[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12162":193,"$fpDuXC0muMebIFNpMyeLnhx51nrljHP9StR574Ms3snU":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},12162,1170,1171,4925,"دترمینان ماتریس 3×3 (بسط برحسب سطر\u002Fستون)",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7ViiJUCvojJeuZRGjFJL_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"دترمینان ماتریس ۳×۳ به روش بسط سطر و ستون\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">دترمینان ماتریس ۳×۳: بسط برحسب سطر یا ستون\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">روشی گام‌به‌گام برای محاسبه مقدار دترمینان با استفاده از ماتریس‌های ۲×۲، مستقل از انتخاب سطر یا ستون\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"seo-summary\" style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله با مفهوم دترمینان ماتریس سه‌درسه آشنا می‌شوید. روش بسط لاپلاس\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> یا همان بسط برحسب سطر یا ستون، اصلی‌ترین شیوه محاسبه دترمینان در سطح دبیرستان است. شما یاد می‌گیرید چگونه با انتخاب یک سطر یا ستون، دترمینان را به مجموع حاصلضرب درایه‌ها در کهادها\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> تبدیل کنید و در نهایت مقدار عددی آن را به دست آورید. استقلال نتیجه از سطر یا ستون انتخابی نیز با مثال تشریح می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">دترمینان ماتریس ۳×۳ چیست و چرا به آن نیاز داریم؟\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در جبر خطی، هر ماتریس مربعی یک عدد به نام \u003Cstrong>دترمینان\u003C\u002Fstrong> دارد. برای ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3 \\times 3\u003C\u002Fspan>، این عدد نشان‌دهنده مقیاس تغییر حجم در تبدیل خطی متناظر با ماتریس است. همچنین دترمینان در حل دستگاه معادلات خطی (قاعده کرامر\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>)، محاسبه مساحت در فضای سه‌بعدی و تشخیص معکوس‌پذیری ماتریس کاربرد دارد. اگر دترمینان یک ماتریس صفر باشد، آن ماتریس \u003Cstrong>فرد\u003C\u002Fstrong> (غیر معکوس‌پذیر) نامیده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> به شکل زیر است:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ A = \\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\end{pmatrix} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>هدف ما محاسبه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$|A|$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\det(A)$\u003C\u002Fspan> با استفاده از روشی ساده و گام‌به‌گام است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">روش بسط سطر اول: الگوریتم پایه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای محاسبه دترمینان ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3 \\times 3\u003C\u002Fspan>، یکی از رایج‌ترین روش‌ها، \u003Cstrong>بسط برحسب سطر اول\u003C\u002Fstrong> است. در این روش، هر درایه از سطر اول در دترمینان ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2 \\times 2\u003C\u002Fspan> که از حذف سطر و ستون آن درایه به دست می‌آید، ضرب می‌شود. سپس این حاصلضرب‌ها با علامت‌های مثبت و منفی متناوب جمع می‌شوند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"formula-box\" style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>فرمول بسط سطر اول:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ |A| = a_{11} \\cdot (a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12} \\cdot (a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13} \\cdot (a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>گام‌های عملی:\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>گام ۱: درایه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{11}$\u003C\u002Fspan> را انتخاب کن. سطر اول و ستون اول را حذف کن. ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2 \\times 2\u003C\u002Fspan> باقی‌مانده دترمینانی برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}$\u003C\u002Fspan> دارد. این مقدار را در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{11}$\u003C\u002Fspan> ضرب کن.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>گام ۲: درایه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{12}$\u003C\u002Fspan> را انتخاب کن. سطر اول و ستون دوم را حذف کن. ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2 \\times 2$\u003C\u002Fspan> حاصل دترمینان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}$\u003C\u002Fspan> را دارد. این مقدار را در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{12}$\u003C\u002Fspan> ضرب کن، سپس یک علامت \u003Cstrong>منفی\u003C\u002Fstrong> جلوی آن بگذار.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>گام ۳: درایه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{13}$\u003C\u002Fspan> را انتخاب کن. سطر اول و ستون سوم را حذف کن. ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2 \\times 2$\u003C\u002Fspan> حاصل دترمینان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}$\u003C\u002Fspan> را دارد. این مقدار را در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{13}$\u003C\u002Fspan> ضرب کن و با علامت مثبت اضافه کن.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>گام ۴: مجموع جبری سه عبارت به دست آمده، دترمینان نهایی است.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">الگوی علامت‌ها: روش صفحه‌شطرنجی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای این که بدانید کدام درایه با علامت مثبت و کدام با علامت منفی وارد فرمول می‌شود، از الگوی صفحه‌شطرنجی استفاده می‌کنیم. در گوشه بالا-چپ (سطر اول، ستون اول) علامت \u003Cstrong>+\u003C\u002Fstrong> قرار دارد و سپس علامت‌ها به صورت متناوب تغییر می‌کنند:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\begin{pmatrix} + & - & + \\\\ - & + & - \\\\ + & - & + \\end{pmatrix} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>بنابراین در بسط سطر اول، علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{11}$\u003C\u002Fspan> مثبت، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{12}$\u003C\u002Fspan> منفی و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{13}$\u003C\u002Fspan> مثبت است. اگر بسط را برحسب سطر دوم انجام دهیم، علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{21}$\u003C\u002Fspan> منفی، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{22}$\u003C\u002Fspan> مثبت و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{23}$\u003C\u002Fspan> منفی خواهد بود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مثال عددی گام‌به‌گام با بسط سطر اول\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>ماتریس زیر را در نظر بگیرید:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ B = \\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\\\ 0 & 3 & 4 \\\\ 5 & -2 & 1 \\end{pmatrix} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>مراحل محاسبه دترمینان با بسط سطر اول:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>مرحله ۱: درایه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{11}=2$\u003C\u002Fspan>. حذف سطر اول و ستون اول → ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\begin{pmatrix}3 & 4 \\\\ -2 & 1\\end{pmatrix}$\u003C\u002Fspan>. دترمینان آن: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(3)(1) - (4)(-2) = 3 + 8 = 11$\u003C\u002Fspan>. حاصلضرب: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2 \\times 11 = 22$\u003C\u002Fspan> (علامت مثبت).\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>مرحله ۲: درایه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{12}=1$\u003C\u002Fspan>. حذف سطر اول و ستون دوم → ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\begin{pmatrix}0 & 4 \\\\ 5 & 1\\end{pmatrix}$\u003C\u002Fspan>. دترمینان: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(0)(1) - (4)(5) = 0 - 20 = -20$\u003C\u002Fspan>. حاصلضرب: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1 \\times (-20) = -20$\u003C\u002Fspan>. با اعمال علامت منفی برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{12}$\u003C\u002Fspan> داریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-(-20) = +20$\u003C\u002Fspan>؟ توجه: فرمول اصلی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$- a_{12} \\times (\\text{دترمینان})$\u003C\u002Fspan> است، پس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-(1 \\times (-20)) = -(-20) = 20$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>مرحله ۳: درایه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{13}=-1$\u003C\u002Fspan>. حذف سطر اول و ستون سوم → ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\begin{pmatrix}0 & 3 \\\\ 5 & -2\\end{pmatrix}$\u003C\u002Fspan>. دترمینان: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(0)(-2) - (3)(5) = 0 - 15 = -15$\u003C\u002Fspan>. حاصلضرب: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(-1) \\times (-15) = 15$\u003C\u002Fspan> (علامت مثبت چون الگو + برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{13}$\u003C\u002Fspan>).\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>مرحله ۴: جمع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$22 + 20 + 15 = 57$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$|B| = 57$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">بسط برحسب ستون اول: استقلال از سطر یا ستون\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>یکی از ویژگی‌های مهم دترمینان این است که مقدار آن \u003Cstrong>به سطر یا ستون انتخابی برای بسط بستگی ندارد\u003C\u002Fstrong>. برای اثبات این مطلب، همان ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B$\u003C\u002Fspan> را برحسب ستون اول بسط می‌دهیم. الگوی علامت در ستون اول: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{11}$\u003C\u002Fspan> مثبت، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{21}$\u003C\u002Fspan> منفی، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{31}$\u003C\u002Fspan> مثبت.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{11}=2$\u003C\u002Fspan>، کهاد (حذف سطر۱ و ستون۱) = \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\begin{pmatrix}3 & 4 \\\\ -2 & 1\\end{pmatrix} \\Rightarrow \\det = 11$\u003C\u002Fspan> → \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2 \\times 11 = 22$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{21}=0$\u003C\u002Fspan>، کهاد (حذف سطر۲ و ستون۱) = \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ -2 & 1\\end{pmatrix} \\Rightarrow (1)(1) - (-1)(-2) = 1 - 2 = -1$\u003C\u002Fspan> → با علامت منفی: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$- (0 \\times -1) = 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{31}=5$\u003C\u002Fspan>، کهاد (حذف سطر۳ و ستون۱) = \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 3 & 4\\end{pmatrix} \\Rightarrow (1)(4) - (-1)(3) = 4 + 3 = 7$\u003C\u002Fspan> → علامت مثبت: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$5 \\times 7 = 35$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>جمع: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$22 + 0 + 35 = 57$\u003C\u002Fspan> (همان نتیجه قبل).\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"tip-box\" style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">برای ساده‌تر شدن محاسبات، همیشه سطر یا ستونی را انتخاب کنید که بیشترین تعداد درایه صفر را دارد. زیرا هر درایه صفر، جمله مربوط به خود را حذف می‌کند و حجم محاسبات کاهش می‌یابد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مقایسه روش بسط سطر و ستون با سایر روش‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه روش‌های محاسبه دترمینان\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نام روش\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مزایا\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">معایب\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">بسط سطر\u002Fستون (لاپلاس)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ساده و مفهومی، مناسب برای ماتریس‌های کوچک\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">برای ماتریس‌های بزرگتر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$4 \\times 4$\u003C\u002Fspan> بسیار کند است\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">روش ساروس\u003Csup>4\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">فقط برای ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3 \\times 3$\u003C\u002Fspan> سریع و بدون نیاز به کهاد\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">فقط برای ابعاد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3 \\times 3$\u003C\u002Fspan> کار می‌کند\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">عملیات سطری مقدماتی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">کارآمد برای ماتریس‌های بزرگ\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نیاز به دقت در تغییر دترمینان پس از هر عملیات\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی: تشخیص معکوس‌پذیری یک ماتریس\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید در یک مسئله فیزیک یا هندسه تحلیلی، ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$C = \\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9\\end{pmatrix}$\u003C\u002Fspan> را دارید. می‌خواهید بدانید آیا این ماتریس معکوس‌پذیر است یا نه. کافی است دترمینان آن را محاسبه کنید. با بسط سطر اول:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$c_{11}=1$\u003C\u002Fspan>، کهاد: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(5)(9)-(6)(8)=45-48=-3$\u003C\u002Fspan> → \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1 \\times (-3) = -3$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$c_{12}=2$\u003C\u002Fspan>، کهاد: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(4)(9)-(6)(7)=36-42=-6$\u003C\u002Fspan> → \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-2 \\times (-6) = +12$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$c_{13}=3$\u003C\u002Fspan>، کهاد: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(4)(8)-(5)(7)=32-35=-3$\u003C\u002Fspan> → \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3 \\times (-3) = -9$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>مجموع: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-3 + 12 - 9 = 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>از آنجا که دترمینان صفر است، ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$C$\u003C\u002Fspan> معکوس‌پذیر \u003Cstrong>نیست\u003C\u002Fstrong>. این یک کاربرد سریع و عملی در حل دستگاه‌های معادلات خطی است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۱. چرا علامت‌ها در بسط به صورت + - + ... متناوب هستند؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nاین الگو از تعریف دترمینان از طریق جایگشت‌ها ناشی می‌شود. در روش بسط لاپلاس، علامت هر درایه برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(-1)^{i+j}$\u003C\u002Fspan> است که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$i$\u003C\u002Fspan> شماره سطر و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$j$\u003C\u002Fspan> شماره ستون است. برای سطر اول و ستون اول: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(-1)^{1+1}=+1$\u003C\u002Fspan>، برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$i=1, j=2$\u003C\u002Fspan> داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(-1)^{3}=-1$\u003C\u002Fspan> و الگو به همین ترتیب ادامه می‌یابد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۲. آیا می‌توانیم هر سطر یا ستونی را برای بسط انتخاب کنیم؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nبله، مقدار نهایی دترمینان مستقل از انتخاب سطر یا ستون است. اما برای کاهش خطاهای محاسباتی، بهتر است سطر یا ستونی را انتخاب کنید که تعداد صفرهای بیشتری دارد. مثلاً اگر در یک سطر دو درایه صفر وجود داشته باشد، فقط یک جمله غیرصفر خواهید داشت.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>۳. اگر ماتریس شامل پارامتر (حرف) باشد، چگونه دترمینان را محاسبه کنیم؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nدقیقاً مانند اعداد عمل کنید. مثلاً فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A = \\begin{pmatrix}x & 1 & 0 \\\\ 2 & x & 3 \\\\ 0 & -1 & x\\end{pmatrix}$\u003C\u002Fspan>. با بسط سطر اول: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x \\cdot (x \\cdot x - 3 \\cdot (-1)) - 1 \\cdot (2x - 0) + 0 = x(x^2+3) - 2x = x^3 + 3x - 2x = x^3 + x$\u003C\u002Fspan>. پاسخ یک چندجمله‌ای برحسب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> خواهد بود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">دترمینان ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3 \\times 3$\u003C\u002Fspan> با روش بسط برحسب سطر یا ستون (لاپلاس) به راحتی قابل محاسبه است. در این روش، هر درایه از سطر یا ستون انتخابی در دترمینان ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2 \\times 2$\u003C\u002Fspan> حاصل از حذف سطر و ستون آن درایه ضرب می‌شود و با الگوی علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(-1)^{i+j}$\u003C\u002Fspan> جمع می‌گردد. مقدار نهایی به انتخاب سطر یا ستون وابسته نیست و برای ماتریس‌های دارای درایه صفر، می‌توان با انتخاب هوشمندانه، محاسبات را ساده‌تر کرد. این روش پایه‌ای برای درک عمیق‌تر جبر خطی و کاربردهایی مانند قاعده کرامر و تحلیل دستگاه معادلات است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv>\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> بسط لاپلاس (Laplace expansion): روشی برای محاسبه دترمینان ماتریس‌های مربعی که بر اساس جمع جبری حاصلضرب درایه‌های یک سطر یا ستون در کهادهایشان عمل می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> کهاد (Minor): دترمینان ماتریسی که از حذف یک سطر و یک ستون از ماتریس اصلی به دست می‌آید.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> قاعده کرامر (Cramer's rule): روشی برای حل دستگاه معادلات خطی با استفاده از نسبت دترمینان ماتریس اصلی به دترمینان ماتریس‌های تغییر یافته.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> روش ساروس (Sarrus method): روشی سریع و تصویری برای محاسبه دترمینان ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3 \\times 3$\u003C\u002Fspan> با تکرار دو ستون اول و جمع حاصلضرب قطرهای اصلی منهای فرعی.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[203,204,205],"پایهٔ دوازدهم","هندسه دوازدهم","دترمینان ماتریس 3×3",0,2108,"2026-04-21 11:37:09","2026-08-22 15:29:01","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F1","15:29 1405\u002F05\u002F31",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,248,257,265,273,281,289,297,305,313],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},12146,"ماتریس همانی (I یا In): ماتریس مربعی که روی قطر اصلی 1 و درایه‌های دیگر 0 است و عضو خنثی ضرب ماتریس‌هاست.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHO2OY2jMEIIhcKB9dEBj_200.png","2026-08-24 15:41:07","ماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","1405\u002F06\u002F2",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},12152,"شرط وجود وارون (شرط وارون‌پذیری): برای اینکه A^-1 وجود داشته باشد باید |A|≠0 باشد؛ اگر |A|=0 باشد وارون وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlIHXa8luNtBVAeHHK9gC_200.png","2026-08-24 15:31:13","شرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد",{"id":241,"title":242,"cat":199,"pic":243,"up_date":244,"title_url":245,"url":246,"legacy_url":247,"cat_title":212,"update_jalali":231},12160,"دستگاه ناسازگار (بدون جواب): وقتی دو خط موازیِ متمایز باشند؛ در نگاه ماتریسی معمولاً |A|=0 و شرایط ثابت‌ها طوری است که نقطهٔ مشترک وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZFswJRmEaNrsJK91UMT8_200.png","2026-08-24 15:15:34","دستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد",{"id":249,"title":250,"cat":199,"pic":251,"up_date":252,"title_url":253,"url":254,"legacy_url":255,"cat_title":212,"update_jalali":256},12054,"ماتریس: هر آرایش مستطیلی از اعداد حقیقی که از تعدادی سطر و ستون تشکیل شده باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCyH6F8um7hxbFOh8NwJp_200.png","2026-08-22 21:41:37","ماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","1405\u002F05\u002F31",{"id":258,"title":259,"cat":199,"pic":260,"up_date":261,"title_url":262,"url":263,"legacy_url":264,"cat_title":212,"update_jalali":256},12055,"درایهٔ ماتریس: هر عدد حقیقیِ قرارگرفته در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9vpUNpXsvaSlSGLjPM7r_200.png","2026-08-22 21:40:00","درایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس",{"id":266,"title":267,"cat":199,"pic":268,"up_date":269,"title_url":270,"url":271,"legacy_url":272,"cat_title":212,"update_jalali":256},12056,"سطر و ستون ماتریس: ردیف افقی و عمودی عناصر (درایه‌ها) در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fd4ccWiSZS1hvCAicia99_200.png","2026-08-22 21:38:30","سطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس",{"id":274,"title":275,"cat":199,"pic":276,"up_date":277,"title_url":278,"url":279,"legacy_url":280,"cat_title":212,"update_jalali":256},12057,"مرتبهٔ ماتریس (m×n): تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس؛ اگر ماتریس m سطر و n ستون داشته باشد، مرتبهٔ آن m×n است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHLx6GW4ccIuuUGfxgXQx_200.png","2026-08-22 21:36:51","مرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است",{"id":282,"title":283,"cat":199,"pic":284,"up_date":285,"title_url":286,"url":287,"legacy_url":288,"cat_title":212,"update_jalali":256},12058,"دستگاه معادلات: مجموعه‌ای از چند معادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و معمولاً برای یافتن مقادیر مجهول‌ها حل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEeFtslvSqFgghaNmBX5o_200.png","2026-08-22 21:33:48","دستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود",{"id":290,"title":291,"cat":199,"pic":292,"up_date":293,"title_url":294,"url":295,"legacy_url":296,"cat_title":212,"update_jalali":256},12059,"دستگاه نامعادلات: مجموعه‌ای از چند نامعادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و جواب آن مجموعه‌ای از مقادیر ممکن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKwLUm5NEHXLEWqbsAf5m_200.png","2026-08-22 21:31:30","دستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است",{"id":298,"title":299,"cat":199,"pic":300,"up_date":301,"title_url":302,"url":303,"legacy_url":304,"cat_title":212,"update_jalali":256},12060,"تعمیم: گسترش یک الگو یا نتیجه از حالت‌های خاص به حالت‌های کلی‌تر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F85yS4UtNCzL5Ryquxtzf_200.png","2026-08-22 21:29:58","تعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر",{"id":306,"title":307,"cat":199,"pic":308,"up_date":309,"title_url":310,"url":311,"legacy_url":312,"cat_title":212,"update_jalali":256},12061,"مقاطع مخروطی: منحنی‌هایی که از برش دادن یک مخروط به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGAdfKPxq5mWGavBxYt4C_200.png","2026-08-22 21:28:07","مقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند",{"id":314,"title":315,"cat":199,"pic":316,"up_date":317,"title_url":318,"url":319,"legacy_url":320,"cat_title":212,"update_jalali":256},12062,"مکان هندسی: مجموعهٔ همهٔ نقاطی که یک ویژگی یا شرط هندسی مشخص را داشته باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F0t0y8haqNG18E6sFnt6V_200.png","2026-08-22 21:26:19","مکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند"]