدادی سطر و ستون تشکیل شده باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCyH6F8um7hxbFOh8NwJp_200.png","2026-08-22 21:41:37","ماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","1405\u002F05\u002F31",{"id":258,"title":259,"cat":199,"pic":260,"up_date":261,"title_url":262,"url":263,"legacy_url":264,"cat_title":212,"update_jalali":256},12055,"درایهٔ ماتریس: هر عدد حقیقیِ قرارگرفته در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9vpUNpXsvaSlSGLjPM7r_200.png","2026-08-22 21:40:00","درایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس",{"id":266,"title":267,"cat":199,"pic":268,"up_date":269,"title_url":270,"url":271,"legacy_url":272,"cat_title":212,"update_jalali":256},12056,"سطر و ستون ماتریس: ردیف افقی و عمودی عناصر (درایه‌ها) در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fd4ccWiSZS1hvCAicia99_200.png","2026-08-22 21:38:30","سطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس",{"id":274,"title":275,"cat":199,"pic":276,"up_date":277,"title_url":278,"url":279,"legacy_url":280,"cat_title":212,"update_jalali":256},12057,"مرتبهٔ ماتریس (m×n): تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس؛ اگر ماتریس m سطر و n ستون داشته باشد، مرتبهٔ آن m×n است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHLx6GW4ccIuuUGfxgXQx_200.png","2026-08-22 21:36:51","مرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است",{"id":282,"title":283,"cat":199,"pic":284,"up_date":285,"title_url":286,"url":287,"legacy_url":288,"cat_title":212,"update_jalali":256},12058,"دستگاه معادلات: مجموعه‌ای از چند معادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و معمولاً برای یافتن مقادیر مجهول‌ها حل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEeFtslvSqFgghaNmBX5o_200.png","2026-08-22 21:33:48","دستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود",{"id":290,"title":291,"cat":199,"pic":292,"up_date":293,"title_url":294,"url":295,"legacy_url":296,"cat_title":212,"update_jalali":256},12059,"دستگاه نامعادلات: مجموعه‌ای از چند نامعادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و جواب آن مجموعه‌ای از مقادیر ممکن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKwLUm5NEHXLEWqbsAf5m_200.png","2026-08-22 21:31:30","دستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است",{"id":298,"title":299,"cat":199,"pic":300,"up_date":301,"title_url":302,"url":303,"legacy_url":304,"cat_title":212,"update_jalali":256},12060,"تعمیم: گسترش یک الگو یا نتیجه از حالت‌های خاص به حالت‌های کلی‌تر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F85yS4UtNCzL5Ryquxtzf_200.png","2026-08-22 21:29:58","تعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر",{"id":306,"title":307,"cat":199,"pic":308,"up_date":309,"title_url":310,"url":311,"legacy_url":312,"cat_title":212,"update_jalali":256},12061,"مقاطع مخروطی: منحنی‌هایی که از برش دادن یک مخروط به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGAdfKPxq5mWGavBxYt4C_200.png","2026-08-22 21:28:07","مقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":256},12062,"مکان هندسی: مجموعهٔ همهٔ نقاطی که یک ویژگی یا شرط هندسی مشخص را داشته باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F0t0y8haqNG18E6sFnt6V_200.png","2026-08-22 21:26:19","مکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند"]