[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12028":193,"$f_IkF9rZEewIAWFhkTIEqwVGEJIpXzBpHVedb2CWGji4":215},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"section":178,"base":195,"course":196,"lesson":197,"title":198,"cat":199,"pic":200,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":201,"tags":202,"metadata":13,"featured":206,"status":4,"views":207,"subdate":208,"up_date":209,"first_name":210,"last_name":211,"avatar":13,"cat_title":212,"subdate_jalali":213,"update_jalali":214},12028,1168,1182,2582,"اصل جمع: اگر یک کار با یکی از چند روش ناسازگار انجام شود، تعداد کل حالت‌ها برابر جمع تعداد حالت‌های هر روش است.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FjFVA7aGfPF0dEZIxQKw0_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"اصل جمع در شمارش: پایه و اساس ترکیبیات\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">اصل جمع: قاعده بنیادین شمارش در روش‌های ناسازگار\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">آشنایی با اصلی ساده اما قدرتمند برای محاسبه تعداد کل حالت‌های ممکن در موقعیت‌های گسسته و انتخابی\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\n\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">خلاصهٔ سئوپسند:\u003C\u002Fstrong> اصل جمع در ریاضیات گسسته و ترکیبیات می‌گوید اگر کاری را بتوان به چند روش ناسازگار (یعنی بدون اشتراک) انجام داد، تعداد کل حالت‌ها برابر است با \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">جمع تعداد حالت‌های هر روش\u003C\u002Fstrong>. این مقاله با زبانی روان و مناسب دانش‌آموزان دبیرستان، به بررسی این اصل، تفاوت آن با اصل ضرب، ارائه مثال‌های علمی ملموس، جدول مقایسه و پاسخ به چالش‌های رایج می‌پردازد. درک اصل جمع برای حل مسائل شمارش، محاسبه احتمال و آنالیز الگوریتم‌ها ضروری است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">بیان رسمی اصل جمع و تمایز آن با اصل ضرب\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در حالت کلی، اصل جمع (قاعده جمع\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; margin-right: 6px; : \">اصل جمع\u003C\u002Fspan>) برای شرایطی به کار می‌رود که چندین روش یا انتخاب پیش رو داریم و این روش‌ها \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">ناسازگار\u003C\u002Fstrong> هستند. ناسازگاری به این معناست که هیچ دو روشی نمی‌توانند همزمان اتفاق بیفتند یا یک حالت مشخص را دو بار شمارش کنند. اگر کاری مانند انتخاب یک عضو از میان چند مجموعهٔ مجزا باشد، تعداد کل انتخاب‌ها برابر مجموع تعداد اعضای هر مجموعه خواهد بود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید کاری را می‌توان به روش \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$k$\u003C\u002Fspan> مختلف انجام داد. اگر روش شمارهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan> دارای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n_1$\u003C\u002Fspan> حالت، روش شمارهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> دارای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n_2$\u003C\u002Fspan> حالت و ... روش شمارهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$k$\u003C\u002Fspan> دارای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n_k$\u003C\u002Fspan> حالت باشد، و همچنین هیچ دو روشی حالت مشترک نداشته باشند، آنگاه تعداد کل روش‌های انجام آن کار برابر است با:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">فرمول اصل جمع:\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; margin-top: 8px; : \">$n_1 + n_2 + \\cdots + n_k = \\sum_{i=1}^{k} n_i$\u003C\u002Fspan>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>در مقابل، اصل ضرب\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; margin-right: 6px; : \">قاعده ضرب\u003C\u002Fspan> زمانی استفاده می‌شود که کاری از چند مرحلهٔ متوالی تشکیل شده باشد و تعداد حالت‌های هر مرحله مستقل از مراحل دیگر باشد. تفاوت کلیدی در \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">ناسازگاری\u003C\u002Fstrong> روش‌ها در اصل جمع در مقابل \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">توالی و استقلال\u003C\u002Fstrong> در اصل ضرب است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">مثال‌های عینی از زندگی روزمره و مسائل علمی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">مثال ۱ (انتخاب لباس):\u003C\u002Fstrong> فرض کنید یک دانش‌آموز می‌خواهد برای مهمانی یک پیراهن انتخاب کند. در کمد او \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5$\u003C\u002Fspan> پیراهن قرمز، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3$\u003C\u002Fspan> پیراهن آبی و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$4$\u003C\u002Fspan> پیراهن سبز وجود دارد. اگر او فقط یک پیراهن انتخاب کند و رنگ‌ها ناسازگار باشند (یک پیراهن نمی‌تواند همزمان دو رنگ متفاوت داشته باشد)، تعداد کل انتخاب‌ها برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$5 + 3 + 4 = 12$\u003C\u002Fspan> حالت. این یک کاربرد ساده از اصل جمع است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">مثال ۲ (تاس و سکه در آزمایش‌های تصادفی):\u003C\u002Fstrong> در یک آزمایش تصادفی، می‌خواهیم نتیجهٔ پرتاب یک تاس شش‌وجهی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(حالت‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$1$\u003C\u002Fspan> تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$6$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Fspan> یا پرتاب یک سکه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(حالت‌های شیر یا خط)\u003C\u002Fspan> را مشاهده کنیم. از آنجا که این دو روش انجام آزمایش با یکدیگر ناسازگارند (هر بار فقط یکی از آنها اجرا می‌شود)، تعداد کل نتایج ممکن برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$6 + 2 = 8$\u003C\u002Fspan> حالت. در نظریهٔ احتمال، این اصل به محاسبه فضای نمونه\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; margin-right: 6px; : \">فضای نمونه\u003C\u002Fspan> برای رویدادهای ناسازگار کمک می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">مثال ۳ (مسیرهای سفر):\u003C\u002Fstrong> برای سفر از شهر الف به شهر ب، سه نوع وسیلهٔ نقلیه وجود دارد: اتوبوس (با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$4$\u003C\u002Fspan> خط متفاوت)، قطار (با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$2$\u003C\u002Fspan> خط متفاوت) و هواپیما (با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3$\u003C\u002Fspan> شرکت هوایی). انتخاب یک خط سفر به این معناست که مسافر تنها از یکی از این روش‌ها استفاده می‌کند. بنابراین طبق اصل جمع، تعداد کل روش‌های ممکن برای سفر برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$4+2+3=9$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">جدول مقایسهٔ اصل جمع و اصل ضرب\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول مقایسه اصل جمع و اصل ضرب\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">اصل جمع\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">اصل ضرب\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">نوع عملیات\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">انتخاب \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">یکی\u003C\u002Fstrong> از چند روش یا دسته\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">انجام \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">چند مرحلهٔ متوالی\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">شرط اصلی\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">روش‌ها \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">ناسازگار\u003C\u002Fstrong> (بدون اشتراک)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مراحل \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">مستقل\u003C\u002Fstrong> از یکدیگر\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">عملگر ریاضی\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$+$\u003C\u002Fspan> (جمع)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\times$\u003C\u002Fspan> (ضرب)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مثال کلاسیک\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">انتخاب یک کتاب از میان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3$\u003C\u002Fspan> قفسه با تعداد کتاب متفاوت\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">تعداد روش‌های پوشیدن شلوار و پیراهن به ترتیب\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">کاربرد عملی در مسائل شمارش پیشرفته‌تر\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در مسائل ترکیبیاتی حقیقی، اغلب اصل جمع همراه با اصل ضرب به کار می‌رود. برای نمونه، فرض کنید می‌خواهیم تعداد اعداد طبیعی دو رقمی که رقم یکان آنها فرد است یا رقم دهگان آنها زوج است را محاسبه کنیم. ابتدا باید حالت‌های ناسازگار را شناسایی کنیم. این کار نیاز به دقت در بخش‌بندی مسئله دارد. در چنین مواردی، ابتدا مسئله را به چند زیرمسئلهٔ ناسازگار تقسیم می‌کنیم، تعداد حالت‌های هر زیرمسئله را با اصل ضرب محاسبه می‌کنیم و در نهایت با اصل جمع، نتایج را با هم جمع می‌زنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">مثال علمی (کدهای شناسایی):\u003C\u002Fstrong> در یک سیستم، کد شناسایی کاربر یا از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$3$\u003C\u002Fspan> حرف بزرگ انگلیسی (تکرار مجاز) ساخته می‌شود، یا از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$4$\u003C\u002Fspan> رقم اعشاری (صفر تا نه). تعداد کل کدهای ممکن چقدر است؟ برای حروف: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$26^3 = 17576$\u003C\u002Fspan> حالت و برای ارقام: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$10^4 = 10000$\u003C\u002Fspan> حالت. از آنجا که یک کد نمی‌تواند هم حروفی و هم رقمی باشد، این دو روش ناسازگارند. بنابراین طبق اصل جمع، کل حالت‌ها برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$17576 + 10000 = 27576$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی در به‌کارگیری اصل جمع\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">سؤال ۱: آیا اصل جمع زمانی که روش‌ها دارای حالت مشترک باشند همچنان معتبر است؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: خیر. اگر روش‌ها ناسازگار نباشند (یعنی اشتراک داشته باشند)، جمع سادهٔ تعداد حالت‌ها منجر به \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">بیش‌شماری\u003C\u002Fstrong> می‌شود. در چنین مواردی باید از \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">اصل شمول و طرد\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"display: inline-block; padding: 4px 8px; border-radius: 999px; font-size: 12px; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fff3c4; color: #24292f; margin-right: 6px; : \">اصل شمول و عدم شمول\u003C\u002Fspan> استفاده کرد که اشتراک‌ها را کم می‌کند.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">سؤال ۲: چگونه بفهمیم یک مسئله باید با اصل جمع حل شود یا اصل ضرب؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: اگر مسئله می‌گوید «انتخاب یکی از روش‌ها» یا «چند راه مختلف ناسازگار» پیش رو دارید، از جمع استفاده کنید. اگر مسئله شامل «ترتیب انجام کارها»، «مراحل پشت سر هم» یا «همزمانی انتخاب‌ها» باشد، معمولاً اصل ضرب به کار می‌رود. کلید تشخیص، واژهٔ \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">«یا»\u003C\u002Fstrong> (نشان‌دهندهٔ جمع) در مقابل \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">«و»\u003C\u002Fstrong> (نشان‌دهندهٔ ضرب) است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">سؤال ۳: آیا اصل جمع فقط به دو روش محدود می‌شود؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: خیر، اصل جمع به تعداد دلخواه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$k$\u003C\u002Fspan> روش قابل تعمیم است، تا زمانی که هر جفت از روش‌ها با یکدیگر ناسازگار باشند. به بیان دیگر، مجموعهٔ حالت‌های روش‌ها باید \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">دو به دو جدا\u003C\u002Fstrong> از هم باشند.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n\u003Cstrong style=\"color: #344054; : \">نکتهٔ نهایی:\u003C\u002Fstrong> اصل جمع به عنوان یکی از پایه‌های شمارش، نقش مهمی در حل مسائل احتمال، آمار، رمزنگاری و طراحی الگوریتم‌های کامپیوتری دارد. تسلط بر این اصل ساده، توانایی تحلیل موقعیت‌های گسسته و شمارش سیستماتیک را به طور چشمگیری افزایش می‌دهد. همواره پیش از جمع زدن، از \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">ناسازگاری\u003C\u002Fstrong> روش‌ها اطمینان حاصل کنید.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>\r\n[1] \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">اصل جمع (Addition Principle):\u003C\u002Fstrong> اصلی در ترکیبیات که می‌گوید اگر چند مجموعهٔ جدا از هم (ناسازگار) داشته باشیم، تعداد اعضای اجتماع آنها برابر مجموع تعداد اعضای هر مجموعه است.\u003Cbr>\r\n[2] \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">فضای نمونه (Sample Space):\u003C\u002Fstrong> در نظریهٔ احتمال، مجموعهٔ همهٔ نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی.\u003Cbr>\r\n[3] \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">اصل شمول و طرد (Inclusion-Exclusion Principle):\u003C\u002Fstrong> تعمیم اصل جمع برای مجموعه‌های ناهم‌جدا که اشتراک‌ها را یک بار کم می‌کند.\u003Cbr>\r\n[4] \u003Cstrong style=\"color: #24292f; : \">روش‌های ناسازگار (Mutually Exclusive Methods):\u003C\u002Fstrong> روش‌هایی که نمی‌توانند همزمان رخ دهند و هیچ حالت مشترکی ندارند.\r\n\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[203,204,205],"اصل جمع","ریاضی دهم","پایه دهم",0,281,"2026-04-18 14:58:45","2026-07-14 02:57:52","ندا","بنی هاشمی","کپسول آموزشی","1405\u002F01\u002F29","2:57 1405\u002F04\u002F23",{"tests":216,"papers":217,"files":218,"questions":219,"exams":220,"tutorials":221,"blogs":222},[],[],[],[],[],[],[223,232,240,246,255,263,271,279,287,295,303,311],{"id":224,"title":225,"cat":199,"pic":226,"up_date":227,"title_url":228,"url":229,"legacy_url":230,"cat_title":212,"update_jalali":231},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":233,"title":234,"cat":199,"pic":235,"up_date":236,"title_url":237,"url":238,"legacy_url":239,"cat_title":212,"update_jalali":231},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":241,"title":225,"cat":199,"pic":242,"up_date":243,"title_url":228,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":212,"update_jalali":231},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":247,"title":248,"cat":199,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":212,"update_jalali":254},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":256,"title":257,"cat":199,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":212,"update_jalali":254},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":199,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":212,"update_jalali":254},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":272,"title":273,"cat":199,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":212,"update_jalali":254},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":280,"title":281,"cat":199,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":212,"update_jalali":254},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":288,"title":289,"cat":199,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":212,"update_jalali":254},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":296,"title":297,"cat":199,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":212,"update_jalali":254},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":304,"title":305,"cat":199,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":212,"update_jalali":254},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":312,"title":313,"cat":199,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":212,"update_jalali":254},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود"]