[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"blogPost-12191":3,"categoryMenus":28,"$fVE_T4oENhHFF3-nhaVR0hHbAJloF9GNP0UfdkVYmrHQ":215},{"id":4,"section":5,"base":6,"course":7,"lesson":8,"title":9,"cat":10,"pic":11,"info_graphic":12,"podcast":12,"body":13,"tags":14,"metadata":12,"featured":18,"status":19,"views":20,"subdate":21,"up_date":22,"first_name":23,"last_name":24,"avatar":12,"cat_title":25,"subdate_jalali":26,"update_jalali":27},12191,67,1170,1171,4925,"عمودمنصف پاره‌خط AB: مکان هندسی نقاطی که از دو نقطهٔ ثابت A و B به یک فاصله‌اند.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F0flfPwmwWAWVKbnSpkEF_800.png",null,"\u003Cdiv aria-label=\"عمودمنصف پاره خط AB : مکان هندسی نقاط هم فاصله از دو نقطه ثابت\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">عمودمنصف پاره‌خط AB: مکان هندسی نقاطی که از دو نقطهٔ ثابت A و B به یک فاصله هستند\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">بررسی جامع مفهوم عمودمنصف، اثبات هندسی، معادله تحلیلی و کاربردهای آن در مسائل دبیرستان\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>خلاصهٔ سئوپسند:\u003C\u002Fstrong> در این مقاله به تعریف \u003Cstrong>عمودمنصف پاره‌خط\u003C\u002Fstrong> به عنوان \u003Cstrong>مکان هندسی نقاط هم‌فاصله از دو نقطهٔ ثابت\u003C\u002Fstrong> می‌پردازیم. با استفاده از روش‌های \u003Cstrong>هندسه تحلیلی\u003C\u002Fstrong> و قضایای \u003Cstrong>هم‌نهشتی مثلث‌ها\u003C\u002Fstrong> اثبات می‌کنیم که عمودمنصف خطی عمود بر پاره‌خط در نقطهٔ وسط آن است. همچنین معادلهٔ عمودمنصف را در دستگاه مختصات به دست می‌آوریم و مثال‌های متعددی از کاربرد آن در حل مسائل دبیرستان ارائه می‌دهیم.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تعریف مکان هندسی و بیان مسئله عمودمنصف\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در هندسه، \u003Cstrong>مکان هندسی\u003C\u002Fstrong> مجموعهٔ همهٔ نقاطی است که یک شرط مشخص را برآورده می‌کنند. فرض کنید دو نقطهٔ ثابت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">A\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">B\u003C\u002Fspan> در صفحه داریم. می‌خواهیم مجموعهٔ تمام نقاطی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">P\u003C\u002Fspan> را پیدا کنیم که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">PA = PB\u003C\u002Fspan>؛ یعنی فاصلهٔ نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">P\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">A\u003C\u002Fspan> برابر با فاصلهٔ آن تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">B\u003C\u002Fspan> باشد. این مکان هندسی، \u003Cstrong>عمودمنصف پاره‌خط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">AB\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fstrong> نامیده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>به بیان ساده‌تر، اگر بخواهیم نقطه‌ای را در صفحه پیدا کنیم که از دو نقطهٔ مشخص (مثلاً دو شهر یا دو مکان روی نقشه) به یک اندازه فاصله داشته باشد، آن نقطه روی خط عمودمنصف قرار می‌گیرد. این مفهوم پایه‌ای برای بسیاری از اثبات‌ها در هندسه و نیز در مسائل بهینه‌یابی است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>مثال عینی:\u003C\u002Fstrong> فرض کنید دو دوست در دو نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">A\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">B\u003C\u002Fspan> از یک پارک ایستاده‌اند. مکانی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">P\u003C\u002Fspan> برای قرار ملاقات که از هر دو نفر به یک فاصله باشد، روی عمودمنصف پاره‌خط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">AB\u003C\u002Fspan> قرار دارد. اگر مختصات \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">A\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">B\u003C\u002Fspan> را بدانیم، می‌توانیم معادلهٔ این خط را به دست آوریم.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">اثبات هندسی: عمود بودن و عبور از وسط\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای اثبات اینکه مکان هندسی نقاط هم‌فاصله از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">A\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">B\u003C\u002Fspan> خطی عمود بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">AB\u003C\u002Fspan> و گذرنده از نقطهٔ وسط آن است، دو بخش را بررسی می‌کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>بخش اول (شرط لازم):\u003C\u002Fstrong> فرض کنیم نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">P\u003C\u002Fspan> روی عمودمنصف باشد و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">M\u003C\u002Fspan> نقطهٔ وسط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">AB\u003C\u002Fspan> باشد. در مثلث‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">PMA\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">PMB\u003C\u002Fspan> داریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">AM = MB\u003C\u002Fspan> (چون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">M\u003C\u002Fspan> وسط است)، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">PM\u003C\u002Fspan> ضلع مشترک و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">PA = PB\u003C\u002Fspan> (فرض). بنابراین دو مثلث به حالت (ض ض ض) هم‌نهشت هستند. از هم‌نهشتی نتیجه می‌شود \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">∠PMA = ∠PMB\u003C\u002Fspan>. از آنجا که این دو زاویه مجاور و مجموعشان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">۱۸۰^\\circ\u003C\u002Fspan> است، هر کدام \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">۹۰^\\circ\u003C\u002Fspan> خواهد بود. پس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">PM ⟂ AB\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>بخش دوم (شرط کافی):\u003C\u002Fstrong> اگر نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">P\u003C\u002Fspan> روی خطی عمود بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">AB\u003C\u002Fspan> در نقطهٔ وسط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">M\u003C\u002Fspan> باشد، در مثلث‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">PMA\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">PMB\u003C\u002Fspan> خواهیم داشت: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">AM = MB\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">PM\u003C\u002Fspan> مشترک و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">∠PMA = ∠PMB = ۹۰^\\circ\u003C\u002Fspan>. پس دو مثلث به حالت (ض ز ض) هم‌نهشت هستند و در نتیجه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">PA = PB\u003C\u002Fspan>. بنابراین هر نقطه روی این خط از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">A\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">B\u003C\u002Fspan> به یک فاصله است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه ویژگی‌های عمودمنصف\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">توضیح\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">عمود بودن\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">عمودمنصف بر پاره‌خط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">AB\u003C\u002Fspan> عمود است (زاویه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">۹۰^\\circ\u003C\u002Fspan>).\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">عبور از وسط\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">از نقطهٔ میانی پاره‌خط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">AB\u003C\u002Fspan> می‌گذرد.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">هم‌فاصلی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">هر نقطه روی آن از دو سر پاره‌خط به یک فاصله است.\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">معادلهٔ عمودمنصف در هندسه تحلیلی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>اگر نقاط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">A(x_1, y_1)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">B(x_2, y_2)\u003C\u002Fspan> داده شده باشند، نقطهٔ وسط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">M\u003C\u002Fspan> برابر است با:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ M = \\left( \\frac{x_1 + x_2}{2}, \\frac{y_1 + y_2}{2} \\right) $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>شیب خط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">AB\u003C\u002Fspan> به دست می‌آید:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ m_{AB} = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>شیب عمودمنصف \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">m_p\u003C\u002Fspan> قرینهٔ معکوس شیب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">AB\u003C\u002Fspan> است (در صورتی که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">AB\u003C\u002Fspan> عمودی نباشد):\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ m_p = -\\frac{1}{m_{AB}} = -\\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>با استفاده از فرمول نقطه‑شیب، معادلهٔ عمودمنصف به صورت زیر نوشته می‌شود:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ y - \\frac{y_1+y_2}{2} = m_p \\left( x - \\frac{x_1+x_2}{2} \\right) $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>همچنین می‌توان معادله را بر اساس شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">PA = PB\u003C\u002Fspan> به دست آورد. برای نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">P(x, y)\u003C\u002Fspan> داریم:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\sqrt{(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2} = \\sqrt{(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2} $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>با مربع کردن دو طرف و ساده‌سازی به معادلهٔ خطی زیر می‌رسیم:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ 2(x_2 - x_1)x + 2(y_2 - y_1)y = x_2^2 - x_1^2 + y_2^2 - y_1^2 $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکته محاسباتی:\u003C\u002Fstrong> اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">AB\u003C\u002Fspan> افقی باشد (یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">y_1 = y_2\u003C\u002Fspan>)، عمودمنصف خطی عمودی به معادلهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x = \\frac{x_1+x_2}{2}\u003C\u002Fspan> خواهد بود. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">AB\u003C\u002Fspan> عمودی باشد (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x_1 = x_2\u003C\u002Fspan>)، عمودمنصف خطی افقی به معادلهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">y = \\frac{y_1+y_2}{2}\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی و مثال عددی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال:\u003C\u002Fstrong> مختصات دو نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">A(2, 3)\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">B(6, 7)\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. معادلهٔ عمودمنصف پاره‌خط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">AB\u003C\u002Fspan> را بیابید.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مرحلهٔ ۱: محاسبهٔ نقطهٔ وسط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">M\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ M = \\left( \\frac{2+6}{2}, \\frac{3+7}{2} \\right) = (4, 5) $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مرحلهٔ ۲: شیب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">AB\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ m_{AB} = \\frac{7-3}{6-2} = \\frac{4}{4} = 1 $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مرحلهٔ ۳: شیب عمودمنصف\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ m_p = -1 $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مرحلهٔ ۴: معادلهٔ خط\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ y - 5 = -1 (x - 4) \\implies y = -x + 9 $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>بنابراین معادلهٔ عمودمنصف به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">y = -x + 9\u003C\u002Fspan> است. می‌توان آزمود که نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">P(5, 4)\u003C\u002Fspan> روی این خط قرار دارد و فاصلهٔ آن تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">A\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">B\u003C\u002Fspan> برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">\\sqrt{10}\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۱) آیا عمودمنصف یک خط نامحدود است یا فقط پاره‌خط؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nبله، عمودمنصف به عنوان مکان هندسی، یک خط مستقیم نامحدود در هر دو جهت است، نه فقط قطعهٔ محدود بین دو طرف پاره‌خط. هر چند در بسیاری از مسائل عملی فقط بخشی از آن مد نظر قرار می‌گیرد، اما تعریف هندسی آن خط کامل را شامل می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۲) اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">A\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">B\u003C\u002Fspan> بر هم منطبق شوند چه اتفاقی می‌افتد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nاگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">A = B\u003C\u002Fspan> باشد، پاره‌خط به یک نقطه تبدیل می‌شود. در این حالت شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">PA = PB\u003C\u002Fspan> به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">PA = PA\u003C\u002Fspan> تبدیل می‌شود که همواره برقرار است. بنابراین مکان هندسی تمام صفحه خواهد بود نه یک خط خاص. به همین دلیل معمولاً فرض می‌کنیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">A \\neq B\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۳) رابطهٔ عمودمنصف با دایره و وترها چیست؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nدر یک دایره، عمودمنصف هر وتر از مرکز دایره می‌گذرد. این قضیه مهم در هندسه دایره به اثبات می‌رساند که مرکز دایره محل برخورد عمودمنصف‌های دو وتر غیرموازی است. همچنین شعاع‌های عمود بر وتر، وتر را نصف می‌کنند که عکس عمودمنصف است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> عمودمنصف یک پاره‌خط، خطی است عمود بر آن در نقطهٔ وسط که مکان هندسی نقاط هم‌فاصله از دو سر پاره‌خط می‌باشد. این مفهوم پایه‌ای در هندسه تحلیلی و سنتی کاربرد گسترده‌ای دارد: از تعیین مرکز دایرهٔ محیطی مثلث تا حل مسائل بهینه‌یابی و انعکاس. با استفاده از روش فاصله یا شیب، می‌توان معادلهٔ آن را به سادگی به دست آورد. درک صحیح عمودمنصف، کلید حل بسیاری از مسائل هندسی در سطح دبیرستان است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> نقطهٔ ثابت (Fixed Point): نقطه‌ای در صفحه که مکان آن تغییر نمی‌کند و به عنوان مرجع در تعریف مکان هندسی استفاده می‌شود.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> هم‌نهشتی مثلث‌ها (Triangle Congruence): وضعیتی که در آن دو مثلث از نظر اندازه ضلع‌ها و زاویه‌ها دقیقاً برابر هستند. حالت‌های اصلی (ض ض ض) و (ض ز ض) در این مقاله به کار رفته است.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> مکان هندسی (Locus): مجموعهٔ همهٔ نقاطی که یک شرط یا چند شرط هندسی مشخص را برآورده می‌کنند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> قرینهٔ معکوس شیب (Negative Reciprocal): اگر شیب خطی برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">m\u003C\u002Fspan> باشد، شیب خط عمود بر آن برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">-\\frac{1}{m}\u003C\u002Fspan> است (در صورت وجود).\u003C\u002Fdiv>\r\n",[15,16,17],"پایهٔ دوازدهم","هندسه دوازدهم","عمودمنصف پاره‌خط AB",0,1,164,"2026-04-21 16:51:06","2026-08-22 13:35:57","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F1","13:35 1405\u002F05\u002F31",{"status":19,"data":29},[30,69,129,147,167],{"id":19,"title":31,"list_order":19,"items":32},"آشنایی",[33,38,42,46,53,57,61,65],{"id":34,"link":35,"type":36,"slug":12,"title":37},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content","قوانین و مقررات",{"id":39,"link":40,"type":36,"slug":12,"title":41},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":43,"link":44,"type":36,"slug":12,"title":45},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":47,"link":48,"type":49,"slug":50,"handler":51,"title":52},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":54,"link":55,"type":36,"slug":12,"title":56},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":58,"link":59,"type":36,"slug":12,"title":60},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":62,"link":63,"type":36,"slug":12,"title":64},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":66,"link":67,"type":36,"slug":12,"title":68},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":70,"title":71,"list_order":19,"items":72},2,"المپیادها",[73,77,81,85,89,93,97,101,105,109,113,117,121,125],{"id":74,"link":75,"type":36,"slug":12,"title":76},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":78,"link":79,"type":36,"slug":12,"title":80},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":82,"link":83,"type":36,"slug":12,"title":84},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":86,"link":87,"type":36,"slug":12,"title":88},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":90,"link":91,"type":36,"slug":12,"title":92},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":94,"link":95,"type":36,"slug":12,"title":96},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":98,"link":99,"type":36,"slug":12,"title":100},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":102,"link":103,"type":36,"slug":12,"title":104},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":106,"link":107,"type":36,"slug":12,"title":108},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":110,"link":111,"type":36,"slug":12,"title":112},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":114,"link":115,"type":36,"slug":12,"title":116},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":118,"link":119,"type":36,"slug":12,"title":120},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":122,"link":123,"type":36,"slug":12,"title":124},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":126,"link":127,"type":36,"slug":12,"title":128},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":130,"title":131,"list_order":19,"items":132},3,"نمونه و تیزهوشان",[133,137,142],{"id":134,"link":135,"type":36,"slug":12,"title":136},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":138,"link":139,"type":49,"slug":140,"handler":140,"title":141},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":143,"link":144,"type":49,"slug":145,"handler":145,"title":146},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":148,"title":149,"list_order":19,"items":150},7,"کتابهای درسی",[151,155,159,163],{"id":152,"link":153,"type":36,"slug":12,"title":154},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":156,"link":157,"type":36,"slug":12,"title":158},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":160,"link":161,"type":36,"slug":12,"title":162},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":164,"link":165,"type":36,"slug":12,"title":166},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":34,"title":168,"list_order":34,"items":169},"پیشنهاد ویژه",[170,175,180,185,190,195,200,203,207,211],{"id":171,"link":172,"type":49,"slug":173,"handler":173,"title":174},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":176,"link":177,"type":49,"slug":178,"handler":178,"title":179},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":181,"link":182,"type":49,"slug":183,"handler":183,"title":184},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":186,"link":187,"type":49,"slug":188,"handler":188,"title":189},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":191,"link":192,"type":49,"slug":193,"handler":193,"title":194},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":196,"link":197,"type":36,"slug":198,"title":199},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":5,"link":201,"type":36,"slug":12,"title":202},"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":204,"link":205,"type":36,"slug":12,"title":206},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":208,"link":209,"type":36,"slug":12,"title":210},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":212,"link":213,"type":36,"slug":12,"title":214},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,257,265,273,281,289,297,305,313],{"id":224,"title":225,"cat":10,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":25,"update_jalali":231},12146,"ماتریس همانی (I یا In): ماتریس مربعی که روی قطر اصلی 1 و درایه‌های دیگر 0 است و عضو خنثی ضرب ماتریس‌هاست.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHO2OY2jMEIIhcKB9dEBj_200.png","2026-08-24 15:41:07","ماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","1405\u002F06\u002F2",{"id":233,"title":234,"cat":10,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":25,"update_jalali":231},12152,"شرط وجود وارون (شرط وارون‌پذیری): برای اینکه A^-1 وجود داشته باشد باید |A|≠0 باشد؛ اگر |A|=0 باشد وارون وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlIHXa8luNtBVAeHHK9gC_200.png","2026-08-24 15:31:13","شرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد",{"id":241,"title":242,"cat":10,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":25,"update_jalali":231},12160,"دستگاه ناسازگار (بدون جواب): وقتی دو خط موازیِ متمایز باشند؛ در نگاه ماتریسی معمولاً |A|=0 و شرایط ثابت‌ها طوری است که نقطهٔ مشترک وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZFswJRmEaNrsJK91UMT8_200.png","2026-08-24 15:15:34","دستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد",{"id":249,"title":250,"cat":10,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":25,"update_jalali":256},12054,"ماتریس: هر آرایش مستطیلی از اعداد حقیقی که از تعدادی سطر و ستون تشکیل شده باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCyH6F8um7hxbFOh8NwJp_200.png","2026-08-22 21:41:37","ماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","1405\u002F05\u002F31",{"id":258,"title":259,"cat":10,"pic":260,"up_date":261,"title_url":262,"url":263,"legacy_url":264,"cat_title":25,"update_jalali":256},12055,"درایهٔ ماتریس: هر عدد حقیقیِ قرارگرفته در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9vpUNpXsvaSlSGLjPM7r_200.png","2026-08-22 21:40:00","درایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس",{"id":266,"title":267,"cat":10,"pic":268,"up_date":269,"title_url":270,"url":271,"legacy_url":272,"cat_title":25,"update_jalali":256},12056,"سطر و ستون ماتریس: ردیف افقی و عمودی عناصر (درایه‌ها) در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fd4ccWiSZS1hvCAicia99_200.png","2026-08-22 21:38:30","سطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس",{"id":274,"title":275,"cat":10,"pic":276,"up_date":277,"title_url":278,"url":279,"legacy_url":280,"cat_title":25,"update_jalali":256},12057,"مرتبهٔ ماتریس (m×n): تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس؛ اگر ماتریس m سطر و n ستون داشته باشد، مرتبهٔ آن m×n است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHLx6GW4ccIuuUGfxgXQx_200.png","2026-08-22 21:36:51","مرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است",{"id":282,"title":283,"cat":10,"pic":284,"up_date":285,"title_url":286,"url":287,"legacy_url":288,"cat_title":25,"update_jalali":256},12058,"دستگاه معادلات: مجموعه‌ای از چند معادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و معمولاً برای یافتن مقادیر مجهول‌ها حل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEeFtslvSqFgghaNmBX5o_200.png","2026-08-22 21:33:48","دستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود",{"id":290,"title":291,"cat":10,"pic":292,"up_date":293,"title_url":294,"url":295,"legacy_url":296,"cat_title":25,"update_jalali":256},12059,"دستگاه نامعادلات: مجموعه‌ای از چند نامعادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و جواب آن مجموعه‌ای از مقادیر ممکن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKwLUm5NEHXLEWqbsAf5m_200.png","2026-08-22 21:31:30","دستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است",{"id":298,"title":299,"cat":10,"pic":300,"up_date":301,"title_url":302,"url":303,"legacy_url":304,"cat_title":25,"update_jalali":256},12060,"تعمیم: گسترش یک الگو یا نتیجه از حالت‌های خاص به حالت‌های کلی‌تر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F85yS4UtNCzL5Ryquxtzf_200.png","2026-08-22 21:29:58","تعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر",{"id":306,"title":307,"cat":10,"pic":308,"up_date":309,"title_url":310,"url":311,"legacy_url":312,"cat_title":25,"update_jalali":256},12061,"مقاطع مخروطی: منحنی‌هایی که از برش دادن یک مخروط به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGAdfKPxq5mWGavBxYt4C_200.png","2026-08-22 21:28:07","مقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند",{"id":314,"title":315,"cat":10,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":25,"update_jalali":256},12062,"مکان هندسی: مجموعهٔ همهٔ نقاطی که یک ویژگی یا شرط هندسی مشخص را داشته باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F0t0y8haqNG18E6sFnt6V_200.png","2026-08-22 21:26:19","مکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند"]