[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12193":193,"$fYTHvXQxX6JfhNJtUXiwx5DSTolO28ktWnvuqXSOrHTg":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},12193,1170,1171,4925,"نیمساز زاویه: مکان هندسی نقاطی که از دو ضلع یک زاویه به یک فاصله‌اند.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHXVVvCBSPnYCGomq608v_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"نیمساز زاویه: مکان هندسی نقاط هم‌فاصله از دو ضلع\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">نیمساز زاویه: مکان هندسی نقاطی که از دو ضلع یک زاویه به یک فاصله‌اند\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">بررسی هندسی، تحلیلی و قضایای نیمساز درونی و بیرونی همراه با مثال‌های عددی\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله ثابت می‌شود که نیمساز یک زاویه، مکان هندسی تمام نقاطی است که فاصلهٔ عمودی آن‌ها تا دو ضلع زاویه برابر است. قضیهٔ نیمساز درونی و بیرونی در مثلث، رابطۀ طلایی بین نسبت اضلاع و قطعات مجاور را ارائه می‌دهد. همچنین با حل مثال‌های گام‌به‌گام و جدول مقایسه، کاربرد این مفهوم در حل مسائل هندسه و بهینه‌سازی تشریح می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تعریف نیمساز زاویه و مکان هندسی هم‌فاصله\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>نیمساز یک زاویه، نیم‌خطی است که زاویه را به دو زاویۀ هم‌اندازه تقسیم می‌کند. اما ویژگی مهم‌تر آن خاصیت \u003Cstrong style=\"color: #24292f\">مکان هندسی\u003C\u002Fstrong> است: مجموعهٔ تمام نقاطی که فاصلهٔ عمودی آن‌ها تا دو ضلع یک زاویه برابر باشد، دقیقاً روی نیمساز آن زاویه قرار دارد. این فاصله، طول پاره‌خط عمود از نقطه به هر ضلع است، نه فاصلهٔ مستقیم نقطه تا رأس زاویه.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>فرمول بنیادی:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ d(P, l_1) = d(P, l_2) $\u003C\u002Fspan> که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ l_1 $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ l_2 $\u003C\u002Fspan> دو ضلع زاویه و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ P $\u003C\u002Fspan> نقطه‌ای دلخواه روی نیمساز است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>برای اثبات، نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ P $\u003C\u002Fspan> را روی نیمساز در نظر بگیرید. از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ P $\u003C\u002Fspan> عمود بر هر ضلع رسم می‌کنیم. دو مثلث قائم‌الزاویه حاصل با وتر مشترک \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ OP $\u003C\u002Fspan> (که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ O $\u003C\u002Fspan> رأس زاویه است) و دو زاویهٔ مساوی (چون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ OP $\u003C\u002Fspan> نیمساز است) همنهشت می‌شوند؛ بنابراین فاصلهٔ عمودی برابر است. برعکس، اگر نقطه‌ای فاصلهٔ مساوی تا دو ضلع داشته باشد، با اتصال به رأس، دو مثلث قائم‌الزاویه همنهشت بوده و زاویه در رأس نصف می‌شود؛ پس نقطه روی نیمساز قرار دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">قضیهٔ نیمساز درونی مثلث (نسبت طلایی اضلاع)\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در مثلث \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ ABC $\u003C\u002Fspan>، اگر نیمساز زاویهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ A $\u003C\u002Fspan> ضلع مقابل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ BC $\u003C\u002Fspan> را در نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ D $\u003C\u002Fspan> قطع کند، آنگاه:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\frac{BD}{DC} = \\frac{AB}{AC} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>به عبارت دیگر، نیمساز زاویهٔ داخلی، ضلع مقابل را به نسبت اضلاع مجاور تقسیم می‌کند. این قضیه یکی از پرکاربردترین ابزارها در هندسهٔ دبیرستان است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه نیمساز درونی و بیرونی\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع نیمساز\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">قضیهٔ تقسیم ضلع مقابل\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مکان نقاط هم‌فاصله\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">درونی (داخل مثلث)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\frac{BD}{DC} = \\frac{AB}{AC} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نقاط داخل زاویه با فاصلهٔ مساوی از دو ضلع\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">بیرونی (خارج مثلث)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\frac{BE}{EC} = \\frac{AB}{AC} $\u003C\u002Fspan> (نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ E $\u003C\u002Fspan> روی امتداد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ BC $\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نقاط خارج زاویه که به یک ضلع و امتداد ضلع دیگر نزدیکند\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مثال عددی گام‌به‌گام: یافتن نقطه روی نیمساز\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">مثال:\u003C\u002Fstrong> در مثلث \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ ABC $\u003C\u002Fspan> با اضلاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ AB = 6 $\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ AC = 9 $\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ BC = 10 $\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر. نیمساز زاویهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ A $\u003C\u002Fspan> ضلع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ BC $\u003C\u002Fspan> را در نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ D $\u003C\u002Fspan> قطع می‌کند. طول قطعات \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ BD $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ DC $\u003C\u002Fspan> را بیابید.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">حل:\u003C\u002Fstrong> از قضیهٔ نیمساز درونی داریم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"padding: 0 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\frac{BD}{DC} = \\frac{AB}{AC} = \\frac{6}{9} = \\frac{2}{3} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>همچنین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ BD + DC = BC = 10 $\u003C\u002Fspan>. فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ BD = 2k $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ DC = 3k $\u003C\u002Fspan>. آنگاه:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"padding: 0 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ 2k + 3k = 5k = 10 \\Rightarrow k = 2 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ BD = 4 $\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ DC = 6 $\u003C\u002Fspan> سانتی‌متر. برای تأیید فاصلهٔ یک نقطهٔ دلخواه روی نیمساز تا دو ضلع، نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ D $\u003C\u002Fspan> خود فاصلهٔ عمودی مساوی از اضلاع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ AB $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ AC $\u003C\u002Fspan> دارد (چون روی نیمساز است).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی: طراحی مسیرهای بهینه و مرکز دایرهٔ محاطی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>یکی از مهم‌ترین کاربردهای نیمساز زاویه در زندگی واقعی، یافتن \u003Cstrong style=\"color: #24292f\">مرکز دایرهٔ محاطی مثلث\u003C\u002Fstrong> است. محل برخورد سه نیمساز داخلی مثلث، نقطه‌ای است که از هر سه ضلع به یک فاصله می‌باشد. این نقطه به عنوان مرکز دایره‌ای استفاده می‌شود که درون مثلث قرار گرفته و بر هر سه ضلع مماس است. در نقشه‌کشی و طراحی صنعتی، از این ویژگی برای تعیین نقطهٔ بهینه برای استقرار یک تأسیسات (مثلاً یک ایستگاه آتش‌نشانی) استفاده می‌شود به طوری که فاصلهٔ آن تا سه خیابان (سه ضلع مثلث) برابر باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>مثال دیگر: در یک زاویهٔ باز (مثلاً زاویهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 120^\\circ $\u003C\u002Fspan>)، اگر بخواهیم نقطه‌ای روی نیمساز بیابیم که فاصلهٔ آن تا هر ضلع برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 5 $\u003C\u002Fspan> واحد باشد، کافی است عمودی به طول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 5 $\u003C\u002Fspan> از نیمساز رسم کنیم. فاصلهٔ عمودی از هر دو ضلع یکسان خواهد بود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">پرسش ۱:\u003C\u002Fstrong> آیا نقطهٔ رأس زاویه نیز روی نیمساز محسوب می‌شود؟ فاصلهٔ آن تا دو ضلع چقدر است؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong style=\"color: #ffb600\">پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله، رأس زاویه روی نیمساز قرار دارد. فاصلهٔ آن تا هر یک از دو ضلع برابر صفر است. بنابراین شرط «فاصلهٔ مساوی» به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 0 = 0 $\u003C\u002Fspan> برقرار است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">پرسش ۲:\u003C\u002Fstrong> اگر نقطه‌ای خارج از زاویه باشد و فاصلهٔ عمودی آن تا امتداد دو ضلع برابر باشد، آیا حتماً روی نیمساز زاویهٔ اصلی است؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong style=\"color: #ffb600\">پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر. در خارج زاویه، مکان نقاطی که فاصلهٔ مساوی تا دو خط (امتداد ضلع‌ها) داشته باشند، شامل نیمساز زاویهٔ مجاور (متمم) نیز می‌شود. به عبارت دقیق‌تر، چهار نیمساز برای دو خط متقاطع وجود دارد: دو نیمساز عمود بر هم که یکی نیمساز زاویهٔ حاده و دیگری نیمساز زاویهٔ منفرجه است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">پرسش ۳:\u003C\u002Fstrong> چرا در قضیهٔ نیمساز بیرونی، نسبت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\frac{BE}{EC} = \\frac{AB}{AC} $\u003C\u002Fspan> با نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ E $\u003C\u002Fspan> روی امتداد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ BC $\u003C\u002Fspan> برقرار است، اما علامت منفی نداریم؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong style=\"color: #ffb600\">پاسخ:\u003C\u002Fstrong> در نیمساز بیرونی، نقطهٔ تقسیم خارج از پاره‌خط قرار می‌گیرد و نسبت طولی با در نظر گرفتن جهت (بازهٔ منفی) بیان می‌شود، اما در هندسهٔ دبیرستان معمولاً نسبت طول های مثبت را با ذکر «نقطه روی امتداد» و تساوی مقدار مطلق نسبت‌ها می‌نویسند. فرمول دقیق با بردارها شامل علامت منفی است، اما در مسائل عددی، طول‌ها را مثبت در نظر گرفته و معادله حل می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> نیمساز زاویه به عنوان مکان هندسی نقاط هم‌فاصله از دو ضلع، نقشی محوری در هندسهٔ مسطحه دارد. قضیه‌های نیمساز درونی و بیرونی در مثلث، روابط دقیقی بین اضلاع و قطعات ضلع مقابل ایجاد می‌کنند. با استفاده از این مفاهیم می‌توان مرکز دایرهٔ محاطی، نقاط بهینه و مسیرهای با فاصلهٔ مساوی از مرزها را تعیین کرد. درک صحیح از تفاوت نیمساز درونی و بیرونی و توجه به فاصلهٔ عمودی (نه فاصلهٔ مستقیم) از رایج‌ترین چالش‌های دانش‌آموزان است که با مثال‌های عددی و جدول مقایسه قابل رفع می‌باشد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> مکان هندسی (Locus): مجموعهٔ تمام نقاطی که یک شرط مشخص را برآورده می‌کنند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> نیمساز زاویه (Angle Bisector): نیم‌خطی که از رأس زاویه گذشته و آن را به دو زاویهٔ هم‌اندازه تقسیم می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> فاصلهٔ عمودی (Perpendicular Distance): کوتاه‌ترین فاصله از یک نقطه تا یک خط، که بر خط عمود است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> دایرهٔ محاطی (Incircle): دایره‌ای که بر هر سه ضلع مثلث مماس است و مرکز آن محل برخورد نیمسازهای داخلی مثلث می‌باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> قضیهٔ نیمساز بیرونی (Exterior Angle Bisector Theorem): بیان می‌کند نیمساز زاویهٔ خارجی مثلث، ضلع مقابل را خارجاً به نسبت اضلاع مجاور تقسیم می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","هندسه دوازدهم","نیمساز زاویه",0,164,"2026-04-21 16:56:15","2026-08-22 13:31:15","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F1","13:31 1405\u002F05\u002F31",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,257,265,273,281,289,297,305,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},12146,"ماتریس همانی (I یا In): ماتریس مربعی که روی قطر اصلی 1 و درایه‌های دیگر 0 است و عضو خنثی ضرب ماتریس‌هاست.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHO2OY2jMEIIhcKB9dEBj_200.png","2026-08-24 15:41:07","ماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","1405\u002F06\u002F2",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},12152,"شرط وجود وارون (شرط وارون‌پذیری): برای اینکه A^-1 وجود داشته باشد باید |A|≠0 باشد؛ اگر |A|=0 باشد وارون وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlIHXa8luNtBVAeHHK9gC_200.png","2026-08-24 15:31:13","شرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},12160,"دستگاه ناسازگار (بدون جواب): وقتی دو خط موازیِ متمایز باشند؛ در نگاه ماتریسی معمولاً |A|=0 و شرایط ثابت‌ها طوری است که نقطهٔ مشترک وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZFswJRmEaNrsJK91UMT8_200.png","2026-08-24 15:15:34","دستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":256},12054,"ماتریس: هر آرایش مستطیلی از اعداد حقیقی که از تعدادی سطر و ستون تشکیل شده باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCyH6F8um7hxbFOh8NwJp_200.png","2026-08-22 21:41:37","ماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","1405\u002F05\u002F31",{"id":258,"title":259,"cat":199,"pic":260,"up_date":261,"title_url":262,"url":263,"legacy_url":264,"cat_title":212,"update_jalali":256},12055,"درایهٔ ماتریس: هر عدد حقیقیِ قرارگرفته در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9vpUNpXsvaSlSGLjPM7r_200.png","2026-08-22 21:40:00","درایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس",{"id":266,"title":267,"cat":199,"pic":268,"up_date":269,"title_url":270,"url":271,"legacy_url":272,"cat_title":212,"update_jalali":256},12056,"سطر و ستون ماتریس: ردیف افقی و عمودی عناصر (درایه‌ها) در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fd4ccWiSZS1hvCAicia99_200.png","2026-08-22 21:38:30","سطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس",{"id":274,"title":275,"cat":199,"pic":276,"up_date":277,"title_url":278,"url":279,"legacy_url":280,"cat_title":212,"update_jalali":256},12057,"مرتبهٔ ماتریس (m×n): تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس؛ اگر ماتریس m سطر و n ستون داشته باشد، مرتبهٔ آن m×n است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHLx6GW4ccIuuUGfxgXQx_200.png","2026-08-22 21:36:51","مرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است",{"id":282,"title":283,"cat":199,"pic":284,"up_date":285,"title_url":286,"url":287,"legacy_url":288,"cat_title":212,"update_jalali":256},12058,"دستگاه معادلات: مجموعه‌ای از چند معادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و معمولاً برای یافتن مقادیر مجهول‌ها حل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEeFtslvSqFgghaNmBX5o_200.png","2026-08-22 21:33:48","دستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود",{"id":290,"title":291,"cat":199,"pic":292,"up_date":293,"title_url":294,"url":295,"legacy_url":296,"cat_title":212,"update_jalali":256},12059,"دستگاه نامعادلات: مجموعه‌ای از چند نامعادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و جواب آن مجموعه‌ای از مقادیر ممکن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKwLUm5NEHXLEWqbsAf5m_200.png","2026-08-22 21:31:30","دستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است",{"id":298,"title":299,"cat":199,"pic":300,"up_date":301,"title_url":302,"url":303,"legacy_url":304,"cat_title":212,"update_jalali":256},12060,"تعمیم: گسترش یک الگو یا نتیجه از حالت‌های خاص به حالت‌های کلی‌تر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F85yS4UtNCzL5Ryquxtzf_200.png","2026-08-22 21:29:58","تعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر",{"id":306,"title":307,"cat":199,"pic":308,"up_date":309,"title_url":310,"url":311,"legacy_url":312,"cat_title":212,"update_jalali":256},12061,"مقاطع مخروطی: منحنی‌هایی که از برش دادن یک مخروط به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGAdfKPxq5mWGavBxYt4C_200.png","2026-08-22 21:28:07","مقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":256},12062,"مکان هندسی: مجموعهٔ همهٔ نقاطی که یک ویژگی یا شرط هندسی مشخص را داشته باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F0t0y8haqNG18E6sFnt6V_200.png","2026-08-22 21:26:19","مکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند"]