[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12377":193,"$fGXHRkSTsRTO-ad3WdwdvxhI9bzEVhnRHV6J5GP_7F7Q":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},12377,1170,1171,4925,"توزیع‌پذیری ضرب داخلی نسبت به جمع: برای بردارهای a,b,c داریم a.(b+c)=a.b + a.c.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FBBV1W0r3buYyUGamFr2x_800.png","\u003Cp> \u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"توزیع‌پذیری ضرب داخلی بردارها نسبت به جمع\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">توزیع‌پذیری ضرب داخلی بردارها نسبت به جمع: ویژگی خطی بودن در فضای برداری\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">بررسی قانون توزیع ضرب داخلی برای بردارها با مثال‌های عددی، هندسه تحلیلی و کاربرد در فیزیک دبیرستان\u003C\u002Fdiv>\r\n<!-- خلاصه سئو پسند -->\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله با قانون توزیع‌پذیری ضرب داخلی (Dot Product Distributive Property) برای بردارها آشنا می‌شوید. می‌آموزید که چرا رابطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\vec{a} \\cdot (\\vec{b} + \\vec{c}) = \\vec{a} \\cdot \\vec{b} + \\vec{a} \\cdot \\vec{c} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> همواره برقرار است. با مثال‌های عددی، جدول مقایسه و پاسخ به پرسش‌های چالشی، این ویژگی بنیادین جبر برداری را برای دانش‌آموزان دبیرستان به طور کامل توضیح می‌دهیم.\u003C\u002Fdiv>\r\n<!-- H3 اول: تعریف و بیان قانون -->\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">بیان قانون توزیع‌پذیری ضرب داخلی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در فضاهای برداری، ضرب داخلی (که گاهی ضرب نقطه‌ای یا اسکالر نیز نامیده می‌شود) عملیاتی است که به دو بردار، یک عدد حقیقی (نرده‌ای) نسبت می‌دهد. یکی از مهم‌ترین ویژگی‌های این عمل، \u003Cstrong>توزیع‌پذیری نسبت به جمع بردارها\u003C\u002Fstrong> است. به زبان ریاضی، برای هر سه بردار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{b}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{c}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> در صفحه یا فضا داریم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\vec{a} \\cdot (\\vec{b} + \\vec{c}) = \\vec{a} \\cdot \\vec{b} + \\vec{a} \\cdot \\vec{c} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>این قانون به ما اجازه می‌دهد ضرب داخلی یک بردار را در مجموع دو بردار دیگر، به صورت مجموع دو ضرب داخلی ساده‌تر بنویسیم. در حقیقت، این ویژگی نشان می‌دهد که ضرب داخلی نسبت به عمل جمع بردارها «خطی» است. برای درک بهتر، ابتدا یادآوری می‌کنیم که ضرب داخلی دو بردار در دستگاه مختصات دکارتی چگونه محاسبه می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n<!-- مثال روایت کوتاه عملی در یک پاراگراف مستقل -->\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید در حال محاسبه کار انجام شده توسط یک نیرو هستید که برآیند دو نیروی متفاوت است. طبق قانون توزیع‌پذیری، می‌توانید کار هر نیرو را جداگانه حساب کنید و سپس جمع بزنید. این ویژگی محاسبات فیزیک دبیرستان را بسیار ساده می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تأیید قانون با مؤلفه‌های برداری\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای اثبات این قانون در صفحه دو بعدی، بردارها را به صورت مؤلفه‌ای می‌نویسیم. فرض کنید:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a} = (a_1, a_2)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> ، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{b} = (b_1, b_2)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> ، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{c} = (c_1, c_2)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>طرف اول رابطه را محاسبه می‌کنیم. ابتدا جمع برداری \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{b} + \\vec{c}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> را انجام می‌دهیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{b} + \\vec{c} = (b_1 + c_1, b_2 + c_2)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>سپس ضرب داخلی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a} \\cdot (\\vec{b} + \\vec{c})$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> را به دست می‌آوریم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a} \\cdot (\\vec{b} + \\vec{c}) = a_1(b_1+c_1) + a_2(b_2+c_2) = a_1b_1 + a_1c_1 + a_2b_2 + a_2c_2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>حال طرف دوم یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} + \\vec{a} \\cdot \\vec{c}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> را محاسبه می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a} \\cdot \\vec{c} = a_1c_1 + a_2c_2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>بنابراین:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} + \\vec{a} \\cdot \\vec{c} = (a_1b_1 + a_2b_2) + (a_1c_1 + a_2c_2) = a_1b_1 + a_1c_1 + a_2b_2 + a_2c_2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>که با طرف اول برابر است. بنابراین قانون توزیع‌پذیری برای هر سه بردار دلخواه در صفحه ثابت شد. همین اثبات برای فضای سه بعدی\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> نیز به سادگی قابل گسترش است.\u003C\u002Fp>\r\n<!-- جدول مقایسه مقادیر عددی -->\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول مثال عددی قانون توزیع‌پذیری\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 500px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مرحله محاسبه\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">عملیات ریاضی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نتیجه عددی (برای مثال داده شده)\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">تعریف بردارها\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a}=(2,3)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> , \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{b}=(1,-1)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> , \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{c}=(4,2)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مقادیر ورودی داده شده\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">محاسبه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{b}+\\vec{c}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$(1+4,-1+2)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(5,1)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">طرف اول: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a}\\cdot(\\vec{b}+\\vec{c})$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$2\\times5 + 3\\times1$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">10+3 = 13\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">طرف دوم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a}\\cdot\\vec{b}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$2\\times1 + 3\\times(-1)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2 - 3 = -1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">طرف دوم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a}\\cdot\\vec{c}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$2\\times4 + 3\\times2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">8+6 = 14\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">جمع طرف دوم\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$(\\vec{a}\\cdot\\vec{b}) + (\\vec{a}\\cdot\\vec{c})$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">-1 + 14 = 13\u003C\u002Fspan> (برابر طرف اول)\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد در محاسبه کار نیروی متغیر (مثال فیزیک)\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در فیزیک دبیرستان، کار انجام شده توسط یک نیروی ثابت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{F}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> در امتداد جابجایی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{d}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$W = \\vec{F} \\cdot \\vec{d}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> است. حال فرض کنید یک جسم تحت تأثیر دو نیروی همزمان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{F_1}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{F_2}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> قرار گیرد. نیروی برآیند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{F} = \\vec{F_1} + \\vec{F_2}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> است. طبق قانون توزیع‌پذیری:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$W = (\\vec{F_1} + \\vec{F_2}) \\cdot \\vec{d} = \\vec{F_1} \\cdot \\vec{d} + \\vec{F_2} \\cdot \\vec{d}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>یعنی کار کل برابر مجموع کارهایی است که هر نیرو به تنهایی انجام می‌دهد. این نتیجه در مسائلی که چند نیرو بر یک جسم وارد می‌شوند، بسیار مفید است و نیازی به محاسبه برآیند نیروها قبل از محاسبه کار نیست.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی پیرامون توزیع‌پذیری ضرب داخلی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp style=\"font-weight: bold\">۱) آیا قانون توزیع‌پذیری برای ضرب خارجی یا ضرب معمولی اعداد نیز برقرار است؟\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>بله، ضرب معمولی اعداد حقیقی و همچنین ضرب خارجی بردارها (کراس پروداکت) نیز نسبت به جمع توزیع‌پذیر هستند. اما ضرب داخلی با ضرب خارجی تفاوت ماهوی دارد؛ خروجی ضرب داخلی یک عدد نرده‌ای (اسکالر) است در حالی که خروجی ضرب خارجی یک بردار عمود بر دو بردار اولیه است. قانون توزیع برای ضرب داخلی به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a}\\cdot(\\vec{b}+\\vec{c}) = \\vec{a}\\cdot\\vec{b} + \\vec{a}\\cdot\\vec{c}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> و برای ضرب خارجی به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a}\\times(\\vec{b}+\\vec{c}) = \\vec{a}\\times\\vec{b} + \\vec{a}\\times\\vec{c}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> نوشته می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp style=\"font-weight: bold\">۲) آیا ترتیب بردارها در قانون توزیع‌پذیری ضرب داخلی مهم است؟\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>ضرب داخلی خاصیت جابجایی‌پذیری\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> دارد، یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a}\\cdot\\vec{b} = \\vec{b}\\cdot\\vec{a}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>. بنابراین قانون توزیع را می‌توان به شکل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$(\\vec{b}+\\vec{c})\\cdot\\vec{a} = \\vec{b}\\cdot\\vec{a} + \\vec{c}\\cdot\\vec{a}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> نیز نوشت. در نتیجه ترتیب بردارها در دو طرف تساوی اختیاری است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp style=\"font-weight: bold\">۳) اگر بردار a صفر باشد، آیا قانون توزیع همچنان معتبر است؟\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>بله، کاملاً معتبر است. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a} = \\vec{0}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> (بردار صفر)، آنگاه ضرب داخلی هر بردار در بردار صفر برابر عدد صفر می‌شود. در این صورت طرف اول: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{0}\\cdot(\\vec{b}+\\vec{c}) = 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan> و طرف دوم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{0}\\cdot\\vec{b} + \\vec{0}\\cdot\\vec{c} = 0+0 = 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>. بنابراین تساوی برقرار است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n<!-- باکس جمع بندی -->\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> قانون توزیع‌پذیری ضرب داخلی نسبت به جمع بردارها یک ویژگی بنیادین در جبر خطی و فیزیک است. این قانون با استفاده از مؤلفه‌های بردارها به سادگی اثبات می‌شود و کاربردهای گسترده‌ای در محاسبه کار نیروها، انرژی پتانسیل و مسائل هندسه تحلیلی دارد. به خاطر سپردن این رابطه به دانش‌آموزان کمک می‌کارد تا محاسبات برداری را گام به گام و ساختارمند پیش ببرند و از اشتباهات رایج جلوگیری کنند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; line-height: 1.6\">\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> فضای سه بعدی (Three-dimensional space): فضایی که هر نقطه با سه مختصات (x,y,z) مشخص می‌شود و بردارها دارای سه مؤلفه هستند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> خاصیت جابجایی‌پذیری (Commutativity): ویژگی یک عمل دوتایی که در آن ترتیب عملوندها تأثیری در نتیجه نهایی ندارد؛ برای ضرب داخلی داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\u003Cspan class=\"math-tex\" style=\"direction: ltr; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\vec{a}\\cdot\\vec{b} = \\vec{b}\\cdot\\vec{a}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>```\u003C\u002Fp>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","هندسه دوازدهم","توزیع‌پذیری ضرب داخلی نسبت به جمع",0,76,"2026-04-25 11:44:27","2026-08-20 11:07:54","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F5","11:07 1405\u002F05\u002F29",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,257,265,273,281,289,297,305,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},12146,"ماتریس همانی (I یا In): ماتریس مربعی که روی قطر اصلی 1 و درایه‌های دیگر 0 است و عضو خنثی ضرب ماتریس‌هاست.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHO2OY2jMEIIhcKB9dEBj_200.png","2026-08-24 15:41:07","ماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","1405\u002F06\u002F2",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},12152,"شرط وجود وارون (شرط وارون‌پذیری): برای اینکه A^-1 وجود داشته باشد باید |A|≠0 باشد؛ اگر |A|=0 باشد وارون وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlIHXa8luNtBVAeHHK9gC_200.png","2026-08-24 15:31:13","شرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},12160,"دستگاه ناسازگار (بدون جواب): وقتی دو خط موازیِ متمایز باشند؛ در نگاه ماتریسی معمولاً |A|=0 و شرایط ثابت‌ها طوری است که نقطهٔ مشترک وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZFswJRmEaNrsJK91UMT8_200.png","2026-08-24 15:15:34","دستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":256},12054,"ماتریس: هر آرایش مستطیلی از اعداد حقیقی که از تعدادی سطر و ستون تشکیل شده باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCyH6F8um7hxbFOh8NwJp_200.png","2026-08-22 21:41:37","ماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","1405\u002F05\u002F31",{"id":258,"title":259,"cat":199,"pic":260,"up_date":261,"title_url":262,"url":263,"legacy_url":264,"cat_title":212,"update_jalali":256},12055,"درایهٔ ماتریس: هر عدد حقیقیِ قرارگرفته در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9vpUNpXsvaSlSGLjPM7r_200.png","2026-08-22 21:40:00","درایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس",{"id":266,"title":267,"cat":199,"pic":268,"up_date":269,"title_url":270,"url":271,"legacy_url":272,"cat_title":212,"update_jalali":256},12056,"سطر و ستون ماتریس: ردیف افقی و عمودی عناصر (درایه‌ها) در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fd4ccWiSZS1hvCAicia99_200.png","2026-08-22 21:38:30","سطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس",{"id":274,"title":275,"cat":199,"pic":276,"up_date":277,"title_url":278,"url":279,"legacy_url":280,"cat_title":212,"update_jalali":256},12057,"مرتبهٔ ماتریس (m×n): تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس؛ اگر ماتریس m سطر و n ستون داشته باشد، مرتبهٔ آن m×n است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHLx6GW4ccIuuUGfxgXQx_200.png","2026-08-22 21:36:51","مرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است",{"id":282,"title":283,"cat":199,"pic":284,"up_date":285,"title_url":286,"url":287,"legacy_url":288,"cat_title":212,"update_jalali":256},12058,"دستگاه معادلات: مجموعه‌ای از چند معادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و معمولاً برای یافتن مقادیر مجهول‌ها حل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEeFtslvSqFgghaNmBX5o_200.png","2026-08-22 21:33:48","دستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود",{"id":290,"title":291,"cat":199,"pic":292,"up_date":293,"title_url":294,"url":295,"legacy_url":296,"cat_title":212,"update_jalali":256},12059,"دستگاه نامعادلات: مجموعه‌ای از چند نامعادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و جواب آن مجموعه‌ای از مقادیر ممکن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKwLUm5NEHXLEWqbsAf5m_200.png","2026-08-22 21:31:30","دستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است",{"id":298,"title":299,"cat":199,"pic":300,"up_date":301,"title_url":302,"url":303,"legacy_url":304,"cat_title":212,"update_jalali":256},12060,"تعمیم: گسترش یک الگو یا نتیجه از حالت‌های خاص به حالت‌های کلی‌تر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F85yS4UtNCzL5Ryquxtzf_200.png","2026-08-22 21:29:58","تعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر",{"id":306,"title":307,"cat":199,"pic":308,"up_date":309,"title_url":310,"url":311,"legacy_url":312,"cat_title":212,"update_jalali":256},12061,"مقاطع مخروطی: منحنی‌هایی که از برش دادن یک مخروط به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGAdfKPxq5mWGavBxYt4C_200.png","2026-08-22 21:28:07","مقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":256},12062,"مکان هندسی: مجموعهٔ همهٔ نقاطی که یک ویژگی یا شرط هندسی مشخص را داشته باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F0t0y8haqNG18E6sFnt6V_200.png","2026-08-22 21:26:19","مکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند"]