[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"blogPost-12055":3,"$fzZ03KsyW78ZgG2WwvYbhaJu5Zj3I1x8gfseCTdIZMak":28,"categoryMenus":134},{"id":4,"section":5,"base":6,"course":7,"lesson":8,"title":9,"cat":10,"pic":11,"info_graphic":12,"podcast":12,"body":13,"tags":14,"metadata":12,"featured":18,"status":19,"views":20,"subdate":21,"up_date":22,"first_name":23,"last_name":24,"avatar":12,"cat_title":25,"subdate_jalali":26,"update_jalali":27},12055,67,1170,1171,4925,"درایهٔ ماتریس: هر عدد حقیقیِ قرارگرفته در یک ماتریس",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9vpUNpXsvaSlSGLjPM7r_800.png",null,"\u003Cdiv aria-label=\"درایهٔ ماتریس: هر عدد حقیقیِ قرارگرفته در یک ماتریس\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">درایهٔ ماتریس: قلب هر عدد حقیقی در ساختار آرایه‌ای\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">آشنایی با مفهوم درایه، جایگاه هر عدد حقیقی در ماتریس، روش‌های شناسایی و کاربردهای ساده در ریاضی دبیرستان\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">خلاصهٔ مقاله:\u003C\u002Fstrong> در این مقاله مفهوم \u003Cstrong>درایهٔ ماتریس\u003C\u002Fstrong> را بررسی می‌کنیم. هر عدد حقیقی که درون یک ماتریس قرار می‌گیرد، یک درایه نام دارد. با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{ij}$\u003C\u002Fspan> نشان داده می‌شود که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$i$\u003C\u002Fspan> شماره سطر و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$j$\u003C\u002Fspan> شماره ستون است. می‌آموزید که چگونه اعداد حقیقی را در جایگاه‌های مشخص ماتریس قرار دهید، چگونه اندازهٔ ماتریس را تعیین کنید و چگونه با درایه‌ها عملیات ساده مانند جمع و ضرب را انجام دهید. این مبانی برای درک جبر خطی در مقاطع بالاتر ضروری است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تعریف درایه و ساختار ماتریس\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>ماتریس\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> جدولی مستطیلی از اعداد است که در داخل کروشه قرار می‌گیرد. هر یک از این اعداد حقیقی را یک \u003Cstrong>درایه\u003C\u002Fstrong> یا \u003Cstrong>عضو ماتریس\u003C\u002Fstrong> می‌نامیم. اگر ماتریسی دارای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$m$\u003C\u002Fspan> سطر و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n$\u003C\u002Fspan> ستون باشد، می‌گوییم اندازهٔ ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$m \\times n$\u003C\u002Fspan> است. درایه‌ای که در سطر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$i$\u003C\u002Fspan> و ستون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$j$\u003C\u002Fspan> قرار دارد، با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{ij}$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود. در اینجا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$i$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$j$\u003C\u002Fspan> اعداد طبیعی هستند. برای نمونه، در ماتریس زیر:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$A = \\begin{bmatrix} 3 & -2 & 0 \\\\ 5 & 4 & 1 \\end{bmatrix}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3$\u003C\u002Fspan> در سطر اول و ستون اول قرار دارد، بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{11}=3$\u003C\u002Fspan>. عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1$\u003C\u002Fspan> در سطر دوم و ستون سوم است، یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{23}=1$\u003C\u002Fspan>. تمام این اعداد، اعداد حقیقی هستند. مجموعهٔ اعداد حقیقی\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> شامل اعداد صحیح، کسری، گنگ و اعشاری می‌شود. بنابراین درایه‌ها می‌توانند هر عددی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\sqrt{2}$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-\\frac{3}{4}$\u003C\u002Fspan> باشند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای درک بهتر، فرض کنید یک فروشندهٔ لباس در سه ماه اول سال، تعداد فروش روزانهٔ خود را در ماتریسی ثبت می‌کند. سطرها نمایندهٔ ماه‌ها (فروردین، اردیبهشت، خرداد) و ستون‌ها نمایندهٔ نوع محصول (پیراهن، شلوار، کت) هستند. درایهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{23}$\u003C\u002Fspan> نشان‌دهندهٔ تعداد کت‌های فروخته شده در اردیبهشت‌ماه است. این مثال عملی نشان می‌دهد که چگونه هر درایه یک معنای مشخص دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه انواع ماتریس بر اساس درایه‌ها\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع ماتریس\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شرط درایه‌ها\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال با اعداد حقیقی\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ماتریس صفر\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">همهٔ درایه‌ها برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\begin{bmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{bmatrix}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ماتریس قطری\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">درایه‌های خارج از قطر اصلی صفر هستند\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\begin{bmatrix} 5 & 0 \\\\ 0 & -3 \\end{bmatrix}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ماتریس همانی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">درایه‌های قطر اصلی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1$\u003C\u002Fspan> و بقیه صفر\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\end{bmatrix}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">خواندن و نوشتن درایه‌ها با نمادگذاری دو شاخصه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای دسترسی به یک درایهٔ خاص، همواره شمارهٔ سطر و سپس شمارهٔ ستون را مشخص می‌کنیم. درایهٔ واقع در سطر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$i$\u003C\u002Fspan> و ستون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$j$\u003C\u002Fspan> با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{ij}$\u003C\u002Fspan> نشان داده می‌شود. اگر ماتریس را با حرف بزرگ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> نمایش دهیم، درایهٔ متناظر با حرف کوچک \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan> و دو زیرنویس نوشته می‌شود. این روش برای همهٔ ماتریس‌ها یکسان است. به مثال زیر توجه کنید:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$B = \\begin{bmatrix} 7 & -1 \\\\ 0 & 4 \\\\ 3 & 2 \\end{bmatrix}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>در این ماتریس با اندازهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3 \\times 2$\u003C\u002Fspan> داریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{11}=7$\u003C\u002Fspan> ، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{12}=-1$\u003C\u002Fspan> ، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{21}=0$\u003C\u002Fspan> ، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{22}=4$\u003C\u002Fspan> ، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{31}=3$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$b_{32}=2$\u003C\u002Fspan>. هیچ درایه‌ای به ازای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$i=4$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$j=3$\u003C\u002Fspan> وجود ندارد زیرا ماتریس فقط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3$\u003C\u002Fspan> سطر و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2$\u003C\u002Fspan> ستون دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">عملیات پایه روی درایه‌ها: جمع و ضرب در عدد حقیقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>دو ماتریس را فقط زمانی می‌توان جمع کرد که اندازهٔ یکسان داشته باشند. حاصل‌جمع، ماتریسی هم‌اندازه است که درایه‌های آن از جمع درایه‌های متناظر به دست می‌آید. به طور دقیق‌تر، اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$B$\u003C\u002Fspan> دو ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$m \\times n$\u003C\u002Fspan> باشند، آنگاه:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>همچنین ضرب یک ماتریس در عدد حقیقی (اسکالر) به این معناست که هر درایه در آن عدد ضرب شود:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$(k \\cdot A)_{ij} = k \\times a_{ij}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>برای نمونه، اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$k = -2$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{12}=5$\u003C\u002Fspan> باشد، درایهٔ جدید برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-10$\u003C\u002Fspan> خواهد شد. این عملیاتها کاملاً روی اعداد حقیقی تعریف شده‌اند و خاصیت شرکت‌پذیری و جابه‌جایی دارند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی: جدول نمرات دانش‌آموزان با ماتریس\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید در یک کلاس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3$\u003C\u002Fspan> دانش‌آموز و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$4$\u003C\u002Fspan> درس وجود دارد. ماتریس نمرات به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$3 \\times 4$\u003C\u002Fspan> تعریف می‌شود. هر سطر مربوط به یک دانش‌آموز و هر ستون مربوط به یک درس است. درایهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{23}$\u003C\u002Fspan> نمرهٔ دانش‌آموز دوم در درس سوم را نشان می‌دهد. اگر بخواهیم نمرات همه را \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2$\u003C\u002Fspan> نمره اضافه کنیم (مثلاً به خاطر تشویق)، کافی است عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2$\u003C\u002Fspan> را با ماتریس جمع کنیم. اما جمع ماتریس با عدد به صورت مستقیم تعریف نشده است؛ باید ماتریسی هم‌اندازه با تمام درایه‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2$\u003C\u002Fspan> بسازیم و سپس جمع کنیم. این کار معادل اضافه کردن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2$\u003C\u002Fspan> به هر درایه است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۱. آیا می‌توان یک درایه را خارج از محدودهٔ ماتریس تعریف کرد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>خیر. هر ماتریس با اندازهٔ مشخص، فقط درایه‌هایی با شماره سطر بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1$\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$m$\u003C\u002Fspan> و شماره ستون بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1$\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n$\u003C\u002Fspan> دارد. هر عددی خارج از این بازه، درایه‌ای ندارد. مثلاً در ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2 \\times 3$\u003C\u002Fspan>، درایهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{24}$\u003C\u002Fspan> وجود ندارد زیرا ستون چهارم تعریف نشده است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۲. آیا دو ماتریس با اندازه‌های متفاوت می‌توانند در یک درایه مشترک باشند؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>خیر. درایه‌ها وابسته به جایگاه سطر و ستون هستند. دو ماتریس با اندازه‌های متفاوت، مجموعهٔ شاخص‌های متفاوتی دارند. برای نمونه ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2 \\times 2$\u003C\u002Fspan> درایهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{12}$\u003C\u002Fspan> دارد، اما ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1 \\times 3$\u003C\u002Fspan> چنین درایه‌ای ندارد. بنابراین نمی‌توان از برابری درایه‌ها در ماتریس‌های ناهم‌اندازه صحبت کرد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۳. آیا ترتیب درایه‌ها در ماتریس مهم است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>بله، بسیار مهم است. ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\end{bmatrix}$\u003C\u002Fspan> با ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\begin{bmatrix} 1 & 3 \\\\ 2 & 4 \\end{bmatrix}$\u003C\u002Fspan> تفاوت دارد. هر چند هر دو از چهار عدد حقیقی یکسان تشکیل شده‌اند، اما جایگاه درایه‌ها متفاوت است. در حالت اول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{12}=2$\u003C\u002Fspan> و در حالت دوم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{12}=3$\u003C\u002Fspan>. بنابراین ترتیب درایه‌ها هویت ماتریس را تعیین می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> هر عدد حقیقی که درون یک ماتریس قرار می‌گیرد، یک درایه نام دارد که با دو شاخص سطر و ستون مشخص می‌شود. آشنایی با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{ij}$\u003C\u002Fspan> و قوانین حاکم بر درایه‌ها (مانند شرط هم‌اندازی برای جمع ماتریس‌ها) پایهٔ اصلی جبر ماتریس‌ها است. درایه‌ها می‌توانند هر عدد حقیقی (صحیح، کسری، گنگ) باشند و جایگاه آنها کاملاً تعیین‌کنندهٔ ساختار ماتریس است. درک این مفاهیم برای پیشرفت در مباحث پیشرفته‌تر مانند دترمینان، معکوس ماتریس و دستگاه‌های معادلات خطی ضروری است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> ماتریس (Matrix): آرایش مستطیلی از اعداد، نمادها یا عبارت‌ها در سطرها و ستون‌ها.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> اعداد حقیقی (Real Numbers): مجموعه تمام اعداد گویا و گنگ که روی خط اعداد قابل نمایش هستند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[15,16,17],"پایهٔ دوازدهم","هندسه دوازدهم","درایهٔ ماتریس",0,1,111,"2026-04-20 00:21:57","2026-08-22 21:40:00","سحر","شیرزاد","کپسول آموزشی","1405\u002F01\u002F31","21:40 1405\u002F05\u002F31",{"tests":29,"papers":30,"files":31,"questions":32,"exams":33,"tutorials":34,"blogs":35},[],[],[],[],[],[],[36,45,53,61,70,78,86,94,102,110,118,126],{"id":37,"title":38,"cat":10,"pic":39,"up_date":40,"title_url":41,"url":42,"legacy_url":43,"cat_title":25,"update_jalali":44},12146,"ماتریس همانی (I یا In): ماتریس مربعی که روی قطر اصلی 1 و درایه‌های دیگر 0 است و عضو خنثی ضرب ماتریس‌هاست.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHO2OY2jMEIIhcKB9dEBj_200.png","2026-08-24 15:41:07","ماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","1405\u002F06\u002F2",{"id":46,"title":47,"cat":10,"pic":48,"up_date":49,"title_url":50,"url":51,"legacy_url":52,"cat_title":25,"update_jalali":44},12152,"شرط وجود وارون (شرط وارون‌پذیری): برای اینکه A^-1 وجود داشته باشد باید |A|≠0 باشد؛ اگر |A|=0 باشد وارون وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlIHXa8luNtBVAeHHK9gC_200.png","2026-08-24 15:31:13","شرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد",{"id":54,"title":55,"cat":10,"pic":56,"up_date":57,"title_url":58,"url":59,"legacy_url":60,"cat_title":25,"update_jalali":44},12160,"دستگاه ناسازگار (بدون جواب): وقتی دو خط موازیِ متمایز باشند؛ در نگاه ماتریسی معمولاً |A|=0 و شرایط ثابت‌ها طوری است که نقطهٔ مشترک وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZFswJRmEaNrsJK91UMT8_200.png","2026-08-24 15:15:34","دستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد",{"id":62,"title":63,"cat":10,"pic":64,"up_date":65,"title_url":66,"url":67,"legacy_url":68,"cat_title":25,"update_jalali":69},12054,"ماتریس: هر آرایش مستطیلی از اعداد حقیقی که از تعدادی سطر و ستون تشکیل شده باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCyH6F8um7hxbFOh8NwJp_200.png","2026-08-22 21:41:37","ماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","1405\u002F05\u002F31",{"id":71,"title":72,"cat":10,"pic":73,"up_date":74,"title_url":75,"url":76,"legacy_url":77,"cat_title":25,"update_jalali":69},12056,"سطر و ستون ماتریس: ردیف افقی و عمودی عناصر (درایه‌ها) در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fd4ccWiSZS1hvCAicia99_200.png","2026-08-22 21:38:30","سطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس",{"id":79,"title":80,"cat":10,"pic":81,"up_date":82,"title_url":83,"url":84,"legacy_url":85,"cat_title":25,"update_jalali":69},12057,"مرتبهٔ ماتریس (m×n): تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس؛ اگر ماتریس m سطر و n ستون داشته باشد، مرتبهٔ آن m×n است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHLx6GW4ccIuuUGfxgXQx_200.png","2026-08-22 21:36:51","مرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است",{"id":87,"title":88,"cat":10,"pic":89,"up_date":90,"title_url":91,"url":92,"legacy_url":93,"cat_title":25,"update_jalali":69},12058,"دستگاه معادلات: مجموعه‌ای از چند معادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و معمولاً برای یافتن مقادیر مجهول‌ها حل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEeFtslvSqFgghaNmBX5o_200.png","2026-08-22 21:33:48","دستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود",{"id":95,"title":96,"cat":10,"pic":97,"up_date":98,"title_url":99,"url":100,"legacy_url":101,"cat_title":25,"update_jalali":69},12059,"دستگاه نامعادلات: مجموعه‌ای از چند نامعادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و جواب آن مجموعه‌ای از مقادیر ممکن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKwLUm5NEHXLEWqbsAf5m_200.png","2026-08-22 21:31:30","دستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است",{"id":103,"title":104,"cat":10,"pic":105,"up_date":106,"title_url":107,"url":108,"legacy_url":109,"cat_title":25,"update_jalali":69},12060,"تعمیم: گسترش یک الگو یا نتیجه از حالت‌های خاص به حالت‌های کلی‌تر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F85yS4UtNCzL5Ryquxtzf_200.png","2026-08-22 21:29:58","تعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر",{"id":111,"title":112,"cat":10,"pic":113,"up_date":114,"title_url":115,"url":116,"legacy_url":117,"cat_title":25,"update_jalali":69},12061,"مقاطع مخروطی: منحنی‌هایی که از برش دادن یک مخروط به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGAdfKPxq5mWGavBxYt4C_200.png","2026-08-22 21:28:07","مقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند",{"id":119,"title":120,"cat":10,"pic":121,"up_date":122,"title_url":123,"url":124,"legacy_url":125,"cat_title":25,"update_jalali":69},12062,"مکان هندسی: مجموعهٔ همهٔ نقاطی که یک ویژگی یا شرط هندسی مشخص را داشته باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F0t0y8haqNG18E6sFnt6V_200.png","2026-08-22 21:26:19","مکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند",{"id":127,"title":128,"cat":10,"pic":129,"up_date":130,"title_url":131,"url":132,"legacy_url":133,"cat_title":25,"update_jalali":69},12063,"دایره: مکان هندسی نقاطی از صفحه که فاصلهٔ آن‌ها از یک نقطهٔ ثابت (مرکز) مقدار ثابتی باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fx1fKset1WZRi87UQlUF5_200.png","2026-08-22 21:23:46","دایره-مکان-هندسی-نقاطی-از-صفحه-که-فاصله-آنها-از-یک-نقطه-ثابت-مرکز-مقدار-ثابتی-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12063\u002Fدایره-مکان-هندسی-نقاطی-از-صفحه-که-فاصله-آنها-از-یک-نقطه-ثابت-مرکز-مقدار-ثابتی-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12063\u002Fدایره-مکان-هندسی-نقاطی-از-صفحه-که-فاصله-آنها-از-یک-نقطه-ثابت-مرکز-مقدار-ثابتی-باشد",{"status":19,"data":135},[136,175,235,253,273],{"id":19,"title":137,"list_order":19,"items":138},"آشنایی",[139,144,148,152,159,163,167,171],{"id":140,"link":141,"type":142,"slug":12,"title":143},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content","قوانین و مقررات",{"id":145,"link":146,"type":142,"slug":12,"title":147},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":149,"link":150,"type":142,"slug":12,"title":151},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":153,"link":154,"type":155,"slug":156,"handler":157,"title":158},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":160,"link":161,"type":142,"slug":12,"title":162},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":164,"link":165,"type":142,"slug":12,"title":166},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":168,"link":169,"type":142,"slug":12,"title":170},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":172,"link":173,"type":142,"slug":12,"title":174},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":176,"title":177,"list_order":19,"items":178},2,"المپیادها",[179,183,187,191,195,199,203,207,211,215,219,223,227,231],{"id":180,"link":181,"type":142,"slug":12,"title":182},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":184,"link":185,"type":142,"slug":12,"title":186},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":188,"link":189,"type":142,"slug":12,"title":190},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":192,"link":193,"type":142,"slug":12,"title":194},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":196,"link":197,"type":142,"slug":12,"title":198},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":200,"link":201,"type":142,"slug":12,"title":202},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":204,"link":205,"type":142,"slug":12,"title":206},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":208,"link":209,"type":142,"slug":12,"title":210},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":212,"link":213,"type":142,"slug":12,"title":214},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":216,"link":217,"type":142,"slug":12,"title":218},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":220,"link":221,"type":142,"slug":12,"title":222},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":224,"link":225,"type":142,"slug":12,"title":226},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":228,"link":229,"type":142,"slug":12,"title":230},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":232,"link":233,"type":142,"slug":12,"title":234},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":236,"title":237,"list_order":19,"items":238},3,"نمونه و تیزهوشان",[239,243,248],{"id":240,"link":241,"type":142,"slug":12,"title":242},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":244,"link":245,"type":155,"slug":246,"handler":246,"title":247},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":249,"link":250,"type":155,"slug":251,"handler":251,"title":252},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":254,"title":255,"list_order":19,"items":256},7,"کتابهای درسی",[257,261,265,269],{"id":258,"link":259,"type":142,"slug":12,"title":260},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":262,"link":263,"type":142,"slug":12,"title":264},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":266,"link":267,"type":142,"slug":12,"title":268},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":270,"link":271,"type":142,"slug":12,"title":272},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":140,"title":274,"list_order":140,"items":275},"پیشنهاد ویژه",[276,281,286,291,296,301,306,309,313,317],{"id":277,"link":278,"type":155,"slug":279,"handler":279,"title":280},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":282,"link":283,"type":155,"slug":284,"handler":284,"title":285},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":287,"link":288,"type":155,"slug":289,"handler":289,"title":290},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":292,"link":293,"type":155,"slug":294,"handler":294,"title":295},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":297,"link":298,"type":155,"slug":299,"handler":299,"title":300},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":302,"link":303,"type":142,"slug":304,"title":305},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":5,"link":307,"type":142,"slug":12,"title":308},"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":310,"link":311,"type":142,"slug":12,"title":312},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":314,"link":315,"type":142,"slug":12,"title":316},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":318,"link":319,"type":142,"slug":12,"title":320},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین"]